模糊数学聚类分析
第4章模糊聚类分析
1] R是普通对称关系. 定理2 R对称 [0，，
证明： 设R对称，且( x, y) R , 则R( x, y)
故R( y, x) R( x, y)
R是普通对称关系.
( y, x) R
任取x, y X , 反之，若 ［0， 1］，R 对称，
R( x, x) 1，
则称R为模糊自反关系.
X有限时，R (rij )nn , rii R( xi , xi ) 1
实际应用中，可根据主对角线元素是否为1来 判定R是否满足自反关系。
自反 [0，， 1] R是普通自反关系. 定理1 R
证明：R 自反 x X , R( x, x) 1 ( [0， 1])
令 R( x, y) 则( x, y) R , 从而( y, x) R ,
于是R( y, x) R( x, y),
类似得R( x, y) R( y, x)
故R( x, y) R( y, x).
3. 模糊传递关系(fuzzy transitive relations) 定义3
rij 1 c dij ,
c 的选取只需保证0 rij 1即可，例如可选 c= 1 dmax .
（2）绝对值指数法
rij e
| xik x jk |
k 1
m
（3）绝对值倒数法
i j; 1, M rij m , i j. | x x | ik jk k 1
其中M 选取适当的正数，使得0 rij 1.
（4）绝对值减数法
rij 1 c | xik x jk |
k 1
m
其中c适当选取，使得rij 在[0， 1]内分散开.
模糊聚类分析
模糊聚类分析是一种数学方法，它使用模糊数学语言根据某些要求对事物进行描述和分类。
模糊聚类分析通常是指根据研究对象的属性构造模糊矩阵，并在此基础上根据一定隶属度确定聚类关系，即样本之间的模糊关系由样本的数量来确定。
模糊数学方法，以客观，准确地聚类。
聚类是将数据集划分为多个类或群集，以便每个类之间的数据差异应尽可能大，并且该类内的数据差异应尽可能小基本覆盖当涉及事物之间的模糊边界时，模糊聚类分析是一种根据某些要求对事物进行分类的数学方法。
聚类分析是数学统计中的一种多元分析方法是利用数学方法定量确定样品之间的关系，从而客观地分类类型。
事物之间的某些界限是精确的，而其他界限则是模糊的。
人群中人脸的相似度之间的界限是模糊的，多云和晴天之间的界限也是模糊的。
当聚类涉及事物之间的模糊界限时，应使用模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析广泛应用于气象预报，地质，农业，林业等领域。
通常，聚类的事物称为样本，一组事物称为样本集。
模糊聚类分析有两种基本方法：系统聚类和逐步聚类。
基本方法基本流程（1）通过计算样本或变量之间的相似系数，建立模糊相似矩阵；（2）通过对模糊矩阵进行一系列综合变换，生成模糊等效矩阵。
（3）最后，根据不同的截获水平λ对模糊等效矩阵进行分类系统聚类方法系统聚类方法是一种基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法。
在经典聚类分析方法中，经典等价关系可用于对样本集X进行聚类。
令R为X上的经典等价关系。
对于X中的两个元素x和Y，如果XRY或（x，y）∈R ，然后x和y，否则X和y不属于同一类。
[3]使用这种方法，分类的结果与α的值有关。
α的值越大，划分的类别越多。
当α小于某个值时，X中的所有样本将被归为一类。
该方法的优点是可以根据实际需要选择α值，以获得正确的分类。
系统聚类的步骤如下：①用数字描述样品的特性。
设要聚类的样本为x = {x1，xn}。
每个样本具有p个特征，记录为Xi =（Xi1，xip）；i = 1，2，…，N；XIP是描述样本Xi的第p个特征的编号。
模糊数学——第10次课 基于模糊等价关系的聚类分析
故此时{x1, x3, x4, x5}为一类，{x2}为一类。
2014年6月26日
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选取 = 0.6，则此时R*的截矩阵变为
1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0.3 R* 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1
1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
当 当 当 当 当
1时，分类为{ x1 },{ x2 },{ x3 },{ x4 },{ x5 }; 0.8时，分类为{ x1 , x3 },{ x2 },{ x4 },{ x5 }; 0.6时，分类为{ x1 , x3 },{ x2 },{ x4 , x5 }; 0.5时，分类为{ x1 , x3 , x4 , x5 },{ x2 }; 0.4时，分类为{ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }.
2014年6月26日
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模糊聚类分析
例2：设有模糊相似矩阵
0.1 0.2 1 R 0.1 1 0.3 0.2 0.3 1 0.2 0.2 1 R R 0.2 1 0.3 R 2 0.2 0.3 1 0.2 0.2 1 2 2 R R 0.2 1 0.3 R 2 t ( R ). 0.2 0.3 1
模糊聚类分析ppt课件
k 1
1 2
m k 1
(
xik
x jk )
m
( xik x jk )
rij
k 1 m
xik .x jk
k 1
5. 求模糊等价矩阵
用上述方法建立起来的模糊矩阵 R ，一般说来只 满足自反性和对称性，不一定满足传递性，即 R 不一 定是模糊等价关系，需要将 R改造成模糊等价矩阵R，
然后再在适当的阈值上进行截取，便可得所需分类。
根据需要可同时选择不同准则分别进行聚类分析，然后 通过综合取交的方法，以做到兼顾多目标，使分类结果更科学。
3、建立数据矩阵
设论域U { x1, x2 ,, xn }为被分类对象， 每个对象又由m 个指标表示其性状：
xi { xi1, xi2 ,, xim } (i 1,2,, n) 则得到原始数据矩阵为 X ( xij )nm .
