2021届浙江省宁波市余姚中学高三下学期6月高考适应性考试数学试题
2025届浙江省宁波市九校(余姚中学高三下学期联合考试数学试题含解析
2025届浙江省宁波市九校（余姚中学高三下学期联合考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥2．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．493．若集合{|A x N x =∈=，a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉4．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αD ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥6．设全集U =R ，集合2{|340}A x x x =-->，则UA =（ ）A ．{x |-1 <x <4}B ．{x |-4<x <1}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |-4≤x ≤1}7．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．858．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥9．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()2711．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误12．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年浙江省新高考测评卷数学(第六模拟)
2021年浙江省新高考测评卷数学（第六模拟）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，{}3C x x =<，则A B C ⋂⋂=（ ）A ．{}24x x -<< B ．{}24x x ≤<C ．{}23x x -<<D ．{}23x x ≤<2．复数z =）A ．1B ．79C ．59D ．133．若实数x ，y 满足约束条件1,31,1,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则2020z x y =-的最大值为（ ）A ．2020-B ．2020C ．4039D ．40404．5x ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数是（ ）A ．60B ．80C ．90D ．1205．已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞-C ．[)1,+∞D ．()1,+∞6．若12ln 2a =，b =，4log 3c =，则（ ） A ．c b a >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．a b c >>7．设1x ，2x ，{}31,0,1,2x ∈-，那么满足32212308x x x ≤++≤的所有有序数组()123,,x x x 的组数为（ ）A ．45B ．46C ．47D ．488．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 是坐标原点，12123F PF FOP π∠=∠=，则椭圆的离心率是（ ）A．32- BC．2D．29．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22b a bc -=，则sin sin 2A B +=（ ）A ．0B ．12C．2D ．13-10．已知函数()()()()22673,log 113,x x x f x x x ⎧-+-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩若关于x 的方程()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦有6个根，则m 的取值范围为（ ）A．(,2-∞- B．(2,2--C ．()2,-+∞D．2,2--⎡⎣二、填空题11．已知三倍角公式()()sin34sin sin 60sin 60αααα=+-°°，则sin 20sin60sin100sin140=°°°°______．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．13．已知向量a ，b 满足23a b a b +≥-，则ba在a 方向上的投影的最小值是______．三、双空题14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．若17102S =，1112a =，则d =______，20S =______．15．已知随机变量X 的分布列为()()()12aP X n n n ==++（1,2,3n =），其中a 为16．已知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，且C 经过点(A ，则双曲线C 的标准方程为______；若直线AF 与y 轴交于点B ，点(),P x y 是C 右支上一动点，且(y ∈-，直线AP 与以AB 为直径的圆相交于另一点D ，则PA PD ⋅的最大值是______．17．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，13AA =，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的平面记为α，则平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的面积为______，平面α与平面11BB C C 所成角的余弦值为______．四、解答题18．已知函数()227cos 24cos 32πx f ωx ωx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为6π． （1）求()0f ；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，二面角P AD C --的余弦值为13，M 是棱PC 的中点，2PA PD AD ===，1BC =，CD =．（1）求证：AD PB ⊥；（2）求直线MA 与平面PAD 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 满足113a =，11113n n na a +++=． （1）证明：数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 21．设O 为坐标原点，M 是x 轴上一点，过点M 的直线交抛物线C ：24y x =于点A ，B ，且4OA OB ⋅=-．（1）求点M 的坐标； （2）求232BM AM-的最大值．22．已知函数()e 1xx a f x =-+（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，令()()ln g x f x =，若函数()g x 的图象与直线y kx m =+相交于不同的两点A ，B ，设1x ，2x （12x x <）分别为点A ，B 的横坐标，求证：21111k x x <+<．参考答案1．D 【分析】根据交集的概念运算可得结果. 【详解】{}24A B x x ⋂=≤<，{}23A B C x x ⋂⋂=≤<，故选：D ． 2．A 【分析】利用复数的四则运算以及复数的概念即可求解. 【详解】3i 11i3z +===，所以z 的虚部为13，实部为3-，故z 的虚部和实部的平方和是221133⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A 3．B 【分析】作出可行域，将目标函数进行变形，根据目标函数的几何意义并数形结合可得最优解，得到目标函数的最值． 【详解】根据题意作出可行域如图中阴影部分所示，由2020z x y =-得1120202020y x z =-，数形结合可知当直线2020z x y =-经过点()0,1-时，z 取得最大值，为2020．故选：B 4．C 【分析】 利用通项公式35215C 3r rr r T x-+=⋅，得2r，可得系数【详解】5x⎛+ ⎝的展开式的通项公式为3552155C C 3rr r r r r r T x x --+==⋅， 令3522r -=，得2r ，则2x 的系数为225C 390⨯=．故选：C 【点睛】求二项式展开式指定项的系数，利用通项公式1C r n r rr n T a b -+=和x 的幂指数相等可求．5．A 【分析】首先求出p ，记为A ，再求出q ，记为B ，依题意可得A B ，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为p ：2x a +<，所以:22p a x a --<<-+，记为{}|22A x a x a =--<<-+；:q x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB所以2a a ≤--，解得1a ≤-． 故选：A 6．B 【分析】 由已知可得2log e 2a =，ln 22b =，2log 32c =，利用对数式的单调性可得答案. 【详解】2log e 12ln 22a ==，ln 22b ==，24log 3log 32c ==，由于22log 3log e 1>>，0ln 21<<，∴c a b >>．故选：B. 7．C 【分析】对1x 的取值进行分类讨论，结合已知分析2x 和3x 的取值情况，然后利用排列组合知识求解即可． 【详解】①当12x =时，22230x x +=，则230x x ==，共1组；②当11x =时，222317x x -≤+≤，则2x ，3x 不同时为2，共1124414115C C ⋅-=-=组； ③当10x =时，222308x x ≤+≤，则2x ，3x 为1,0,1,2中任一元素，共11244416C C ⋅==组；④当11x =-时，222319x x ≤+≤，则2x ，3x 不同时为0，共1124414115C C ⋅-=-=组．故满足题意的有序数组共有47组． 故选：C. 8．D 【分析】利用12123F PF FOP π∠=∠=，得到121PFO F F P ∽△△，利用11121PF F O F F PF =，求得1PF =，利用定义得到22PF a =，再利用余弦定理得解. 【详解】根据12123F PF FOP π∠=∠=以及121PF F OF P ∠=∠，得121PFO F F P ∽△△，于是11121PF F O F F PF =，所以1PF =，又122PF PF a +=，所以22PF a =．在21F F P △中，由余弦定理，得)()()22214222()2c a a =+-⨯-，即2220c a -=，所以220e -=，因为01e <<，所以椭圆的离心率e = 故选D 【点睛】本题以椭圆为载体，考查三角形相似、余弦定理以及椭圆的定义与性质．利用三角形相似、椭圆定义得到焦半径是解题关键. 9．A 【分析】由余弦定理得2cos b A b c =+，再由正弦定理得2sin cos B Asin sin cos sin cos B A B B A =++，化简可得()sin sin B B A =-，结合三角函数的性质得2B πA =+可得答案.【详解】由22b a bc -=得2222b c a bc c +-=+，由余弦定理得2cos b A b c =+， 再由正弦定理得()2sin cos sin sin sin sin B A B C B A B =+=++sin sin cos sin cos B A B B A =++，即sin cos sin sin cos B A B A B =+，得()sin sin B B A =-，由于()0,B π∈，(),B A ππ-∈-，所以B A B -=（舍去）或B A B π-+=，故2B πA =+，于是()sin 2sin sin B πA A =+=-，所以sin sin 20A B +=．故选：A. 10．B 【分析】作出函数()f x 的图象,令()t f x =，则原方程可化为220t mt m +++=在()0,2上有2个不相等的实根，再数形结合得解. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示．令()t f x =，则()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦可化为220t mt m +++=，要使关于x 的方程()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦有6个根，数形结合知需方程220t mt m +++=在()0,2上有2个不相等的实根1t ，2t ，不妨设1220t t <<<，()22t m t m g t =+++，则()()()2420,02,2020,24220m m m g m g m m ⎧-+>⎪⎪<-<⎪⎨⎪=+>⎪=+++>⎪⎩解得22m -<<-，故m 的取值范围为(2,2--， 故选B ． 【点睛】形如()y g f x =⎡⎤⎣⎦的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出()f x ，()g x 的图象．若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令()t f x =，先估计关于t 的方程()0g t =的解的个数，再根据()f x 的图象特点，观察直线y t =与()y f x =图象的交点个数，进而确定参数的范围．11．316【分析】根据三倍角公式，诱导公式及40α=︒，代入求值即可． 【详解】因为sin 20sin100sin140sin 20sin100sin 40=°°°°°°()()sin 40sin 6040sin 6040+-=°°°°°1sin1204==°，所以3sin 20sin 60sin100sin14016==°°°°． 故答案为：31612．133【分析】根据三视图确定空间几何体的形状，运用体积公式进行求解即可. 【详解】由该几何体的三视图可知，该几何体为一个长方体与一个三棱锥的组合体，24=， 三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=，故该几何体的体积为113433+=．故答案为：13313．12【分析】对已知不等式两边平方并化简，利用平面向量数量积的定义和投影的概念，可得最小值． 【详解】由23a b a b +≥-得2223a b a b +≥-，得22224496a a b b a a b b +⋅+≥-⋅+，所以22a b a ⋅≥．设a ，b 的夹角为θ，则22cos a b θa ⋅≥，所以cos 12b θa≥，即b a 在a方向上的投影的最小值是12． 故答案为：1214．3 210 【分析】利用等差数列的通项公式与前n 项和公式求出1a ，d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出20S . 【详解】由已知及等差数列的通项公式与求和公式可得1111012a a d =+=①，1711716171022S a d ⨯=+=②，由①②得118a =-，3d =， ∴()202019201832102S ⨯=⨯-+⨯=． 故答案为:3；210 15．103296【分析】利用分布列的性质求得103a =，进而求得()1P X =，()2P X =，()3P X =，得到()E X ，最后利用数学期望的相关公式求解即可． 【详解】()()()1212P X aa a n n n n n ==-+=+++， 由()()()1231P X P X P X =+=+==，即125a a -=，得103a =，则()519P X ==，()5218P X ==，()136P X ==，∴()55129123918618E X =⨯+⨯+⨯=，即()()2929338316E X E X =⨯==． 故答案为：103，296. 16．2213y x -=48【分析】设双曲线C 的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，利用待定系数法可求得双曲线C 的标准方程，利用平面向量数量积的运算法则可得出249PA PD PF ⋅=-，求出PF 的最小值，即可得解. 【详解】由题意可设双曲线C 的标准方程是()222210,0x y a b a b-=>>，则22222416451a b c a b⎧+==⎪⎨-=⎪⎩，解得2213a b ⎧=⎨=⎩，所以，双曲线C 的标准方程为2213y x -=.直线AF的斜率为422AF k ==-，直线AF的方程为)22y x =-，在直线AF 的方程中，令0x =，可得y =-，即点(0,B -， 因为2A B F x x x +=，2A BF y y y +=，所以，点F 为线段AB 的中点， 故以AB 为直径的圆的圆心为F ，且半径为7AF =， 如图，连接PB 、PF 、BD ，由于点D 是以AB 为直径的圆上异于A 、B 的一点，则BD AD ⊥， 由双曲线的几何性质可知min 1PF c a =-=，PA PF FA =+，PB PF FB PF FA =+=-，()PA PD PA PD PA PB BD PA PB BD PA PA PB ⋅=-⋅=-⋅+=-⋅-⋅=-⋅ ()()222224949148PF FA PF FA AF PF AF PF PF =-+⋅-=-=-=-≤-=.故答案为：2213y x -=；48.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是会转化，会根据向量数量积的几何意义把PA PD ⋅转化为PA PB -⋅，再根据平面向量的知识求解.173【分析】设直线EF 分别与DA ，DC 的延长线交于点P ，Q ，连接1D P ，交1AA 于点M ，连接1D Q ，交1CC 于点N ，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积；取FN 的中点G ，连接QG ，CG ，结合平面与平面所成角的定义得到QGC ∠为平面α与平面11BB C C 所成的角或其补角，最后利用余弦定理求解即可．【详解】设直线EF 分别与DA ，DC 的延长线交于点P ，Q ，连接1D P ，交1AA 于点M ，连接1D Q ，交1CC 于点N ，连接ME ，FN ，∴平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -的截面为五边形1D MEFN ．由平行线分线段成比例知：1AP BF ==，故13DP DD ==，故△1DD P 为等腰直角三角形，∴1AM AP ==，故12A M =，则11D M D N ==ME EF FN ==MN ，易知MN =∴五边形1D MEFN 可以分成等边三角形1D MN 和等腰梯形MEFN 两部分，等腰梯形MEFN 的高h ==MEFN 的面积为=．又(12D MNS ==∴五边形1D MEFN 的面积为=．易知1CF CQ CN ===，则由勾股定理得FN NQ FQ ===取FN 的中点G ，连接CG ，QG ，则CG FN ⊥，QG FN ⊥，且CG =，QG =，故QGC ∠为平面α与平面11BB C C 所成角或其补角．在△QGC中，由余弦定理得222131cos 23CG QG QC QGC CG QG +-+-∠===⋅，∴平面α与平面11BB C C，3. 【点睛】关键点点睛：根据直棱柱的性质，应用平面的延展性补全截面，得到面α截1111ABCD A B C D -的截面为五边形1D MEFN ，求各边长度，进而求面积；根据二面角定义，找到其对应的平面角并求其余弦值. 18．（1）0；（2）单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）将0x =代入函数()f x 的解析式，直接求值即可； （2）先由三角恒等变换得到()3232πx x f ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f x =，解出方程的根，结合()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为6π，求出1ω=，即可得到()f x 的解析式，然后利用正弦函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）()22717cos 4cos 04003222f π⎛⎫=-+-=-+-= ⎪⎝⎭． （2）()11cos 272cos 24222ωx ωx ωx f x +=-+⨯-332cos 222ωx ωx =+- 3232πωx ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．令()0f x =，则sin 232πωx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2233ππωx k π+=+或22233ππωx k π+=+，k ∈Z ， 故k x πω=或6πk πx ωω=+，k ∈Z ， 所以()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为66ππω=，故1ω=，()3232πf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 当[]0,x π∈时，72,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当2,332πππx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即[0,]12x π∈或372,323πππx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7[,]12x ππ∈时，()f x 单调递增，故()f x 的单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角恒等变换公式以及三角函数的图象和性质是解题关键.19．（1）证明见解析；（2）51． 【分析】（1）取AD 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，可知AD ⊥平面PBQ ，从而可证明.（2）先证明平面PBQ ⊥平面ABCD ，过点P 作PG BQ ⊥于点G ，则PG ⊥平面ABCD ，故以G 为原点，以GB ，GP 所在直线分别为y ，z 轴，过点G 且与AD 平行的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】（1）、证明：取AD 的中点Q ，连接PQ ，BQ ， 因为PA PD =，所以PQ AD ⊥． 由题意知//BC AD ，12BC AD =， 又12DQ AD =，所以//BC DQ ，BC DQ =， 所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以//DC BQ ， 因为90ADC ∠=︒，所以DC AD ⊥，所以BQ AD ⊥． 又PQ ，BQ ⊂平面PBQ ，PQ BQ Q =，所以AD ⊥平面PBQ ，又PB ⊂平面PBQ ，所以AD PB ⊥．（2）由AD ⊥平面PBQ ，AD ⊂平面ABCD ，得平面PBQ ⊥平面ABCD ，过点P 作PG BQ ⊥于点G ，则PG ⊥平面ABCD ，故以G 为原点，以GB ，GP 所在直线分别为y ，z 轴，过点G 且与AD 平行的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．易知PQB ∠为二面角P AD C --的平面角，所以1cos 3PQB ∠=．在Rt PQG △中，PQ =1cos 3PQG ∠=，得QG =PG =，则13QG BQ =，1,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,3D ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3P ⎛ ⎝⎭，1,,233M ⎛- ⎝⎭，所以1,,33PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,33PD ⎛=--- ⎝⎭，3,233AM ⎛=- ⎝⎭． 设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则0,0n PA n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则0x =，令y =1z =-，故()0,22,1n =-为平面PAD 的一个法向量． 设直线MA 与平面PAD 所成的角为θ，则sin cos ,θn AM ===， 即直线MA 与平面PAD ． 【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.20．