模糊数学聚类分析

第二章 模糊聚类分析
一、模糊关系
什么是关系
张三， 同学集合 X={张三，李四，王五 张三 李四，王五} 外语选修课程集合 Y={英，法， 英 德，日} R={ (张三 英), (张三 法), (李四 张三, 张三, 李四, 张三 张三 李四 王五, 王五, 德), (王五 日), (王五 英)} 王五 王五
关系
定义1：集合 定义 ：集合A,B的直积 的直积 A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}的一个子集 的一个子集 × ∈ ∈ 的一个 R称为 到B的一个二元关系，简称 称为A到 的一个二元关系 的一个二元关系， 称为 关系。 关系。 可见，关系也是个集合。 可见，关系也是个集合。
关系－ 关系－example1
模糊矩阵的运算
0.5 0.3 0.8 0.5 R= , S = 0.3 0.7 0.4 0.8
求
R U S, R I S, R
c
模糊矩阵的运算性质
（1）幂等律：A∪A＝A , A∩A=A; ）幂等律： ∪ ＝ （2）交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; ）交换律： ∪ ∪ （3）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B ∪C), ）结合律： ∪ ∪ ∪ (A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A, ）吸收律： ∪ A∪(A∩B)=A; ∪ （5）分配律 ）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), ∪ ∪ (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C); ∪ ∪ ∪
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X× 上的模糊关系 上的模糊关系E满足 如果给定 ×Y上的模糊关系 满足 E ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y ,
µ E ( x, y ) = 1
称E为X×Y的“全称关系”，表示全称 为 × 的 全称关系” 关系E的矩阵为全称矩阵 的矩阵为全称矩阵。 关系 的矩阵为全称矩阵。
性质4（ － 律 性质 （0－1律）：
0o A = Ao0 = 0 I o A = Ao I = A
合成运算的性质
注意
合成运算的交运算的分配律不成立
0.1 0.3 0.2 0.1 0.5 0.1 A= , B = 0.3 0.2 , C = 0.3 0.2 0.2 0.1 求(A ∩ B) o C ,( A o C ) ∩ ( B o C )
模糊矩阵的运算
为模糊矩阵， 设A、B为模糊矩阵，记A=(aij),B=(bij)， 、 为模糊矩阵 ， i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, 则 (1)并：A∪B <=> (aij∨bij)m×n 并 ∪ × (2)交: A∩B <=> (aij∧bij)m×n 交 × (3)余: Ac <=> (1-aij) m×n 余 ×
0
0, x ≤ y µ R ( x, y ) = 100 －1 （+ 1 ( x − y)2 ） , x > y
模糊关系－ 模糊关系－example2
例：设身高论域U=｛140，150，160， 设身高论域 ｛ ， ， ， 170，180｝，体重论域 ｛40，50，60， ｝，体重论域 ， ｝，体重论域V=｛ ， ， ， 70，80｝，则身高与体重之间的模糊关 ｝，则身高与体重之间的模糊关 ， ｝， 系： V
模糊关系的运算
都是X× 上的模糊关系 上的模糊关系， 设R,S都是 ×Y上的模糊关系，则 都是 1) R U S ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y ,
µ R U S ( x, y ) = max{µ R ( x, y ), µ S ( x, y )}
2) R I S ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y ,
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X上的模糊关系 满足 如果给定 上的模糊关系I满足 上的模糊关系
1, 当 x = y I ⇔ µ I ( x, y ) = 0,当 x ≠ y
则称I为 的 恒等关系” 则称 为X的“恒等关系”，表示恒 等关系I的矩阵为单位矩阵 的矩阵为单位矩阵。 等关系 的矩阵为单位矩阵。
模糊矩阵－ 模糊矩阵－Example
设有四种物品，苹果、乒乓球、 设有四种物品，苹果、乒乓球、书、花组成 的论域U，分别用x 表示， 的论域 ，分别用 1,x2，…,xn表示，它们的相 ， 似程度可以用模糊关系R来表示 来表示： 似程度可以用模糊关系 来表示：
1 0.7 R= 0 0.5 0.7 1 0 0.4 0 0 1 0 0.5 0.4 0 1
模糊矩阵的包含性质
性质9 A ≤ B ⇒ A ∪ B = B; A ∩ B = A; A ≥ B .
c c
性质10 A ≤ B，C ≤ D ⇒ A ∪ C ≤ B ∪ D； A ∩ C ≤ B ∩ D.