1, 2,..., m
构造下列形式的F统计量，
r
i
2
ni x x /(r 1)
F i1 r ni
xij
i
x
2
/(n r)
i1 jn1
x x 其中， 为 i x x
m
i
(xk
xk )2
i
与
的距离， xij x i
i 为第
k 1
类中样本
xij 与
i
x 的距离。
F 统计量分子表征类与类之间的距离， 分母表示类内样本间距离，因此 F 值越大，说
改造的方法是将 R 自乘得 R R R2，再自 乘 R2 R2 R4 ，如此继续下去，得 R8 , R16 ……，至某 一步出现 R2k Rk 为止。则 Rk便是一个模糊等价关系。 这个方法是由所谓“传递闭包”理论而来，我们在此 拿来直接应用，不再作详细介绍。
基于模糊数学的数据分析方法
基于模糊数学的数据分析方法一、引言随着信息技术的快速发展和普及，数据的规模和复杂度不断增加，为数据分析提出了更高的要求。
传统的分析方法已经难以满足现代数据分析的需求，而基于模糊数学的数据分析方法因其能够处理不确定性和模糊性，被广泛应用于实践中。
本文将介绍基于模糊数学的数据分析方法及其在实际应用中的优势和局限性。
二、模糊数学及其基本理论模糊数学是一种处理模糊性和不确定性的数学工具。
常用的模糊数学理论有模糊集合、模糊关系、模糊逻辑、模糊数学规划等。
其中，模糊集合是指一个集合中的元素也具有不确定性和模糊性的情况。
模糊关系是一个原本确定的关系变得不太确定，需要用到模糊集合的概念进行描述。
模糊逻辑是针对有限和无限的推理、决策等问题中存在的不确定性和模糊性，进行推理问题的数学分析和处理。
而模糊数学规划，是将模糊集合中的参数作为规划问题的输入，进行优化计算。
三、基于模糊数学的数据分析方法1. 模糊聚类模糊聚类分析是一种基于模糊数学的聚类算法。
与传统聚类算法不同，模糊聚类算法允许每个元素属于多个不同的簇，并通过不同的隶属度来表示其属于不同簇的程度。
该方法可用于处理数据分类、医学诊断、图像分割等领域。
2. 模糊决策树模糊决策树是一种基于模糊数学的分类算法。
在建立决策树时，该算法将特征值离散化，并将各个特征之间的关系进行模糊表达，以便更好地处理具有模糊性和不确定性的决策问题。
3. 模糊神经网络模糊神经网络是一种基于模糊数学的神经网络，其主要特点是在输入端和输出端存在模糊化的过程。
因此，该方法比传统的神经网络更能够有效地处理模糊性和不确定性，可以用于数据分类、预测、决策等领域。
四、基于模糊数学的数据分析方法的优势和局限性优势：1. 可以有效地处理不确定性和模糊性，解决了传统方法无法处理的问题。
2. 更加灵活和可扩展，可以按照实际情况调整参数和方法，适应不同领域的需求。
3. 更加符合人类的思维方式，易于理解和解释分析结果。
模糊聚类分析
模糊聚类分析壹、何谓聚类分析聚类分析是研究事物分类的一种多元分析方法。
在日常生活中，我们时常要把所接触到的事物（样本），按其性质、用途等进行分类，这种分类过程我们称为聚类分析。
（阙颂廉，民83）贰、聚类分析的应用模糊聚类分析是当前在模糊数学中应用最多的几个方法之一，可以将研究的样本进行合理的分类，如产品的分类就常常用聚类分析来进行，另聚类分析也可用来进行判别分析和预测（林杰斌等。
民76）。
所以，也被广泛地应用于天气预报、地震预测、地质探勘、运动员心理素质分类、河川水质污染程度等方面。
参、普通的等价关系在谈聚类分析之前，应先介绍相似关系和等价关系：一.自反性对任意Uu∈，都有Ru,u(∈，即集合中任一个元素u都)与自身有某相同性质的关系，则称R是自反关系，相对应的矩阵称为自反矩阵。
另数学表示意义为：A中的元素关于R具有”自反性”，即。
例：若U 为同一种族的集合，而集合中每一个人u ，皆与自身有同一种族之关系，这种性质则称为自反性。
二. 对称性如果ji ,R )u ,u (,R )u ,u(i j j i≠∈∈必有。
即u i 与u j 有存在某种关系，若将两个元素之位置对调，则即u j 与u i 也必有符合这层关系，则称R 有对称关系，相对应的矩阵为对称矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”对称性”，即yRx xRy ,A y ,x 且若∈∀。
例：若甲和乙是同学关系，则乙和甲必也是同学关系，这种关系则称为对称性。
三. 传递性如果能由R)w u (R )w v (R )v u (∈∈∈，，推導出，及，。
即u与v 有存在某一关系，而v 与w 也有这同一种关系存在，则即u 与w 也必有符合这层关系存在，则称R 有传递关系，相对应的矩阵为传递矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”传递性”，即。
例：若甲和乙是同一种族关系，而乙和丙也是同一种族关系，则甲和丙必有同一种族关系，这种则称为具有传递性关系。
模糊聚类分析
模糊聚类分析是根据客观事物的特征、亲和度和相似度建立模糊相似关系，对客观事物进行聚类的一种分析方法。
当涉及到事物之间的模糊边界时，根据一定的要求对事物进行分类的一种数学方法。
聚类分析是数理统计中的一种多元分析方法，它利用数学方法定量地确定样本之间的亲和力，从而客观地对类型进行分类。
一些事物之间的界限是精确的，而另一些则是模糊的。
人与人之间脸部相似的界限是模糊的，天气之间的界限也是模糊的。
当聚类涉及到事物之间的模糊边界时，应使用模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析在天气预报、地质、农业、林业等领域有着广泛的应用。
通常，聚类物称为样本，一组聚类物称为样本集。
模糊聚类分析的基本方法有两种：系统聚类法和逐步聚类法。
概述。
在数据分类中，常用的分类方法包括多元统计中的系统聚类、模糊聚类分析等；在模糊聚类分析中，首先要计算模糊相似矩阵，不同的模糊相似矩阵会产生不同的分类结果；即使使用相同的模糊相似矩阵，不同的阈值也会产生不同的分类结果。
“如何确定这些分类的有效性”成为模糊聚类的关键点。
这是识别研究中的一个重要问题。
在文献中，不能令人满意的有效性归因于数据集的几何结构不令人满意。
但笔者认为，不同的几何结构反映了实际需要。
我们不能排除实际需要，追求所谓的“理想几何结构”。
分类不理想不能归因于数据集的几何结构。
对于相同的模糊相似矩阵，文献建立了一种判断模糊聚类有效性的方法。
在有固定显著性水平的情况下，在不同分类中选择F统一测量临界值与F检验临界值之间的最大差值是一种有效的分类方法。
但是，当显著性水平发生变化时，该方法的结果也会发生变化。