（1）证明见解析；()14331nn n a -=⎡⎤+-⎣⎦；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题得211131344n n n n a a +++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即得数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，再求数列{}n a 的通项公式；（2）对n 分类讨论利用放缩法求证. 【详解】 （1）因为11113n n na a +++=， 所以2211111313131334444n n n n n n n n n a a a a ++++++⎛⎫-=--=-+=-- ⎪⎝⎭， 又119933444a -=-=， 所以数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，1-为公比的等比数列，所以()11133144n n n a +--=⋅-， 即()113314n n n a -⎡⎤=+-⎣⎦，故()14331nn n a -=⎡⎤+-⎣⎦． （2）由113a =，216a =，得121325a a +=<， 当4n ≥且n 为偶数时，11111141143341133131333231333n nn n n n n n n n n a a ------+⎛⎫⎛⎫+=+=⋅<+ ⎪⎪+-⋅+⋅-⎝⎭⎝⎭， 所以1234111411113633333n n n a a a -⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⨯++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭114123132712322754513+⨯=+=<<-； 当3n ≥且n 为奇数时，1n +为偶数，则12135n n a a a a +++⋅⋅⋅++<， 由于0n a >，则1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 综上，1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 【点睛】 方法点睛：方法技巧若数列的通项公式中含有()1n-，则在求数列的前n 项和时，常需要对n 分奇偶分别求解．21．（1）()2,0；（2）2．【分析】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0M m ，由4OA OB ⋅=-得到128y y =-，设直线:AB x ty m =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系得到2m =，即可得到点M 的坐标； （2）由题意及弦长公式得到AM ，BM ，利用根与系数的关系得到221114AM BM +=，进而得232BM AM-的表达式，然后构造函数，利用函数的单调性求函数的最大值，即可得到232BM AM -的最大值．【详解】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0M m ， 则222212121212,,44416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得128y y =-，设直线:AB x ty m =+，联立方程，得2,4,x ty m y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=， 由根与系数的关系知，1248m y y -==-，所以2m =，故点M 的坐标为()2,0．（2）由（1）知，124y y t +=，128y y =-．易知1AM y =，2M B =， 所以()()22222212111111t y t y AM BM +=+++()()222122222121616141641y y t t y y t ++===++， 则222321132||3284BM BM BM AM BM BM ⎛⎫-= -⎪-=-- ⎪⎝⎭． 令()2328u f u u =--，2u >，则()3641f u u='-， 所以()f u 在()2,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，所以()()min 42f u f ==，即232BM AM -的最大值是2，当且仅当4BM =时取等号． 【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：一是几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解． 22．（1）当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减．；（2）证明见解析．【分析】（1）求导后，分类讨论a ，利用导数的符号可得函数()f x 的单调性；（2）求出()g x 的解析式，利用斜率公式求出2121ln ln 1x x k x x -+=-，将所证不等式化为11ln 1t t t-<<-（1t >），再构造两个函数，利用导数可证结论成立. 【详解】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，且()1e xf x a ='-． 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增．当0a >时，若(),ln x a ∈-∞-，则()0f x '>，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增； 若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '<，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减．（2）当1a =时，()e 1xx x f =-+，所以()()ln ln 1g x f x x x =-+=， 所以()()21221121212121ln ln ln ln 1g x g x x x x x x x k x x x x x x ---+-===----， 所以2121ln ln 1x x k x x -+=-． 要证21111k x x <+<，即证212211ln 1ln 1x x x x x x -<<-． 因为210x x >>，所以210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<． 令21x t x =，则1t >，即证11ln 1t t t-<<-（1t >）． 令()ln 1t t φt =-+（1t >），则()1110φt t t t-=='-<， 所以()t ϕ在()1,+∞上单调递减， 所以()0t ϕ<，即ln 10t t -+<，ln 1t t <-（1t >）．①令()1ln 1h t t t =+-（1t >），则()221110t h t t t t'-=-=>， 所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()0h t >，即1ln 1t t >-（1t >）．②综合①②得11ln 1t t t-<<-（1t >）， 所以21111k x x <+<. 【点睛】 关键点点睛：将所证不等式化为11ln 1t t t-<<-（1t >），再构造两个函数，利用导数证明不等式成立是解题关键.。
2021届浙江省宁波中学高考数学适应性试卷(含答案解析)
2021届浙江省宁波中学高考数学适应性试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合M={a,b，c}，N={x|x⊆M}，则下列关系正确的是()A. M∈NB. N⊆MC. M⊆ND. M=N2.若椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2：x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给出如下四个结论：①椭圆C1与椭圆C2一定没有公共点②a1a2>b1b2③a12−a22=b12−b22④a1−a2=b1−b2其中所有正确结论的序号是()A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④3.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π4.设实数x、y满足约束条件{x−y+1≥0x+y−1≥0x−2y−1≤0，则目标函数z=2x+y的取值范围为()A. [−8,2]B. [−8,1]C. [2,+∞)D. [1,+∞)5.函数f(x)=2x sin(7π2+6x)4x−1的图象大致为()A. B. C. D.6.“x(x−3)<0”是“|x−1|<2”成立的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.随机变量X的概率分布为P(X=a)=an2+n(n=1,2,3)，其中a是常数，则D(aX)=()A. 3881B. 152243C. 608729D. 52278.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a m=a1+a2+⋯+a9，则m的值为()A. 37B. 36C. 20D. 199.设向量a⃗=(2,0)，b⃗ =(0,3)，若向量c⃗满足(2a⃗−c⃗ )⊥(b⃗ +c⃗ )，则|c⃗|的取值范围是()A. [0,5]B. [1,5]C. [1,6]D. [2,6]10.如图所示，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，则直线C′D′与平面A′BC所成的角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、单空题（本大题共5小题，共24.0分）11.已知在△ABC中，a=√6，b=3√2，A=30°，则B=______．12.设(2+x)7=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a7(1+x)7，则a1+a2+⋯+a6=______．13.设函数f(x)=x4+kx2+1x4+x2+1 (k>1)，若对任意三个实数a，b，c(可以相同)，存在一个三角形，其三边长为f(a)，f(b)，f(c)，则k的取值范围是______ ．14.定义：如果函数y=f(x)在区间[a,b]，可上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)=f(b)−f(a)b−a，则称x0是函数y=f(x)在区间[a,b]上的一个均值点．已知函数f(x)=4x−2x+1−m在区间[0,1]上存在均值点，则实数的取值范围是______15.一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是______ .(填写序号)(1)任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；(2)与抛物线对称轴不平行、不共线的射线不能被该抛物线覆盖；(3)射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖；(4)任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面．三、多空题（本大题共2小题，共12.0分）(其中a∈R，i是虚数单位)的实部为−1，则a=，|z|=．16.已知复数z=i6+1a+i17.已知圆C的圆心坐标是(c,0)，半径是r.若直线x+2y+3=0与圆C相切于点P(1,−2)，则c=，r=．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.(本小题满分12分)设△的内角所对的边分别为，已知．(1)求△的面积；(2)求的值．19.如图，四边形ABCD为梯形，AB//CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2,DA=√3．(1)线段BC上是否存在一点E，使平面PBC⊥平面PDE？若存在，请给出BE的值，并进行证明；若CE不存在，请说明理由．(2)若PD=√3，线段PC上有一点F，且PC=3PF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．20.已知函数y=f(x)的图象经过坐标原点，且f(x)=x2−x+b，数列{a n}的前n项和S n=f(n)(n∈N∗)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n+1og3n=log3b n，求数列{b n}的前n项和T n；(3)令d n=a n+22，若∁n=3d n−λ(−2)n(λ为非零整数，n∈N∗)，试确定λ的值，使得对任意n∈N∗，都有c n+1>∁n成立．21.已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为2√5，离心率为2√55；抛物线G：y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．(1)求椭圆E及抛物线G的方程；(2)证明：存在实数λ，使得2|AB|+λCD为常数，并求λ的值．22.已知函数f(x)=mlnx+(m−1)x(m∈R)．(Ⅰ)当m=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)讨论f(x)的单调性；(Ⅲ)若f(x)存在最大值M，且M>0，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：N={x|x⊆M}，则集合N是由集合M的子集为元素构成的集合，且M⊆M，满足集合N的元素特性，则M是N中的元素，M∈N，故选：A．N是用描述法表示的，先对集合N的代表字母尤其是元素特性做出分析，然后可做出判断．本题考察集合的表示方法中对集合描述的把握，属于基础题目，但较容易出错．2.答案：B解析：解：由a12−b12=a22−b22，从而③a12−a22=b12−b22成立，一方面：a1>a2，由上得b1>b2，从而①成立；若在a12−a22=b12−b22中，a1=2，a2=√2，b1=√3，b2=1，a1 a2=√2=√2，b1b2=√31=√3，有：a1a2<b1b2，故②不成立；另一方面：a12−b12=a22−b22，(a1+b1)(a1−b1)=(a2+b2)(a2−b2)由于a1+b1>a2+b2∴a1−b1<a2−b2，从而④成立；∴所有正确结论的序号是①③④．故选B．先由a12−b12=a22−b22，从而③a12−a22=b12−b22成立，下面从两个方面来看：一方面：a1>a2，由上得b1>b2，从而①成立；②不成立；另一方面：a12−b12=a22−b22⇒(a1+b1)(a1−b1)=(a2+ b2)(a2−b2)⇒a1−b1<a2−b2，从而④成立；从而得出正确答案．本题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的标准方程、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．3.答案：C解析：本题考查由三视图求表面积，空间立体几何三视图，属于基础题．。
浙江省宁波市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
浙江省宁波市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A 【解析】逐一考查所给的函数：cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ； 函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Acos(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．2．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．53【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】 如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ， 所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =， 所以112C B PC =，即1PC PB ==所以11AP PC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯所以1sin 5APC ∠=所以S 四边形1APQC 1112sin 2AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B 【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.4．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =E 为PC的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A．BC． D【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos ,BE PD BE PD BE PD⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即可得解. 【详解】Q PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，∴如图建立空间直角坐标系，由题意：()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C，(P ，()0,2,0D ，Q E 为PC 的中点，∴E ⎛ ⎝⎭.∴BE ⎛=- ⎝⎭u u u r，(0,2,PD =u u u r ，∴1cos ,392BE PD BE PD BE PD-⋅===-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为cos ,BE PD u u u r u u u r即为1339.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =?，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得34b a =，22225c a b =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169x y -=．考点：双曲线方程.6．在钝角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ） A 2 B ．98C ．1D ．78【答案】B 【解析】 【分析】首先由正弦定理将边化角可得cos sin A B =，即可得到2A B π=-，再求出3,24B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，最后根据sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求出sin sin A C +的最大值；【详解】解：因为cos sin a A b A =，所以sin cos sin sin A A B A = 因为sin 0A ≠ 所以cos sin A B =2B π>Q2A B π∴=-02202A B C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩Q ，即0222022B B B πππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎩，3,24B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，cos 2B ⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos2B B =--22cos cos 1B B =--+2192cos 48B ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1cos ,042B ⎛⎫∴=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭时()max 9sin sin 8A C += 故选：B 【点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题. 7．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-= D ．()()22215x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=.故选：A.本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.8．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘除运算法则，即可求解. 【详解】()()()()()2322323741222255i i i i i i i i i i +-++===+-++-.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题. 9．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．1或12C D ．2±【答案】C【分析】由2474S S =可得()()123434a a a a +=+，故可求q 的值. 【详解】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+， 故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以2q =，故选C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为nq .11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C．2D【答案】A 【解析】 【分析】设200(,),(,)2y P y M x y p ，因为PM MF =，得到200,442y y p x y p =+=，利用直线的斜率公式，得到020002244OM y k y p y p y pp==++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，抛物线24y x =的焦点坐标为(,0)2pF ， 设200(,),(,)2y P y M x y p， 因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以220001(),222442y y y p p x y p p =+=+=，所以直线OM的斜率020022144OM y k y p y p y pp==≤=++，当且仅当00y p y p=，即0y p =时等号成立， 所以直线OM 的斜率的最大值为1. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ） A ．12B．3C．2D．2【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F V 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届浙江省宁波市效实中学高三下学期高考模拟测试数学试题(解析版)
