第10章习题答案

魏 泳 涛魏 泳 涛10.1 计算下列情形中系统对定轴的动量矩：(a)均质圆盘质量为m ，半径为r ，以角速度ω转动(b)均质偏心圆盘半径为r ，偏心距为e ，质量为m ，以角速度ω转动； (c)十字杆由两个均质细杆固连而成，OA 长为l 2、质量为m 2，BC 长为l ，质量为m 。

以角速度ω绕Oy 轴转动。

(a)(b)(c)魏 泳 涛 魏 泳 涛10.2 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平地面上作平面运动。

轮子轴心为A ，质心为C ，e AC =，轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为A J ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。

(1)当轮子只滚不滑时，若A v 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。

(2)当轮子又滚又滑时，若A v 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。

魏 泳 涛 魏 泳 涛10.3 撞击摆由质量为1m 的摆杆OA 和质量为2m 的摆锤B 组成。

若将杆和锤视为均质细长杆和等厚圆盘，并已知杆长为l ，盘的半径为R ，求摆对轴O 的转动惯量。

魏 泳 涛魏 泳 涛 魏 泳 涛10.4 为求物体对于通过其质心C 之轴AB 的转动惯量C J 。

用两杆AD 、BE 和这物体固结，并借这两杆将物体挂在水平轴DE 上，轴AB 平行于DE ，使其绕DE 轴作微小摆动，测出摆动周期T 。

如物体的质量为M ，轴AB 和DE 之间的距离为h ，杆AD 、BE 的质量忽略不计，求转动惯量C J 。

解：从左向右看，如图θθαsin mgh J J D D -== 而)(2mh J J C D +=所以θθsin )(2mgh mh J C -=+ 当微小摆动时，θθ≈sin 所以 0)(2=++θθmgh mh J C 根据单自由度系统振动特性，有 2π211mh J mgh T C += 即： )π4(22gh T mgh J C -=魏 泳 涛 魏 泳 涛 10.5 如图所示，有一轮子，轴的直径为mm 50，无初速地沿倾角 20=θ的轨道只滚不滑，5秒内轮心滚过的距离为mm 3=s 。

求轮子对轮心的回转半径。

魏 泳 涛魏 泳 涛10.6 小球的质量为m ，连在细线的一段，线的另一端穿过光滑水平面上的小孔O ，令小球在水平面上沿半径为r 的圆作匀速圆周运动，速度为v ，如将绳往下拉，使圆的半径缩小为2r ，求此时小球的速度和线的拉力。

魏 泳 涛 魏 泳 涛10.7 一半径为R 、质量为M 的均质圆盘可绕通过其中心的铅垂轴无摩擦地转动，质量为m 的人在圆盘上相对于圆盘按规律221at s =绕此轴作半径为r 的圆周运动，开始时，圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度。

2222mr MR mra +=α魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛10.8 滑轮重W F 、半径为R ，对转轴O 的回转半径为ρ。

一绳子绕在滑轮上，一端系一重为P F 的物体A 。

滑轮上作用一不变转矩M ，忽略绳的质量，求重物A 上升的加速度和绳的拉力。

解：设物体A 上升速度为v ，则系统对转轴O 的动量矩为v gRF R F R v g F vR g F L O 2W 2P 2W P ρρ+=+= 根据对定点的动量矩定理：R F M tv gR F R F t L O P 2W 2P d d d d -=+=ρ 所以：2W 2P P )(d d ρF R F gR R F M t v a +-== 容易求得绳子的拉力2W 2P 2W P 2W 2P P P P P )()(ρρρF R F F MR F F R F R R F M F F a g F F T P ++=+-+=+=魏 泳 涛魏 泳 涛10.9 质量为1m 和2m 的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为1r 和2r 并装在同一轴的鼓轮上，已知鼓轮对转轴O 的转动惯量为J ，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。

魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛10.10 均质圆柱重P F ，半径为r ，放置如图并给以初角速度0ω。

设在A 和B 处的动摩擦系数皆为f ，问经过多少时间圆柱才静止？解：圆柱受力如图。

因为质心静止，所以B A F N =A B F mg N -=由于是动滑动摩擦，所以有B B fN F =B B A A N f fF fN F 2===于是有B A B N f mg F mg N 2-=-=所以：21f mg N B += 由此得221f mg f F A += 21ffmg F B += 根据动量矩定理，有：α221)(mr r F F B A =+ 所以：r f f fg )1()1(22++=α，方向与0ω相反 )1(2)1(020f fg r f t ++==ωαω魏 泳 涛 魏 泳 涛10.11 图示两轮的半径各为1R 和2R ，其质量各为1m 和2m ，两轮以胶带相连接，各绕两平行的固定轴转动。

如在第一个带轮上作用矩为1M 的主动力偶，在第二个带轮上作用矩为2M 的阻力偶。

带轮可视为均质圆盘，胶带与带轮间无滑动，且胶带质量不计。

求第一个带轮的角加速度。

魏 泳 涛 魏 泳 涛10.12 圆轮A 重1P F ，半径为1r ，可绕OA 杆的A 端转动；圆轮B 重2P F ，半径为2r ，可绕其轴转动。

现将A 轮放在轮B 上。

两轮开始接触时，轮A 的角速度为1ω，轮B 处于静止。

放置后，轮A 的重量由轮B 支持，略去轴承的摩擦和杆OA 的重量，两轮可视为均质圆盘，并设两轮间的动摩擦系数为f 。

问自轮A 放在轮B 上起，到两轮间没有滑动时止，经过多少时间？魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛10.13 手柄AB 受力偶M 的作用，通过鼓轮C 水平拖动物体D ，如图所示。

