平稳过程的谱密度
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念引言在随机过程中，平稳随机过程是一个非常重要的概念。
它是随机过程中的一种特殊情况，具有统计性质保持不变的特点。
本文将对平稳随机过程的概念进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是随机过程？随机过程是一种随时间变化的随机现象。
它可以用数学模型来描述，在数学上通常用随机函数的集合来表示。
随机过程通常包括一个样本空间、一个时间索引集和一组定义在样本空间上的随机变量。
平稳随机过程的定义平稳随机过程是指在统计平均意义下不随时间变化的随机过程。
也就是说，对于平稳随机过程的任意时刻，其统计性质都保持不变。
具体而言，平稳随机过程要求满足以下两个条件：1.均值稳定性：随机过程的均值在时间上保持不变。
2.自相关性稳定性：随机过程的自相关函数在时间上保持不变。
平稳随机过程的类型根据时间独立性和样本独立性的条件，平稳随机过程可以分为以下几种类型：宽平稳随机过程宽平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，并且在不同时刻的随机变量之间是独立的。
宽平稳随机过程是最理想的平稳随机过程，但在实际中很难满足宽平稳的条件。
严平稳随机过程严平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，但随机变量之间不一定是独立的。
严平稳随机过程是宽平稳随机过程的一种特殊情况。
近似平稳随机过程近似平稳随机过程是指在短时间尺度上，随机过程的统计性质是平稳的，但在长时间尺度上可能出现变化。
近似平稳随机过程在实际中比较常见。
平稳随机过程的性质平稳随机过程具有一些独特的性质，下面是其中一些重要的性质：平均值稳定性平稳随机过程的均值不随时间变化，这意味着随机过程的平均水平保持不变。
自相关性稳定性平稳随机过程的自相关函数不随时间变化，这意味着随机过程的相关性保持不变。
谱密度稳定性平稳随机过程的谱密度函数不随时间变化，这意味着随机过程的频谱特性保持不变。
时不变性平稳随机过程在时间上是不变的，这意味着随机过程的统计性质与时间无关。
常见平稳过程及相应谱密度计算过程
常见平稳过程及相应谱密度计算过程常见平稳过程及相应谱密度计算过程平稳过程是指随机过程的统计特性在时间推移下不发生变化的一类随机过程。
在许多工程和科学领域，平稳过程是非常常见的。
另外，谱密度也是在许多领域中用于分析信号和系统特性的重要工具。
在本文中，我们将介绍几种常见的平稳过程及对应的谱密度计算方法。
1.白噪声过程白噪声过程是指均值为零且具有常数功率谱密度的随机过程。
其谱密度为常数，表示该随机过程在所有频率上均有相同的能量分布，从而说明信号在所有频率上均匀分布。
其计算公式为：$$S_{xx}=N_0$$其中，$S_{xx}$是该过程的功率谱密度，$N_0$是噪声的谱密度。
2.布朗运动过程布朗运动是一种在物理学和金融学中常见的平稳过程。
它被定义为一个随机游走过程，其中每个步骤都是随机的，但总体趋势向前移动。
布朗运动可以用以下随机微分方程描述：$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中，$X_t$是在时间$t$的位置，$\mu$是平均漂移率，$\sigma$是扩散系数，$W_t$是布朗运动的随机因素。
布朗运动的功率谱密度为：$$S_{xx}=\frac{2\sigma^2}{\omega^2}$$其中，$\omega$是频率。
3.自回归过程自回归过程是一种用于时间序列分析的平稳过程。
它被描述为前一时间点的值与当前时间点的值之间的线性关系。
自回归过程可以表示为以下形式：$$X_t=\sum_{i=1}^{p}a_iX_{t-i}+e_t$$其中，$X_t$表示在时间$t$的值，$a_i$表示自回归系数，$e_t$是误差项。
自回归过程的功率谱密度可以用以下公式计算：$$S_{xx}=\frac{\sigma_e^2}{1-\sum_{i=1}^{p}a_i e^{-j\omega i}}$$其中，$\sigma_e^2$是误差项的方差。
4.滑动平均过程滑动平均过程是一种用于时间序列分析的平稳过程，它表示为随机误差项的加权和。
