高斯—克吕格投影正反算公式的应用
高斯投影正反算公式_新
高斯投影坐大地坐标系由大地基准面和地图投影确定，由地图投影到特定椭圆柱面后在南北两极剪开展开而成，是对地球表面的逼近，各国或地区有各自的大地基准面，我国目前主要采用的基准面为：1.WGS84基准面，为GPS基准面，17届国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378137m，短半轴b=6356752.3142451m；2.西安80坐标系，1975年国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378140m，短半轴b=6356755.2881575m;3.北京54坐标系，参照前苏联克拉索夫斯基椭球体建立,椭圆柱长半轴6度0-6度，角。
值为正，Y增加500公里；反算则是由高斯平面坐标（X，Y）求解大地坐标（L，B）。
二、计算模/***************************************本文直接依据空间立体三角函数关系得出结果。
*****/（一）正算由图表1，由方程式(1),令，可得在图表2中，，则由椭圆方程，令可知：（三、程序代doubleL=(m_L-6.0*L0//换算成弧度doublexita=atan(b*b*tan(B)/a/a/cos(L));doubledxita=0.000001;doublexi=dxita;x=0.0;doublec=a*a/b/b;while(xi<xita){x+=dxita/sqrt(c*sin(xi)*sin(xi)+cos(xi)*cos(xi));xi+=dxita;坐标*&B,do ubledoubledxi=0.000001;doublexi=dxi;doubleX=0.0;doublec=a*a/b/b;while(X<x/a){X+=dxi/sqrt(c*sin(xi)*sin(xi)+cos(xi)*cos(xi));xi+=dxi;}doubler=a/sqrt(c*sin(xi)*sin(xi)+cos(xi)*cos(xi));。
高斯—克吕格投影正反算公式的应用
高斯—克吕格投影正反算公式的应用【摘要】高斯-克吕格正算公式是把大地坐标换算成高斯-克吕格投影平面上的直角坐标，而高斯-克吕格反算公式是把高斯-克吕格投影平面直角坐标换算到椭球面上的大地坐标。
为了城市坐标与国家统一坐标取得一致，需要进行城市坐标与国家坐标之间的换算，高斯-克吕格正反算公式为不同投影带之间的坐标换算提供了精确的坐标公式。
【关键词】高斯-克吕格投影坐标中央子午线1 引言目前，大比例尺地形图广泛应用在市政建设、路桥、管道铺设和城市规划等工程建设中。
为了满足城市大比例尺1：500地形测图精度要求，《城市测量规范》要求，控制点之间的投影长度变形不得大于 2.5cm/km。
当控制点之间的长度变形大于2.5cm/km时，要采取适当的措施进行改化，以达到城市大比例尺1：500地形测图精度要求。
国家坐标系是6°带或3°带投影的高斯-克吕格直角坐标系，根据它的变形规律，离中央子午线越远，所产生的投影变形越大。
城市独立坐标系的建立，通常是选择过城市的某国家控制点为地方坐标系的起算点，过这点的经线为其中央子午线并联测国家高等级的控制点建立起来的。
这样，国家坐标系与城市独立坐标系的中央子午线存在一个差值λ。
为了更好的进行数据共享，城市平面控制坐标最理想的是和国家坐标系相统一，这就要进行城市独立坐标与国家坐标之间的坐标换算。
高斯-克吕格投影正反算公式能很好的解决不同投影带之间的坐标换算问题。
其方法是：先将已知的平面坐标，按高斯-克吕格投影反算公式求得其大地坐标（B，L），然后根据大地纬度B和经差λ，再按高斯-克吕格投影正算公式求得其在另一投影带中的平面坐标。
2 高斯-克吕格投影正反算公式2.1 高斯-克吕格投影正算公式：（1）其中：，为中央子午线弧长，其计算公式为：、、、为常数，其计算公式为：2.2 高斯-克吕格投影反算公式：其中：。
（1）、（4）式中的N、的计算公式为：上述诸式中，a、e分别为椭球长半径和第一偏心率，B、L分别为大地经度和大地纬度，L0中央子午线经度，N为卯酋圈曲率半径，B、L、L0单位为弧度。
第5章高斯-克吕格投影
x
r M
y
）y ， 则Mr 有x：
2a2
4a43
6a65
......
r M
(
da1
d
3
da3
d
5
da5
d
......)
a1
3a3 2
5a5 4
7a7 6
......
r M
( da0
d
2
da2
d
4
da4
dБайду номын сангаас
6
da6
d
......)
要使上式成立，须有：
（5-5）
a1
r M
da0
yB通=18 254 136.3m
.
X′
X
B -y x
yA x
500㎞ O
y
图5-5 X 轴平移
高斯—克吕格投影的优点：
➢等角性质，许多国家用以测制地形图。
➢适用于多种比例尺，便于编制成套比例尺的地形图。我国1： 50万及其以上更大比例尺的地形图，都采用这一投影。
➢由于投影带经差不大，经纬网同直角坐标网的偏差较小，阅 读和使用较方便。
（5-3）
其中a0、a1、a2、a3，…. 是待定系数，分别是纬度 的函数。
.
➢根据第二个条件，必须满足下列等角条件：
等角投影条件为：
mn
即
E G Mr
将E、G的偏导数形式代入，得
1 M2
[( x )2
( y )2 ]
1 r2
[( x )2
( y )2 ]
.