鼓轮的半径为r ，质量为1m ，可视为均质圆柱体。

物体D 的质量为2m ，它与水平面间的动滑动摩擦系数为f 。

手柄、绳索的质量及轴承摩擦都忽略不计，求物体D 的加速度。

解：系统所受的所有力中，除物体D 在水平面内滑动摩擦力，其余力对鼓轮转轴的矩都为零。

摩擦力：g fm F 2=设物体A 速度为v ，则系统对轴动量矩为：rv m m r v r m vr m h O )21(2112212+=⋅+= 根据对定点的动量矩定理，有M Fr tv r m m t h O +-=+=d d )21(d d 12 所以：rm m gr fm M r m m gr fm M t v a )2()(2)21(d d 122122+-=+-==魏 泳 涛魏 泳 涛 10.14 如图所示，板的质量为1m ，受水平力F 作用，沿水平面运动，板与平面间的动摩擦系数为f 。

在板上放一质量为2m 的均质实心圆柱，此圆柱对板只滚动而不滑动。

求板的加速度。

(1) (2) (3) 将再将上式代入(3)，得到 312S a m F = 带入(1)后，得到2121212113)(333)(m m g m m f F m m g m m f F a ++-=++-=魏 泳 涛魏 泳 涛10.15 在图示机构中，已知：物块A 质量为m ，纯滚动鼓轮B 质量为1m ，外半径为R ，内半径为r ，鼓轮对通过质心B 的垂直轴的转动惯量为B J ，不计滑轮D 及绳子质量。

若物块A 向下运动，同时带动鼓轮转动，试求物块A 的加速度。

有 (1) (2) (3) 将(3)代入(2)，得到： a r R J r R R m T B ])()([2221+++= 代入(1)后，得到2212)()(r R m J R m r R mg a B ++++=魏 泳 涛 魏 泳 涛魏 泳 涛10.16 均质实心圆柱体A 和薄铁环B 的质量均为m ，半径都等于r ，两者用杆AB 铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为 ，如图所示。

如杆的质量忽略不计，求杆AB 的加速度和杆的内力。

解： 详见教材例题11.11魏 泳 涛 魏 泳 涛魏 泳 涛10.17图示均质细长杆AB ，质量为m ，长度为l ，在铅垂位置由静止释放，借A 端的小滑轮沿倾角为θ的轨道滑下，不计摩擦和小滑轮的质量，求刚释放时点A 的加速度。

解： 在刚开始运动时，AB 杆的加速度为零。

设A 加速度为A a ，AB 杆角加速度为α，AB 杆受力图如下。

以A 为基点研究AB 杆质心C 的加速度， 在y 方向： θθsin cos t CA ma mg N =+- (1) 在x 方向： )cos (sin t θθCA A a a m mg -= (2) 对质心C 的相对动量矩定理： θαsin 21212Nl ml = (3) 由(3) θαsin 6ml N = (4) 注意到：2t αl a CA = (5) 将(4)、(5)代入(1)，得到：魏 泳 涛 魏 泳 涛魏 泳 涛θθ2sin 31cos +=mg N (6) 将(6)式代入(4)，并注意到(5)公式，得到θθαθθsin 3sin 6sin 31cos t 2CA ma ml mg N ==+= θθθ2t sin 31sin cos 3+=g a CA (7) 将(7)式代入(2)式θθθθ2t sin 31sin 4cos sin +=+=g a g a CA A魏 泳 涛魏 泳 涛 10.18 均质细杆AB 质量为m ，图示位置由静止开始运动。

若水平和铅垂面的摩擦均略去不计，试求杆的初始角加速度。

θθsin 2 ly C -=列出杆AB 的平面运动微分方程：A C N lm x m ==θθcos 2 (1) mg N lm y m B C -=-=θθsin 2(2) θθθcos 2sin 21212A B N lN lml -=(3)魏 泳 涛魏 泳 涛魏 泳 涛将(1)、(2)代入(3)：θθθθθ22cos 22sin )2(2121 ml l lm mg l ml --= 所以θθsin 23lg =魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛10.19 图示均质圆柱的质量为m ，半径为r ，放在倾角为 60的斜面上。

一细绳缠绕在圆柱体上，其一端固定于点A ，此绳与A 相连部分与斜面平行。

若圆柱体与斜面间的摩擦系数31=f 。

试求其中心沿斜面落下的加速度。

解：柱可视作绕绳纯滚动，受力图如下rv =ω θcos mg N =θcos fmg F =柱对A 的动量矩：mrv mvr mr h A 23212=+=ω 柱对A 的动量矩定理：Fr mgr tv mr t h A 2sin d d 23d d -==θ 注意：N 对A 之矩与θcos mg 对A 之矩之和为零。

即：θθcos 2sin 23fmgr mgr mra -= 得到：g a 355.0=魏 泳 涛 魏 泳 涛10.20 图示均质球的质量为kg 10，半径为mm 100，与地面的动滑动摩擦系数25.0=f 。