模糊关系的合成
模糊关系的合成
设有三个论域X、 、 ， 设有三个论域 、Y、Z，R1是X到Y上的 到 上的 模糊关系， 上的模糊关系， 模糊关系，R2是Y到Z上的模糊关系，则 到 上的模糊关系 R1与R2的合成 1。R2是X到Z的一个模糊 的合成R 到 的一个模糊 关系， 关系，其隶属函数为
记为：A B, 其隶属函数为： →
R
µ R：A × B [0,1] →
( x, y ) µ R ( x, y ) ⇔ R( x, y ) →
模糊关系－ 模糊关系－example1
其上的模糊关系R=“x远远 远远
大于y”，怎么表示？ 大于 ，怎么表示？
R(x,y) 1
y X 当x=1000,y=100时，R(x,y)=0.999 时 当x=20,y=10时，R(x,y)=0.5 时 当x=20,y=18时，R(x,y)=0.0358 时
(R1 o R 2 )( x, z ) ⇔ ∨ ( R1 ( x, y ) ∧ R2 ( y, z ))
y∈Y
若R为X 上的关系,则 R ⇔ R o R, R ⇔ R
2 n n −1
oR
模糊关系的合成
当论域为有限时， 当论域为有限时，模糊关系的合成转化为 模糊矩阵的合成， 模糊矩阵的合成，合成运算相当于矩阵的 合成运算。 合成运算。
为横轴， 为纵轴 直积X 为纵轴， 设X为横轴，Y为纵轴，直积 ×Y 为横轴
是整个平面，其上的普通关系 是整个平面，其上的普通关系x>y： ：
Y Y=X R:X>Y
0
X
0, x ≤ y cR(x, y) = 1, x > y
模糊关系
定义：以集合 的直积A× 为论域 为论域， 定义：以集合A,B的直积 ×B为论域，其 的直积 上的一个模糊子集R称为 称为A,B的一个模糊关 上的一个模糊子集 称为 的一个模糊关 上的模糊关系R”， 系。若A=B，则称为“A上的模糊关系 ， ，则称为“ 上的模糊关系
µ R ( x, y ) ≤ µ S ( x, y )
模糊关系的运算
5)
R = S ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y ,
µ R ( x, y ) = µ S ( x, y )
模糊矩阵的概念
模糊关系的表示－ 模糊关系的表示－模糊矩阵
经典有限集合上的关系， 经典有限集合上的关系，可以使用矩阵来 表示。 表示。 若论域X× 是有限集， 若论域 ×Y是有限集，模糊关系可以表 示为模糊矩阵。 示为模糊矩阵。 模糊矩阵元素表示关系的隶属值。 模糊矩阵元素表示关系的隶属值。 若论域X× 是连续或无限的， 若论域 ×Y是连续或无限的，则该论域 上的(模糊 关系不能用(模糊 矩阵来表示。 模糊)关系不能用 模糊)矩阵来表示 上的 模糊 关系不能用 模糊 矩阵来表示。
合成运算的性质
性质5： 性质 ：
A ≤ B, C ≤ D ⇒ AoC ≤ B o D
A ≤ B ⇒ A o C ≤ B o C; C o A ≤ C o B; A ≤ B
n n
性质6： 性质 ：
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模糊矩阵的转置
与线性代数中，模糊矩阵的转置相同。 与线性代数中，模糊矩阵的转置相同。 性质1： 性质 ： ( AT )T = A 性质2： 性质 ： ( A ∪ B ) T = A T ∪ B T ; 性质3： 性质 ： ( A o B ) T = B
µ R I S ( x, y ) = min{µ R ( x, y ), µ S ( x, y )}
模糊关系的运算
3) R c ⇔ ∀ ( x , y ) ∈ X × Y , µ Rc ( x, y ) = 1 − µ R ( x, y ) 4) R ⊆ S ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y ,