由经纬线投影后仍保持正交得F=0，即
F x x y y 0
➢由于cos 为小于1的值，其2次方和4次方更小，所以长度变形的大小， 主要取决于。
高斯—克吕格投影(Gauss-Kruger Projection)
X坐标值在赤道以北为正，以南为负；Y坐标 值在中央经线以东为正，以西为负。我国在北半 球，X坐标皆为正值。Y坐标在中央经线以西为负 值，运用起来很不方便。为了避免Y坐标出现负 值，通常将各带的坐标纵轴西移500公里，即将 所有Y值都加500公里。
4
高斯平面投影的特点：
5
3度带和6度带 ➢从0度开始，自西向东每6度分为一个投影带。 ➢从东经1度30分开始，自西向东每3度分为一个投影带。
6
主带中央经线
带边经线
邻带中央经线
漫游窗口
漫游方向
7
分割条带号规定：从0°子午线开始分6°经 度为一带，东半球东经3°、9°、15°…177°分 别是1、2、3…30条6°带的中央子午线，然后继 续自西向东旋转，每转6°增加带号1。
分割3°带原则上与6°带相同，只是从东经 1°30´（即1.5°E）起，每隔3°带为1个投影带。
8
我国1:1万至1:50万的地形图全部采用高斯－克吕格投影。 1:2.5万至1:50万的地形图，采用6°分带方案，全球共分 为60个投影带；1:1万比例尺图采用3°分带方案，全球共 120个带。
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高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）---投影分带
地理信息系统原理及应用
1
高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）
高斯－克吕格投影是由高斯于19世纪20年代拟 定，后经克吕格补充而形成的一种地图投影方式。在 英美国家称为横轴墨卡托投影
2
x y
高斯-克吕格投影原理图
3
属于横轴等角切圆柱投影。这种投影是将椭圆柱面套在地球 椭球的外面，并与某一子午线相切（此子午线叫中央子午 线或中央经线），椭圆柱的中心轴通过地球椭球的中心， 然后用等角条件将中央子午线东西两侧各一定经差范围内 的地区投影到柱面上，并将此柱面展成平面，即获得高斯 投影
高斯克吕格投影公式(一)
高斯克吕格投影公式(一)高斯克吕格投影公式高斯克吕格投影公式是一种常用的大规模地图投影方法，常用于地理信息系统和地图制作领域。
下面列举了相关的公式和例子，来解释说明这个投影方法的具体细节和应用。
公式一：高斯克吕格正弦公式公式：Y=a+R 1−cos(B−B0)2+P0R(B−B0)sin(B−B0)解释说明：在该公式中，Y表示投影坐标系中纵坐标的值，a表示一个常数，R表示椭球参数中的平均曲率半径，B表示地理坐标系中的纬度，B0表示投影中心纬度，P0表示投影中心的纵坐标值。
这个公式用于将地理坐标系中的纬度转换为投影坐标系中的纵坐标。
示例：假设一个地理坐标系中的点的纬度为度，投影中心的纬度为度，投影中心的纵坐标值为0，椭球参数中的平均曲率半径为$$ 米，常数a为500000米。
代入公式可以计算得到纵坐标的值为：Y=500000+1−cos()2+()sin()计算结果为Y≈.48米。
公式二：高斯克吕格余弦公式公式：X=X0+R(B−B0)cos(L−L0)解释说明：在该公式中，X表示投影坐标系中横坐标的值，X0表示投影中心的横坐标值，B表示地理坐标系中的纬度，B0表示投影中心纬度，L表示地理坐标系中的经度，L0表示投影中心经度，R表示椭球参数中的平均曲率半径。
这个公式用于将地理坐标系中的经纬度转换为投影坐标系中的横纵坐标。
示例：假设一个地理坐标系中的点的纬度为$$ 度，经度为 $-$ 度，投影中心的纬度为 $$度，经度为−度，投影中心的横坐标值为0，椭球参数中的平均曲率半径为 $$ 米。
代入公式可以计算得到横坐标的值为：X=0+..7749)cos((−.4194))计算结果为X≈.99米。
通过以上列举的高斯克吕格投影公式和示例，我们可以看到这些公式在将地理坐标系转换为投影坐标系时提供了一种简便而有效的方法。
不同的参数组合可以应用于不同的地理区域，以满足各种地图制作和地理信息系统的需求。
高斯正反算
VB下高斯坐标变换的实现曾圣陈伟高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影，是一种“等角横切圆柱投影”。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。
设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面.高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影是横轴墨卡托投影的变种，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1。
高斯-克吕格投影的东伪偏移是500公里，投影北伪偏移为零。
高斯-克吕格投影正解公式：已知（B,L）值求解(X,Y)，（原点纬度 0，中央经度L0）上面公式中东纬偏移FE = 500000米（本程序中中只设计加500000米的常数，如还要带号的话FE = 500000+ 带号 * 1000000米）；高斯-克吕格投影比例因子k0 = 1高斯-克吕格投影反解公式：已知(X,Y)求解（B,L），（原点纬度 0，中央经度L0）a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)X -- 纵直角坐标, Y -- 横直角坐标，单位米(M) 关于椭球体参数，我国常用的3个椭球体参数如下：程序实现:'高斯正算求XPublic Function X(ByVal B#, ByVal L#, ByVal L0#) As DoubleDim n#, T#, T2#, m#, m2#, ng2#Dim S#, C#X = A1 * B + A2 * Sin(2 * B) + A3 * Sin(4 * B) + A4 * Sin(6 * B)? '子午线弧长S = Sin(B)C = Cos(B)T = Tan(B)T2 = T * Tn = a / Sqr(1 - e12 * S * S)'卯酉圈曲率半径m = C * (L - L0)m2 = m * mng2 = C * C * e12 / (1 - e12)????X = X + n * T * ((0.5 + ((5 - T2 + 9 * ng2 + 4 * ng2 * ng2) / 24# + (61 - 58 * T2 + T2 * T2) * m2 / 720#) * m2) * m2)?End Function'高斯正算求YPublic Function Y(ByVal B#, ByVal L#, ByVal L0#) As DoubleDim n#, T#, T2#, m#, m2#, ng2#Dim S#, C#S = Sin(B)C = Cos(B)T = Tan(B)T2 = T * Tn = a / Sqr(1 - e12 * S * S)m = C * (L - L0)m2 = m * mng2 = C * C * e12 / (1 - e12)Y = n * m * (1 + m2 * ((1 - T2 + ng2) / 6# + m2 * (5 - 