“李先允：现代控制理论基础”第4章线性系统的能控性和能观测性

1. 基本概念： 状态能观测性； 2. 基本方法: 状态能观测性的判别方法； 3. 状态能观测性的物理意义和在状态空间中的几何
意义。
4. 3. 1 能观测性的直观讨论
状态能观测性反映系统外部可直接或间接测量 的输出 和y(输t) 入 来u确(t)定或识别系统状态的能力。 如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的 外部输出和输入唯一地确定，那么称系统是能观 测的，或者更确切地说，是状态能观测的。否则， 就称系统为状态不完全能观测的。
2．若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个特征值的所有约当块的B的分块的最后一行线 性无关。
【例4－5】 下列系统是状态能控的：
x1
x2
1 0
0 2
x1 x2
2 5
u
x1 1 1
0 x1 0
x2
0
1
0
x2
4
u
x3 0
第4章 线性系统的能控性 和能观测性
4.1 引言 4.2 线性连续系统的能控性 4.3 线性连续系统的能观测性 4.4 线性定常离散系统的能控
性和能观测性 4.5 能控标准形和能观测标准形 4.6 系统能控性和能观测性的对偶原理
4.7 线性系统的结构性分解
4.9 系统的实现问题
4.10 MATLAB在能控性 和能观测性分析中的应用
x2
0
1
0
x2
0
x3 0
0
2 x3 3
2
0 0
u1 u2
x1 2 1
0
x2
0
2 1
0 x1 4
x2
2
x3
0
x4
0
2
5
1
x3 x4
1 3
u
x5 0
0
5 x5 0
四、PBH 判据
线性定常连续系统
x = Ax + Bu, x(0) x0,t 0
时间区间 [t0,t1] 内对时间t分别是(n-2)和(n-1)阶连续可导，
定义
B1(t) Bi (t)
B(t) A(t
)
Bi1
(t
)
Bi1
(t
)
i 2,3,..., n
再定义如下线性时变系统的能控性矩阵
Qc (t) B1(t) B2(t) ... Bn(t)
若能控性矩阵 Qc (t) 满足
【例4－8】 试判断如下系统的输出能控性
x
0 0
0 1 0 x 1 u
y [1 1]x [0]u
解： 由输出能控性的代数判据有
rank[CB CAB D] rank[2 0 0] 1 m
故系统输出完全能控。
例 判断系统
x1 x2
4
2
1 3
x1 x2
1 2
u
y 1
0
y (t1 )，则称系统是输出完全能控的，简称输出能控。
二、输出能控性判据
线性定常连续系统
x = Ax + Bu
y
=
Cx
+
Du
其输出完全能控的充分必要条件是输出能控性判别矩阵
Qm = CB CAB CAn-1B D的 秩等于输出向量的维数m，即
rankQm rank CB CAB CAn-1B D m
系统称为状态不能控的。
4.2.2 状态能控性的定义
考虑线性时变系统的状态方程 x A(t)x(t) Bu(t) x(t0 ) x0 t Td y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
其中，x为 n维状态向量， 为u 维r输入向量，
为时T间d 定义区间， 分别A为, B 和 n n
n 的r 元为 的t 连续函数的矩阵。
系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵
Qc = B AB A2B L An-1B 满秩，即
rankQc rank B AB A2B
An-1B n
【例4－1】 试判断如下系统的状态能控性
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0
u
a3 a2 a1 1
解： 由状态能控性的代数判据有
0 b 0
系统为完全能控的充要条件是，对矩阵 的A 所有特征值
均成
i (i 1, , n),
立
rank i I A, B n ， i 1, , n
或等价地
rank sI A, B n, s C
也即 (sI A) 和 B 是左互质的。
判据
，
格拉姆矩阵 判据
表4-1 能控性判据对比表
判定方法
特点
的各行函数线性独立
能控性定义 1．状态能控
对线性时变系统，如果对取定初始时刻
零初始状态 x0，存在一个时刻 t1 Td，