2021届浙江省宁波市效实中学高三下学期高考模拟测试数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}1A x x =≥-，{}23B x x =-≤<，则集合()UA B ⋂是（ ）A ．{}21x x -<<-B ．{}21x x -≤<- C ．21}x x -<≤- D ．{}21x x -≤≤-【答案】B【分析】先由集合A 先求出UA ，然后再求交集运算.【详解】由{}1A x x =≥-，则{}U|1A x x =<-又{}23B x x =-≤<，所以(){}U|21A B x x ⋂=-≤<-故选：B2．已知2 zi i =+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．12i -- B ． 12i -+ C ．12i - D ．12i +【答案】D【分析】先由条件可得2 iz i+=，由复数的除法运算化简求出复数z ，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】由2 zi i =+，可得()()22 2 2112i ii z i i i i++===--=- 多以12z i =+ 故选：D3．若实数x ，y 满足约束条件210x y x y ⎧≤⎨-+≥⎩，则1y z x +=的取值范围是（ ）A ．(][),42,-∞-+∞B ．(][),24,-∞-⋃+∞C ．(][),02,-∞+∞D ．[]4,2-【答案】A【分析】由目标式的几何意义：可行域上的点与(0,1)-所在直线的斜率，画出可行域，求出临界点与(0,1)-所成直线的斜率，即可得z 的范围. 【详解】由11y y z x x ++==-知：z 表示(,)x y 与(0,1)-的斜率， 根据约束条件可得可行域如下图示：∴当(,)x y 为11(,)33-，(1,1)，z 存在临界值分别为4z =-，2z =， ∴由图知：z ∈(,4][2,)-∞-+∞. 故选：A4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足54a ≤，540S ≥，则该数列的公差d 可取的值是（ ） A ．3 B ．1C ．-1D ．-3【答案】D【分析】由540S ≥可得128a d +≥，然后将1a 化为5a ，即得582a d ≥+，结合54a ≤，所以得到824d +≤，从而得出答案. 【详解】由51545402S a d ⨯=+≥，即128a d +≥ 又514a a d =+，所以154a a d =-则15524228a d a d d a d +=-+=-≥，即582a d ≥+ 又54a ≤，则824d +≤，解得2d ≤- 选项中只有选项D 满足. 故选：D 5．“1ab>”是“()()ln 1ln 1a b ->-”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【分析】首先根据()10aa b b b>⇒->，根据()()ln 1ln 11a b a b ->-⇒>>，即可得到答案. 【详解】()11000a a a b a b b b b b->⇒->⇒>⇒->， ()()10ln 1ln 110111a a b b a b a b ->⎧⎪->-⇒->⇒>>⎨⎪->-⎩,因为()0a b b ->推不出()0a b b ->，1a b >>能推出()0a b b ->， 所以“1ab>”是“()()ln 1ln 1a b ->-”成立的必要不充分条件. 故选：B 6．已知3cos 45απ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，0a π-<<，则cos α=（ ）A．10 B．10-C．10D．10-【答案】D【分析】利用角的变换44ππ⎛⎫α=+α- ⎪⎝⎭，再根据两角差的余弦公式即可求解.【详解】解：因为0a π-<<，所以3444ππαπ-<+<， 又3cos 045απ⎛⎫+=-<⎪⎝⎭，所以3442ππαπ-<+<-，所以4sin 45απ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以cos cos cos cos sin sin 444444αααα⎡⎤ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3455⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭故选：D.7．函数1cos ()ln 1cos x f x x -⎛⎫=⎪+⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据定义域排除D ，根据奇偶性排除A ，根据02x π<<时()0f x <排除C.【详解】由1cos 01cos xx->+得1cos 1x -<<，所以函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，排除D ；显然()f x 是偶函数，其图像关于y 轴对称，排除A ； 又当02x π<<时，1cos (0,1)1cos xx-∈+，所以()0f x <，排除C.故选：B.【点睛】方法点睛：解决函数图象的识别问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的定义域、值域、单调性与奇偶性来排除不合适的选项；二是取特殊点，根据函数的解析式选择特殊点，即可排除不合适的选项，从而得出正确的选项．8．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为30°，则双曲线的渐近线方程是（ ） A ．20x y ±= B ．20x y ±= C ．20x y ±=D ．20x y =【答案】C【分析】首先设点P 在双曲线的右支上，由题知：121262PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，从而得到1242PF aPF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，根据22a c <，即可得到12PF F ∠为12PF F △的最小内角，再利用余弦定理求解即可.【详解】设点P 在双曲线的右支上，由题知：1211226422PF PF a PF aPF PF a PF a ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩， 又因为22a c <，所以212PF F F <，即12PF F ∠为12PF F △的最小内角. 所以222341642422a a c a c =+-⨯⨯⨯， 化简得222330c ac a -+=，即()230c a-=，解得3c a =.所以22222223322bc a a b a b a a=⇒+=⇒=⇒=， 所以渐近线方程为20x y ±=. 故选：C【点睛】方法点睛：求双曲线渐近线的方法：1.直接法：根据题意求出双曲线中的,a b ，从而得到双曲线的渐近线方程；（2）方程法：根据题意得到,,a b c 的齐次式，再解方程即可.9．已知棱长为3的正四面体A BCD -的底面BCD 确定的平面为α，P 是α内的动点，且满足2PA PD ≥，则动点P 的集合构成的图形的面积为（ ）A ．3B ．103π C ．4π D ．无穷大【答案】B【分析】构建空间直角坐标系，确定A 、D 的坐标，设(,,0)P x y ，利用两点距离公式得到2PA 、2PD ，根据2PA PD ≥可得223110()()623x y ++-≤，即可知P 的集合，进而可求面积.【详解】如下图，构建以D 为原点，分别以平面α内垂直于BD 的Dx 、BD 、垂直于面α的Dz 为x 、y 、z 轴的正方向的空间直角坐标系，由题意，由A 到α633(6)2A -，(0,0,0)D ，设(,,0)P x y ， ∴22233(()62PA x y =-+++，222PD x y =+，又2PA PD ≥， ∴222233(()64()22x y x y -+++≥+，整理得22333x x y y ++-≤， ∴223110(()623x y ++-≤，即P 103的圆(含圆内部)， ∴图形的面积为103π. 故选：B【点睛】关键点点睛：构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，利用两点距离公式及已知条件列不等式，即可得P 集合的代数表达式.10．定义数列{}n a 如下：存在k *∈N ，满足1k k a a +<，且存在s N *∈，满足1s s a a +>，已知数列{}n a 共4项，若{}()1,2,3,,4,,i a t x y z i =∈且t x y z <<<，则数列{}n a 共有（ ） A ．190个 B ．214个C ．228个D ．252个【答案】A【分析】由题意，满足条件的数列{}n a 中的4项有四种情况：4项中每一项都不同；4项中有2项相同；4项中有3项相同；4项中两两相同，利用排列组合知识分别求出每种情况的个数即可求解.【详解】解：由题意，满足条件的数列{}n a 中的4项有四种情况：（1）4项中每一项都不同，共有44222A -=个；（2）4项中有2项相同（如x ,y ,z ,x ）,共有412443222120A C C A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭个；（3）4项中有3项相同（如x ,x ,y ,x ）,共有21142224C C C =个； （4）4项中两两相同（如x ,y ,x ,y ）,共有24C 442222224A A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭个；所以数列{}n a 共有221202424190+++=个. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键，弄清楚满足条件的数列{}n a 中的4项有四种情况：4项中每一项都不同；4项中有2项相同；4项中有3项相同；4项中两两相同.二、双空题 11．已知()212nx+的展开式中二项式系数的和为64，则n =______，二项展开式中含4x 的项为______．【答案】6 460x【分析】由题得出264n =，求得6n =，求出展开式通项，令x 的指数为4，即可求出. 【详解】展开式中二项式系数的和为64，即264n =，解得6n =，()6212x +的展开式的通项为()622166122rr r r r r r T C x C x -+=⋅⋅=，令24r =，则2r，故二项展开式中含4x 的项为22446260C x x =.故答案为：6；460x .12．三棱锥P ABC -中，1PA =，AB AC ==PA ，AB ，AC 两两垂直，M为PC 中点，则异面直线PB 与AM 所成角的余弦值是______；取BC 中点N ，则二面角M AN C --的大小是______．【答案】13 4π【分析】连接MN ，则//MN PB ，易知PB 与AM 所成角的平面角为AMN ∠，根据直三棱锥的性质及已知条件求AM 、MN 、AN ，在△AMN 中应用余弦定理求AMN ∠的余弦值即可；过M 作MD AC ⊥于D ，若E 为AN 的中点，连接DE 、ME ，易知D 是AC 的中点，易证AN ⊥面MED ，即MED ∠是二面角M AN C --的平面角，进而求其大小.【详解】由题设，连接中位线MN ，则//MN PB ，即异面直线PB 与AM 所成角的平面角为AMN ∠，∵1PA =，2AB AC ==PA ，AB ，AC 两两垂直，∴3PC PB =，则32AM MN ==，且1AN =， ∴在△AMN 中，2221cos 23AM MN AN AMN AM MN +-∠==⋅，过M 作MD AC ⊥于D ，易知D 是AC 的中点，若E 为AN 的中点，连接DE 、ME ， ∴DE AN ⊥，ME AN ⊥，而DEME E =，∴AN ⊥面MED ，故MED ∠是二面角M AN C --的平面角，∵PA ，AB ，AC 两两垂直，易知面PAC 、面PAB 、面ABC 两两垂直，又面PAC 面ABC AC =，MD ⊂面PAC∴MD ⊥面ABC ，ED ⊂面ABC ，即M D D E ⊥， ∴在Rt MED 中，122PA MD ==，1242NC BC DE ===，则tan 1MDMED DE∠==， ∴4MED π∠=.故答案为：13，4π【点睛】关键点点睛：根据异面直线所成角、二面角的定义，利用平移找到异面直线的平面角，由线面垂直确定二面角的平面角，进而求它们的大小.13．某商场迎新游园摸彩球赢积分活动规则如下：已知箱子中装有1个红球3个黄球，每位顾客有放回地依次取出3个球，则摸到一个红球两个黄球的概率为______；若摸到一个红球得2积分，则顾客获得积分的期望为______． 【答案】2764 32【分析】根据题意一次摸到红球的概率为14，摸到黄球的概率为34，进而根据二项分布即可得摸到一个红球两个黄球的概率为2764，进而设每位顾客有放回地依次取出3个球，摸到红球的个数为X ，该顾客获得积分为Y ，则13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，2Y X =，再根据二项分布期望公式求解.【详解】根据题意，一次摸到红球的概率为14，摸到黄球的概率为34， 所以每位顾客有放回地依次取出3个球，则摸到一个红球两个黄球的概率为21313274464P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，设每位顾客有放回地依次取出3个球，摸到红球的个数为X ，则13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，设该顾客获得积分为Y ，则2Y X =，所以()()()13222342E Y E X E X ===⨯⨯=. 所以顾客获得积分的期望为32. 故答案为：2764；32【点睛】本题考查二项分布及其期望，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得一次摸到红球的概率为14，摸到黄球的概率为34，进而设每位顾客有放回地依次取出3个球，摸到红球的个数为X ，该顾客获得积分为Y ，且2Y X =，再结合二项分布求解.14．已知点()()000,0M x y y >是抛物线C ：24y x =上一点，以M 为圆心，r 为半径的圆M 与抛物线C 的准线相切，且与x 轴的两个交点的横坐标之积为5，则圆M 的方程为______，若过抛物线C 的焦点F 作圆M 的切线交抛物线于A ，B 两点，则|AF BF ⋅=______． 【答案】()()2232316x y -+-= 16【分析】首先设圆M 与抛物线的准线切于点D ，与x 轴交于,P Q 两点，根据抛物线的定义得到P 为抛物线的焦点F ，从而得到()5,0Q，又根据MP MQ r ==得到03x =，带入抛物线即可得到023y =，再计算半径即可得到圆M 的标准方程.设()11,A x y ，()22,B x y ，根据切线性质得到33AB k =-，从而得到()3:13AB l y x =--，再联立抛物线计算AF BF ⋅即可.【详解】设圆M 与抛物线的准线切于点D ，与x 轴交于,P Q 两点，如图所示：因为MP MD r ==，所以P 为抛物线的焦点F ，则()1,0P ，又因为5P Q x x ⋅=，所以()5,0Q .因为MP MQ r ==， 所以05132x +==，04323y =⨯=，()3,23M ，()()22312304r =-+-=，所以圆M ：()()2232316x y -+-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，如图所示：233MF k ==3AB k =，)3:1AB l y x =-，联立)223114104y x x x y x ⎧=-⎪⇒-+=⎨⎪=⎩， 得1214x x +=，121=x x . 所以()()()()22222211221122111414AF BF x y x y x x x x ⋅=-+-+-+-+()()()()22121212*********x x x x x x x x =++=+⋅+=+++=.故答案为：()(2232316x y -+-=；16【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线交点问题，首先设出交点坐标，联立直线与抛物线，利用韦达定理求解即可.三、填空题15．已知点P 为ABC 所在平面内一点，满足3mPC PA PB =-+，()0m >，13PBCABCSS =，则m =______．【答案】7【分析】建立平面直角坐标系，设(),0B a ，()00,A x y ，(),P x y ，依题意可得03y y =±，根据3mPC PA PB =-+，即可得到y 与0y 的关系，即可求出参数的取值； 【详解】解：如图建立平面直角坐标系，设(),0B a ，()00,A x y ，(),P x y ，由13PBCABC SS =，所以03y y =±，所以(),PC x y =--，()00,PA x x y y =--，(),PB a x y =--由3mPC PA PB =-+，所以003333mx x x a x my y y y -=-++-⎧⎨-=-+-⎩，所以003232x a x my y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又3y y =±所以00323y ym =±+，解得7m =或11m =-，因为0m >，所以7m = 故答案为：716．已知正数a ，b 满足112a b +=，则31a b -+的最大值为______． 523-【分析】由条件得21a b a =-，进而得3511[()]13313a ab a -=-+-+-，由基本不等式可得解.【详解】由112a b +=，得21a b a =-， 由0,0a b >>，得12a >，所以333(21)131121a a a aa b a a --=-=-+-+-51155[()]331333a a -=-+-≤-=-， 当且仅当11313a a =--，即a =、 所以31a b -+.故答案为：53-. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用等量代换实现二元换一元3511[()]13313a ab a -=-+-+-，进而可利于基本不等式求最值. 17．已知当[]20,log 3x ∈时，函数1()2832xxx f x a +=--+⋅的最大值为8，则实数a 的取值为______．【答案】2或89- 【分析】令[]21,3xt =∈，则原问题等价于336868t t t a t t ----≤+≤，且在[]1,3t ∈上等号能取到，然后数形结合，借助导数知识可得结果.【详解】∵[]20,log 3x ∈，∴[]21,3xt =∈，∴3()6g t t a t t =--+，令386t a t t --+≤，即336868t t t a t t ----≤+≤，且在[]1,3t ∈上等号能取到，在同一坐标系下，分别作出函数()()3368,68,g x x x h x x x y x a =-+=--=-的图象，y x a =-经过点()3,1时，可得2a =令()368g x x x =-+，()236g x x '=-设()368,g x x x y x a =-+=-的切点为()38,6x x x -+，则2363618x x x x a +--==-，解得：73x =，142189a =-，∴实数a 的取值为2或142189-， 故答案为：2或142189-【点睛】关键点点睛：含参绝对值函数的最值问题转化为图象位置关系问题，转化为切线问题，利用了数形结合的思想.四、解答题18．已知函数()222cos sin 2cos 4f x x x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭，[]0,x π∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值及对应的x 的值；（Ⅱ）设ABC 的内角是A ，B ，C ，若()2f A =-，且2A π≠，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于D ，BD CD =，求:AD DC 的值．【答案】（Ⅰ）58x π=，()min 21f x =--；（Ⅱ）312AD DC -=. 【分析】（Ⅰ）由二倍角余弦公式、辅助角公式可得()2sin(2)14f x x π=+-，进而可求[]0,x π∈内()f x 的最小值及对应的x 的值；（Ⅱ）由题设有2sin(2)42A π+=-，结合0A π<<即可求A ，根据已知条件求角C ，利用正弦定理及角平分线的性质有sin sin AB AD CBC DC A==，即可求:AD DC 的值. 【详解】（Ⅰ）由题设，22cos sin cos 2x x x -=，22cos cos 2()11sin 244x x x ππ⎛⎫+=++=- ⎪⎝⎭，∴()cos 2sin 212sin(2)14f x x x x π=+-=+-，[]0,x π∈∴当58x π=时，min ()21f x =--. （Ⅱ）由2sin(2)24()1f A A π-==-+，得：2sin(2)42A π+=-，又0A π<<，∴92444A πππ<+<，则5244A ππ+=或7244A ππ+=，解得2A π=(舍)或34A π=. 由题设，26ABC C π∠=∠=，又sinsin 123sin sin 4AB AD C BC DC A ππ===， ∵1cos 23316sin122222ππ---===， ∴312AD DC -=.19．如图，正方形ABCD 和正方形CDEF 所在平面的二面角是60°，M 为BC 中点．（Ⅰ）求证：//EC 平面AMF ；（Ⅱ）求AF 与面EMC 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）427. 【分析】(1)建系并设边长为2a 求出各点的坐标，求出(23)EC a a a =-，和 面AMF 法向量=(2)m ，1，0，得出0EC m ⋅=即可.(2)求出面EMC 的法向量3=(03)2n ，，和(23)AF a a a =-，，，进而求出42cos =7AF n ，即可. 【详解】(1)由题意可知DC DA ⊥，过D 作z 轴垂直底面ABCD ，如图， 则z 轴垂直DC 和DA ，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，设边长DA =2a . 因为四边形ABCD 和CDEF 都是正方形，所以DC DA ⊥，DC DE ⊥ 所以ADE ∠为正方形ABCD 和CDEF 所成的二面角，所以=60ADE ︒∠(000)D ，，，(020)C a ，，，(220)B a a ，，，(200)A a ，，，(23)F a a a ，，，(03)E a a ，，，(20)M a a ，，,则(23)EC a a a =-，，(20)AM a a =-，，(003)MF a =，，，设面AMF 的一个法向量为()m x y z ，，有020030{{AM m ay MF m az ⋅=+=⋅==⇒，所以=(2)m ，1，0，有0EC m ⋅=又EC ⊄面AMF ，所以EC //面AMF .(2)由(1)知，(023)EM a a =，，()CM a =，0，0，(23)AF a a a =-，，,设面EMC 的一个法向量为111()n x y z ，，，11123000{{ay az EM n ax CM n =⋅==⋅=⇒，所以3=(03)2n ，，642cos 721222AF n a AF n AF na ⋅===⨯， 所以AF 与面EMC 所成角的正弦值为427.【点睛】(1)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)． ③利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)． ④利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． (2)利用向量法求线面角的2种方法法一：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量， 转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．法二：通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量 所夹的角(夹角为钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，公比为2的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，并且满足()12log 12n n n a T S ++=． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）已知1121n n n n n a c T T -++=，规定00a =，若存在n *∈N 使不等式123...1n c c c c nλ++++<-成立，求实数λ的取值范围．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）67λ<. 【分析】（Ⅰ）由递推式，令1n =求11b =，写出{}n b 的通项公式及n T ，结合已知条件求{}n a 通项公式.（Ⅱ）应用裂项求和求123...n c c c c ++++，即有21min21n n n λ+⎛⎫+< ⎪-⎝⎭，进而求λ的范围．【详解】（Ⅰ）由题设，2211log (1)2a T S +=，即2211log (1)2a b a +=，可得11b =，又等比数列{}n b 的公比为2， ∴12n n b -=，故21nn T =-，即12n n S na +=，当2n ≥时，112()2(1)n n n n n S S a na n a -+-==--，即()11n n na n a +=+， 当1n =时，212a a =，∴n *∈N 上有()11n n na n a +=+，即101n n a a n n，而111a =， ∴{}na n 是常数列且1n a n=，即n a n =； （Ⅱ）由题意，()()()11121121212121n n n n nn n n n c ++-++==-----， ∴1231122311...1...11337212121n n n n n n n c c c c nλ++++++++=-+-++-=-<----，对n *∈N 有解，则21min21n n n λ+⎛⎫+< ⎪-⎝⎭，令2121n n n nd ++=-，故2211212121(1)(1)2(1)[(2)22](1)()21212121(21)(21)n n n n n n n n n n n n n n n n n d d n ++++++++++++++---=-=+-=------，∴当1n =时，21d d >；当2n ≥时，1n n d d +<，知：2d 为n d 的最小项， ∴267d λ<=． 