18 * T2 + T2 * T2 + 14 * ng2 - 58 * ng2 * T2) / 120#))Y = Y + Y0End Function'高斯反算求B（纬度)Public Function B(ByVal X#, ByVal Y#) As DoubleDim S#, C#, T#, T2#, n#, ng2#, V#, yN#Dim preB0#, B0#Dim eta#Y = Y - Y0B0 = X / A1DopreB0 = B0B0 = (X - (A2 * Sin(2 * B0) + A3 * Sin(4 * B0) + A4 * Sin(6 * B0))) / A1 If Abs(B0 - preB0) < 0.000000001 Then Exit DoLoopS = Sin(B0)C = Cos(B0)T = Tan(B0)T2 = T * Tn = a / Sqr(1 - e12 * S * S)ng2 = C * C * e12 / (1 - e12)V = Sqr(1 + ng2)yN = Y / nB = B0 - (yN * yN - (5 + 3 * T2 + ng2 - 9 * ng2 * T2) * yN * yN * yN * yN / 12# + (61 + 90 * T2 + 45 * T2 * T2) * yN * yN * yN * yN * yN * yN / 360#) * V * V * T / 2#End Function程序运行界面:检测数据:（1）、已知在北京坐标系下中央子午线：117度，纬度B：28度32分14.5秒，经度L：116度54分12.3秒正算求解北方向X、东方向Y值。
高斯投影坐标正反算及程序设计
高斯投影坐标正反算及程序设计目录1研究背景和意义 (1)2正形投影的特性及其公式 (2)2.1正形投影特性 (2)2.2正形投影的一般条件 (2)3高斯坐标正反算公式 (6)3.1高斯投影正算 (6)3.2高斯坐标反算 (7)4使用matlab编写高斯坐标正反算函数 (10)4.1高斯坐标正算函数编写 (10)4.2高斯坐标反算函数编写 (13)5高斯坐标正反算程序的界面设计 (17)5.1单点换算模块的编写 (17)5.2批量换算模块的编写 (23)总结与讨论 (33)致谢 (34)参考文献 (34)附录A (35)1研究背景和意义高斯投影即高斯-克吕格投影这个投影是在1920年左右被拟定的，拟定者是德国人高斯，一位著名的数学家、物理学家、天文学家[1]，之后有又有一名叫克吕格的测量学家在1912 年对投影公式加以补充，所以这个投影的全称是高斯-克吕格投影，又名"等角横切椭圆柱投影”，是地球椭球面和平面间正形投影的一种。
即高斯投影是正形投影的一种，所以它具有正形投影的特点，即角度不变性、图形相似性以及在某点方向上长度比的同一性[2]。
而为了使投影区域的长度变形不致过大，采用的措施就是分带。
这样既保证了长度变形不致过大，又可以在不同的投影带里用一样的数学公式来进行各种大地问题的计算，且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行[3]。
正是因为这种特点高斯投影被广泛应用到了测绘工作中。
虽然高斯投影作用非常广泛但是因为其复杂繁琐的计算过程往往需要通过程序设计来达到简化计算，提高效率目的。
本文所使用的MATLAB 软件编程技术广泛应用于测量数据处理领域，MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。
是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境[4]。
它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，能够开发出界面友好、使用方便的图形界面[5]，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
高斯投影正算与反算的理论方法与实
高斯投影正算与反算的理论方法与实现代码高斯投影是正形投影的一种，同一坐标系中的高斯投影换带计算公式是根据正形投影原理推导出的两个高斯坐标系间的显函数式。
在同一大地坐标系中(例如1954北京坐标系或1980西安坐标系)，如果两个高斯坐标系只是主子午线的经度不同，那么显函数式前的系数可以根据坐标系使用的椭球元素和主子午线经度唯一确定。
但如果两个高斯坐标系除了主子午线的经度不同以外，还存在其他线性系，则将线性变换公式代入换带计算的显函数式中，仍然可以得到严密的坐标变换公式。
此时显函数式前的系数等价于使用两个坐标系主子午线的经度和线性变换参数联合求解得到的，可以唯一确定。
//6度带宽 54北京坐标系//高斯投影由大地坐标(Unit:Metres)反算经纬度(Unit:DD)void GaussProjInvCal(double X, double Y, double *longitude, double *latitude) {int ProjNo; int ZoneWide; ////带宽double longitude1,latitude1, longitude0,latitude0, X0,Y0, xval,yval;double e1,e2,f,a, ee, NN, T,C, M, D,R,u,fai, iPI;iPI = 0.0174532925199433; ////3.1415926535898/180.0;a = 6378245.0; f = 1.0/298.3; //54年北京坐标系参数////a=6378140.0; f=1/298.257; //80年西安坐标系参数ZoneWide = 6; ////6度带宽ProjNo = (int)(X/1000000L) ; //查找带号longitude0 = (ProjNo-1) * ZoneWide + ZoneWide / 2;longitude0 = longitude0 * iPI ; //中央经线X0 = ProjNo*1000000L+500000L;Y0 = 0;xval = X-X0; yval = Y-Y0; //带内大地坐标e2 = 2*f-f*f;e1 = (1.0-sqrt(1-e2))/(1.0+sqrt(1-e2));ee = e2/(1-e2);M = yval;u = M/(a*(1-e2/4-3*e2*e2/64-5*e2*e2*e2/256));fai = u+(3*e1/2-27*e1*e1*e1/32)*sin(2*u)+(21*e1*e1/16-55*e1*e1*e1*e1/32)*sin( 4*u)+(151*e1*e1*e1/96)*sin(6*u)+(1097*e1*e1*e1*e1/512)*sin(8*u);C = ee*cos(fai)*cos(fai);T = tan(fai)*tan(fai);NN = a/sqrt(1.0-e2*sin(fai)*sin(fai));R = a*(1-e2)/sqrt((1-e2*sin(fai)*sin(fai))*(1-e2*sin(fai)*sin(fai))*(1-e2*sin (fai)*sin(fai)));D = xval/NN;//计算经度(Longitude) 纬度(Latitude)longitude1 = longitude0+(D-(1+2*T+C)*D*D*D/6+(5-2*C+28*T-3*C*C+8*ee+24*T*T)*D *D*D*D*D/120)/cos(fai);latitude1 = fai -(NN*tan(fai)/R)*(D*D/2-(5+3*T+10*C-4*C*C-9*ee)*D*D*D*D/24+(61+90*T+298*C+45*T*T-256*ee-3*C*C)*D*D*D*D*D*D/720);//转换为度 DD*longitude = longitude1 / iPI;*latitude = latitude1 / iPI;}//高斯投影由经纬度(Unit:DD)正算平面坐标(含带号，Unit:Metres)void GaussProjCal(double longitude, double latitude, double *X, double *Y) {int ProjNo=0; int ZoneWide; ////带宽double longitude1,latitude1, longitude0,latitude0, X0,Y0, xval,yval;double a,f, e2,ee, NN, T,C,A, M, iPI;iPI = 0.0174532925199433; ////3.1415926535898/180.0;ZoneWide = 6; ////6度带宽a=6378245.0; f=1.0/298.3; //54年北京坐标系参数////a=6378140.0; f=1/298.257; //80年西安坐标系参数ProjNo = (int)(longitude / ZoneWide) ;longitude0 = ProjNo * ZoneWide + ZoneWide / 2;longitude0 = longitude0 * iPI ;latitude0=0;longitude1 = longitude * iPI ; //经度转换为弧度latitude1 = latitude * iPI ; //纬度转换为弧度e2=2*f-f*f;ee=e2*(1.0-e2);NN=a/sqrt(1.0-e2*sin(latitude1)*sin(latitude1));T=tan(latitude1)*tan(latitude1);C=ee*cos(latitude1)*cos(latitude1);A=(longitude1-longitude0)*cos(latitude1);M=a*((1-e2/4-3*e2*e2/64-5*e2*e2*e2/256)*latitude1-(3*e2/8+3*e2*e2/32+45*e2*e2 *e2/1024)*sin(2*latitude1)+(15*e2*e2/256+45*e2*e2*e2/1024)*sin(4*latitude1)-(35 *e2*e2*e2/3072)*sin(6*latitude1));xval = NN*(A+(1-T+C)*A*A*A/6+(5-18*T+T*T+72*C-58*ee)*A*A*A*A*A/120);yval = M+NN*tan(latitude1)*(A*A/2+(5-T+9*C+4*C*C)*A*A*A*A/24+(61-58*T+T*T+600*C-330*ee)*A*A*A*A*A*A/720);X0 = 1000000L*(ProjNo+1)+500000L;Y0 = 0;xval = xval+X0; yval = yval+Y0;*X = xval;*Y = yval;}NN卯酉圈曲率半径，测量学里面用N表示M为子午线弧长，测量学里用大X表示fai为底点纬度，由子午弧长反算公式得到，测量学里用Bf表示R为底点所对的曲率半径，测量学里用Nf表示。
「高斯投影坐标正反算公式及适合电算的高斯投影公式」
「高斯投影坐标正反算公式及适合电算的高斯投影公式」高斯投影坐标正反算公式是用于计算高斯投影坐标的数学公式。
高斯投影坐标是一种地理坐标系统，常用于测量和测绘工作中。
高斯投影坐标正算是指已知一个点的经纬度坐标，通过公式计算出该点的高斯投影坐标。
而高斯投影坐标反算是指已知一个点的高斯投影坐标，通过公式计算出该点的经纬度坐标。
一、高斯投影坐标正算公式：已知一个点的经纬度坐标(φ,λ)，其中φ为纬度，λ为经度，以及椭球体参数a、f和中央经线经度L0，可以通过以下步骤计算出该点的高斯投影坐标(X,Y)：1.计算扁率f'：f'=(a-b)/a其中，b=a*(1-f)是椭球体的短半轴。
2.计算黄赤交角ε：ε = atan(b / a)3.计算辅助量t：t = tan(π/4 - φ/2) / [(1 - f' * sin²φ)⁰.⁵ * (1 + e' *sinφ)⁰.⁵]其中，e'=f'*(2-f')是椭球体的第一偏心率。
4.计算辅助量η：η = e'^2 * cos²φ5.计算系数A、B、C和D：A = (L - L0) * cosφC = (L - L0) * cos⁵φ * (5 - tan²φ + 9e'^² + 4e'^⁴ - 24e'^² * tan²φ - 45e'^⁴ * tan²φ)D = (L - L0) * cos⁷φ * (61 - 58tan²φ + tan⁴φ + 270e'^² - 330e'^² * tan²φ)6.计算高斯坐标X和Y：X=k0*a*(A+B/2+C/4+D/6)Y=k0*a*(C/2+D/8)其中，k0是比例系数，一般情况下取1二、高斯投影坐标反算公式：已知一个点的高斯投影坐标(X,Y)，以及椭球体参数a、f、中央经线经度L0、比例系数k0和起始经度L1，可以通过以下步骤计算出该点的经纬度坐标(φ,λ)：1.计算扁率f'：f'=(a-b)/a其中，b=a*(1-f)是椭球体的短半轴。
计算器计算高斯投影坐标程序的编辑与应用
计算器计算高斯投影坐标程序的编辑与应用摘要本文主要介绍多功能计算器计算高斯投影坐标程序串的编辑和应用,此文对广大贫困地区的广大工程技术人员一定有所裨益和帮助。
关键词高斯投影;正算反算;程序串;应用高斯投影,又称高斯-克吕格投影,也称横轴椭圆柱等角投影,就是将椭球面元素归算至高斯平面,其计算过程虽然比较复杂,随着计算机技术广泛使用,尤其是微型计算机技术和多功能函数计算器技术的广泛应用,解决这类数学问题,已是非常容易,本文将围绕多功能计算器讨论解算高斯投影坐标问题,电子计算机等计算内容不与涉及,虽然多功能计算器内存低,但若将其计算公式在一定的范围内进行适当的化简就可取代计算机而进行相同精度的计算,多功能计算器其优势为体积小,轻便,计算简捷,价格低等(200~500元/台)。
1 高斯投影正反算公式1.1 高斯投影正算即由大地坐标(B、L),计算平面坐标(x、y)(本文采用克拉索夫基斯椭球参数),正算公式如下:B为纬度,L为经度,N:卯酉圈曲率半径。
该公式的计算精度,即平面坐标可达0. 001m1.2 高斯投影反算即由平面坐标(x,y)计算大地坐标(B,L)(采用克拉索夫斯基椭球参数)。
反算公式如下:该公式的计算精度,即大地坐标可达0.0001″2 高斯投影坐标程序串编写由于多功能电子计算器内存一般较小,为利用实际内存,减少字节量输入,本文只把大地坐标(B、L)或平面坐标(X、Y)数据互列函数,其他除了所求平面坐标(X、Y)或大地坐标(B、L)外,其它均设为过渡函数,按要求分配到计算器的各个子程序中(考虑到计算器的功能和字母表示的意义,各个不同字母所表示的字符串的意义不同)。