tt10tT，0 d的和一一个个非无
约束的的容许控制 u(t)，t t0, t1 ，使状态由 x0 转移
到 时 x(t1) 0 ，则称此 x0在 t0 时刻是能控的。
能控性定义
2．系统能控
rank Qc (t) rank B1(t) B2(t) ... Bn(t) n
则称时变系统在初始时刻 t0 上状态完全能控。
例4.4.1
x1 t 1 0 x1 0
x2
0
t
0
x2
1
u
x3 0 0 t2 x3 1
0
M0 (t) B(t) 1
1
1
M1
(t)
A(t
4.8 能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系
4.1 引言
线性系统的能控性(controllability)
加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从 任一初始状态转移到希望的状态上，即系统是否具有 通过控制作用随意支配状态的能力。
线性系统的能观测性(observability) 通过在一段时间内对系统输出的观测，能否判断系统 的初始状态，即系统是否具有通过观测系统输出来估 计状态的能力。
在定义时间区间[t0,t1]内，状态完全能控的充要条件是 Gram矩阵
WC(t0,t1)
t1 t0
(t0
,
)B(
)
BT
(
)T
(t0
,
)d
非奇异。式中 (t,t0 ) 为时变系统状态转移矩阵。
二、能控性判据 若对初始时刻 t0 ，在时间 t1 ( t1 t0 )，使得线性时变连续系统
(A(t), B(t)) 的系统矩阵A(t)和输入矩阵B(t)中的各元素在
1
0
Ab
1
a1
1
A2b
a1
a2 a12
故
0 0
1
rankQc rank b Ab A2b rank 0 1
a1
3
n
1 a1 a2 a12
它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论 a1,a2
取何值，其秩为3，故系统状态完全能控。
【例】电路如图所示。其中，u为输入，i为输出，流经电感 L1 的电流 i1 和电容 C1 上的电压 uc1为状态变量，分析系统 的能控性。
4.2 线性连续系统的能控性
状态能控性反映输入 u(t)对状态 的x(t控) 制能力。如果状态变 量 由任意x(初t) 始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输 入(控制项)来影响，并能在有限时间内控制到空间原点，那 么称系统是能控的，或者更确切地说，是状态能控的。否则， 就称系统为不完全能控的。
【例4－1】某电桥系统的模型如图4-1所示 。该电桥系 统中，电源电压u(t为) 输入变量，并选择两电容器两端的电 压为状态变量 和x1(t) 。x试2 (t分) 析电源电压 对两u个(t)状态变 量的控制能力。
解：由电路理论知识可知，若图4-1所示的
电桥系统是平衡的(例)，电容 C的2 电压 是x2不(t) 能通过输入电压 改变u(t的) ，即状态变量
是不x2能(t)控的，则系统是不完全能控的。
若图4-1所示的电桥系统是不平衡的，两电容的电压x1(t和) x2 (可t) 以通过输入电压 u控(t)制，则系统是能控的。 由状态空间模型来看，当选择两电容器两端电压为状态变量
能控性定义 4．状态与系统能达
若存在能将状态 x(t0 ) 0转移到 x(t1) x的1 控制作用 u(t),t [t0,t1]，则称状态 x是1 t0时刻能达的。若 x1 对所有时刻都是能达的，则称状态 为x1 完全能达或一致能达。 若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0能达的， 则称系统是 t时0 刻状态能达的，简称系统是时刻 能t0 达的。
)M
0
(t)
d dt
M
0
(t)
t
t 2
2t 0 2t
M
2
(t
)
A(t)M1(t)
d dt
M 1 (t )
t t
2 4
1
2t
t
2
1
t4 2t
M0(t) M1(t) M2(t) 秩为3，所以系统是完全能控
4.3 线性连续系统的能观测性
本节主要讨论线性定常连续系统的状态能观测 性问题。关键问题：
定义的几点解释
