“李先允：现代控制理论基础”第4章线性系统的能控性和能观测性

能控性定义 4．状态与系统能达
若存在能将状态 x(t0 ) 0转移到 x(t1) x的1 控制作用 u(t),t [t0,t1]，则称状态 x是1 t0时刻能达的。若 x1 对所有时刻都是能达的，则称状态 为x1 完全能达或一致能达。 若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0能达的， 则称系统是 t时0 刻状态能达的，简称系统是时刻 能t0 达的。
rank Qc (t) rank B1(t) B2(t) ... Bn(t) n
则称时变系统在初始时刻 t0 上状态完全能控。
例4.4.1
x1 t 1 0 x1 0
x2
0
t
0
x2
1
u
x3 0 0 t2 x3 1
0
M0 (t) B(t) 1
1
1
M1
(t)
A(t
x1(和t) x时2 (，t) 可得如下状态方程：
x1
1 RC1
x1
1 RC1
u
由上述状态方程可知，状态变量x2 (t)
的值，即电桥中电容 C2 的电压，是 自由衰减的，并不受输入的控制。
x2
1 RC2
x2
因此，该电压的值不能在有限时间内 衰减至零，即该状态变量是不能由输 入变量控制到原点。具有这种特性的
在定义时间区间[t0,t1]内，状态完全能控的充要条件是 Gram矩阵
WC(t0,t1)
t1 t0
(t0
,
)B(
)
BT
(
)T
(t0
,
)d
非奇异。式中 (t,t0 ) 为时变系统状态转移矩阵。
二、能控性判据 若对初始时刻 t0 ，在时间 t1 ( t1 t0 )，使得线性时变连续系统
(A(t), B(t)) 的系统矩阵A(t)和输入矩阵B(t)中的各元素在
x1 x2
是否具有状态能控性和输出能控性。
B
AB
1 2
2
4
秩为1，所以系统是状 态不能控的。
CB CAB 1 2 0
秩为1，等于输出变 量的个数，因此系统 是输出能控的。
4.2.5 线性时变连续系统的状态能控性
一、格拉姆矩阵判据
线性时变系统
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
系统为完全能控的充要条件是，对矩阵 的A 所有特征值
均成
i (i 1, , n),
立
rank i I A, B n ， i 1, , n
或等价地
rank sI A, B n, s C
也即 (sI A) 和 B 是左互质的。
判据
，
格拉姆矩阵 判据
表4-1 能控性判据对比表
判定方法
特点
的各行函数线性独立
【例4－8】 试判断如下系统的输出能控性
x
0 0
0 1 0 x 1 u
y [1 1]x [0]u
解： 由输出能控性的代数判据有
rank[CB CAB D] rank[2 0 0] 1 m
故系统输出完全能控。
例 判断系统
x1 x2
4
2
1 3
x1 x2
1 2
u
y 1
0
u
y 1
1 R2
x1
x2
1 R2
u
Qc B
1
AB
L1
1
R2C1
R1 L1L1
(
1 R2C1
)2
1 R1 R2C1 L1
时，
Qc 满秩，系统能控，否则不能控。
三、约当标准形判据
对为约当标准形的线性定常连续系统 (A, B) ,有：
1．若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个约当块的B的分块的最后一行都不全为零;
能控性定义 1．状态能控
对线性时变系统，如果对取定初始时刻
零初始状态 x0，存在一个时刻 t1 Td，
tt10tT，0 d的和一一个个非无
约束的的容许控制 u(t)，t t0, t1 ，使状态由 x0 转移
到 时 x(t1) 0 ，则称此 x0在 t0 时刻是能控的。
能控性定义
2．系统能控
x2
0
1
0
x2
0
x3 0
0
2 x3 3
2
0 0
u1 u2
x1 2 1
0
x2
0
2 1
0 x1 4
x2
2
x3
0
x4
0
2
5
1
x3 x4
1 3
u
x5 0
0
5 x5 0
四、PBH 判据
线性定常连续系统
x = Ax + Bu, x(0) x0,t 0
需要求矩阵指数函数并判定函数 相关，计算复杂
秩判据
满秩
1.计算简便可行。 2.缺点为不知道状态空间中哪些 变量(特征值/极点)能控
约当标准形 判据
约当标准形中同一特征值对 1.易于分析状态空间中哪些变量