【点睛】关键点点睛：第二问，利用裂项求和求123...n c c c c ++++，将有解问题转化为21min21n n n λ+⎛⎫+< ⎪-⎝⎭，利用数列的性质求最小项，即可得参数范围.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ．过点()1,0G 的直线l 与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，其中10y >，20y <． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，GAM △，GBN △的面积分别为1S ，2S ．（i ）求12k k 的值；（ii ）若直线AM 斜率11,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求12S S ⋅的取值范围，【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（i ）1231k k =；（ii ）3636,18565⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（Ⅰ）根据条件可得1b =，再由离心率可得221314e a =-=，从而得出24a =，得到答案.（Ⅱ）（i ）令直线MN 为1x hy =+，代入2214x y +=，得出韦达定理，再分别表示出1k ，2k ，将韦达定理代入12k k 可得答案. （ii ）令直线AM 为12x h y =-，其中111h k =,与椭圆方程联立得出1y ，设直线BN 的方程为22x h y =+，同理得出2y ，表示出12S S ，，结合（i ）中1k ，2k 的关系，得到12,h h 的关系，然后把12S S ⋅表示成1h 的式子，再求范围. 【详解】（Ⅰ）由条件椭圆C2， 则1b =，22222221314c a b e a a a -===-=，解得24a = 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()2,0,2,0A B -（i ）令直线MN 为1x hy =+，代入2214x y +=，得()224230h y hy ++-=，则 1221222434h y y h y y h -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，1111123y y k x hy ==++，2222221y y k x hy ==--，11212122133k hy y y k hy y y -==+； （ii ）令直线AM 为12x h y =-，其中111h k =，由11,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]11,3h ∈ 代入221142x y x h y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2211440h y h y +-=，所以112144h y h =+，设直线BN 的方程为22x h y =+，则221h k =，同理可得222244h y h -=+由（i ）有1122121113k h h k h h ===，则2113h h = 1111322S AG y y ==，2211122S BG y y == 所以()()1212121242221221112112363361444401694440h h h S S y y h h h h h h ====++⨯++++ 先求212114440h h ++的范围,设21t h =，则[]1,9t ∈，即14440y t t=++ 由21441y t '=-，令214410y t '=-<，解得012t << 所以14440y t t=++在[]1,9t ∈上单调递减. 所以[]1444065,185y t t =++∈，故2121363636,1441856540h h ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++ 所以12363618565S S ≤≤ 【点睛】关键点睛：本题考查由离心率求椭圆的方程考查直线与椭圆的位置关系和椭圆中三角形的面积问题，解答本题的关键是设直线AM 为12x h y =-与椭圆方程联立得出112144h y h =+，同理可得222244h y h -=+，结合（i ）中1231k k =，得到2113h h =，然后得出1111322S AG y y ==，2211122S BG y y ==，从而求解，属于难题. 22．设函数()21xf x ae x x =---，()()22ln ()g x x x x a R =-+∈（Ⅰ）若1a =，记函数()f x 的极值点个数和()g x 的零点个数分别为m ，n ，求m n +． （Ⅱ）若函数()()() F x g x f x =-有两个极值点，求实数a 的取值范围， 【答案】（Ⅰ）3m n +=；（Ⅱ）20,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【分析】（Ⅰ）利用二阶导数研究fx 的单调性，结合零点存在性定理可知f x 在()ln 2,2上有一个零点，又()00f '=，可得m ，由题设得()()2221ln x x g x x--''=，构造()21ln h x x x =--，由导数研究单调性进而判断()g x '区间符号可确定()g x '的单调性，由()g x '区间符号得到()g x 单调性，结合零点存在性判断零点个数，进而可得n .（Ⅱ）由题设得()F x '，构造()()2ln xx x x axe ϕ=+-且定义域0,，则()()()12x x axe x xϕ+-'=，当0a ≤时()ϕx 单调递增，至多有一个极值点；当0a >时，令()2xm x axe =-利用导数求其零点0x ，进而判断()ϕx 的单调性且()()0x x ϕϕ≤，列不等式求参数范围.【详解】（Ⅰ）由题意，()21xf x e x '=--，()2xf x e ''=-，当(),ln 2x ∈-∞时，()0f x ''<，f x 为减函数， 当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x ''>，fx 为增函数，∴()()ln212ln2f x f ''≥=-，又12ln 20-<，()2250f e '=->． ∴存在唯一的()0ln 2,2x ∈，使()00fx '=，而()00f '=，∴()f x 存在两个极值点0和0x ，即2m =，又()2ln 21x g x x x '=-+，()()2221ln x x g x x--''=，且定义域为0,，记()21ln h x x x =--，则()12h x x x'=--，显然在0,上()0h x '<，()h x 单调递减，且()10h =，∴当()0,1∈x 时，()0h x >，即()0g x ''>，()g x '递增；当()1,∈+∞x 时，()0h x <，即()0g x ''<，()g x '递减； ∴()()11g x g ''≤=-，故()g x 在0,单调递减，又10g ，即1n =，∴3m n +=．（Ⅱ）由题意，()2(ln )21xa F x e x x =-++，则()()2ln x x x axe F x x+-'=，记()()2ln xx x x axe ϕ=+-，即()ϕx 有两个“变号”零点，而()()()12x x axe x xϕ+-'=，∴在0,上，当0a ≤时()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增，()ϕx 至多一个零点，不合题意；当0a >时，记()2xm x axe =-，()()10xm x a x e '=-+<，()m x 在0,单调递减，又()020m =>，22220a m e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，∴存在唯一的020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00m x =，即002x ax e =， ∴()00,x x ∈时，()0m x >，此时()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增；()0,x x ∈+∞时，()0m x <，此时()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减；∴()()()()0000002ln 2ln 1xx x x x ax e x x ϕϕ≤=+-=+-，欲使()ϕx 有两个“变号”零点，必有()002ln 10x x +->， 令()ln 1k x x x =+-，则在20,a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上1()10k x x'=+>，即()k x 单调递增，而(1)0k =，∴综上有01x >，则002(,)x x e e a =∈+∞，即20,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 此时0x →时，()x ϕ→-∞；x →+∞时，()x ϕ→-∞；故当20,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，满足条件．【点睛】关键点点睛：（Ⅰ）应用二阶导数研究导数的单调性及零点，进而判断原函数的极值点、零点的个数.（Ⅱ）由()()2ln x x x axe F x x+-'=，构造()()2ln xx x x axe ϕ=+-则问题转化为在0,上()ϕx 有两个“变号”零点，求参数范围.。
浙江省宁波市余姚市2021年初中学业水平考试适应性测试数学试题(含答案)
【点睛】
本题考查普查、抽查，三角形的内角和，方差和概率的意义，理解各个概念的内涵是正确判断的前提．
5．A
【分析】
根据题意分别画出各项三视图即可判断．
【详解】
各选项主视图、左视图、俯视图如下:
A． ,满足题意;
B． ,不满足题意;
C． ,不满足题意;
D． ,不满足题意;
故选A．
【点睛】
本题考查几何体的三视图,关键在于牢记三视图的画法．
【详解】
解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，故选项D计算正确，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了幂的运算公式、完全平方公式、合并同类项，准确分析判断是解题的关键．
3．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（）
A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
B．“任意画一个三角形，其内角和是 ”是必然事件
C．要调查某班同学最喜爱的文艺节目，应该关注的统计量是众数
D．小聪和小明最近5次数学测验成绩的平均分和方差分别为 分， 分， 分 ， 分 ，则小聪的数学成绩较为稳定
∵∠ARJ=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴△DEF的面积= ，
∴只要知道AP的长，可求△DEF的面积，
浙江省余姚市第四中学2025届高考适应性考试数学试卷含解析
浙江省余姚市第四中学2025届高考适应性考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z ＝213i i -+，则|z |＝（ ） A ．13 B ．23 C ．12 D ．22 2．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．3．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ） A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3 4．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A ．34B ．33C ．32D 35．若21i iz =-+，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i -6． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）A ．56383B ．57171C ．59189D ．612427．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1- 8．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45- B ．35C ．45D ．35 9．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=10．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i - 11．复数12i i--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断：①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数；②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数；③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数；④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x ．那么正确论断的编号是（ ）A ．③④B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年浙江省宁波市余姚阳明中学高三数学理测试题含解析
2021年浙江省宁波市余姚阳明中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 是奇函数，则①一定是偶函数；②一定是偶函数；③；④其中错误命题的个数是（）A．1个 B．0个 C．4个 D．2个参考答案：D2. 将的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是( ).A. 左移个单位B. 右移个单位C. 左移π个单位D. 右移π个单位参考答案：C分析：将函数的对称中心平移至原点即可得函数为奇函数.详解：由，令.解得.即对称中心为.只需将左移个单位可得一个奇函数的图像，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的中心对称性和函数的左右平移，属于中档题，难度不大.3. 下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（）A. B. C.D.参考答案：C略4. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数有极值点，则的最小值是（）A．0 B． C． D．-1参考答案：D5. 已知直线过双曲线右焦点，交双曲线于，两点，若的最小值为2，则其离心率为（）A．B．C．2 D．3参考答案：B6. 函数的图象大致为( )参考答案：D7. 已知P是双曲线上一点，F1、F2是左右焦点，⊿P F1F2的三边长成等差数列，且∠F1 P F2=120°，则双曲线的离心率等于（）A B C D参考答案：D8. 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（）A．12+B．12+23πC．12+24πD．12+π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，结合图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，其表面积为S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π?（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]=12+24π．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．9. （5分）已知O为坐标原点，A、B为曲线y=上的两个不同点，若?=6，则直线AB与圆x2+y2=的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离参考答案：A【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：直线与圆．【分析】：根据点A，B在曲线y=上不同两点，从而设出A，B坐标：A（），，而由?=6可得到x1x2=4，能够写出直线AB的方程，从而求出圆心即原点到直线AB的距离和圆半径比较即可判断出直线和圆的位置关系．解：设A（），；∴由得：，设，则：t2+t﹣6=0，解得t=2，或t=﹣3（舍去）；∴x1x2=4；直线AB的斜率为k=；∴直线AB的方程为：；∴原点到该直线的距离为=；∴直线AB与圆的位置关系为相交．故选A．【点评】：考查根据曲线方程设出曲线上点的坐标的方法，数量积的坐标运算，解一元二次方程，以及由两点坐标写直线方程，点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系．10. 已知集合A={x|x=2n—l，n∈Z}，B={x|x2一4x<0}，则A∩B=（）A．{1} B．{x|1＜x＜4} C．{1,3} D．{1，2，3，4}参考答案：C先解不等式，集合.由题意知集合A表示奇数集，所以A∩B，故选C。
高三数学6月适应性考试试题 文含解析 试题
高级中学2021届高三数学6月适应性考试试题 文〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.{|6}A x N x =∈≤，{}22B x R x =∈-，那么A B ⋂=〔 〕A. {}0,5,6B. {}5,6C. {}4,6D.{|46}x x <≤【答案】B 【解析】 试题分析：由及，那么，应选项为B.考点：〔1〕绝对值不等式的解法；〔2〕集合的运算.12iz i =-+，那么z 的虚部为〔 〕A. 15i -B. 15-C. 15iD.15【答案】D 【解析】 试题分析：()()()()()22122211212125512i i i i z i i i i i ---====--+-+----，2155z i ∴=+． 所以z 的虚部为15．故D 正确． 考点：复数的运算．(54)A -，为圆心，且与x 轴相切的圆的HY 方程为〔〕A. 22(5)(4)16x y ++-=B. 22(5)(4)16x y -++=C. 22(5)(4)25x y ++-= D. 22(5)(4)25x y -++=【答案】A 【解析】以点A ()5,4-为圆心，且与x 轴相切的圆的半径为4，所求的圆的方程为：22(5)(4)16x y ++-=，选A.4.()lg(10)lg(10)f x x x =++-，那么()f x 是〔 〕 A. 偶函数，且在(0,10)是增函数 B. 奇函数，且在(0,10)是增函数 C. 偶函数，且在(0,10)是减函数 D. 奇函数，且在(0,10)是减函数【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，应选C.【点睛】此题主要考察函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，假如不对称，既不是奇函数又不是偶函数，假如对称常见方法有：〔1〕直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；〔2〕和差法，()()0f x f x -±=〔和为零奇函数，差为零偶函数〕；〔3〕作商法，()()1f x f x -=±〔1 为偶函数，1- 为奇函数〕 .5.某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发奖金投入，假设该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此根底上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，那么该公司全年投入的研发奖金开场超过200万元的年份是〔 〕〔参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=〕A. 2018年B. 2019年C. 2020年D. 2021年 【答案】B 【解析】试题分析：设从2021年开场第n 年该公司全年投入的研发资金开场超过200万元，由得()11200130112%200, 1.12130n n --⨯+≥∴≥， 两边取常用对数得200(1)lg1.12lg,130n -≥lg 2lg1.30.30.111 3.8,5lg1.120.05n n --∴-≥==∴≥，故从2021年开场，该公司全年投入的研发资金开场超过200万元，应选B. 【考点】增长率问题，常用对数的应用【名师点睛】此题考察等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或者方程就可求解．6.如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入n ，x 的值分别为3，2，那么输出v 的值是A. 9B. 18C. 20D. 35【答案】B 【解析】循环开场时，1224v =⨯+=，1i =；4219v =⨯+=，0i =；92018v =⨯+=，1i =-，符合退出循环的条件，输出18v =，应选B ．[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤〞的概率，2p 为事件“12xy ≤〞 的概率，那么〔 〕 A. 1212p p << B. 1212p p << C. 2112p p << D.2112p p << 【答案】B 【解析】由题意知，事件“12x y +≤〞的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯，事件“12xy ≤〞的概率2S p S=，其中10121111(1ln 2)222S dx x =⨯+=+⎰，111S =⨯=，所以021(1ln 2)112(1ln 2)1122S p S +===+>⨯，故应选B ．考点：此题考察几何概型和微积分根本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域．8.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，那么AF BC ⋅的值是〔 〕 A. 58-B.118C.14D.18【答案】D 【解析】 【分析】利用()AF BC AE EF BC ⋅=+⋅，结合0BC AE ⋅=与12EF DE =，由平面向量数量积的运算法那么可得结果.【详解】由2DE EF =，可得12,2DE EF EF DE ==， 如图，连接AE ，那么AE BC ⊥， 所以0BC AE ⋅=，1()2AF BC AE EF BC BC AE DE BC ⋅=+⋅=⋅+⋅10||||cos 23DE BC π=+⋅⋅⋅1111012228=+⨯⨯⨯=，应选D.【点睛】此题主要考察平面向量的线性运算及平面向量的数量积,属于中档题.数量积的运算主要注意两点：一是向量的平方等于向量模的平方；二是平面向量数量积公式.()2cos2f x x x +的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到函数()g x 的图象，那么以下说法正确的选项是〔 〕A. 函数()g x 1B. 函数()g x 的最小正周期为πC. 函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 函数()g x 的图像关于直线3x π=对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后利用三角函数的变换求解()g x ，再根据正弦函数的性质进展判断即可．【详解】化简得()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，向右平移6π后可得2sin 22sin 2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标长度不变〕得到函数()g x ，所以()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由三角函数性质知：()g x 的最大值为2，故A 错； 最小正周期为2π，故B 错； 对称轴为2623x k x k πππππ-=+∴=+，，k Z ∈，给k 赋值，x 取不到3π，故D 错；又-2π262k x πππ+≤-≤2k π+，那么-3π223k x ππ+≤≤2k π+，k Z ∈， ∴单调增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，当k=0时，单调增区间为222,,,336333ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，故C 正确， 应选C.