2.1 高斯投影坐标正算程序串2.2 高斯投影坐标反算程序串3 高斯投影坐标计算程序的应用(以CASIO-fx-4500PA为例)3.1 正算已知B=31°04′41.68″L=111°47′24.90″求得x=3439978.970Y=19575412.872。
工程测量中高斯-克吕格投影换带计算的应用
工程测量中高斯-克吕格投影换带计算的应用在测量工程中，有些测区刚好处于投影带边缘，甚至有些工程横跨两个或两个以上投影带，如交通、水利、电力等较长的线路，为了坐标统一的需要，可以进行坐标换带，将相邻带的坐标换成同一系统的数据。
坐标换带有直接换带计算法和间接换带计算法两种，间接换带计算法就是根据第一带的平面坐标某1,y1和中央子午线的经度L1，按高斯-克吕格投影坐标反算公式求得大地坐标B、L，然后根据B,L和第二带的中央子午线经度L2，按高斯-克吕格投影坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标某2、y2。
由于在换带计算中，把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，因而称为间接换带法。
这种方法理论上严密，精度高，而且通用性强，虽然计算量较大，但可用电子计算机计算来克服，已成为坐标换带中最根本的方法。
2、换带计算公式用a表示椭球长半轴，b表示椭球短半轴，f=为扁率，e=为第一偏心率，eˊ=为第二偏心率，N=为卯酉圈曲率半径，R=为子午圈曲率半径，B表示经度，L表示纬度。
2.1高斯-克吕格投影反算公式：B=Bf-[-(5+3Tf+Cf-9TfCf)+(61+90Tf+45Tf2)]L=L0+[D-(1+2Tf+Cf)+(5+28Tf+6Cf+8TfCf+24Tf2)]式中：Nf==,Rf=Bf=+(-)in2+(-)in4+in6,e1==,Tf=tg2Bf,Cf=eˊ2co2Bf,D=2.2高斯-克吕格投影正算公式：某N=k0{M+NtgB[+(5-T+9C+4C2)]+(61-58T+T2+270C-330TC)YE=FE+k0N[A+(1-T+C)+(5-18T+T2+14C-58TC)]式中：k0=1,T=tg2B,C=eˊ2co2B,A=(L-L0)coB,N==M=a[(1---)B-(--)in2B+(-)in4B-in6B东西偏移量FE=500000米+带号某10000003.1进行换带计算的步骤分析通常建立独立坐标系的方法是以一个国家控制点和方位角作为起算数据，观测边投影到平均高程面。
高斯—克吕格投影
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正轴圆锥投影
Lambert投影（正轴等角割圆锥投影）。
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相割纬线：j1 = 25° ； j2 = 45°
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3. 地图的内容 主题和内容不同，对投影的要求也不同。
应选择等角投影：航海图、天气图、地形图 应选择等积投影：行政区划图、人口密度图、经济地图 应选择任意投影：教学用图或一般参考图
4.出版方式 单幅图、系列图、地图集
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高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）---投影分带
在高斯克吕格投影上，规定以中央经线为X轴， 赤道为Y轴，两轴的交点为坐标原点。
X坐标值在赤道以北为正，以南为负；Y坐标值 在中央经线以东为正，以西为负。我国在北半球， X坐标皆为正值。Y坐标在中央经线以西为负值， 运用起来很不方便。为了避免Y坐标出现负值， 通常将各带的坐标纵轴西移500公里，即将所有Y 值都加500公里。
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地图投影变形的图解示例
（摩尔维特投影－等积伪圆柱投影）
长度变形 角度变形
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地图投影变形的图解示例
（UTM－横轴等角割圆柱投影）
面积变形和长度变形
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投影变形示意图
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地图投影——地图投影的分类
高斯克吕格投影性质
高斯-克吕格投影性质高斯—克吕格投影性质高斯—克吕格（Gauss—Kruger）投影简称“高斯投影”,又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichＧauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定,后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928)于 1912年对投影公式加以补充，故名.该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式.投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面.取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴,构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯—克吕格投影在长度和面积上变形很小,中央经线无变形,自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用,可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算.高斯投影：它是一种横轴等角切圆柱投影。
它把地球视为球体,假想一个平面卷成一个横圆柱面并把它套在球体外面，使横轴圆柱的轴心通过球的中心，球面上一根子午线与横轴圆柱面相切。
这样，该子午线在圆柱面上的投影为一直线,赤道面与圆柱面的交线是一条与该子午线投影垂直的直线。
将横圆柱面展开成平面,由这两条正交直线就构成高斯-克吕格平面直角坐标系。
为减少投影变形,高斯-克吕格投影分为3o带和6o带投影.高斯－克吕格投影是设想用一个椭圆柱横套在地球椭球的外面,并与设定的中央经线相切.高斯－克吕格投影分带规定：该投影是国家基本比例尺地形图的数学基础,为控制变形,采用分带投影的方法,在比例尺 1:2。
高斯克吕格投影介绍
高斯-克吕格投影1. 高斯-克吕格投影概念中文名称：高斯-克吕格投影英文名称：Gauss-Kruger projection概念：由高斯拟定的，后经克吕格补充、完善，即等角横切椭圆柱投影。
假想一个椭圆柱横切于地球椭球某一经线(称“中央经线”)，依照等角条件，用解析法将中央经线双侧必然经差范围内地球椭球体面上的经纬网投影到椭圆柱面上，并将此椭圆柱面展为平面所取得的一种等角投影。