文献引入模糊划分办公室来评价模糊聚类的有效性，并人为规定当两个类别的办公室大于1时，两个类别可以合并，最终通过逐次合并得到有效的分类。
这种方法有较多的人为干预，当指定的数量不同时，会得到不同的结果。
系统聚类法。
系统聚类法是一种基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法。
在经典的聚类分析方法中，样本集可以通过经典的等价关系进行聚类。
第7章 模糊聚类分析
方法1. 令 rij
rij 1
2 rij m rij , 方法2. 令 rij ( i j ), 其中 m min i j M m
M max rij , 于是 rij [0,1] i j
（2）夹角余弦法
, 则 rij [0,1]
rij
x
例7.1 环境单元分类 设 U {u1 , u2 ,..., un } 为五个环境单元的集合，每个 环境单元有空气、水分、土壤、作物四个要素，环境
单元的污染状况由污染物在四个要素中含量的超限度
u1 (5,5,3,2), u2 (2,3,4,5), 来描述，若其污染数据为： u3 (5,5,2,3), u4 (1,5,3,1), u5 (2,4,5,1), 试对U进
1 0.4 R 8 0.8 0.5 0.5
0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 R 4 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
所以传递闭包 R R4 , 然后依次取的截矩阵 R , 并按 R 将U分成等价类. 若=1, 便将U分为5类, 即 {u1 },{u2 },{u3 },{u4 },{u5 }; 若=0.8, 便将U分为4类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 },{u5 }; 若=0.6, 便将U分为3类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 , u5 };
J ( A,V ) aij u j vi
（2）用逐次平方法计算R的传递闭包 t ( R) R, 因为
1 0.3 R 2 0.8 0.5 0.5 1 0.4 4 R 0.8 0.5 0.5
模糊聚类分析法
模糊聚类分析方法
分类伴随着模糊性，将模糊数学中的有关概念与方法引进聚类分析，通过建立模糊相似关系，进而对客观事物进行分类。
（1）原始数据标准化
要构造模糊关系矩阵，必须对样本进行数据进行预处理，使样本数据压缩到[0，1]闭区间内，首先求出n个样本的第j个指标的平均值和标准差。
原始数据标准化值为
运用极值标准化公式，将标准化数据压缩到[0，1]闭区间内
其中与分别表示中最小值和最大值。
（2）相似系数法——标定
为了建立模糊相似矩阵，引入相似系数
这里表示两个样本与之间相似程度的变量，当接近于1，表明这两个样本越接近。
的确定方法：
相关系数法：
归一化互信息
表示样本的表达数据在个不同表达水平的发生率（概率）
距离法：欧氏距离
C选取适当的正数，使在[0，1]区间内
（3）模糊相似矩阵——聚类
通过上述标定，得到模糊相似矩阵，反映了样本间的相似关系，但它只具有自反性和对
称性，不具有传递性，此时，可以通过平方法得到的传递闭包，而就是论域上
的一个模糊等价矩阵，选择不同的值，得到不同的水平截集，得到动态聚类结果，生成动态聚类树。
模糊聚类分析方法
模糊聚类分析方法对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。
载科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。
例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。
由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。
一、模糊聚类分析的一般步骤1、第一步：数据标准化[9]（1 ）数据矩阵设论域U { x1,x2,L ,x n} 为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即x i {x i1,x i2,L ,x im} （i 1,2,L ,n），于是，得到原始数据矩阵为L x1mx11x12L x2mx21x22M M ML x nmx n1x n2其中X nm表示第n个分类对象的第m个指标的原始数据。
（2 ）数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。
但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间［0,1］上。
因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据 压缩到区间［0,1］上。
通常有以下几种变换: ① 平移•标准差变换经过变换后，每个变量的均值为 0,标准差为1，且消除了量纲的影响。
但 是，再用得到的x ik 还不一定在区间［0,1］上 ② 平移•极差变换X k min{ X k } X ik亠 ，(k 1,2,L ,m)m.ax{X ik } min{ $}1 i n1 i n显然有0 X ik 1，而且也消除了量纲的影响。
③ 对数变换X ik lg X k(i 1,2,L ,n;k 1,2,L ,m)取对数以缩小变量间的数量级。
2、第二步：标定(建立模糊相似矩阵)设论域U {X !,X 2,L ,X n }， X i {X i1,X i2,L ,X im }，依照传统聚类方法确定相似 系数，建立模糊相似矩阵，X i 与X j 的相似程度r ij R(X i ,X j )。
第七章模糊聚类分析
F-统计量：
设 U {u1, u2 ,, un} 为待分类事物的全体，u j ( x j1, x j 2 ,, x jm )
xjk 为描述元素 uj 第 k 个特征的数据 (k 1, 2,, m) .设 c 为
对应于 λ 值的类数，ni 为第 i 类元素的个数，第 i 类元素记为
* * * * xk 在第 l 行，用 aii xk , ai i xk ,, ai i xk 并设 1 j 2 j k j
分别代替 ai1l , ai2l ,, aik l 及其对称矩阵，并把 all 圈起来
继续此过程，到 k = n-1,得到 t(A) .