【点睛】此题考察三角函数的图象变换，两角和与差的三角函数，三角函数的性质的应用，属于根底题．1y kx =-与抛物线28x y =相切，那么双曲线2221x k y -=的离心率为〔 〕D.2【答案】B 【解析】 【分析】直线1y kx =-与抛物线28x y =联立，利用判别式等于零求得k 的值，再由离心率公式可得结果.【详解】由218y kx x y=-⎧⎨=⎩，得2880x kx -+=，直线与抛物线相切，22164320,2k k ∴∆=-==， ∴双曲线方程为2212y x -=，可得1,a c ==所以离心率ce a== B. 【点睛】此题主要考察直线与抛物线的位置关系以及双曲线的方程及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考察中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．11.如图，平面四边形ABCD 中，E ，F 是AD ，BD 中点，2AB AD CD ===，22BD =，90BDC ∠=︒，将ABD ∆沿对角线BD 折起至'A BD ∆，使平面'A BD BCD ⊥，那么四面体'A BCD -中，以下结论不正确的选项是〔 〕A. //EF 平面'A BCB. 异面直线CD 与'A B 所成的角为90︒C. 异面直线EF 与'A C 所成的角为60︒D. 直线'A C 与平面BCD 所成的角为30︒ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，依次分析命题：利用中位线性质可得//EF A B '，可证A 选项成立，根据面面垂直的性质定理可判断B 选项，根据异面直线所成角的定义判断C ，根据线面角的定义及求解可判断D ，综合可得答案．【详解】A 选项：因为E ，F 分别为A D '和BD 两边中点，所以//EF A B '，即//EF 平面A BC '，A 正确；B 选项：因为平面A BD '⊥平面BCD ，交线为BD ，且CD BD ⊥，所以CD ⊥平面A BD '，即CD A B ⊥'，故B 正确；C 选项：取CD 边中点M ，连接EM ，FM ，那么//EM A C '，所以FEM ∠为异面直线EF 与A C '所成角，又1EF =，2EM =，3FM =，即90FEM ∠=︒，故C 错误，D 选项：因为平面A BD '⊥平面BCD ，连接A F '，那么A F BD '⊥，所以A F '⊥平面C BD ，连接FC ，所以A CF ∠'为异面直线EF 与A C '所成角，又CD A D ⊥'，∴22A C '=, 又222A F A D DF '-'== sin 222A F A CF A C '∠==''12，∴30A CF ∠='︒,D 正确， 应选C.【点睛】此题主要考察了异面直线所成的角及线面角的求法，考察了线面垂直的断定与性质定理的应用，同时考察了空间想象才能，论证推理才能，属于中档题．12.,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，那么以下不等式一定成立的是〔 〕A. 2παβ+<B. 2παβ+=C. αβ<D. αβ>【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，原不等式等价于()(),f f αβ>两次求导可证明()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，从而可得结论. 【详解】由题意，sin sin βααβ>，sin sin αβαβ∴>，设()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ()2cos sin ',0,2x x x f x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<，g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减， ()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔>αβ∴<，应选C.【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：〔1〕求出()'f x ；〔2〕令 ()'0f x >求出x 的范围，可得增区间；〔3〕令()'0f x <求出x 的范围， 可得减区间.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分．{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____【答案】200或者330 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，列出关于首项1a 、公差d 的方程，解方程可得1a 与d 的值，再利用等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，那么3410a a d d =-=-，641042102,6106a a d d a a d d =+=+=+=+，由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a =，即()()()210106102d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或者1d =， 当0d =时，20420200S a ==；当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=， 于是2012019202071903302S a d ⨯=+=⨯+=， 故答案为200或者330.【点睛】此题主要考察等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列根本量的运算是等差数列的一类基此题型，数列中的五个根本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三〞，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，假设2z x y =+的最小值为3，那么实数b =____【答案】94【解析】 【分析】画出可行域，由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处获得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解方程即可得结果.【详解】由作可行域如下图，2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处获得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解得00339,,424x y b ===,故答案为94. 【点睛】此题主要考察线性规划中，利用可行域求目的函数的最值，属于中档题.求目的函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目的函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目的函数，最先通过或者最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目的函数求出最值.()1ln1x f x x +=-的值域为________. 【答案】()()0-∞+∞，0，【解析】 【分析】此题考察对数型的复合函数值域问题，关键是可以求解出真数所处的范围，再结合对数函数求得值域. 【详解】1122lnln ln 1111x x x x x +-+⎛⎫==+ ⎪---⎝⎭2101x +>-且2111x +≠- 2ln 101x ⎛⎫∴+≠ ⎪-⎝⎭()f x ∴值域为：()(),00,-∞⋃+∞此题正确结果：()(),00,-∞⋃+∞【点睛】此题考察对数型的复合函数的值域问题，属于根底题.V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥ 那么三棱锥V ABC -的外接球的外表积是____ 【答案】16π 【解析】由,120VA VC VAC =∠=︒可得VAC ∆的外接圆的半径为2，设外接圆圆心为O ，由于平面VAC ⊥平面ABC ，而BA BC ⊥，因此O 到B 的间隔 等于O 到A 的间隔 ，即O 是三棱锥V ABC -外接球的球心，所以球半径为2R =，224R 4216S πππ=⨯=＝．三、解答题〔本大题一一共 6小题，满分是 80 分．解答须写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos a B A =.〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设4a =，求ABC ∆周长的最大值。
2021年高三数学下学期六模考试 理(含解析)
2021年高三数学下学期六模考试理（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．定义集合运算：A⊙B=｛z ︳z= xy（x+y），x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为A．0 B．6 C．12 D．18【答案】D【解析】因为A⊙B=｛z ︳z= xy（x+y），x∈A，y∈B｝，所以当集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，集合A⊙B= ，所以其所有元素之和为18.2．已知M（-2，7），N（10，-2），点P是线段MN上的点且则P点的坐标是（）A．（-14,-16）B．（22,-11）C．（6,1）D．(2, 4)【答案】D【解析】设，因为，所以，所以P点的坐标是(2, 4)。
3．若,则直线=1必不经过 ( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因为，所以，所以直线=1必不经过第二象限。
4．样本a1，a2，a3，…，a10的平均数为，样本b1，b2，…，b10的平均数为，那么样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，a10，b10的平均数是（）A．+ B．(+) C．2(+) D．(+)【答案】B【解析】因为样本a1，a2，a3，…，a10的平均数为，样本b1，b2，…，b10的平均数为，所以样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，a10，b10的平均数是(+)。
5．已知函数f (x)=x2 - 4x + 3,集合M={（x, y) | f (x)+f (y)≤0},集合N={（x, y) | f (x) - f (y)≥0},则集合M∩N的面积是（）A． B． C．π D．2π【答案】C【解析】集合M={（x, y) | f (x)+f (y)≤0}{}{}2222|43430|(2)(2)2x x x y y x x y =-++-+≤=-+-≤，表示以（2,2）为圆心，为半径的圆的内部；集合N ={（x , y ) | f (x ) - f (y )≥0}(){}{}22|43430|()(4)0x x x y y x x y x y =-+--+≥=-+-≥，所以集合M ∩N 的面积是π。
浙江省余姚三中高三月考数学试题
浙江省余姚三中高三月考数学试题小编寄语：下面小编为大家提供浙江省余姚三中2021届高三月考数学试题，希望对大家学习有协助。
浙江省余姚三中2021届高三月考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.1.函数y=4-x2+lgx的定义域是()A.[0，2]B.(0，2)C.(0，2]D.[1，2]显示解析2.aa1b的()A.充沛不用要条件B.必要不充沛条件C.充要条件D.既不充沛也不用要条件显示解析3.在由正数组成的等比数列{an}中，a1+a2=1，a3+a4=4，那么a4+a5=()A.6B.8C.10D.12显示解析4.|a|=2|b|0，且关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实根，那么a与b的夹角的取值范围是()A.[0，6]B.[33，23]D.[6显示解析5.假定将一个真命题中的平面换成直线、直线换成平面后仍是真命题，那么该命题称为可换命题以下四个命题，其中是可换命题的是()①垂直于同一平面的两直线平行; ②垂直于同一平面的两平面平行;③平行于同不时线的两直线平行; ④平行于同一平面的两直线平行.A.①②B.①④C.①③D.③④显示解析6.定义平面向量之间的一种运算*如下：对恣意的a=(m，n)，b=(p，q)，令ab=mq-np.给出以下四个命题：(1)假定a与b共线，那么ab=0;(2)aba;(3)对恣意的R，有( abab)(4)(ab)2+(ab)2=|a|2|b|2.(注：这里ab指与b的数量积)那么其中一切真命题的序号是()A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(4)显示解析7.变量x，y满足约束条件x+2y-30x+3y-30y-10.，假定目的函数z=ax+y仅在点(3，0)处取到最大值，那么实数a的取值范围为()A.(3，5)B.(12，+)C.(-1，2)D.(13，1)显示解析8.偶函数y=f(x)对恣意实数x都有f(x+1)=-f(x)，且在[0，1]上单调递减，那么()A.f(7235)B.f(723C.f(7325)D.f(7532显示解析9.x0，y0，x+2y+2xy=8，那么x+2y的最小值是() A.3B.4C.92D.112显示解析10.定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)=log1 2(x+1)，x[0，1)1-|x-3|，x[1，+)，那么关于x的函数F(x)=f(x)-a(0A.2a-1B.2-a-1C.1-2-aD.1-2a显示解析二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分11.一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，仰望图为直角梯形，局部边长如下图，那么此五面体的体积为 1 显示解析12.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，那么a的值为 12. 显示解析13.设Sn为等比数列{an} 的前n项和，3S3=a4-2，3S2=a3-2，那么公比q=4. 显示解析14.满足不等式x2-(a+1)x+a0的一切整数解之和为27，那么实数a的取值范围是(7，8]. 显示解析15.在边长为1的正三角形ABC 中，BD=12DC，那么ADCD的值等于19. 显示解析16.等比数列{an}中，a1=1，a2021=4，函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a2021)，那么函数f(x) 在点(0，0)处的切线方程为y=22021x. 显示解析17.f(x)定义在(0，+)上的非负可导函数，且满足xf(x)-f(x)0，关于恣意的正数a，b，假定a①af(b)bf(a)②af(b)bf(a)③af(a)bf(b)④af(a)bf(b)其中正确的选项是②③. 显示解析三、解答题：本大题共5小题，共72分.解容许写出文字说明，证明进程或演算步骤.18.a=(1，2)，b=(-3，2)(1)求|2a-4b(2)假定ka+2b与2a-4b平行，求k的值;(3)假定ka+2b与2a-4b的夹角是钝角，务实数k的取值范围. 显示解析19.数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an-2n，(nN*).(1)求证：数列{1+an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an;(2)设Tn=a11+a2+a21+a3+a31+a4++an1+an+1，nN*，求证：Tn2n-16. 显示解析20.如图1，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点.将△ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，失掉几何体D-ABC，如图2所示. (Ⅰ)求证：BC平面ACD;(Ⅱ)求二面角A-CD-M的余弦值.VIP显示解析21.函数f(x)=2cosx(3sinx+cosx)(其中0)，且函数f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为.(1)先列表再作出函数f(x)在区间[-]上的图象.(2)在△ABC中，角A，B，C的对边区分是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围.(3)假定f(x2)=2，求cos(23-x)的值. 显示解析22.函数f(x)=[ax2-(3+2a)x+a]ex+1，a0.(1)假定x=-1是函数f(x)的极大值点，求a的取值范围.(2)假定不等式f(x)(x2+x-a)ex+1对恣意a(0，+)都成立，务实数x的取值范围.(3)记函数g(x)=f(x)+(2a+6)ex+1，假定g(x)在区间[2，4]上不单调，务实数a的取值范围.。
浙江省宁波市余姚兰江中学2021年高三数学理模拟试题含解析
浙江省宁波市余姚兰江中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设平面⊥平面，直线命题：“∥”；命题：“⊥”，则命题成立是命题成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B略2. 已知等比数列中，若成等差数列，则公比（）A．1 B．1或2 C．2或-1 D．-1参考答案：【知识点】等比数列等差数列D2 D3C解析：因为，则有，解得q=1或q=－2，则选C.【思路点拨】可利用等比数列的通项公式及成等差数列得到关于q的方程，解答即可. 3. 已知，则的值是－－参考答案：C4. 若则=（）A． B． C． D．参考答案：C略5. 执行如图的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最大值是（）A．15 B．14 C．7 D．6参考答案：A【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S n循环前/0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是 7 4第四圈是 15 5第五圈是 31 6第六圈否故S=15时，满足条件S＜pS=31时，不满足条件S＜p故p的最大值15．故选A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6. 某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，m，80，93，其中,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（）A. 70B. 75C. 80D. 85参考答案：D【分析】根据中位数为，可知，从而得到平均数小于等于，从而确定结果.【详解】已知的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：，，，该学生这5次考试成绩的中位数为，则所以平均数：，可知不可能为本题正确选项：【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.7. 实系数一元二次方程的两个实根为，若有，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D略8. 设，，若是和的等比中项，则的最小值为（）A． B．8 C．9 D．10参考答案：C因为，所以，当且仅当即时“=”成立，故选C考点：基本不等式；等比数列的性质．9. 若函数f（x）=a x+ka﹣x（a＞0且a≠1）在R上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】由函数f（x）=a x+ka﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=﹣1，a＞1，由此不难判断函数的图象．【解答】解：∵函数f（x）=a x+ka﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数∴f（﹣x）+f（x）=0即（k+1）（a x+a﹣x）=0则k=﹣1又∵函数f（x）=a x+ka﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x﹣1）函数图象必过（2，0），且为增函数故选：D．10. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是（）A．25π B．50π C. 100π D．200π参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算：cos215°﹣sin215°=．参考答案：【考点】二倍角的余弦．【分析】由二倍角的余弦公式可得cos215°﹣sin215°=cos30°，从而得到结果．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，cos215°﹣sin215°=cos30°=．故答案为：．12. 若，且，则向量与的夹角为．参考答案：【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量，得到，然后求出，利用数量积的应用求向量夹角即可．【解答】解：∵，且，∴，即（），∴1+， 解得﹣1=﹣1，设向量与的夹角为θ，则cos ，∵0≤θ≤π，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查数量积的应用，要求熟练掌握数量积的应用，比较基础．13. （选修4-4：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．若直线与曲线交于两点，则= ．参考答案：14. ,且满足，则的最小值为参考答案： 1 略15. 将函数f （x ）=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点（，0），则ω的最小值是 ．参考答案：2【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】首先利用三角函数的图象平移得到y=sinω（x ﹣），代入点（，0）后得到sinω=0，由此可得ω的最小值．【解答】解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数为y=sinω（x ﹣）．再由所得图象经过点（，0），可得sinω（﹣）=sin ω=0，∴ω=kπ，k∈z．故ω的最小值是2． 故答案为：2．16. 函数若函数有三个零点，则的取值范围为 。
浙江省宁波中学2021届高三下学期适应性考试数学试题