所属学科：地理学，地图学简单介绍：由于那个投影是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19 世纪20 年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912 年对投影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。
即等角横切椭圆柱投影。
假想用一个圆柱横切于地球椭球体的某一经线上，这条与圆柱面相切的经线，称中央经线。
以中央经线为投影的对称轴，将东西各3°或1°30′的两条子午线所夹经差6°或3°的带状地域按数学法那么、投影法那么投影到圆柱面上，再展开成平面，即高斯-克吕格投影，简称。
那个狭长的带状的经纬线网叫做高斯-克吕格投影带。
这种投影，将中央经线投影为直线，其长度没有变形，与球面实际长度相等，其余经线为向极点收敛的弧线，距中央经线愈远，变形愈大。
随远离中央经线，面积变形也愈大。
假设采纳分带投影的方式，可使投影边缘的变形不致过大。
我国各类大、中比例尺地形图采纳了不同的高斯-克吕格投影带。
其中大于1∶1万的地形图采纳3°带；1∶2.5万至1∶50万的地形图采纳6°带。
2. 3°、6°带高斯-克吕格投影选择投影的目的在于使所选投影的性质、特点适合于地图的用途，同时考虑地图在图廓范围内变形较小而且变形散布均匀。
海域利用的地图多采纳保角投影，因其能维持方位角度的正确。
我国的大体比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，大于等于50万的均采纳高斯-克吕格投影(Gauss-Kruger)，这是一个等角横切椭圆柱投影，又叫横轴墨卡托投影(Transverse Mercator)；小于50万的地形图采纳等角正轴割园锥投影，又叫兰勃特投影(Lambert Conformal Conic)；海上小于50万的地形图多用等角正轴圆柱投影，又叫墨卡托投影(Mercator)。
高斯投影坐标正反算公式[]
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§8.3高斯投影坐标正反算公式任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。
8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l ⇒ x,y高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x 为l 的偶函数，y 为l 的奇函数；0330'≤l ，即20/1/≈''''ρl ，如展开为l 的级数，收敛。
+++=++++=553316644220l m l m l m y l m l m l m m x （8-33）式中 ,,10m m 是待定系数，它们都是纬度B 的函数。
由第三个条件知：q yl x l y q x ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,(8-33)式分别对l 和q 求偏导数并代入上式----=++++++=+++5533156342442204523164253l dqdm l dq dm l dq dm l m l m l m l dqdm l dq dm dq dm l m l m m (8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l 前的系数应相等，即dq dm m dqdm m dqdm m 2312013121⋅=⋅-==(8-35)(8-35)是一种递推公式，只要确定了0m 就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X ，即(8-33)式第一式中，当0=l 时有：0m X x ==(8-36)顾及(对于中央子午线)B V Mr M B N dq dB M dBdXcos cos 2==== 得：B VcB N r dq dB dB dX dq dX dq dm m cos cos 01===⋅===(8-37,38)B B Ndq dB dB dm dq dm m cos sin 22121112=⋅-=⋅-= (8-39)依次求得6543,,,m m m m 并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2lt t B B N lt B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+=ρηηρρ5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N lt B N l B N y ''-++-''+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ (8-42) 8.3.2高斯投影坐标反算公式x,y ⇒B,l投影方程：),(),(21y x l y x B ϕϕ== (8-43)满足以下三个条件：①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
9.高斯-克吕格投影
第九章高斯-克吕格投影李连营本章的主要内容掌握高斯——克吕格投影的几何解释以及投影条件掌握高斯——克吕格投影的坐标与变形公式掌握高斯——克吕格投影的变形规律及应用掌握UTM 投影的概念掌握UTM 投影与高斯——克吕格投影关系§9-1 高斯-克吕格投影的条件和公式高斯投影条件：1．中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴；2．投影具有等角性质；3．中央经线投影后保持长度不变。
1、对称性•中央经线投影后为直线，并作为其它经线的对称轴，如图所表示的投影具有“对称性"，在数学上即函数的奇偶性。
1122(,)(,)(,)(,)x f f y f f ϕλϕλϕλϕλ==-⎫⎬==--⎭246024********x a a a a y a a a a λλλλλλλ⎫=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎬=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎭3、中央经线长度保持不变•由第三个条件，中央经线长度保持不变，当λ=0时，x=s ，由(9—3)式得x= a 0。
•所以••式中s 是由赤道到纬度妒的经线弧长。
00a x s Md ϕϕ===⎰①当φ=0时x=X=0，y 则随l 的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y 轴。
当λ=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x 轴，其长度与中央子午线长度相等。
两轴的交点为坐标原点。
②当λ=常数时(经线),随着φ值增加，x 值增大，y 值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。
又因，即当用-φ代替φ时，y 值不变，而x 值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。
③当φ=常数时(纬线)，随着的l 增加，x 值和y 值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。