（1）对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性； （2）容许控制的分量幅值不加限制，且在 Td 上平方可积； （3）线性系统的能控性与t0 无关； （4）如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非
零状态，则称为系统的能达性。 （5）系统不完全能控为一种“奇异”情况。
4.2.3 线性定常连续系统的状态能控性判别
需要求矩阵指数函数并判定函数 相关，计算复杂
秩判据
满秩
1.计算简便可行。 2.缺点为不知道状态空间中哪些 变量(特征值/极点)能控
约当标准形 判据
约当标准形中同一特征值对 1.易于分析状态空间中哪些变量
应的B矩阵分块的最后一行 (特征值/极点)能控。
线性无关
2.缺点为需变换成约当标准形
PBH 判据
1.易于分析哪些特征值(极点)能 控。 2.缺点为需求系统的特征值
一、格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统
x = Ax + Bu, x(0) x0,t 0
状态完全能控的充分必要条件是存在时刻 t1 0
，使如下定义的格拉姆矩阵
Wc (0,t1)
t1 eAtBBT eATt dt
0
为非奇异。
二、秩判据 设线性定常连续系统的状态方程为
x = Ax + Bu
式中，x为n维状态向量，u为r维输入向量， A，B分别为 m n 、 n r 常数阵。
0
2 x3 3
x1 2 1
0
0
x1 0
x2
0
2 1
x2
0
x3
x4
0
0
2 5 1
x3 x4
3 0
x5 0
0
5 x5 2
1
0
0 0
u1 u2
1
下列系统是状态不能控的：
x1
来自百度文库
x2
1 0
0 2
x1 x2
2 0
u
x1 1 1
0 x1 4
解：
L1
di1 dt
R1i1
u
R2c1
duc dt
uc1
u
i1
c1
duc dt
i
令 x1 i1, x2 uc1, y i
整理以上三式得向量－矩阵形式的系统状态空间表达式为
当满足
x1 x2
R1 L1
0
0
1 R2C1
x1 x2
1 L1 1 R2C1
对线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在
t时0 刻为能控的，则称系统在时刻 t是0 状态完全能控的， 简称系统在时刻 t能0 控。如果系统对于任意的 t0 Td
均是状态完全能控的（即系统的能控性与初始时刻 t0 Td
的选取无关），则称系统是一致能控的。
能控性定义
3．系统不完全能控
取定初始时刻 t0 Td ，如果状态空间中存在 一个或一些非零状态在时刻 t0 是不能控的，则称 系统在时刻 t0 是不完全能控的，简称系统不能控。
x1 x2
是否具有状态能控性和输出能控性。
B
AB
1 2
2
4
秩为1，所以系统是状 态不能控的。
CB CAB 1 2 0
秩为1，等于输出变 量的个数，因此系统 是输出能控的。
4.2.5 线性时变连续系统的状态能控性
一、格拉姆矩阵判据
线性时变系统
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
4.2.4 线性定常连续系统的输出能控性
一、输出能控性定义 设线性定常连续系统
x = Ax + Bu
y
=
Cx
+
Du
式中， x为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出向量。
若存在一个无约束的容许控制 u(t，)在有限的时间间隔 [ t0 , t1 ]
内，能将任一初始输出 y(t0转) 移到任一指定的期望的最终输出
x1(和t) x时2 (，t) 可得如下状态方程：
x1
1 RC1
x1
1 RC1
u
由上述状态方程可知，状态变量x2 (t)
的值，即电桥中电容 C2 的电压，是 自由衰减的，并不受输入的控制。
x2
1 RC2
x2
因此，该电压的值不能在有限时间内 衰减至零，即该状态变量是不能由输 入变量控制到原点。具有这种特性的
u
y 1
1 R2
x1
x2
1 R2
u
Qc B
1
AB
L1
1
R2C1
R1 L1L1
(
1 R2C1
)2
1 R1 R2C1 L1
时，
Qc 满秩，系统能控，否则不能控。
三、约当标准形判据
对为约当标准形的线性定常连续系统 (A, B) ,有：
1．若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个约当块的B的分块的最后一行都不全为零;