浙江省宁波中学2021届高三下学期适应性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，那么（ ） A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．1AD ．{}0,1,2A2．已知椭圆C ：2214x y m m +=+C 的长轴长为（ ） A．B ．4C．D ．83．某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）A．12π+B．6π+C．6π+ D．12π+4．若实数,x y 满足不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25．函数()()22sin 2xx x f x x--=的图象大致为（ ）A．B．C．D．6．△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“AB AC BC +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知随机变量X ，Y 满足：()2,X B p ，21Y X =+，且()519P X ≥=，则()D Y =（ ）. A ．49B ．73C ．169D ．1798．已知等差数列{}n a 中，22168a a +=，则24a a +的取值范围是（ ）A ．22,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．⎡⎢⎣⎦C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎡⎢⎣⎦9．已知AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足()42PB PC AD +⋅=AD =PB PC ⋅的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610．如图，已知锐二面角l αβ--的大小为1θ，A α∈，B β∈，M l ∈，N l ∈，AM l ⊥，BN l ⊥，C ，D 为AB ，MN 的中点，若AM MN BN >>，记AN ，CD 与半平面β所成角分别为2θ，3θ，则（ ）A ．122θθ<，132θθ<B ．122θθ<，132θθ>C ．122θθ>，132θθ<D ．122θθ>，132θθ>二、双空题11．已知复数z 满足z =（4–i ）i ，其中i 为虚数单位，则z 的实部为__________，|z |=__________.12．直线20(R)mx y m +-=∈与圆22:210C x y y +--=相交于A ，B 两点，弦长||AB 的最小值为________，若ABC ∆的面积为2m 的值为_________．13．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 4sin a C c A =，已知ABC 的面积等于10，4b =，则tan C =___________，a 的值为___________. 14．已知()()()()()5260126112111ax x a a x a x a x +-=+-+-++-的展开式中，若02a =，则a =___________，5a =___________.三、填空题15．若实数x 、y 满足2221x xy y +-=，则22522x xy y -+的最小值为___________. 16．已知函数()31f x xax =-+，()32g x x =-，若函数(),()()()?(),()()f x f x g x F x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩有三个零点，则实数a 的取值范围是__________.17．一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是___________.(填写序号)（1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖； （2）与抛物线对称轴不平行､不共线的射线不能被该抛物线覆盖；（3）射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖； （4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面.四、解答题18．在如图所示的平面图形中，2AB =，BC =，6ABC AEC π∠=∠=，AE 与BC 交于点F ，若CAE θ∠=，πθ0,3.（1）用θ表示AE ，AF ； （2）求AEAF取最大值时θ的值. 19．如图，在四棱锥C ABNM -中，底面ABNM 是边长为2的菱形，且ABC 为正三角形，MB =MB NC ⊥，E ，F 分别为MN ，AC 中点.（1）证明：MB AC ⊥；（2）求直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值.20．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，且满足11a =，21211224n n n n a b a b a b n +-+++=--.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设()()111n n n n n n b c b a b a ++-=--，12n n S c c c =+++，求证：1n S <.21．已知点P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作圆()(222:30M x y rr -+=<≤的两条切线，与抛物线C 分别交于A ､B (A ､B 异于点P )两点，切线P A ､PB 与圆M 分别相切于点E ､F .（1）若点P 到圆心M 的距离与它到抛物线C 的准线的距离相等，求点P 的坐标； （2）若点P 的坐标为(1，2)，设线段AB 中点的纵坐标为t ，求t 的取值范围. 22．定义域为D 的函数()f x ，若对给定的实数y ，函数()()()g x yx f x x D =-∈有最大值()F y ，我们称()F y 为()f x 的L 变换.（1）设()()1x f x ex R -=∈，0y >，求此时()f x 的L 变换()F y ；（2）求证：若0a >，0b >，则11ln ln 2a b a a b b e e ab --+++≥.参考答案1．B 【分析】根据元素与集合关系，集合与集合关系可判断. 【详解】{}0,1,2A =，∴0A ∈，{}1A ⊆，{}0,1,2A =.故选：B. 2．C 【分析】根据条件先计算出c 的值，再根据离心率求解出m 的值，最后根据长轴长为出长轴长. 【详解】由题意知244c m m =+-=，所以2c =，=，所以8m =，所以椭圆C 的长轴长为=故选：C . 3．C 【分析】根据三视图可以判断该几何体由一个半圆柱和一个四棱锥组成的组合体，利用棱锥和圆柱的体积公式进行求解即可. 【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个半圆柱和一个四棱锥组成的组合体； 如图所示：所以四棱锥的高为h ==故2112334623V ππ=⨯⋅⋅+⨯⨯⨯=+. 故选：C. 4．A 【分析】画出不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩的可行域,再根据线性规划的方法,结合2y x z =-的图像与z 的关系判定最小值即可. 【详解】画出可行域,又2z x y =-求最小值时, 故2y x z =-的图形与可行域有交点,且2y x z =-往上方平移到最高点处.易得此时在()0,1处取得最值2011z =⨯-=-.故选：A 【点睛】本题主要考查了线性规划与绝对值函数的综合运用,需要根据题意画图,根据函数的图形性质分析.属于中档题.5．D 【分析】根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点进行排除，由此确定正确选项. 【详解】函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()()()(22)sin 2222sin xx x x x f f xx x xx ---⋅--==-=---，所以()f x 为奇函数，由此排除BC 选项，当()(22)sin 2x x xf x x--==0此时方程的解为(),,02k x k Z k π=∈≠ 当4x π=时，44424414(2)(22)sin 22142==40424f πππππππππππ-⎛⎫---⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭所以A 选项错误，故D 选项正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图像. 6．B 【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】在△ABC 中，若∠A 为锐角，如图画出平行四边形ABCD ∴AB AC AD +=易知AD BC >∴“△ABC 是钝角三角形”不一定能推出“AB AC BC +<”； 在△ABC 中，A B C ，，三点不共线， ∵AB AC BC +< ∴AB AC AC AB +<- ∴22AB AC AC AB +<- ∴0AB AC ⋅< ∴∠A 为钝角∴△ABC 为钝角三角形∴“AB AC BC +<”能推出“△ABC 是钝角三角形”故“△ABC 是钝角三角”是“AB AC BC +<”的必要不充分条件, 故选：B. 7．C 【分析】 由()519P X ≥=求出P ，然后利用()()4D Y D X =算出答案即可. 【详解】 因为()2,XB p所以()()()25110119P X P x p ≥=-==--=，解得13P =所以()()1216442339D Y D X ==⨯⨯⨯= 故选：C 【点睛】本题考查的是二项分布的方差的计算方法和方差的性质，较简单. 8．D 【分析】由题可设16,a a αα==，表示出公差，将24a a +表示为关于α的函数，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，22168a a +=，则可设16,a a αα==，于是)61sin cos 615a a d αα-==--，)24124sin cos 5a a a d ααα∴+=+=+-()55αααθ=+=+，其中3tan 2θ=，()1sin 1αθ-≤+≤，则24a a +的取值范围是⎡⎢⎣⎦. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用已知条件设16,a a αα==. 9．A 【分析】设,DPC DPB αβ∠=∠=，化简()42PB PC AD +⋅=2PD =，再利用数量积的公式展开PB PC ⋅，利用三角函数恒等变换公式化简即可 【详解】解：设,DPC DPB αβ∠=∠=，由()42PB PC AD +⋅=AD =2cos 2cos PB PC βα⋅+⋅=所以4PD PD PB PC PBPC⋅+⋅=，所以2PD =，因为AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，所以2CD BD AD = 所以cos()PB PC PB PC αβ⋅=⋅+，(cos cos sin sin )PB PC αβαβ=-22()CD BD PB PC PC PB PC PB=⋅-⋅ 24422AD =-=-=,故选：A 10．A 【分析】根据面面角的定义求得1AMG θ∠=，根据线面角的定义找到2ANH θ∠=，3FMG θ=∠，通过比较12,θθ的正弦值比较两角的大小，接着根据12,2θθ的范围判断12,2θθ的大小，根据线段长度的大小关系求得13,2θθ的大小关系. 【详解】分别过点M 和点B 作BN ，MN 的平行线相交于点G ， 因为BN l ⊥，所以MG l ⊥,所以1AMG θ∠=， 过A 点作AH MG ⊥，连接NH ，所以2ANH θ∠=， 所以1sin AH AM θ=,2sin AHANθ=,由于AM MN ⊥，所以AM AN <， 所以12sin sin θθ>，又因为12,θθ都为锐角， 所以12θθ>，又AM MN >，所以24πθ>，则222πθ>，所以122θθ<；取线段AG 中点为点F ，又C ，D 为AB ，MN 的中点， 所以CF 与DM 平行且相等，所以//CD MF ， 所以CD 与半平面β所成角为3FMG θ=∠，显然31θθ<，又因为AM MG >，所以132θθ<； 故选：A.【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．11．1【分析】先化简复数z ，再结合实部概念和复数模长公式求解即可 【详解】∵z =（4–i ）i =1+4i ，∴z 的实部为1；|z |==故答案为：1. 【点睛】本题考查对复数实部的理解，复数模长的计算，属于基础题 12．2 ±1【分析】（1）求弦的最小值，先确定直线过定点(0,2)M ，然后由垂径定理即可找到最小值． （2）利用三角形的面积公式求出ACB ∠，再有直线的位置确定直线的斜率． 【详解】直线20(R)mx y m +-=∈恒过圆22:(1)2C x y +-=内的定点(0,2)M ，r =圆心C 到直线的距离1d CM ≤=,所以2AB =≥，即弦长AB 的最小值为2；由21sin 2ABC r ACB ∆=∠=即3ACB π∠=或23π．若3ACB π∠=，则圆心到弦AB 的距离1CM>= ，故不符合题意；当23ACB π∠=时，圆心到直线的距离为12CM <=,设弦AB 的中点为N ，又1CM =，故4NCM π∠=，即直线20(R)mx y m +-=∈的倾斜角为4π或34π，则m 的值为±1 . 故答案为2，±1 【点睛】本题考查直线、圆的方程、直线与圆的位置关系，属于中档题． 13．34253【分析】首先利用正弦定理求得3tan 4C =，再根据同角三角函数关系求得3sin 5C =，最后根据三角形的面积公式列出关于a 的方程，解方程求得a 的值即可.【详解】因为3cos 4sin a C c A =，由正弦定理得3sin cos 4sin sin A C C A =，在ABC 中，0sinA ≠，所以3cos 4sin C C =即3tan 4C =， 又根据22sin cos 1C C +=，所以3sin 5C =，又ABC 的面积等于10，4b =， 所以1136sin 4102255ABCa Sab C a ==⨯⨯==, 所以253a =； 故答案为：34；253. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 14．3- 304 【分析】利用赋值法求得a ，利用二项式展开式的通项公式，先求得6a ，然后求得5a . 【详解】令1x =得()()501122a a +-==，解得3a=-，所以()()()()()52612631122111x x a x a x a x -+-=+-+-++-①，6a 是()()53112x x -+-的展开式中，6x 的系数即()55653296a C =-⨯-=.()()53112x x -+-的展开式中，5x 的系数为()()454555321224032272C C -⨯-+⨯-=--=-，所以()15661272a a C +⋅⋅-=-，5272966304a =-+⋅=.故答案为：3-；304 【点睛】本题解题关键在于6a 对应的是6x ，对于二项式展开式有关问题的解决，可采用赋值法. 15．2 【分析】本题可根据2221x xy y +-=得出()()21x y x y -+=，然后将22522x xy y -+转化为222x yx y ，最后根据基本不等式即可得出结果.【详解】2221x xy y +-=，即()()21x y x y -+=，则222222445222x xy y x xy y x xy y --+++=++222222x yx yx y x y ，当且仅当23x =、13y =时等号成立，故22522x xy y -+的最小值为2， 故答案为：2. 16．3518a >【分析】利用导数研究函数的单调性，根据单调性可做大致图象，由数形结合，建立不等式即可求解. 【详解】()31f x x ax =-+ ()23f x x a ∴='-，当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增﹐()f x 在R 上只有一个零点，()g x 在R 上也只有一个零点，故()F x 至多有两个零点，不满足题意.当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝由()0f x '>，得x <x >由()0f x '<，得x <<所以函数f (x )在(－∞，∞)上单调递增，在(上单调递减， 在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知：当f≥0时，所以F(x) 有且只有一个零点；当f＜0时，要使得()F x有三个不同的零点，则20?3f⎛⎫<⎪⎝⎭或者2323f⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪<⎪⎩，解得3518 a>，故答案为：3518 a>【点睛】本题考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的零点，属于中档题.17．（1）（2）（4）【分析】由平面图形被该抛物线覆盖的定义逐项分析判断即可 【详解】解：由抛物线的图像和性质可知，由于任意一个多边形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在直线平移，总能把有限的区域放入抛物线内部，所以（1）正确；由于过抛物线内部一点的直线（不平行于轴）与抛物线都有两个交点，故抛物线无法覆盖一条直线，也不能覆盖与轴不平行、不共线的射线，所以（2）正确；由于锐角是由两条不平行的射线组成，故抛物线不能覆盖任何一个锐角，所以（3）错误； 取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图像和性质可知直线上的点不能被完全覆盖，如图，因为一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线的对称轴，所以任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面，所以（4）正确故答案为：（1）（2）（4） 【点睛】关键点点睛：此题考查新定义，考查抛物线的性质的应用，解题的关键是对新定义的正确理解，属于中档题 18．（1）52sin 6AE πθ⎫⎛=- ⎪⎝⎭，1cos AF θ=；（2）6πθ=.【分析】（1）ABC 中由余弦定理1AC =、2ACB π∠=，所以56ACE πθ∠=-，由正弦定理得AE ，AF ；（2）由（1）知：52cos sin 6AE AF πθθ⎫⎛=⋅- ⎪⎝⎭，化简可得1sin 226πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据θ范围可得26πθ+范围，再由sin 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值可得AE AF 的最大值及θ.【详解】（1）由题知在ABC 中，由余弦定理知：2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，所以1AC =，且2ACB π∠=，在ACE 中，因为6E π=，CAE θ∠=，所以56ACE πθ∠=-， 由正弦定理知：sin sin AE AC ACE E =∠，所以52sin 6AE πθ⎫⎛=-⎪⎝⎭， 在Rt ACF 中，1cos cos AC AF θθ==. （2）由（1）知：52cos sin 6AE AF πθθ⎫⎛=⋅- ⎪⎝⎭，πθ0,3，所以252cos sin cos cos 6AE AF πθθθθθ⎫⎛=⋅-=+ ⎪⎝⎭1cos21sin 2226θθπθ++⎫⎛==++ ⎪⎝⎭，因为πθ0,3，所以52,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 当262ππθ+=时，即6πθ=时，sin 26πθ⎛⎫+⎪⎝⎭取最大值1， 所以，AEAF 取最大值时，6πθ=. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，考查了正弦函数的性质，关键是用θ表示边长，还要熟练掌握三角函数的性质.19．（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）通过证明MB ⊥平面ANC 来证得MB AC ⊥.（2）作出直线EF 与平面ABC 所成角，由此计算出线面角的正弦值. 【详解】（1）连接AN ，由于四边形ABNM 是菱形，所以MB AN ⊥， 由于,MB NC NC AN N ⊥⋂=， 所以MB ⊥平面ANC ，所以MB AC ⊥. （2）连接,BF MF ，则AC BF ⊥，由于,AC MB MB BF F ⊥⋂=，所以AC ⊥平面MBF ， 所以AC MF ⊥.MF BF ====所以222MF BF MB +=，所以MF BF ⊥, 由于ACBF F =，所以M F ⊥平面ABC .设G 是BC 的中点，连接FG ，则FG 是三角形ABC 的中位线，所以1//,2FG AB FG AB =， 由于1//,2ME AB ME AB =，所以//,ME FG ME FG =，所以四边形MEGF 是平行四边形，所以//,EG MF EG MF =， 所以EG ⊥平面ABC ，所以EFG 是直线EF 与平面ABC 所成角.在Rt EFG 中，1,2EG FG EF ====，所以sin EG EFG EF ∠==【点睛】求线面角的正弦值，可利用线面角的定义作出线面角，然后解三角形求得线面角的正弦值.20．（1）n a n =，2n n b =；（2）证明见解析.【分析】（1）首先根据21211224n n n n a b a b a b n +-+++=--对所有n 都成立，分别取1,2,3n =得到关于11,,,a b d q 的等量关系式，解方程求解1,,b d q ，最后写出数列的通项公式即可； （2）化简111221n n n c n n +=----，根据裂项相消求得11121n n S n +=---，最后证明1n S <即可.【详解】（1）假设等差数列{}n a 的公差为d 和等比数列{}n b 的公比为q ，因为21211224n n n n a b a b a b n +-+++=--，取1n =得112a b =，又11a =，所以12b =，取2n =得12218a b a b +=，所以22(1)8q d ++=即3q d +=，取3n =得1322318a b a b a b ++=，所以13223122a b a b a b ++=即222(1)2(12)22q q d d ++++=，联立解得：2,1q d ==，所以11n a n n =+-=，1222n n n b -=⨯=；经检验n a n =，2n n b =，使得21211224n n n n a b a b a b n +-+++=--对任意的正整数都成立，所以n a n =，2n n b =.（2）()()112111221221n n n n n n c n n n n ++-==-------， 111211111111111225512212221n n n n n n n n n n S c c c -+=-+-+-+-+--+=+--+--+11121n n +=---, 11222(1)2(1)201(1)(1)n n n n nn n n n n n n n n ++⨯-+-⨯-==≥+++, 所以1221n nn n +≥+，即数列121n n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭单调递增， 所以1222=2112n n +≥>+对于任意正整数恒成立， 所以121n n +>+对于任意正整数恒成立，所以11021n n +>--，所以111121n n +-<--， 所以1n S <得证.【点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．21．（1）(2,或(2,-；（2）[)10,6--.【分析】（1）设出P 点的坐标，根据题目所给条件列方程组，解方程组求得P 点坐标.（2）设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于半径列等量关系式，求得两条切线斜率的关系式，联立切线的方程和抛物线的方程，求得,A B 两点的纵坐标，进而求得t 的表达式，由r 的取值范围求得t 的取值范围.【详解】（1）设点P 的坐标为(x ，y )，则241y x x ⎧==+，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩即点P 的坐标为(2,或(2,-；（2）由题意知切线P A ､PB 的斜率均存在且不为零，设切线方程为()21y k x -=-，由r =，得()2224840r k k r -++-=，记切线P A ､PB 的斜率分别为1k ､2k ，则12212841k k r k k ⎧+=⎪-⎨⎪=⎩，由于切线P A ､PB 的方程分别为()121y k x -=-､()221y k x -=-， 联立()21421y x y k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去x ，得2114840k y y k -+-=，设()11,A x y ､()22,B x y ， 则1142y k +=，故1142y k =-.同理2242y k =-， 于是()1212212122221622224k k y y t k k k k r ++==+-=-=--， 因为0r <≤202r <≤，2442r -<-≤-，2111244r -≤<--，216844r -≤<--， 21610264r -≤-<--. 所以[)216210,64r -∈---.即t 的取值范围是[)10,6--. 【点睛】直线和圆相切，可利用圆心到直线的距离等于半径来列方程.22．（1）()ln F y y y =；（2）证明见解析.【分析】（1）求得()g x 的表达式，利用导数求得()F y .（2）由（1）得到1ln x yx e y y --≤，对,x y 进行赋值，得到1e ln b ab a a --≤与1e ln a ba b b --≤，两式相加证得不等式成立.【详解】（1）()()1e R x f x x -=∈，0y >，则()()()1e R,0x g x yx f x yx x y -=-=-∈>，()1x g x y e -'=-.因为0y >，所以(),1ln x y ∈-∞+时()0g x '>，()g x 单调递增，()1ln ,x y ∈++∞时()0g x '>，()g x 单调递减，故此时()g x 有最大值()F y ： ()()()1ln 1ln ln F y g y y y y y y =+=+-=.（2）因为()F y 是()g x 的最大值，所以()()g x F y ≤，由（1）得1ln x yx e y y --≤，(),0x R y ∈>.因为0a >，0b >，故可取y a =，x b =，及y b =，x a =得1e ln b ab a a --≤，1e ln a ba b b --≤，两式相加移项得11ln ln e e 2a b a a b b ab --+++≥.【点睛】对于新定义的题目，关键在于将新定义对应与所学的数学知识进行对应.在本题中，关键点就是利用导数求最值.。