又当用-λ代替l 时，x 值不变，而y 值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。
由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。
④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。
高斯吕克投影
高斯-克吕格投影原理高斯-克吕格投影(GAUSS-KRUGER)是等角横切椭圆柱投影，由德国数学家高斯提出，后经克吕格扩充并推倒出计算公式，故称为高斯-克吕格投影，简称高斯投影。
该投影以中央经线和赤道投影后为坐标轴，中央经线和赤道交点为坐标原点，纵坐标由坐标原点向北为正，向南为负，规定为X轴，横坐标从中央经线起算，向东为正，向西为负，规定为Y轴。
为了控制变形，本投影采用分带的办法。
我国1:2.5-1:50万地形图均采用6度分带；1:1万及更大比例尺地形图采用3度分带，以保证必要的精度。
6度分带从格林威治零度经线起，每6度分为一个投影带，全球共分为60个投影带。
东半球的30个投影带的中央经线用 L0=6n-3 计算（n为投影带带号），从0到180度，其编号为1-30。
西半球也有30个投影带，从-180度回到0度，其编号为31-60，各带的中央经线用L0=6(n-30)-3-180计算。
一般从南纬度80到北纬度84度的范围内使用该投影。
3度分带法从东经1度30分算起，每3度为一带。
这样分带的方法在于使6度带的中央经线均为3度带的中央经线。
但是，在标准比例尺图幅编号中，带号是从西经-180度算起，每6度为1带，自西向东1-60。
这样，我们国家的高斯带号在标准图幅编号中，要加30，如20带，表示为J50等。
由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，使用时只需变一个带号即可。
在高斯坐标系中，为了避免横坐标Y有负值，将其起算原点向西移动500公里，即对横坐标Y值按代数法加上500000米。
此外，在计算出来的和数前面加上带号，以便识别该点位于何带。
一、3度带、6度带分带投影相互转换方法实例：某三度带中央经线为114度，带号为38，坐标为x=2665483.54,y=38415009.69,欲转换成六度带坐标(其中央经线为111度,带号为19)。
1、程序左边输入中央经线114度，及坐标x=2665483.54,y=415009.69（y坐标无需带号），2、按左转换键先转成经纬度，3、在右边输入待转换带中央经线111度，点击程序右转换键即可。
高斯-克吕格直角坐标系
高斯-克吕格投影大地坐标系是大地测量的基本坐标系。
常用于大地问题的细算，研究地球形状和大小，编制地图，火箭和卫星发射及军事方面的定位及运算，若将其直接用于工程建设规划、设计、施工等很不方便。
所以要将球面上的大地坐标按一定数学法则归算到平面上，即采用地图投影的理论绘制地形图，才能用于规划建设。
高斯克吕格平面直角坐标系是投影坐标系的一种，根据我国的地理情况，为建立地形图的测量控制和城市、矿山等区域性的测量控制，早在1952年决定，采用高斯克吕格平面直角坐标系。
重点：1 高斯投影概念、投影带的划分、6º带与3º带的划分及其关系2 高斯平面直角坐标系的建立3坐标方位角的定义、性质与反算难点：l 投影带的划分、6º带与3º带的划分及其关系2 坐标方位角的定义、性质与反算1 高斯—克吕格投影的形成1.1为什么要投影⏹参考椭球面是不可展曲面⏹不便于地图的制作、使用和保管⏹不便于地图应用中的计算1.2 什么是投影⏹按一定的数学法则将参考椭球面上的点、线、图形化算到平面上的过程。
1.3 投影变形⏹长度变形、角度变形、面积变形1.4 地图投影的种类⏹按投影面：方位投影, 圆锥投影, 圆柱投影⏹按投影变形：等角投影等积投影任意投影（等距投影）⏹按投影面与参考椭球的位置关系：⏹切、割横、纵、斜1.5 地图投影的选择⏹依国土的位置、形状和地图的用途选择投影方式。
⏹我国基本比例尺地形图投影选择标准:⏹投影后保持角度不变⏹长度变形不能超过一定限度⏹小范围内图形保持相似2 高斯投影(等角横切椭圆柱投影）2.1 高斯投影的基本概念地球是椭球面，是不可展曲面，无论如何选择投影函数，椭球面上的元素，投影到平面上，都会产生变形（角度、长度、面积）。
高斯是德国杰出的数学家、测量学家。
他提出的横椭圆柱投影是一种正形投影。
它是将一个横椭圆柱套在地球椭球体上，如下图所示：椭球体中心O在椭圆柱中心轴上，椭球体南北极与椭圆柱相切，并使某一子午线与椭圆柱相切。
高斯-克吕格投影和UTM投影
高斯-克吕格投影和UTM投影高斯-克吕格投影和UTM投影4．高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影和UTM（Universal Transverse Mercator）投影4.1 高斯-克吕格投影与UTM投影异同高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。
从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。
从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000）。
从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。
此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。
4.2 高斯-克吕格投影简介高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影，是一种“等角横切圆柱投影”。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）1912年对投影公式加以补充，故名。
第五章 高斯—克吕
式中负号是因为高斯-克吕格投影中γ 式中负号是因为高斯-克吕格投影中γ角是反方向计算的， 为了便于微分，我们将上式改写为
将(5—4)式中的偏导数代 (5—4)式中的偏导数代 入，并限于三次项，则有
以各个a 以各个a值代入上式得
或 因为γ 因为γ角甚小，为便于计算，我们引用反正切函数的级数
展开并略去项 ，最后得
•
•
横轴圆柱投影
高斯—克吕格投影（Gauss高斯—克吕格投影（GaussProjection） Kruger Projection）
该投影由德国高斯于19 世纪20 年代拟定， 该投影由德国高斯于 19世纪 20年代拟定 ， 经克吕格 1912年对投影公式加以补充，称为高斯－克吕格投影。 1912年对投影公式加以补充，称为高斯－克吕格投影。 属于等角横切椭圆柱投影 属于等角横切椭圆柱投影。这种投影是将椭圆柱 等角横切椭圆柱投影。 面套在地球椭球的外面，并与某一子午线相切（ 面套在地球椭球的外面，并与某一子午线相切（此子 午线叫中央子午线或中央经线）， ），椭圆柱的中心轴通 午线叫中央子午线或中央经线），椭圆柱的中心轴通 过地球椭球的中心， 过地球椭球的中心，然后用等角条件将中央子午线东 西两侧各一定经差范围内的地区投影到柱面上， 西两侧各一定经差范围内的地区投影到柱面上，并将 此柱面展成平面，即获得. 此柱面展成平面，即获得.