2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
通信原理简答题及答案
通信原理简答题及答案第一章绪论1-2 何谓数字信号？何谓模拟信号？两者的根本区别是什么？答：数字信号：电信号的参量值仅可能取有限个值。
模拟信号：电信号的参量取值连续。
两者的根本区别是携带信号的参量是连续取值还是离散取值。
1-3何谓数字通信？数字通信偶哪些优缺点？答：利用数字信号来传输信息的通信系统为数字通信系统。
优点：抗干扰能力强，无噪声积累传输差错可控；便于现代数字信号处理技术对数字信息进行处理、变换、储存；易于集成，使通信设备微型化，重量轻；易于加密处理，且保密性好。
缺点：一般需要较大的传输带宽；系统设备较复杂。
1-4 数字通信系统的一般模型中各组成部分的主要功能是什么？答：信源编码：提高信息传输的有效性（通过数字压缩技术降低码速率），完成A/D转换。
信道编码/译码：增强数字信号的抗干扰能力。
加密与解密：认为扰乱数字序列，加上密码。
数字调制与解调：把数字基带信号的频谱搬移到高频处，形成适合在信道中传输的带通信号。
同步：使收发两端的信号在时间上保持步调一致。
1-5 按调制方式，通信系统如何分类？答：基带传输系统和带通传输系统。
1-6 按传输信号的特征，通信系统如何分类？答：模拟通信系统和数字通信系统。
1-7 按传输信号的复用方式，通信系统如何分类？答：FDM,TDM,CDM。
1-8 单工、半双工及全双工通信方式是按什么标准分类的？解释他们的工作方式。
答：按照消息传递的方向与时间关系分类。
单工通信：消息只能单向传输。
半双工：通信双方都能收发消息，但不能同时进行收和发的工作方式。
全双工通信：通信双方可以同时收发消息。
1-9 按数字信号码元的排列顺序可分为哪两种通信方式？他们的适用场合及特点？答：分为并行传输和串行传输方式。
并行传输一般用于设备之间的近距离通信，如计算机和打印机之间的数据传输。
串行传输使用与远距离数据的传输。
1-10 通信系统的主要性能指标是什么？答：有效性和可靠性。
1-11 衡量数字通信系统有效性和可靠性的性能指标有哪些？答：有效性：传输速率，频带利用率。
平稳随机过程
平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
随机过程的功率谱密度
K XY
( )
2
2 2
XY
若 X (t)与Y (t)是联合平稳的，则 Z (t) X (t) Y (t) 是平稳的。
互相关系数：rXY ( )
KXY ( ) RXY ( ) mX mY
KX (0)KY (0)
XY
例1、设 X (t) sin(0t ) Y (t) cos(0t )
第五讲：小 结
平稳随机过程
严格平稳随机过程
fX (x1,, xn,t1 t,,tn t) fX (x1,, xn,t1,,tn )
广义平稳随机过程
mX (t) mX RX (t1,t2 ) RX ( ), t1 t2
平稳随机过程自相关函数性质
RX (0)
RX ( )
其中 0 为常数， 在( , )上均匀分布，求互协方差函数。
复习
频谱： S() s(t)e jtdt s(t) 1 S()e jtd 2
s(t) dt
s2(t)dt
s(t)
1
S()e jtddt
若 K XY (t1,t2 ) 0 ，则X(t)与Y(t)不相关；
联合平稳的定义： 如果随机过程X(t),Y(t)平稳，且满足
性质：
RXY (t1,t2 ) RXY ( ), t1 t2
RXY ( ) RYX ( ) KXY ( ) KYX ( )
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
E[ 1 2
lim 1 T 2T
XT () 2 d]
号的平均功率按 频率分布的情况
1
E[ lim T 2T
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介
1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
平稳随机过程的功率谱密度
绝对可积
x(t), t T,
xT(t)0 t T.
xT(t)的傅里叶变换为
F x (,T ) x T ( t) e i td t T T x ( t) e i td t
它的帕塞瓦尔等式
x T 2(t)d t2 1 π F x(,T )2d.