2021年浙江省宁波市高考数学适应性试卷(二模)
2021年浙江省宁波市高考数学适应性试卷（二模）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=√x,x∈A}，则A∩B=()A. {1}B. {1,2}C. {1,4}D. {1,2，3，4}【答案】B【解析】解：∵A={1,2,3,4},B={y|y=√x,x∈A}={1,√2,√3,2}，∴A∩B={1,2}，故选：B．求出B中y值域确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点P(−1,−2)，则该抛物线的焦点坐标为()A. (1,0)B. (2,0)C. (0,1)D. (0,2)【答案】A【解析】解：∵抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点P(−1,−2)，∴p2=1，∴该抛物线焦点坐标为(1,0)．故选：A．利用抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点P(−1,−2)，求得p2=1，即可求出抛物线焦点坐标．本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，是基础题．3.若实数x，y满足约束条件{x−2y+1≥0x+y≥1x<2，则z=3x−4y的取值范围是()A. [−53,0) B. [−53,0] C. [−53,10) D. [−53,10]【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +y =1x −2y +1=0，解得A(13,23)，联立{x =2x +y =1，解得B(2,−1)，作出直线3x −4y =0，由图可知，平移直线3x −4y =0至A 时， z =3x −4y 取最小值为−53，至B 时，z =3x −4y 取最大值为10． 而B 不在可行域内，∴z =3x −4y 的取值范围是[−53,10)． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．4. 我国古代科学家祖冲之之子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”(“幂”是截面积，“势”是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )A. 8−πB. 8−2πC. 12−2πD. 12−π【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由长为3，宽为2，高为2的长方体，在长方体的两头挖去两个半圆柱组成的不规则的几何体；故V=2×3×2−π⋅12⋅2=12−2π．故选：C．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法求出结合体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.设x≠0，y≠0，则“x−2<y−2”是“xy>1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵x≠0，y≠0，x−2<y−2，∴x2>y2，①当x=−3，y=1时，x2>y2成立，但xy=−3<1不成立，∴不是充分条件．②当xy >1，则x2y2>1，∴x2>y2，∴是必要条件，综上所述：x−2<y−2是x y>1的必要不充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．6.函数f(x)=x4e+2的图象大致是()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：根据题意，f(x)=x 4e x +2，有x 4>0，e x +2>0，则f(x)≥0恒成立，排除CD ， f(x)=x 4e x +2，其导数f′(x)=x 3(4−x)e x +2，在区间(4,+∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，排除A ， 故选：B ．根据题意，由函数的解析式可得f(x)≥0恒成立，排除CD ，求出函数的导数，分析可得在区间(4,+∞)上，f(x)为减函数，排除A ，即可得答案．本题考查函数图像的分析，涉及函数单调性和特殊值的分析，属于基础题．7. 设0<a <1，随机变量X 的分布列是：X 01−a1+a 2P14bc14则当b 在(0,12)内增大时，( )A. D(X)增大B. D(X)减小C. D(X)先减小再增大D. D(X)先增大再减小【答案】D【解析】解：0<a <1，由随机变量X 的分布列，知：14+b +c +14=1， ∴b +c =12，E(X)=0×14+(1−a)⋅b +(1+a)⋅c +2×14=b −ab +(1+a)(12−b)+12=1−2ab +a2，EX 2=0×14+(1−a)2⋅b +(1+a)2⋅c +4×14=(1−a)2⋅b +(1+a)2⋅(12−b)+1=1+12(1+a)2−4ab ，∴DX =EX 2−(EX)2=−4a 2b 2+2a 2b +14a 2+12=−a 2(2b −12)2+12a 2+12，∴当b 在(0,12)内增大时，DX 先增大再减小． 故选：D ．推导出b +c =12，E(X)=1−2ab +a2，EX 2=1+12(1+a)2−4ab ，从而求出DX =EX 2−(EX)2=−a 2(2b −12)2+12a 2+12，由此推导出当b 在(0,12)内增大时，DX 先增大再减小．本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB =2AD =2BC =2CD =4.现将△DAC 沿对角线AC 所在的直线翻折成△D′AC ，记二面角D′−AC −B 大小为α(0<α<π)，则( )A. 存在α，使得D′A ⊥平面D′BCB. 存在α，使得D′A ⊥BCC. 不存在α，使得平面D′AC ⊥平面ABCD. 存在α，使得平面D′AB ⊥平面ABC【答案】B【解析】解：取AB 中点E ，连接DE ，交AC 于F ， 因为AB =2AD =2BC =2CD =4，所以△AED 、△BEC 、△EBC 都是等边三角形，所以AC ⊥ED ，∠DAC =∠BAC =30°，∠ACB =90°． 在翻折过程中，AC ⊥D′F ，AC ⊥FE ，所以∠D′FE =α， 对于A ，假设存在α，使得D′A ⊥平面D′BC ，因为D′C ⊂平面D′BC ，所以D′A ⊥D′C ，与D′A 和D′C 成60°角矛盾， 所以A 错；对于B ，当α=90°时，平面D′AC ⊥平面ABC ，因为BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面D′AC ， 又因为D′A ⊂平面D′AC ，所以D′A ⊥BC ，所以存在α，使得D′A ⊥BC ，所以B 对； 对于C ，当α=90°时，平面D′AC ⊥平面ABC ，所以C 错；对于D ，假设存在α，使得平面D′AB ⊥平面ABC ，过D′作D′M ⊥AB 于M ， 因为平面D′AB ∩平面ABC =AB ，所以D′M ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥D′M ，又因为AC ⊥D′F ，D′F ∩D′M =D′，所以AC ⊥平面D′MF ，又因为MF ⊂平面D′MF ，所以AC ⊥FM ，又因为AC ⊥FE ，所以FM 与FE 重合，即M 点与E 点重合，此时∠D′EF =90°，与∠D′EF 为等腰△FED′一个底角矛盾，所以D 错． 故选：B ．A 用反证法判断；B 寻找特值α=90°，证明此时D′A ⊥BC ；C 寻找反例，当α=90°时，平面D′AC ⊥平面ABC ；D 用反证法判断．本题以命题真假判断为载体，考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角概念问题，属于中档题．9. 设a ∈R ，函数f(x)={|x −1|,x ≥0−x 2+ax,x <0，若函数y =f[f(x)]恰有3个零点，则实数a 的取值范围为( )A. (−2,0)B. (0,1)C. [−1,0)D. (0,2)【答案】A【解析】解：设t =f(x)，当x ≥0时．f(x)=|x −1|，可得t ≥0， 要使y =f(t)有3个零点， ∴0<t <1；那么x <0时．f(x)=−x 2+ax 的对称轴x =a2， 若a ≥0，y =f(t)不存在3个零点．∴当a <0时，要使y =f(t)有3个零点， 则x =a2时取得最大值t ∈(0,1，) 即0<−a 24+a 22<1，解得−2<a <2；综上可得a 的取值范围是(−2,0)． 故选：A ．利用换元法，t =f(x)，求解t 的范围，根据y =f(t)有3个零点，即可求解实数a 的取值范围．本题考查零点与方程的关系，分段函数的应用，复合函数零点判断，属于中档题．10. 已知数列{x n }满足x 0=0且|x k +1|=|x k−1+2|，k ∈N ∗，则|x 1+x 2+⋯+x 2021|的最小值是( )A. 17B. 19C. 69D. 87【答案】A【解析】解：由题意可知x k 是整数，对|x k +1|=|x k−1+2|进行两边平方得，x k 2+2x k +1=x k−12+4x k−1+4， ∴x 12+2x 1+1=x 02+4x 0+4； x 22+2x 2+1=x 12+4x 1+4； x 32+2x 3+1=x 22+4x 2+4；…，x 20212+2x 2021+1=x 20202+4x 2020+4；∴x 20212+2x 2021−x 02=2(x 1+x 2+x 3+⋯+x 2020)+4x 0+6063，∴(x 2021+2)2=2(x 1+x 2+⋯+x 2020+x 2021)+6067， ∴|x 1+x 2+⋯+x 2020+x 2021|=|12(x 2021+2)2−60672|，∵当x 2021+2=77时，|x 1+x 2+⋯+x 2020+x 2021|=|12(x 2021+2)2−60672|=17，x 2021+2=78时，|x 1+x 2+⋯+x 2020+x 2021|=|12(x 2021+2)2−60672|=19，故选：A ．利用题中的条件，可知x k 是整数，对|x k +1|=|x k−1+2|进行两边平方，然后对两边分别求和，即可解出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11.若复数z=m2−1+(m−1)i为纯虚数(其中i为虚数单位)，则实数m=______ ，|2+i+z|=______ ．【答案】−1√5【解析】解：因为复数z=m2−1+(m−1)i为纯虚数，所以m2−1=0且m−1≠0，解得m=−1，故z=−2i，所以2+i+z=2+i−2i=2−i，所以|2+i+z|=√5．故答案为：−1；√5．先利用纯虚数的定义求出m的值，从而得到z的值，求出复数2+i+z，然后由复数模的定义求解即可．本题考查了纯虚数的定义以及复数模的求解，属于基础题．12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)部分图象如图所示，则ω=______ ，为了得到偶函数y=g(x)的图象，至少要将函数y=f(x)的图象向右平移______ 个单位长度．【答案】π86【解析】解：根据函数的图象，函数的最小正周期为16，故ω=2π16=π8，当x=6时，f(6)=sin(3π4+φ)=0，由于|φ|<π2，所以φ=π4．故f(x)=sin(π8x+π4)，为得到偶函数y=g(x)的图象，只需将函数的图象向右平移6个单位即可．故答案为：π8；6．直接利用三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.在二项式(ax+1x)n(a>0)的展开式中，所有二项式系数和为256，常数项为70，则n=______ ，含x6项的系数为______ ．【答案】8 8【解析】解：∵二项式(ax+1x)n(a>0)的展开式中，所有二项式系数和为2n=256，n=8．通项公式为T r+1=C8r⋅a8−r⋅x8−2r，令8−2r=0，求得r=4，可得常数项为C84⋅a4= 70，∴a=1．令8−2r=6，求得r=1，∴含x6项的系数为C81⋅a7=8a=8，故答案为：8；8．由二项式系数的性质求得n的值，由题意结合二项展开式的通项公式，求得n的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知正数a，b满足a+b=2，当a=______ 时，a−2b取到最大值为______ ．【答案】2−√22−2√2【解析】解：因为a+b=2，a>0，b>0，所以a−2b =2−(b+2b)≤2−2√b⋅2b=2−2√2，当且仅当b=2b，即b=√2时取等号，此时a=2−√2．故答案为：2−√2，2−2√2．由已知得a−2b =2−(b+2b)，然后利用基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．15. 7个人分乘三辆不同的汽车，每辆车最多坐3人，则不同的乘车方法有______ 种(用数字作答)． 【答案】1050【解析】解：根据题意，分2步进行分析： ①将7人分为3组，若7人分为1、3、3的三组，有C 73C 43A 22=70种分组方法，若分为2、2、3上为三组，有C 72C 52C 33A 22=105种分组方法，则有70+105=175种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到三辆车上，有A 33=6种安排方法， 则有175×6=1050种乘车方式， 故答案为：1050．根据题意，分2步进行分析：①将7人分为3组，②将分好的三组全排列，安排到三辆车上，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．16. 已知向量|a ⃗ |=|b ⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ =2，c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ (λ,μ∈R)，且|c ⃗ −a ⃗ +b ⃗2|=|a ⃗ −b ⃗ |，则λ+2μ的最大值为______ ． 【答案】72【解析】解：∵c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ ，∴c ⃗ −a ⃗ +b ⃗ 2=(λ−12)a ⃗ +(μ−12)b⃗ ， ∵|c ⃗ −a ⃗ +b ⃗ 2|=|a ⃗ −b ⃗ |，∴[(λ−12)a ⃗ +(μ−12)b ⃗ ]2=(a ⃗ −b⃗ )2， ∴4(λ−12)2+4(μ−12)2+2(λ−12)(μ−12)×2=4+4−2×2， ∴4λ2+4μ2+4λμ−6λ−6μ−1=0， 设λ+2μ=t ，则λ=t −2μ，代入上式得，12μ2+(6−12t)μ+4t 2−6t −1=0， ∵关于μ的方程有解，∴△=(6−12t)2−4×12×(4t 2−6t −1)≥0，∴4t 2−12t −7≤0，∴−12≤t ≤72，即λ+2μ∈[−12,72]，∴λ+2μ的最大值为72．故答案为：72．由|c⃗−a⃗ +b⃗2|=|a⃗−b⃗ |得4λ2+4μ2+4λμ−6λ−6μ−1=0，设λ+2μ=t，得到关于μ的一元二次方程，利用有解即可求解．本题考查向量的数量积的性质及运算，考查运算能力，属于中档题．17.已知点F为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，A为该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点O作OA的垂线交FA于点B，若B恰为线段AF的中点，且△ABO的内切圆半径为b−a4(b>a)，则该双曲线的离心率为______ ．【答案】√6【解析】解：设|OA|=n，|OB|=m，由题意知，点A在渐近线y=ba x上，点B在渐近线y=−bax上，∴A(ac n,bcn)，B(−bcm,acm)，∵B为线段AF的中点，且F(−c,0)，∴{−2⋅bcm=acn−c2⋅acm=bcn，解得{m=b2n=a，∴|OA|=a，|OB|=b2，|AB|=√|OA|2+|OB|2=√a2+14b2，∵△ABO的内切圆半径为b−a4，∴2r=|OA|+|OB|−|AB|，即2×b−a4=a+b2−√a2+14b2，化简得，b2=5a2，∴离心率e=ca =√1+b2a2=√6．故答案为：√6．设|OA|=n，|OB|=m，结合A，B所在的渐近线，可推出A，B的坐标，再利用中点坐标公式，求得m和n的值，进而得|OA|，|OB|，|AB|的长，然后由2r=|OA|+|OB|−|AB|，可得b2=5a2，从而得解．本题主要考查双曲线的几何性质，运用结论：直角三角形内切圆半径与三边之间的关系为2r=a+b−c，是解题的关键，考查数形几何思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，1+tanAtanB =2cb．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若△ABC的周长为10，求△ABC面积的最大值．【答案】解：(Ⅰ)∵1+tanAtanB =2cb，∴1+sinA⋅cosBcosA⋅sinB =cosAsinB+sinAcosBcosAsinB=sinCcosAsinB=2cb，由正弦定理知，bsinB =csinC，∴ccosA⋅b =2cb，即cosA=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(Ⅱ)由余弦定理知，a2=b2+c2−2bc⋅cosA=b2+c2−2bc⋅cosπ3=b2+c2−bc①，∵△ABC的周长为10，∴a+b+c=10②，由①②得，3bc−20b−20c+100=0，∴3bc+100=20(b+c)≥20×2√bc，当且仅当b=c时，等号成立，解得√bc≥10或√bc≤103，∵b<10，c<10，∴√bc≥10不可能成立，∴bc≤1009，∴△ABC的面积S=12bc⋅sinA≤12×1009×sinπ3=25√39．故△ABC面积的最大值为25√39．【解析】(Ⅰ)结合同角三角函数的商数关系和辅助角公式，将原等式化为sinCcosAsinB =2cb，再由正弦定理，可得cosA=12，从而得解；(Ⅱ)由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−bc ，而a +b +c =10，消去a ，有3bc +100=20(b +c)，再根据基本不等式，求得bc 的最大值，最后由S =12bc ⋅sinA ，得解．本题主要考查解三角形，还涉及同角三角函数的商数关系、辅助角公式和基本不等式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19. 在如图所示的几何体中，CD ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，且AB =BC =CA =CD =12EA ，F 是CA 的中点． (Ⅰ)求证：DF ⊥FB ；(Ⅱ)求BE 与平面BDF 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明：由题意可知，CD ⊥平面ABC ，因为BF ⊂平面ABC ，所以CD ⊥BF ， 又BF ⊥AC ，AC ∩CD =C ，AC ，CD ⊂平面DCF ，所以BF ⊥平面DCF ，又DF ⊂平面DCF ，所以DF ⊥FB ；(Ⅱ)解：以点F 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A(1,0,0),B(0,√3,0),D(−1,0,2),E(1,0,4)， 所以FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)， 设平面BDF 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{√3y =0−x +2z =0，令z =1，则x =2，所以n ⃗ =(2,0,1)， 又BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,4)， 所以|cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√5×√20=35， 所以直线BE 与平面BDF 所成角的正弦值为35．【解析】(Ⅰ)利用CD ⊥平面ABC ，证明CD ⊥BF ，结合BF ⊥AC ，由线面垂直的判定定理证明BF ⊥平面DCF ，即可证明DF ⊥FB ；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后由线面角的计算公式求解即可．本题考查了线线垂直的证明以及线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，其中a 1=1，且Sna n=λa n+1(n ∈N ∗)．(Ⅰ)求常数λ的值，并写出{a n }的通项公式；(Ⅱ)设T n 为数列{(−12)a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N ∗，都有|pT n −2|≤1，求实数p 的取值范围．【答案】解：(I)a 1=1，且Sna n=λa n+1(n ∈N ∗)，∴n =1时，S 1a 1=λa 2，解得a 2=1λ，n =2时，S 2=λa 2a 3=1+1λ，解得a 3=1+1λ， ∵数列{a n }为等差数列，∴2×1λ=1+1+1λ，解得λ=12， ∴公差=112−1=1，∴a n =1+n −1=n ． (II)(−12)a n =(−12)n ，∴T n =−12[1−(−12)n ]1−(−12)=−13[1−(−12)n ]，由|pT n −2|≤1恒成立，∴1≤pT n ≤3，即1≤−p ⋅13[1−(−12)n ]≤3， 由34≤1−(−12)n ≤32，得p <0， ∴1≤−p 3×34≤−p 3×32≤3， 可得实数p 的取值范围是[−6,−4]．【解析】(I)a 1=1，且Sna n=λa n+1(n ∈N ∗)，求出a 2，a 3，根据数列{a n }为等差数列，即可得出λ，再利用通项公式即可得出a n ．(II)(−12)a n =(−12)n ，利用求和公式可得T n ，根据|pT n −2|≤1恒成立，可得1≤pT n ≤3，代入利用数列的单调性、不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、不等式的性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知椭圆C：x2m2+y2=1(m>1)的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2作直线l交椭圆C于A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中y1>0，y2<0，△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G1、G2．(Ⅰ)若G1坐标为(13,16)，求椭圆C的方程；(Ⅱ)设△BF1G1和△ABG2的面积为S1和S2，且43≤S1S2≤53，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)根据题意，因为点G1(13,16)为△AF1F2的重心，所以如图，连接OA，则根据三角形的重心的性质可得，|OG|=13|OA|⇒OA⃗⃗⃗⃗⃗ =3OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设点A(x,y)，则有(x,y)=3((13,16))⇒A(1,12)，代入椭圆方程可得1m2+14=1⇒m2=43，∴椭圆C的方程即为：3 x24+y2=1．(2)如图，连接AG2，BO，AO，F1G1，BG1，则根据重心的性质可知BO经过点G2，且有BG2=23BO∴S △ABG 2=23S △ABO =23⋅(S △AOF 2+S △BOF 2)，S △BF 1G 1=S △BOF 1+S △BOG 1+S △G 1OF 1，S △BOG 1=13S △ABO ，此时，设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，则根据重心的性质可得G 1(13x 1,13y 1)， ∵S △ABO =12⋅|OF 2|⋅|y 1−y 2|=12c(y 1−y 2)，S △BOF 1=12⋅|OF 1|⋅|y 2|=−12cy 2，S △G 1OF 1=12⋅|OF 1|⋅|13y 1|=16cy 1，∴S △BOG 1=13S △ABO =16c(y 1−y 2)，S △ABG 2=13c(y 1−y 2)，∴S 1=−12cy 2+16c(y 1−y 2)+16cy 1=13c(y 1−2y 2)，S 2=13c(y 1−y 2)，∴S1S 2=y 1−2y 2y 1−y 2∈[43,53]⇒y 1y 2∈[−2,12]，设直线l ：x =ty +c ，则联立椭圆方程得，{x =ty +cx 2m2+y 2=1， 消元化简得，(t 2+m 2)y 2+2tcy −1=0， ∴y 1+y 2=−2tct 2+m 2,y 1y 2=−1t 2+m 2， ∴y 1y 2+y 2y 1=y 12+y 22y 1y 2=(y 1+y 2)2−2y 1y 2y 1y 2=−4t 2c 2t 2+m 2−2∈[−52,−2]，∴0≤4t 2c 2t 2+m 2≤12⇒(8m 2−9)t 2≤m 2对任意的t 恒成立， 即得8m 2−9≤0⇒1<m ≤3√24．