还有逐步平方法：
计算R R R R R ，直至出现R R ，则t R R
1 n xk x jk (k 1, 2,, m) n j 1
于是，称
ni || u i u ||2 (c 1) i F c1 n i i 2 i || u u || j
c
i 1 j 1
( n c)
为F-统计量，其中 || u i u || 为第i类中元素 uij 与中心 u i 的距离. 可见，F-统计量的分子表征类与类间的距离，分母表征类
内元素间的距离. 因此，F 值越大，说明分类越合理，与此分
类相对应的 F-统计量最大的阈值λ为最佳值.
求传递闭包的简便方法
设 A (aij )nn 为模糊相似矩阵，求 t(A). (1) 求 max a1 j ,假定 a1m max a1 j , 把 A 中的 a1m,am1,a11,amm 用圆圈 2 j n 2 j n
xi 是数据处理后的数据。
3.标定
就是根据实际情况，按一个准则或某一种方法，给论域 U中的元素两两之间都赋以区间[0,1]内的一个数，叫做相 似系数。它的大小表征两个元素彼此接近或相似的程度。 设 u1 , u2 ,, un 为待分类的对象，uj有m个刻划其特征的 数据， j1 , x j2 ,, x jm ，然后对于 ui与 uj ，用 rij 表示 ui 与 uj 的 x 的相似程度，要求 0 rij 1, rii 1
模糊聚类分析
模糊聚类分析
FCM(Fuzzy C-Means)算法是模糊聚类算法，其属于软聚类，即一个样本点可以属于多个类。
不同于层次、均值和密度聚类，一个样本只能属于或者不属于一个类。
模糊聚类的话，就是引入了隶属值的概念，即每一个样本都是使用[0,1]的隶属值（类似概率或几率值）来确定其属于各簇的程度，当你的隶属值设置成仅有0或者1的时候，它其实就是一个K-mean聚类了，同时模糊聚类存在一个限制条件就是一个样本隶属于各个簇的隶属值之和等于1。
聚类思想是使簇内的样本点之间的越小差异，而簇间的差异越大。
模糊聚类中的C与K均值中的K是相同意思，都是指聚类的个数，而在模糊聚类中除了这个C以外还有一个参数m。
其中C用于控制聚类的数目，参数m用于控制算法的柔性的，可以影响聚类的准确度，m取值太小，样本点会分布会比较分散，导致噪声（异常值）的影响很大，而取值太大，样本点会分布集中，对偏度主流的样本点的控制度又比较弱。
一般m取值为2即可，（R里面默认也是2）。
模糊聚类算法是通过迭代计算目标函数的最小值来判断算法的运转；具体的公式推导过程可以参考（https:///zjsghww/article/details/50922168）：其算法大致步骤如下：1：随机产生C个簇中心（或随机产生一些隶属值）；2：
计算隶属矩阵（或计算簇中心）；3：有了隶属矩阵（或簇中心）再重新计算簇中心（或隶属矩阵）；4：计算目标函数；5：判断目标函数达到最小值或趋于不再存在较大的波动，则停止运算，确定聚类最终结果，否则重新计算隶属矩阵（或簇中心）。
模糊数学2模糊聚类分析方法模糊综合评判方法
❖ （1）单层次模糊综合评判模型 设X={x1,x2…xn}是综合评判因素所组成集合，
Y={y1,y2…yn}是评语所组成的集合。
R：X→Y rij=µR(xi,yj) 元素rij表示xi符合yj标准的程度。
A=(a1,a2…an)是各评判因素的权重分配，
则评判结果 B=A◦R.
