平稳过程的谱密度

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维纳-辛钦公式证明了如下结果：当相关函数 S X () 存在， RX ( ) 绝对可积，即 RX ( ) d 时， 且相关函数
1 RX ( ) 2



S X ( )e d
i

这表明谱函数 S X ( )是相关函数RX ( )的傅立叶 变换，而 RX ( ) 是 S X () 的傅立叶逆变换.
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通常记作
F RX ( ) S X ( ) F
1
S X ( ) RX ( )
对于平稳序列， X n , n 0、 1、 2，…… （自）谱密度定义为
S X ( ) RX (m)e
m

i n
, .
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例3.14 设平稳过程 X t 的相关函数 其中，常数a>0.易见当常数 0 0 时， RX ( ) 即是例3.13。由定理3.5（ii）得到 X t 的谱密度
PX ( )=e
a
cos 0
S X ( ) 2 RX ( ) cos d
定义3.6 如果函数 x 满足
Байду номын сангаас
, x 0 x 且 0, x 0


x dx 1
那么称函数 x 为狄拉克函数，简称为 函数。
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引入 函数
其傅立叶变换
( ) 1 1 2 ( )
（ii）
S X ( ) 2 RX ( ) 1
0
RX ( ) cos d S X ( ) cos d



0
（iii）巴塞伐等式
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1 R ( ) d X 2
2



S X ( ) d
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2
谱密度的引入使得对平稳过程相关 理论的研究不再局限于时间域内， 它可以同时也在频率域内进行，傅 立叶变换提供了两者之间转换的数 学工具。下面通过例题来说明两者 之间的相互换算。
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X n , n 0、 1 、 2，…… 例3.11 设 是一个离散白噪声时间序列。例3.5中已经证明了 X n 是一个平稳序列，且相关函数
RX (m) ｛
于是，谱密度


2，m 0
0, m 0
S X ( )
这个谱密度 S X () 是常数，即平稳序列 X n 的谱密度在 X 各个频率 上具有相同的分量，由于物理上白光的谱 为常数，因此，称 X n 为白噪声（序列）。
n
m
i n 2 R ( m ) e R (0) . X X

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1 、 2，…… Yn , n 0、 例3.12 设 是一个离散白噪声的滑动和。例3.6中已经证明了 Yn是一个平稳序列。为了方便，我们记

k
0(k 0或k N )
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一、平稳过程的（自）谱密度
定义3.5 设{X t , t } 是一个平稳 过程，如果含参变量的广义积分
S X () = RX ( )e



i
d

存在，那么，称 S X () 为平稳过程 X t 的 （自）谱密度
主要内容
一、平稳过程的（自）谱密度及性质 二、平稳过程的互谱密度及性质
三、谱密度与相关函数的关系
四、傅立叶变换的性质
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谱密度的概念

在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁 波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以 一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的 功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density,PSD）或者谱功率分布 （spectral power distribution,SPD）。功率 谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz） 表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的 瓦特数（W/nm）来表示。
求 Yn 的谱密度。
Ry (w)
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定理3.5（谱密度的性质） 设S X ()是平稳 过程 {X t , t } 的谱密度， RX ( ) d S X () 是取非负实数值的偶函数，即 （i）
S X () 0且S X () S X ()
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例3.13 设平稳过程 X t 的相关函数
RX ( )=e
a
其中，常数a>0.由定理3.5（ii）得到 X t 的谱 密度
S X ( ) 2 RX ( ) cos d
0

2 e
0

a
cos d
2a 2 2 a
借助 函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上 无限值用 函数表示。
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函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是 下列矩形波的极限，记
fa
x
1 , x a 2a 0, x a
其中a>0。不妨认为
容易看出上式右端是一个傅立叶级数。
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赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数 RX (m) 满
足
m


RX ( m) 时，
S X ( )
存在（即上述傅立叶级数收敛） ，且相关函数
1 i n RX (m) S X ( )e d , m 0, 1, 2,……. 2
0

2 e a cos 0 cos d
0

e
0

a
cos 0 d e
0

a
cos 0 d

a a +0
2
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2

a a 0
2 2
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在电子技术中，常常遇到脉冲现象。这类现象不 能用普通函数来描述，需要引进广义函数。