三、互谱密度及其性质
互谱密度的定义
设 X( t ) 和Y( t ) 是两个平稳相关的随机过程.
称
1 S X (Y ) T l i2 m T E { F X (,T )F Y (,T )}
为平稳过程 X( t ) 和 Y( t ) 的互谱密度.
说明
互谱密度不 的再 实是 的、正.的偶函
3 .R S X e (Y ) [和 ]R S Y e (X )[是 ] 的偶 , 函
Im S X(Y ) [和 ]Im S Y(X ) [是 ] 的奇 . 函
4. 互谱密度与自谱密度之间成立有不等式
S X(Y )2S X ()S Y().
注意 (1) 在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构 时, 要运用互谱密度. 例如: Z (t) X (t) Y (t),
2
)d,
x(t)在( ,)上的总能量 称为x(t)的能量谱密度
帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平均功率 li1 m T x 2 ( t) d t称 x ( t)在 为 ( , )
T 2 T T 上的平均功率.
平均功率的谱表示式
由给定的 x( t ) 构造一个截尾函数
π a2 2
外的周期信号的.
0 o 0
白噪声 1. 定义 均值为零而谱密度为正常数, 即
第七讲 功率谱密度分解
从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos( i )
i 1
的谱密度:
S X ( ) a i [ ( i ) ( i )]
n i 1
例2 已知平稳过程 { X t } 具有如下功率谱密度： 2 4 S X 4 10 2 9 求平稳过程相关函数及平均功率 。
四
1
平稳随机过程的功率谱密度
平均功率与功率谱密度的定义
X ( t )dt 为平稳过程的平均功率 2T T
T 2
定义8 1 lim E 称T
T 1 2 2 由此易得：lim E X ( t ) dt R ( 0 ) X X T 2T T 从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
2 S X ( ) , 0 G X ( ) , 0 0
相应地 S X ( ) 可称为“双边功率谱”它 们的图形关系如图所示。
G X ( )
S X ( )
0
性质4
有理谱密度是实际应用中最常
见的一类功率谱密度。其形式必为：
a2 n 2 a S X S0 2 m 2m2 b2 m 2 b 式中 S0 0 。上式要求有理函数的分 子、分母只出现偶次项的原因是因 S X ( ) 为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经 常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在电 路系统中，由于分子的热运动，使电路各处 的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中 也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电 流的变化反映为声波的变化时，就是人们不 爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就
五
平稳过程的定义
平稳过程的定义平稳过程是概率论和统计学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍平稳过程的定义、特性以及其在实际中的应用。
一、平稳过程的定义平稳过程是指在统计意义上具有不变性的随机过程。
换句话说，无论观察这个随机过程的哪一段，其统计特性都是不发生变化的。
具体而言，平稳过程要满足两个条件：其一是均值不变性，即随机过程的均值在时间上是恒定的；其二是自协方差函数不变性，即随机过程的自协方差函数只与时间差有关，而与具体的时间点无关。
二、平稳过程的特性平稳过程具有许多重要的特性，下面将逐一介绍。
1. 均值不变性：平稳过程的均值在时间上是恒定的，即随机过程的均值不随时间变化而变化。
2. 自协方差函数不变性：平稳过程的自协方差函数只与时间差有关，而与具体的时间点无关。
这意味着随机过程的协方差结构是不变的，不会随时间的推移而发生变化。
3. 自相关函数的性质：平稳过程的自相关函数具有一些特殊的性质。
首先，自相关函数是偶函数，即关于时间差的自相关系数关于原点对称。
其次，自相关函数在时间差为零时达到最大值，随着时间差的增加逐渐减小。
4. 平稳过程的谱密度函数：平稳过程的谱密度函数是描述随机过程在频域上的性质的函数。
对于平稳过程，其谱密度函数是实数函数，并且具有正定性和对称性。
三、平稳过程的应用平稳过程在许多领域中都有广泛的应用，下面将介绍其中几个典型的应用。
1. 金融领域：平稳过程在金融领域中有着重要的应用。
例如，股票价格的随机波动可以用平稳过程来建模，从而为投资者提供决策依据。
此外，利率、汇率等金融指标的变动也可以通过平稳过程来进行建模和预测。
2. 信号处理：平稳过程在信号处理领域中被广泛应用。
例如，通过分析语音信号的平稳过程，可以实现语音识别和语音合成等功能。