例
我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判，设包括三个因 素，即硬件建设，软件建设、人员培训，用论域U表示为：
0.38 0.8 0.67
0.49 1375 931源自0.380.80.67
0.93
0.95 0.67 0.94
0.9
0.94 0.67 0.95
1
0.99
0.99 0.45 0.55
0.99
1
0.99 0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
1
0.45 0.55
0.45 1
0.49137 5931
0.93
0.9
1 0.67 0.94 0.38
0.38
0.38 0.95 0.94
0.67 1 0.67
0.94 0.67 1
0.8 0.67
0.8 0.67
0.8 0.67
0.67 0.94 0.67 0.95
0.49137 5931
0.38 0.8 0.67
0.49137 5931
较好
40% 30% 10%
可以
10% 20% 30%
不好
0 10% 60%
0.2 R ~
0.7
0.1
0
上表就构成模糊矩阵 R= 0
0.4 0.5 0.1
模糊聚类分析的理论(17页)
模糊聚类分析的理论模糊聚类分析是一种基于模糊数学理论的聚类方法，它允许数据点属于多个类别，并且每个类别都有一个模糊度。
这种方法在处理现实世界中的问题时非常有效，因为现实世界中的数据往往不是完全确定的，而是具有模糊性的。
模糊聚类分析的基本思想是将数据点分为若干个类别，使得每个数据点属于各个类别的程度不同。
这种程度可以用一个介于0和1之间的数来表示，0表示不属于该类别，1表示完全属于该类别。
这种模糊性使得模糊聚类分析能够更好地处理现实世界中的不确定性。
模糊聚类分析的理论基础是模糊集合论。
模糊集合论是一种扩展了传统集合论的数学理论，它允许集合的元素具有模糊性。
在模糊集合论中，一个元素属于一个集合的程度可以用一个隶属度函数来表示。
隶属度函数是一个介于0和1之间的数，它表示元素属于集合的程度。
模糊聚类分析的理论方法有很多种，其中最著名的是模糊C均值(FCM)算法。
FCM算法是一种基于目标函数的迭代算法，它通过最小化目标函数来得到最优的聚类结果。
目标函数通常是一个关于隶属度函数和聚类中心之间的距离的函数。
模糊聚类分析的理论应用非常广泛，它可以在很多领域中使用，例如图像处理、模式识别、数据挖掘等。
在图像处理中，模糊聚类分析可以用于图像分割、图像压缩等任务；在模式识别中，模糊聚类分析可以用于特征提取、分类等任务；在数据挖掘中，模糊聚类分析可以用于发现数据中的隐含规律、预测未来趋势等任务。
模糊聚类分析的理论还有很多需要进一步研究和发展的地方。
例如，如何提高模糊聚类分析的效率和准确性，如何处理大规模数据集，如何将模糊聚类分析与其他方法相结合等。
这些问题都需要进一步的研究和探索。
模糊聚类分析的理论是一种强大的聚类方法，它能够处理现实世界中的不确定性，并且具有广泛的应用前景。
通过不断的研究和发展，模糊聚类分析的理论将会更加完善，并且将会在更多的领域中得到应用。
模糊聚类分析的理论模糊聚类分析是一种基于模糊数学理论的聚类方法，它允许数据点属于多个类别，并且每个类别都有一个模糊度。
模糊聚类分析
查德 1965 年给出的定义：
定义：从论域 U 到闭区间0, 1 的任意一个映射：A :U 0, 1 ，对 任意u U ，u A Au ， Au 0, 1 ，那么A 叫做 U 的一个模糊
子集， Au 叫做 u 的隶属函数，也记做A u 。
简单地可表达为：
设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1]
39 C 以上的一人，x1 ；
如 果 规 定 37.5 C 以 下 的 不 算 发 烧 ， 问 有 多 少 发 烧 病 人 ？ 医 生 就 可 以 回 答 ：
x1, x3, x4 , x5 ，但所谓“发烧”实际上是一个模糊概念，它存在程度上的不同，也就是
说要用隶属函数来描述。如果根据医师的经验规定，对“发烧”来说：
(1) AB AB； (2) ≤ A A； (3) (A∪B)= A∪B，(A∩B)= A∩B.
4、隶属函数的确定
1. 模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率
统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的 圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈” 是否盖住“不动的点”.
