第10章习题答案

魏 泳 涛

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10.1 计算下列情形中系统对定轴的动量矩：

(a)均质圆盘质量为m ，半径为r ，以角速度ω转动

(b)均质偏心圆盘半径为r ，偏心距为e ，质量为m ，以角速度ω转动； (c)十字杆由两个均质细杆固连而成，OA 长为l 2、质量为m 2，BC 长为l ，质量为m 。以角速度ω绕Oy 轴转动。 (a)(b)(c)

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10.2 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平地面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，e AC =，轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为A J ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。

(1)当轮子只滚不滑时，若A v 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。

(2)当轮子又滚又滑时，若A v 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。

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10.3 撞击摆由质量为1m 的摆杆OA 和质量为2m 的摆锤B 组成。若将杆和锤视为均质细长杆和等厚圆盘，并已知杆长为l ，盘的半径为R ，求摆对轴O 的转动惯量。

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10.4 为求物体对于通过其质心C 之轴AB 的转动惯量C J 。用两杆AD 、BE 和这物体固结，并借这两杆将物体挂在水平轴DE 上，轴AB 平行于DE ，使其绕DE 轴作微小摆动，测出摆动周期T 。如物体的质量为M ，轴AB 和DE 之间的距离为h ，杆AD 、BE 的质量忽略不计，求转动惯量C J 。 解：

从左向右看，如图

θθ

αsin mgh J J D D -== 而

)(2mh J J C D +=

所以

θθsin )(2mgh mh J C -=+ 当微小摆动时，θθ≈sin 所以 0)(2=++θθmgh mh J C 根据单自由度系统振动特性，有 2

π211mh J mgh T C += 即： )π4(22g

h T mgh J C -=

魏 泳 涛 魏 泳 涛 10.5 如图所示，有一轮子，轴的直径为mm 50，无初速地沿倾角 20=θ的轨道只滚不滑，5秒内轮心滚过的距离为mm 3=s 。求轮子对轮心的回转半径。

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10.6 小球的质量为m ，连在细线的一段，线的另一端穿过光滑水平面上的小孔O ，令小球在水平面上沿半径为r 的圆作匀速圆周运动，速度为v ，如将绳往下

拉，使圆的半径缩小为2r ，求此时小球的速度和线的拉力。

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10.7 一半径为R 、质量为M 的均质圆盘可绕通过其中心的铅垂轴无摩擦地转动，

质量为m 的人在圆盘上相对于圆盘按规律22

1at s =绕此轴作半径为r 的圆周运动，开始时，圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度。 2222mr MR mra +=α

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10.8 滑轮重W F 、半径为R ，对转轴O 的回转半径为ρ。一绳子绕在滑轮上，一端系一重为P F 的物体A 。滑轮上作用一不变转矩M ，忽略绳的质量，求重物A 上升的加速度和绳的拉力。 解：

设物体A 上升速度为v ，则系统对转轴O 的动量矩为

v gR

F R F R v g F vR g F L O 2W 2P 2W P ρρ+=+= 根据对定点的动量矩定理：

R F M t

v gR F R F t L O P 2W 2P d d d d -=+=ρ 所以：

2

W 2P P )(d d ρF R F gR R F M t v a +-== 容易求得绳子的拉力

2W 2P 2W P 2W 2P P P P P )()(ρ

ρρF R F F MR F F R F R R F M F F a g F F T P ++=+-+=+=

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10.9 质量为1m 和2m 的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为1r 和2r 并装在同一轴的鼓轮上，已知鼓轮对转轴O 的转动惯量为J ，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。

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10.10 均质圆柱重P F ，半径为r ，放置如图并给以初角速度0ω。设在A 和B 处的动摩擦系数皆为f ，问经过多少时间圆柱才静止？

解：

圆柱受力如图。因为质心静止，所以

B A F N =

A B F mg N -=

由于是动滑动摩擦，所以有

B B fN F =

B B A A N f fF fN F 2===

于是有

B A B N f mg F mg N 2-=-=

所以：

2

1f mg N B += 由此得

2

21f mg f F A += 21f

fmg F B += 根据动量矩定理，有：

α22

1)(mr r F F B A =+ 所以：

r f f fg )1()1(22++=α，方向与0ω相反 )1(2)1(020f fg r f t ++==ωαω

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10.11 图示两轮的半径各为1R 和2R ，其质量各为1m 和2m ，两轮以胶带相连接，各绕两平行的固定轴转动。如在第一个带轮上作用矩为1M 的主动力偶，在第二个带轮上作用矩为2M 的阻力偶。带轮可视为均质圆盘，胶带与带轮间无滑动，且胶带质量不计。求第一个带轮的角加速度。

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10.12 圆轮A 重1P F ，半径为1r ，可绕OA 杆的A 端转动；圆轮B 重2P F ，半径为2r ，可绕其轴转动。现将A 轮放在轮B 上。两轮开始接触时，轮A 的角速度为1ω，轮B 处于静止。放置后，轮A 的重量由轮B 支持，略去轴承的摩擦和杆OA 的重量，两轮可视为均质圆盘，并设两轮间的动摩擦系数为f 。问自轮A 放在轮B 上起，到两轮间没有滑动时止，经过多少时间？