【解析】(1)根据重心的定义，求解得到点A 的坐标，用待定系数法即得椭圆的方程；(2)结合图象，将三角形的面积拆分，然后利用面积关系即可求解得到m 的取值范围． 本题考查椭圆性质及三角形重心的性质，其次考查直线与圆锥曲线的位置关系中的三角形面积的计算方法，难度较大．22. 已知a ∈R ，设函数f(x)=aln(x +a)+lnx ．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)若f(x)≤e a2x+ln xa −1恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=ax+a +1x =(a+1)x+a x(x+a)，x >0且x >−a ．①当a ≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增； ②当a ≤−1时，f′(x)≤(−1+1)x−1x(x+a)<0，f(x)在(−a,+∞)单调递减；③当−1<a <0时，−aa+1>−a >0，x ∈(−a,−aa+1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， x ∈(−aa+1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 综上，当a ≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a ≤−1时，f(x)在(−a,+∞)单调递减；当−1<a <0时，f(x)在(−a,−a a+1)上单调递减，在(−aa+1,+∞)上单调递增； (Ⅱ)设g(x)=e a2x+ln xa −1−f(x)=e a2x−aln(x +a)−lna −1，x >0，a >0．若x →0limg(x)=−alna −lna <0，则由图象的连续性知，必存在区间(0,ɛ)，使得g(x)<0，与题意矛盾；则x →0limg(x)=−alna −lna ≥0，∴0<a ≤1． g′(x)=a 2⋅e a2x−ax+a ，g″(x)=a 4⋅e a2x+a (x+a)2>0，则g′(x)单调递增，①若a =1，x →0limg′(x)=0，g′(x)>0恒成立， ∴g(x)>x →0limg(x)=0，符合；②若0<a <1，x →0limg′(x)=a 2−1<0，x →+∞时，g′(x)→+∞，且g′(x)单调递增，则存在唯一x 0∈(0,+∞)，g′(x 0)=0， 且x ∈(0,x 0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， ∴g(x)min =g(x 0)=e a 2x−aln(x 0+a)−lna −1．由g′(x 0)=a 2⋅e a2x 0−ax+a =0，可得e a 2x 0=1a(x0+a)，且a 2x 0=−ln(x 0+a)−lna ，∴g(x)min=1a(x0+a)+a3x0+alna−lna−1=1a(x0+a)+a3(x0+a)−a4+alna−lna−1≥2√1a(x0+a)⋅a3(x0+a)−a4+alna−lna−1=2a−a4+alna−lna−1 =2a−a4−1+(a−1)lna≥2a−a4−1+(a−1)(a−1)=2a−a4−1+a2−2a+1=a4(1−a2)>0，∴0<a<1时符合．综上，a∈(0,1]．【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，分a≥0，a≤−1，−1<a<0三类求解原函数的单调区间；(Ⅱ)设g(x)=e a2x+ln xa−1−f(x)=e a2x−aln(x+a)−lna−1，x>0，a>0，分析可知0<a≤1，求出g(x)的导函数，可得a=1时符合；若0<a<1，再由导数证明g(x)>0成立，可知0<a<1时符合，即可求得a的范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2022年浙江省宁波市高考数学模拟试卷(6月份)+答案解析(附后)
2022年浙江省宁波市高考数学模拟试卷（6月份）1. 已知集合，则( )A. B. C. D.2. 已知复数是纯虚数是虚数单位，则( )A. 2或 B. 2 C. D. 03.若x，y为实数，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为( )A.B.C.D.5. 若实数x，y满足，且的最大值为8，则实数m的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 36. 设m，n是不同的直线，，为不同的平面，下列命题正确的是( )A.若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则7. 图象为如图的函数可能是( )A. B.C. D.8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的渐近线为( )A. B. C. D.9. 若正实数x，y满足，则的最小值为( )A. 3B.C.D.10. 如图，棱长为4的正方体，点A在平面内，平面ABCD与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值是( )A. B. C. D.11. 已知，函数，若对任意的，且，都有，则______，实数a的取值范围为______.12. 已知，若，且，则______ ；______ .13. 已知，若…，则…______，______.14. 一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则白球的个数为__________；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则随机变量的数学期望__________.15. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，阳光照射抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子春分时，北京的阳光与地面夹角为，若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为______.16. 已知函数，点O为坐标原点，点，向量，是向量与i的夹角，则的值为______. 17. 如图，已知点O，A，B，顺时针排列在半径为2的圆E上，将顺时针旋转，得到，则的最大值为______.18. 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数若，，，求的面积；当时，取最大值，求在上的值域．19. 如图，四棱锥的底面ABCD是直角梯形，平面ABCD，，，，点E为棱PC的中点．证明：；若点F为棱PC上一点，且AF与平面ABCD所成角的正弦值是，求二面角的余弦值．20. 已知数列的前n项和满足，数列满足，，求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；求证：，21.已知，，，圆：，抛物线：，过F的直线与抛物线交于A，B两点，且求抛物线的方程；若直线AE与圆交于M，N两点，记面积为，的面积为，求的取值范围．22. 已知函数，a，的图象记为曲线定义函数过点作曲线E的切线，这样的切线有且仅有两条．求的值；若点A在曲线E上，对任意的，求证：若对恒成立，求ab的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由P中不等式变形得：，整理得：，，，由Q中不等式变形得：且，解得：，即，则故选：求出P中不等式的解集确定出P，求出Q中不等式的解集确定出Q，找出P的补集与Q的交集即可．本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：复数是纯虚数，，解得故选：直接由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：当时，则或，当时，，，无意义，故充分性不成立，当时，则，则，则必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件．故选：根据充分条件、必要条件的定义，即可可解．本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意可得，因为，，则，平面图形直观图定义可得，原图中，，，，则原图面积为，故选：根据斜二测画法的定义可解．本题考查斜二测画法的定义，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：作出不等式组对于的平面区域如图：的最大值为8，即，且，则直线的截距最大时，z也取得最大值，则不等式组对应的平面区域在直线的下方，由，解得，即，此时B也在直线上，即，解得，故选：作出不等式组对于的平面区域，根据的最小值为4，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：对于A，若，，，则m与可能垂直，也可能不垂直，故A 错误，对于B，若，，，则m有可能在平面内，故B错误，对于C，若，，，，当时，不能得到，故C错误，对于D，若，，则，又因为，所以，故D正确，故选：根据空间中直线与平面，平面与平面位置关系判断即可．本题主要考查了空间中直线与平面，平面与平面位置关系的判断，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由已知图象关于y轴对称，可得该函数为偶函数，而的定义域为R，满足，为奇函数，可排除选项B；由，，可得的值域为，不满足图象，可排除选项C；由，，可得的值域为，不满足图象，可排除选项故选：由所给图象判断该函数为偶函数，结合正弦函数、余弦函数的值域，由排除法可得结论．本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线与双曲线位置关系的应用，平面向量的线性运算以及数量积的运算，直线的倾斜角的应用，同角三角函数关系式以及余弦定理的应用，双曲线的定义以及几何性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．利用向量的线性运算以及数量积的运算，求出，，设直线的倾斜角为，则，利用同角三角函数关系式以及余弦定理求出a和c的关系，从而得到a和b的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：因为，所以，所以，由双曲线定义可知，设直线的倾斜角为，则，所以，解得，则，可得，所以，故，则渐近线方程为故选：9.【答案】C【解析】解：正实数x，y满足，则，当且仅当时取等号，此时，所以故选：，然后结合基本不等式即可求解．本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：如图所示，AC的中点为O，，垂足为E，则为所求，由题意，设，则，，，，令，则，可得，，顶点到平面的距离的最大值是故选：如图所示，O在AC上，，垂足为E，则为所求，，由题意，设，则，由此可得顶点到平面的距离的最大值．本题考查顶点到平面的距离的最大值，考查学生的计算能力，正确作图是关键．11.【答案】【解析】解：将代入，得到；因为对任意的，且，都有，所以在上单调递减，只需，解得故答案为：；将代入解析式求解即可；根据对任意的，且，都有，得到在上单调递减，只需保证分段函数在每一段及交界处上单调递减即可．本题主要考查分段函数的性质，属于中档题．12.【答案】【解析】解：由，得，令，由，得，即，解得或舍，由，得，即，代入，得，即，，得，故答案为：；令，由已知解得，得到，即，代入，即可求得b，进一步求解a值．本题考查对数的运算性质，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】31 80【解析】解：，令，可得，，再令，可得，为x的系数，故在中，有1个因式取x，其余的4个因式取；，故答案为：31；根据“赋值“法，分步乘法原理，组合数公式，即可求解．本题考查二项式定理的应用，赋值法的应用，分步乘法原理，组合数公式的应用，属于中档题．14.【答案】5【解析】【分析】本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望，属于中档题．利用古典概型的概率公式先求出白球的个数，然后求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．【解答】解：设白球的个数为y，又从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则，解得，所以白球的个数为5；由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，所以，，，，则随机变量的分布列为：0 1 2 3P则故答案为：5；15.【答案】【解析】解：如图：伞柄底正好位于该椭圆的左焦点，且左焦点到右顶点的距离为，即，在中，由正弦定理得，，该椭圆的离心率为故答案为：根据据左焦点到右顶点距离可得，在中，利用正弦定理可求得c ，进而求得离心率．本题考查椭圆离心率的求法，考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．16.【答案】【解析】解：由题意可得是直线的倾斜角，，……，故答案为：由题意易得，进而由裂项相消法可得．本题考查三角函数恒等变换，涉及裂项相消法求和，属中档题．17.【答案】16【解析】解：过A 作AF 交直线OP 于点F ，过C 作CD 交直线OP 于点D ，则，，由已知可得，当且仅当OB 为直径时取等号，又，当且仅当AC 为直径且时取等号，则，即的最大值为16，故答案为：由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．18.【答案】解：因为，所以，所以，由A为三角形内角可得或，当时，由正弦定理可得，所以，所以，此时的面积；当时，由正弦定理可得，所以，所以此时的面积；因为，当时，取最大值，所以，，所以，，由A为三角形内角得，，由可得，所以，即函数的值域为【解析】由已知先求出，进而可求A，结合正弦定理求，再求出，结合和差角公式及三角形面积公式可求；先结合和差角公式对进行化简，然后结合正弦函数的性质可求函数的值域．本题主要考查了和差角公式，同角基本关系及正弦定义在求解三角形中的应用，还考查了正弦函数的性质，属于中档题．19.【答案】解：证明：平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，，，，，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，解：由已知，设，，设，由知，，，，，，解得，，，，，平面ABCD，是平面ABCD的一个法向量，设AF与平面ABCD所成角为，则，解得或舍，，设平面FAB的法向量，则，取，得，平面ABP，平面ABPr法向量，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为：【解析】推导出AP，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明求出是平面ABCD的一个法向量，由AF与平面ABCD所成角的正弦值是，求出，求出平面FAB的法向量和平面ABPr法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】证明：当时，，即，当时，，，，所以，整理得，所以，又，故，所以为首项是2，公比是2的等比数列，所以，即证明：由题意得，所以与同号，又因为，所以，即，即，所以数列为递增数列，所以，即，累加得：，令，，两式相减：，所以，所以，所以【解析】分和时两种情况，结合与的关系，证明即可，最后根据等比数列的通项公式，写出的通项公式即可；由题意得数列为递增数列，根据累加得：，令，根据错位相减法证明即可．本题考查数列的通项或前n项和的关系，累加法，错位相减法，属于中档题．21.【答案】解：设，，直线AB的方程为，联立，消去x，整理得，所以，，因为，解得，所以抛物线的方程为：；由，，所以，设直线AE的方程为，即，则原点到直线AE的距离，所以，，联立，则，所以，则，，所以，令，，，所以综上可知，的取值范围为【解析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得p的值，求得抛物线方程；由可表示出，设直线AE的方程，利用点到直线距离公式及垂径定理求得，求得，结合，求得，进而求得的取值范围．本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查转化思想，计算能力，属于中档题．22.【答案】解：，a，，设切点为，则切线方程为，将点代入得可化为设，，的极值点为，作曲线E的切线，这样的切线有且仅有两条，，证明：点A在曲线E上，，，当时，左边，令函数，，当时，函数在上单调递增，，当即时，由得，函数在上单调递减，在上单调递增，；当时，左边，令函数，，由得，当时，即时，函数在上单调递减，，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，，令函数，设，在上单调递增，，综上所述：由得对恒成立，显然，若，则；若，则，设函数，令即，解得；令，即，解得；所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，设，所以，令，即，解得；令，即，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即ab的最大值为，此时，【解析】设出切点，求出导数，根据斜率相等列出方程，由条件知方程有且只有两个实根，构造一个函数，即只要函数的两个极值中有一个为0，即可得到答案；分类讨论，去掉绝对值符号，构造函数，确定函数的单调性，求出函数的最值，即可证明结论．将不等式恒成立问题转化为对恒成立，然后分两种情况讨论，或，当时，，，最后利用导数法求函数的最值即可求解．本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，正确构造函数是关键．。
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共有 个
数字 出现在第 位时，同理也有 个
数字 出现在第 位时，数字 中相邻的数字出现在第 位或者 位，
共有 个
故满足条件的不同的五位数的个数是 个
故选：
【点睛】
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字 分类讨论，属于基础题．
9．D
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k的值，设出双曲线方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（ 1）p，利用双曲线的离心率公式求得e．
【详解】
直线F2A的直线方程为：y＝kx ，F1（0， ），F2（0， ），
代入抛物线C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，
22．已知数列 满足 .
(1)证明：当 时， ；
(2)证明： ( )；
(3)证明： 为自然常数.
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：化简集合
故选C．
考点：集合的运算．
2．D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果
【详解】
故选
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。
3．D
【解析】
A.若 ，则 或 ，故A错误；
A． B． C． D．
二、填空题
11．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为 （底面圆的周长的平方 高），则由此可推得圆周率 的取值为________.
B.若 ，则 或 故B错误；
C.若 ，则 或 ，或 与 相交；
D.若 ，则 ，正确.
故选D.
4．A
【解析】
【分析】
利用两条直线互相平行的条件进行判定
【详解】
当 时，直线方程为 与 ，可得两直线平行；
若直线 与 互相平行，则 ，解得 ，
，则“ ”是“直线 与 互相平行”的充分不必要条件，故选
【点睛】
本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题．
2018届浙江省宁波市余姚中学高三下学期6月高考适应性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．已知i是虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 为一条直线， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
16．若随机变量 的分布列如表所示，则 ______， ______．
-1
0
1
17．在 中，内角 所对的边分别为 ，
若 ， 的面积为 ，
则 _______， _______．
四、解答题
18．已知函数 .
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求 在 上的最大值和最小值．
19．如图，已知平面 与直线 均垂直于 所在平面，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
20．已知函数 ．
（1）当 时，试求曲线 在点 处的切线；
（2）试讨论函数 的单调区间．
21．如图，直线 与抛物线 交于 两点，直线 与 轴交于点 ，且直线 恰好平分 .
（1）求 的值；
（2）设 是直线 上一点，直线 交抛物线于另一点 ，直线 交直线 于点 ，求 的值.
【详解】
， ，所以 向左平移 个单位长度，得到函数 的图象.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，考查诱导公式，属于基础题.
7．C
【解析】
该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积 ．故选 .
Байду номын сангаас8．A
【分析】
对数字 分类讨论，结合数字 中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论
【详解】
12．已知不等式 的解集不是空集,则实数 的取值范围是；若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是___
13．如图，在平面四边形 中， ，则 _________
14．已知实数 ，且 由 的最大值是_________
三、双空题
15．若 的展开式中所有项的系数之和为 ，则 ______，含 项的系数是______（用数字作答）.
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．“ ”是“直线 与 互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．设函数 ， 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是（）
A． 是偶函数B． 是奇函数
C． 是奇函数D． 是奇函数
5．C
【分析】
根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【详解】
解： 是奇函数， 是偶函数，
， ，
，故函数是奇函数，故 错误，
为偶函数，故 错误，
是奇函数，故 正确．
为偶函数，故 错误，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
6．A
【分析】
先将 转化为 ，再利用三角函数图象变换的知识，得出正确选项.
6．为得到函数 的图象，只需将 的图象( )
A．向左平移 个单位长度B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）
A． B．1C． D．
8．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）
A．48B．60C．72D．120
9．已知点 是抛物线 ： 的焦点，点 为抛物线 的对称轴与其准线的交点，过 作抛物线 的切线，切点为 ，若点 恰好在以 ， 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知平面 ， ， 、 是直线 上的两点， 、 是平面 内的两点，且 ， ， ， ， ． 是平面 上的一动点，且直线 ， 与平面 所成角相等，则二面角 的余弦值的最小值是（ ）
∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，
∴A（p， ），设双曲线方程为： 1，
丨AF1丨＝p，丨AF2丨 p，
2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（ 1）p，
2c＝p，
∴离心率e 1，
故选：D．
【点睛】
本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．