2. 指派方法 一种主观方法，一般给出隶属函数的解
一、模糊集及模糊关系
1、模糊问题的提出
在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义 不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模 糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不 分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的 存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那 么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影 响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通 常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模 糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
体温39 C 以上的隶属函数 x 1 ； 体温38.5 C 以上不到39 C 的隶属函数 x 0.9 ； 体温38 C 以上不到38.5 C 的隶属函数 x 0.7 ； 体温37.5 C 以上不到38 C 的隶属函数 x 0.4 ； 体温37.5 C 以下的隶属函数 x 0 ；
模糊数学中的模糊聚类分析-教案
模糊数学中的模糊聚类分析-教案一、引言1.1模糊聚类分析的基本概念1.1.1模糊聚类的定义：介绍模糊聚类分析作为处理不确定性和模糊性数据的一种方法。
1.1.2模糊聚类的重要性：强调其在数据挖掘、模式识别等领域中的应用价值。
1.1.3模糊聚类与传统聚类的区别：对比分析两者在处理数据时的不同方法论。
1.2模糊聚类分析的背景1.2.1模糊数学的发展：介绍模糊数学的起源和发展历程。
1.2.2模糊聚类的发展历程：概述模糊聚类分析从理论到实践的演变。
1.2.3当前模糊聚类分析的研究热点：列举当前学术界对模糊聚类分析的主要研究方向。
1.3教学目标和意义1.3.1知识目标：明确学生通过本课程应掌握的模糊聚类分析的理论知识。
1.3.2技能目标：培养学生运用模糊聚类分析解决实际问题的能力。
1.3.3情感态度与价值观：强调模糊思维在解决复杂问题中的重要性。
二、知识点讲解2.1模糊聚类分析的基本原理2.1.1模糊集合理论：介绍模糊集合的概念、运算及其在聚类分析中的应用。
2.1.2模糊关系和模糊矩阵：解释模糊关系的基本概念和模糊矩阵的构建方法。
2.1.3模糊聚类算法：详细介绍模糊C-均值（FCM）算法的原理和步骤。
2.1.4聚类有效性分析：讨论如何评价模糊聚类结果的合理性和有效性。
2.2模糊聚类分析的关键技术2.2.1隶属度函数的选择：介绍不同类型的隶属度函数及其在聚类分析中的作用。
2.2.2聚类准则的确定：解释如何选择合适的聚类准则来指导聚类过程。
2.2.3聚类数的确定：讨论确定最佳聚类数的方法和策略。
2.2.4算法优化与改进：介绍提高模糊聚类分析效率和精度的方法。
2.3模糊聚类分析的应用案例2.3.1图像处理中的应用：举例说明模糊聚类在图像分割、识别等方面的应用。
2.3.2金融数据分析中的应用：介绍模糊聚类在客户细分、风险评估等方面的应用。
2.3.3生物学研究中的应用：阐述模糊聚类在基因分类、生物种群分析中的应用。
2.3.4其他领域的应用：简要介绍模糊聚类在其他领域，如医疗诊断、市场调查等的应用。
第4章模糊聚类分析
第四章 模糊聚类分析在数学上，根据事物的一定特征，并按一定要求和规律对事物进行分类的方法称为聚类分析，聚类分析的对象一定是尚未分类的群体，其理论产生于对事物进行分类的实际要求。
对带有模糊特征的事物进行聚类分析，使用的是模糊数学方法，因而称为模糊聚类分析法。
该法在生物、医学中应用较广，方法也多样，本章着重介绍以模糊相似关系为基础的聚类方法。
第一节 模糊聚类分析的步骤一、原始数据标准化由于实际问题中所收集的数据往往并不是闭区间[0，1]内的数，所以首先要把原始数据标准化，可以采用如下公式sxx x -=' 其中 x ---原始数据，x ---原始数据的平均值，s —原始数据的标准差这样得到的标准化数据还不一定落在 [0，1]内，若要把标准化数据压缩到[0，1]闭区间，可采用极值标准化公式minmax minx x x x x --='显然，当x =x min 时，则0='x 当x =x max 时，则1='x 二、建立模糊相似关系设Z={x 1 , x 2 , …, x n }是待分类事物的全体，设每一被分类的对象 x i 是由一组数据),,,(21im i i i x x x x = ),,2,1(n i =来表示，现在的问题是如何建立x i 和x j 之间的相似关系？按照实际情况，选用下列方法之一来表示x i 和x j ：1．最大最小法()()∑∑===m k jk ikmk jk ikij x xx xr 11,max ,min2．几何平均最小法()∑∑==⋅=mk jkik mk jk ikij x x x xr 11,min3．算术平均最小法()()∑∑==+=mk jk ik mk jk ikij x x x xr 1121,min4．相关系数法∑∑∑===----=mk mk j jk i ikmk j jk i ikij x x x xx x x xr 11221)()())((其中∑==m k ik i x m x 11 ∑==mk jk j x m x 115．指数相关系数法∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=mk k jk ik ij S x x m r 1243exp 1 其中()∑=-=mk k ik k x x n S 121 ∑==nj jk k x n x 116．夹角余弦法∑∑∑===⋅⋅=m k mk jkikmk jkikij xx x xr 112217．数量积法⎪⎩⎪⎨⎧⋅=∑=mk jkikij x xMr 111时当时当j i j i ≠=其中M 是一个适当选择的正数，并且满足⎪⎭⎫⎝⎛⋅≥∑=m k jk ik x x M 1max8．距离法qmk q jk ik ij x x r 11⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑= 闵可夫斯基距离当q=1时，∑=-=mk jk ikij x xr 1海明距离当q=2时，∑=-=mk jk ijij x xr 12)( 欧氏距离9．非参数法令i ik ikx x x -=' j jk jk x x x -=' 集合},,,,,{2211jm imj i j i x x x x x x '''''' 中正数个数记为n + ,负数个数记为n -- ： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-+-+n n n n r ij 121 10．绝对值减数法⎪⎩⎪⎨⎧--=∑=mk jk ik ij x x C r 111 时当时当j i j i ≠= 其中C 适当选择，使0≤r i j ≤1 11．绝对值指数法⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=mk jkik ij x x r 1exp12．绝对值倒数法⎪⎩⎪⎨⎧-=∑=m k jk ik ij x x M r 11 时当时当j i j i ≠=其中M 是一个适当选择的正数，并且满足⎪⎭⎫⎝⎛-≤∑=m k jk ik x x M 1min以上各式中的ik x 为第 i 个点第k 个因子的值，jk x 为第 j 个点第k 个因子的值。
模糊数学聚类分析ppt课件
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模糊关系的合成
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模糊关系的合成
设有三个论域X、Y、Z，R1是X到Y上的 模糊关系，R2是Y到Z上的模糊关系，则 R1与R2的合成R1。R2是X到Z的一个模糊 关系，其隶属函数为
(R1
oR 2 )( x,
z)
yY
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模糊矩阵的关系
设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)， i=1,2,…,m,j=1,2,…,n, 则
(1)相等：A=B <=>对任意i,j 有 aij=bij (2)包含：A≤B <=>对任意i,j 有 aij≤bij
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模糊矩阵的运算
设A、B为模糊矩阵，记A=(aij),B=(bij)， i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, 则
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模糊矩阵的运算性质
（6）0-1律：A∪O＝A, A∩O＝O; E∪A=E,E∩A=A;
（7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc,
(A∩B)c= Ac∪Bc.