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X× 上的模糊关系 上的模糊关系R， 如果给定 ×Y上的模糊关系 ，定义
R T ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y , µ RT ( x , y ) = µ R ( y , x )
称RT为R的“倒置关系”,表示模糊关 的 倒置关系” 表示模糊关 的矩阵为R矩阵的转置矩阵 矩阵的转置矩阵。 系RT的矩阵为 矩阵的转置矩阵。
U 140 150 160 170 180 40 1 0.8 0.2 0.1 0 50 0.8 01 0.8 0.2 0.1 60 0.2 0.8 1 0.8 0.2 70 0.1 0.2 0.8 1 0.8 80 0 0.1 0.2 0.8 1
模糊关系的运算
模糊关系就是模糊子集， 模糊关系就是模糊子集，只不过其论域 是直积A× 罢了 是直积 ×B罢了 模糊关系的运算法则完全服从模糊集合 的运算法则
模糊矩阵的定义
如果对于任意i=1,2,…,m, j=1,2,…,n,都 如果对于任意 都 则称矩阵R=(rij)m×n为模糊 有rij∈[0,1],则称矩阵 则称矩阵 × 矩阵。 矩阵。若rij∈｛0,1｝,则模糊矩阵变成 ｝ 则模糊矩阵变成 Boole矩阵。 矩阵。 矩阵 模糊矩阵可以表示模糊关系，对于“ 模糊矩阵可以表示模糊关系，对于“A 上的模糊关系”用模糊方阵来表示。 上的模糊关系”用模糊方阵来表示。
模糊矩阵的合成运算
不满足交换律。 不满足交换律。 例：设
0.5 0.3 0.8 0.5 R= , S = 0.3 0.7 0.4 0.8
求
RoS
模糊方阵
模糊方阵的幂： 模糊方阵的幂：
A 2 ⇔ A o A , A 3 ⇔ A 2 o A , ... A n ⇔ A n −1 o A
(A
n
(A ∩ B) = A ∩ B
T T
T
T
T
o A
;
性质4： 性质 ： 性质5： 性质 ：
(A ) = (A ) T T A≤ B ⇔ A ≤ B
合成运算的性质
( A o B) o C = A o ( B o C ) 性质1（结合律）： 性质 （结合律）： 性质2： 性质 ： Al o Ak = Al + k ,( Am ) n = Amn 性质3（分配律）可以推广到多个： 性质 （分配律）可以推广到多个：
A o ( B ∪ C ) = ( A o B) ∪ ( A o C ) ( B ∪ C ) o A = ( B o A) ∪ (C o A)
模糊矩阵的运算及性质
模糊矩阵的关系
为模糊矩阵， 设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)， 、 为模糊矩阵 ， i=1,2,…,m,j=1,2,…,n, 则 (1)相等：A=B <=>对任意 有 aij=bij 相等： 对任意i,j 相等 对任意 (2)包含：A≤B <=>对任意 有 aij≤bij 包含： 对任意i,j 包含 对任意
模糊矩阵的运算性质
（6）0-1律：A∪O＝A, A∩O＝O; ） 律 ∪ ＝ ＝ E∪A=E,E∩A=A; ∪ （7）还原律：(Ac)c=A; ）还原律： （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, ）对偶律： ∪ (A∩B)c= Ac∪Bc.
注意
排中律不成立！！ 排中律不成立！！ Ac∪A≠ E, A∩Ac ≠ O
模糊关系与模糊矩阵
若给定X× 上的模糊关系 上的模糊关系O， 若给定 ×Y上的模糊关系 ，满足
O ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y ,
µ O ( x, y ) = 0
则称O为 × 的 零关系” 则称 为X×Y的“零关系”， 表示零关系O的矩阵为零矩阵 的矩阵为零矩阵。 表示零关系 的矩阵为零矩阵。