变形分布规律： 2. 变形分布规律： ①中央经线没有长度变形。其余经线长度 比均大于1 距中央经线愈远变形愈大； 比均大于1，距中央经线愈远变形愈大；
在同一条经线上， ②在同一条经线上，长度变形随纬度的 降低而增大； 降低而增大； 在同一条纬线上， ③在同一条纬线上，长度变形随距中央 经线距离的增大而增大。 经线距离的增大而增大。最大变形在边缘经线
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高斯—克吕格投影正反算公式的应用
【摘要】高斯-克吕格正算公式是把大地坐标换算成高斯-克吕格投影平面上的直角坐标，而高斯-克吕格反算公式是把高斯-克吕格投影平面直角坐标换算到椭球面上的大地坐标。
为了城市坐标与国家统一坐标取得一致，需要进行城市坐标与国家坐标之间的换算，高斯-克吕格正反算公式为不同投影带之间的坐标换算提供了精确的坐标公式。
【关键词】高斯-克吕格投影坐标中央子午线
1 引言
目前，大比例尺地形图广泛应用在市政建设、路桥、管道铺设和城市规划等工程建设中。
为了满足城市大比例尺1：500地形测图精度要求，《城市测量规范》要求，控制点之间的投影长度变形不得大于 2.5cm/km。
当控制点之间的长度变形大于2.5cm/km时，要采取适当的措施进行改化，以达到城市大比例尺1：500地形测图精度要求。
国家坐标系是6°带或3°带投影的高斯-克吕格直角坐标系，根据它的变形规律，离中央子午线越远，所产生的投影变形越大。
城市独立坐标系的建立，通常是选择过城市的某国家控制点为地方坐标系的起算点，过这点的经线为其中央子午线并联测国家高等级的控制点建立起来的。
这样，国家坐标系与城市独立坐标系的中央子午线存在一个差值λ。
为了更好的进行数据共享，城市平面控制坐标最理想的是和国家坐标系相统一，这就要进行城市独立坐标与国家坐标之间的坐标换算。
高斯-克吕格投影正反算公式能很好的解决不同投影带之间的坐标换算问题。
其方法是：先将已知的平面坐标，按高斯-克吕格投影反算公式求得其大地坐标（B，L），然后根据大地纬度B和经差λ，再按高斯-克吕格投影正算公式求得其在另一投影带中的平面坐标。
2 高斯-克吕格投影正反算公式
2.1 高斯-克吕格投影正算公式：
（1）
其中：，为中央子午线弧长，其计算公式为：
、、、为常数，其计算公式为：
2.2 高斯-克吕格投影反算公式：
其中：。
（1）、（4）式中的N、的计算公式为：
上述诸式中，a、e分别为椭球长半径和第一偏心率，B、L分别为大地经度和大地纬度，L0中央子午线经度，N为卯酋圈曲率半径，B、L、L0单位为弧度。
2.3 （B，L）的求解
为了解算出（B，L），要先求出B0，这里采用迭代方法求解大地纬度B0，其方法为：
①迭代初值：；
②各次迭代：；
③终止条件：。
一般取为2.78*10-9度，即0.00001秒。
迭代求出大地纬度B0后，再求得大地坐标（B，L），然后用子午线弧长公式计算出在新投影带中的子午线弧长，最后利用高斯-克吕格投影正算公式计算出其在新投影带中的坐标。
值得注意的是，迭代解算B0时，B0的单位为度。
3 算例
已知某点在中央子午线L0=1200的60投影带内的坐标为：x=3717726.417，y=-87135.574，求该点在中央子午线L0=1190时的坐标。
首先迭代计算出该点在中央子午线L0=1200的大地纬度B0=33058′52.72705″；
然后用高斯-克吕格投影反算公式计算出该点在中央子午线L0=1190时的大地坐标（B，L）为：B=33034′54.16840，L=119003′41.13609″；
再由子午线弧长公式计算出该点在中央子午线L0=1190的子午线弧长3717331.634；
最后由高斯-克吕格正算公式计算出该点在中央子午线L0=1190时的平面直角坐标为：x=3717333.325，y=5702.652。
4 结论
高斯-克吕格投影正反算公式能够进行任意带之间的坐标转换，并且转换精度高，迭代计算B0收敛速度快，效率高。
该方法理论简单，容易编制程序计算，便于掌握应用。
参考文献：
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