注意
排中律不成立！！ Ac∪A≠ E, A∩Ac ≠ O
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模糊矩阵的包含性质
性质9 A B A B B; A B A; Ac Bc.
( An )T ( AT )n
性质4： ( Ac )T ( AT )c 性质5： A B AT BT
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模糊矩阵的λ截矩阵
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模糊矩阵的λ截矩阵
模糊集合---- λ截集
模糊矩阵---- λ截矩阵
定义：设给定模糊矩阵R=(rij)，对任意λ ∈[0,1]，称Rλ=(rij (λ))为R的λ截矩阵， 其中
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一、模糊关系
什么是关系
张三， 同学集合 X={张三，李四，王五 张三 李四，王五} 外语选修课程集合 Y={英，法， 英 德，日} R={ (张三 英), (张三 法), (李四 张三, 张三, 李四, 张三 张三 李四 王五, 王五, 德), (王五 日), (王五 英)} 王五 王五
µ R I S ( x, y ) = min{µ R ( x, y ), µ S ( x, y )}
模糊关系的运算
3) R c ⇔ ∀ ( x , y ) ∈ X × Y , µ Rc ( x, y ) = 1 − µ R ( x, y ) 4) R ⊆ S ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y ,
模糊矩阵的运算
0.5 0.3 0.8 0.5 R= , S = 0.3 0.7 0.4 0.8
求
R U S, R I S, R
c
模糊矩阵的运算性质
（1）幂等律：A∪A＝A , A∩A=A; ）幂等律： ∪ ＝ （2）交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; ）交换律： ∪ ∪ （3）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B ∪C), ）结合律： ∪ ∪ ∪ (A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A, ）吸收律： ∪ A∪(A∩B)=A; ∪ （5）分配律 ）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), ∪ ∪ (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C); ∪ ∪ ∪
模糊矩阵的运算
为模糊矩阵， 设A、B为模糊矩阵，记A=(aij),B=(bij)， 、 为模糊矩阵 ， i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, 则 (1)并：A∪B <=> (aij∨bij)m×n 并 ∪ × (2)交: A∩B <=> (aij∧bij)m×n 交 × (3)余: Ac <=> (1-aij) m×n 余 ×
为横轴， 为纵轴 直积X 为纵轴， 设X为横轴，Y为纵轴，直积 ×Y 为横轴
是整个平面，其上的普通关系 是整个平面，其上的普通关系x>y： ：
Y Y=X R:X>Y
0
X
0, x ≤ y cR(x, y) = 1, x > y
模糊关系
定义：以集合 的直积A× 为论域 为论域， 定义：以集合A,B的直积 ×B为论域，其 的直积 上的一个模糊子集R称为 称为A,B的一个模糊关 上的一个模糊子集 称为 的一个模糊关 上的模糊关系R”， 系。若A=B，则称为“A上的模糊关系 ， ，则称为“ 上的模糊关系
关系
定义1：集合 定义 ：集合A,B的直积 的直积 A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}的一个子集 的一个子集 × ∈ ∈ 的一个 R称为 到B的一个二元关系，简称 称为A到 的一个二元关系 的一个二元关系， 称为 关系。 关系。 可见，关系也是个集合。 可见，关系也是个集合。
关系－ 关系－example1
模糊矩阵的运算性质
（6）0-1律：A∪O＝A, A∩O＝O; ） 律 ∪ ＝ ＝ E∪A=E,E∩A=A; ∪ （7）还原律：(Ac)c=A; ）还原律： （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, ）对偶律： ∪ (A∩B)c= Ac∪Bc.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ注意
排中律不成立！！ 排中律不成立！！ Ac∪A≠ E, A∩Ac ≠ O
(R1 o R 2 )( x, z ) ⇔ ∨ ( R1 ( x, y ) ∧ R2 ( y, z ))
y∈Y
若R为X 上的关系,则 R ⇔ R o R, R ⇔ R
2 n n −1
oR
模糊关系的合成
当论域为有限时， 当论域为有限时，模糊关系的合成转化为 模糊矩阵的合成， 模糊矩阵的合成，合成运算相当于矩阵的 合成运算。 合成运算。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X× 上的模糊关系 上的模糊关系E满足 如果给定 ×Y上的模糊关系 满足 E ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y ,
µ E ( x, y ) = 1
称E为X×Y的“全称关系”，表示全称 为 × 的 全称关系” 关系E的矩阵为全称矩阵 的矩阵为全称矩阵。 关系 的矩阵为全称矩阵。