应的B矩阵分块的最后一行 (特征值/极点)能控。
线性无关
2.缺点为需变换成约当标准形
PBH 判据
1.易于分析哪些特征值(极点)能 控。 2.缺点为需求系统的特征值
4.8 能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系
4.1 引言
线性系统的能控性(controllability)
加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从 任一初始状态转移到希望的状态上，即系统是否具有 通过控制作用随意支配状态的能力。
线性系统的能观测性(observability) 通过在一段时间内对系统输出的观测，能否判断系统 的初始状态，即系统是否具有通过观测系统输出来估 计状态的能力。
1
0
Ab
1
a1
1
A2b
a1
a2 a12
故
0 0
1
rankQc rank b Ab A2b rank 0 1
a1
3
n
1 a1 a2 a12
它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论 a1,a2
取何值，其秩为3，故系统状态完全能控。
【例】电路如图所示。其中，u为输入，i为输出上的电压 uc1为状态变量，分析系统 的能控性。
对线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在
t时0 刻为能控的，则称系统在时刻 t是0 状态完全能控的， 简称系统在时刻 t能0 控。如果系统对于任意的 t0 Td
均是状态完全能控的（即系统的能控性与初始时刻 t0 Td
的选取无关），则称系统是一致能控的。
能控性定义
3．系统不完全能控
取定初始时刻 t0 Td ，如果状态空间中存在 一个或一些非零状态在时刻 t0 是不能控的，则称 系统在时刻 t0 是不完全能控的，简称系统不能控。
解：由电路理论知识可知，若图4-1所示的
电桥系统是平衡的(例)，电容 C的2 电压 是x2不(t) 能通过输入电压 改变u(t的) ，即状态变量
是不x2能(t)控的，则系统是不完全能控的。
若图4-1所示的电桥系统是不平衡的，两电容的电压x1(t和) x2 (可t) 以通过输入电压 u控(t)制，则系统是能控的。 由状态空间模型来看，当选择两电容器两端电压为状态变量
y (t1 )，则称系统是输出完全能控的，简称输出能控。
二、输出能控性判据
线性定常连续系统
x = Ax + Bu
y
=
Cx
+
Du
其输出完全能控的充分必要条件是输出能控性判别矩阵
Qm = CB CAB CAn-1B D的 秩等于输出向量的维数m，即
rankQm rank CB CAB CAn-1B D m
4.2.4 线性定常连续系统的输出能控性
一、输出能控性定义 设线性定常连续系统
x = Ax + Bu
y
=
Cx
+
Du
式中， x为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出向量。
若存在一个无约束的容许控制 u(t，)在有限的时间间隔 [ t0 , t1 ]
内，能将任一初始输出 y(t0转) 移到任一指定的期望的最终输出
2．若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个特征值的所有约当块的B的分块的最后一行线 性无关。
【例4－5】 下列系统是状态能控的：
x1
x2
1 0
0 2
x1 x2
2 5
u
x1 1 1
0 x1 0
x2
0
1
0
x2
4
u
x3 0
0
2 x3 3
x1 2 1
0
0
x1 0
x2
0
2 1
x2
0
x3
x4
0
0
2 5 1
x3 x4
3 0
x5 0
0
5 x5 2
1
0
0 0
u1 u2
1
下列系统是状态不能控的：
x1
x2
1 0
0 2
x1 x2
2 0
u
x1 1 1
0 x1 4
系统称为状态不能控的。
4.2.2 状态能控性的定义
考虑线性时变系统的状态方程 x A(t)x(t) Bu(t) x(t0 ) x0 t Td y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
其中，x为 n维状态向量， 为u 维r输入向量，
为时T间d 定义区间， 分别A为, B 和 n n
n 的r 元为 的t 连续函数的矩阵。