µ R ( x, y ) ≤ µ S ( x, y )
模糊关系的运算
5)
R = S ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y ,
µ R ( x, y ) = µ S ( x, y )
模糊矩阵的概念
模糊关系的表示－ 模糊关系的表示－模糊矩阵
经典有限集合上的关系， 经典有限集合上的关系，可以使用矩阵来 表示。 表示。 若论域X× 是有限集， 若论域 ×Y是有限集，模糊关系可以表 示为模糊矩阵。 示为模糊矩阵。 模糊矩阵元素表示关系的隶属值。 模糊矩阵元素表示关系的隶属值。 若论域X× 是连续或无限的， 若论域 ×Y是连续或无限的，则该论域 上的(模糊 关系不能用(模糊 矩阵来表示。 模糊)关系不能用 模糊)矩阵来表示 上的 模糊 关系不能用 模糊 矩阵来表示。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X上的模糊关系 满足 如果给定 上的模糊关系I满足 上的模糊关系
1, 当 x = y I ⇔ µ I ( x, y ) = 0,当 x ≠ y
则称I为 的 恒等关系” 则称 为X的“恒等关系”，表示恒 等关系I的矩阵为单位矩阵 的矩阵为单位矩阵。 等关系 的矩阵为单位矩阵。
模糊矩阵－ 模糊矩阵－Example
设有四种物品，苹果、乒乓球、 设有四种物品，苹果、乒乓球、书、花组成 的论域U，分别用x 表示， 的论域 ，分别用 1,x2，…,xn表示，它们的相 ， 似程度可以用模糊关系R来表示 来表示： 似程度可以用模糊关系 来表示：
1 0.7 R= 0 0.5 0.7 1 0 0.4 0 0 1 0 0.5 0.4 0 1
0
0, x ≤ y µ R ( x, y ) = 100 －1 （+ 1 ( x − y)2 ） , x > y
模糊关系－ 模糊关系－example2
例：设身高论域U=｛140，150，160， 设身高论域 ｛ ， ， ， 170，180｝，体重论域 ｛40，50，60， ｝，体重论域 ， ｝，体重论域V=｛ ， ， ， 70，80｝，则身高与体重之间的模糊关 ｝，则身高与体重之间的模糊关 ， ｝， 系： V
模糊矩阵的包含性质
性质9 A ≤ B ⇒ A ∪ B = B; A ∩ B = A; A ≥ B .
c c
性质10 A ≤ B，C ≤ D ⇒ A ∪ C ≤ B ∪ D； A ∩ C ≤ B ∩ D.
模糊关系的合成
模糊关系的合成
设有三个论域X、 、 ， 设有三个论域 、Y、Z，R1是X到Y上的 到 上的 模糊关系， 上的模糊关系， 模糊关系，R2是Y到Z上的模糊关系，则 到 上的模糊关系 R1与R2的合成 1。R2是X到Z的一个模糊 的合成R 到 的一个模糊 关系， 关系，其隶属函数为
模糊矩阵的运算及性质
模糊矩阵的关系
为模糊矩阵， 设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)， 、 为模糊矩阵 ， i=1,2,…,m,j=1,2,…,n, 则 (1)相等：A=B <=>对任意 有 aij=bij 相等： 对任意i,j 相等 对任意 (2)包含：A≤B <=>对任意 有 aij≤bij 包含： 对任意i,j 包含 对任意
性质4（ － 律 性质 （0－1律）：
0o A = Ao0 = 0 I o A = Ao I = A
合成运算的性质
注意
合成运算的交运算的分配律不成立
0.1 0.3 0.2 0.1 0.5 0.1 A= , B = 0.3 0.2 , C = 0.3 0.2 0.2 0.1 求(A ∩ B) o C ,( A o C ) ∩ ( B o C )
模糊关系的运算
都是X× 上的模糊关系 上的模糊关系， 设R,S都是 ×Y上的模糊关系，则 都是 1) R U S ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y ,
µ R U S ( x, y ) = max{µ R ( x, y ), µ S ( x, y )}
2) R I S ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y ,
模糊矩阵的定义
如果对于任意i=1,2,…,m, j=1,2,…,n,都 如果对于任意 都 则称矩阵R=(rij)m×n为模糊 有rij∈[0,1],则称矩阵 则称矩阵 × 矩阵。 矩阵。若rij∈｛0,1｝,则模糊矩阵变成 ｝ 则模糊矩阵变成 Boole矩阵。 矩阵。 矩阵 模糊矩阵可以表示模糊关系，对于“ 模糊矩阵可以表示模糊关系，对于“A 上的模糊关系”用模糊方阵来表示。 上的模糊关系”用模糊方阵来表示。
模糊关系与模糊矩阵
若给定X× 上的模糊关系 上的模糊关系O， 若给定 ×Y上的模糊关系 ，满足
O ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y ,
µ O ( x, y ) = 0
则称O为 × 的 零关系” 则称 为X×Y的“零关系”， 表示零关系O的矩阵为零矩阵 的矩阵为零矩阵。 表示零关系 的矩阵为零矩阵。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X× 上的模糊关系 上的模糊关系R， 如果给定 ×Y上的模糊关系 ，定义
R T ⇔ ∀( x, y ) ∈ X × Y , µ RT ( x , y ) = µ R ( y , x )
称RT为R的“倒置关系”,表示模糊关 的 倒置关系” 表示模糊关 的矩阵为R矩阵的转置矩阵 矩阵的转置矩阵。 系RT的矩阵为 矩阵的转置矩阵。
模糊矩阵的合成运算
不满足交换律。 不满足交换律。 例：设
0.5 0.3 0.8 0.5 R= , S = 0.3 0.7 0.4 0.8
求
RoS
模糊方阵
模糊方阵的幂： 模糊方阵的幂：