此外，平稳过程还可以用于图像处理、雷达信号处理等领域。
3. 通信系统：平稳过程在通信系统中也有重要的应用。
例如，通过建立信道模型的平稳过程，可以分析和优化通信系统的性能。
(仅供参考)平稳过程的自相关函数性质
1 、RX (0) = E[ X 2 (t)] = ΨX 2 ≥ 0
平稳过程的自相关函数在 τ = 0 上的值是非负值。在
下面将看到 RX (0) 表示平稳过程X (t) 的“平均功率”。
2、 RX (τ ) = RX (−τ )
即自相关函数在是变量 τ 的偶函数。
证明：
RX (τ ) = E[ X (t) X (t + τ )] = E[ X (t + τ ) X (t)] = RX (−τ )
对于平稳过程X ( 代入前式，可得 于是
t
)，有
2RX
E[ X 2 (t)] = (0) ± 2RX (τ )
E[ X
≥0
2
(t
+τ
)]
=
RX
(0)
同理可得：
RX (0) ≥| RX (τ ) |
CX
(0)
=
σ
2 X
≥
CX
(τ )
即自协方差函数在 τ = 0 上也具有最大值。
值得注意的是 Q RX (0) ≥| RX (τ ) |,∴ 这里并不排除在 其它 τ ≠ 0
同理可得， CX (τ ) = CX (−τ )
3、 RX (0) ≥| RX (τ ) |
即自相关函数在τ = 0 上具有最大值。
证明：任何正函数的数学期望恒为非负值，即
E{[ X (t) ± X (t +τ )]2} ≥ 0 E[ X 2 (t) ± 2X (t) X (t +τ ) + X 2 (t +τ )] ≥ 0
式中Φ为在(0，2π)上均匀分布的随机变量，N(t)为平稳过程，且对
于所有t而言，Φ与N(t) 统计独立。于是，我们很容易求出X(t)的自
第六讲平稳随机过程的功率谱密度
第六讲 平稳随机过程的功率谱密度6.1 确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。
设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件：1）⎰∞∞-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点， 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为⎰∞∞--=dt e t s S t j ωω)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。
信号s(t)可以用频谱表示为⎰∞∞-=ωωπωd e S t s t j )(21)(信号s(t)的总能量为⎰∞∞-=dt t s E )(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。
即ωωπd S dt t s E 22)(21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==其中，2)(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
能谱密度存在的条件是∞<⎰∞∞-dt t s )(2即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。
6.2 随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。
经推导可得，])([21lim )(2ωωT T X X E TS ∞→=为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。
功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。
可得随机过程的平均功率为 ⎰∞∞-=ωωπd S P X X )(21对于平稳随机过程，其平均功率为ωωπd S t X E X ⎰∞∞-=)(21)]([2若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim )(e X TS T T X ωω∞→=6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：⎰⎰∞∞--∞∞-==ωωπτττωωτωτd eS R d e R S j X X j X X )(21)()()(它成立的条件是)()(τωX XR S 和绝对可积，即∞<∞<⎰⎰∞∞-∞∞-ωωττd S d R X X )()(当0=τ时，可得⎰∞∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2可知，)]([)0(2t X E R X=是平稳随机过程X(t)的平均功率。
2.3 平稳随机过程的功率谱
2
16
例 : 下列函数哪些是功率谱密度的正确表达式? 为什么?
2 cos(3 ) (1) ; (2) ; (3) exp[ ( 1) 2 ] 6 3 2 3 1 2
1 2
1 2 1 d
10
1 1 2 例2.3 2 已知随机电报信号的自相关函数RX ( ) (1 e ) 4 4 求其功率谱密度.
RX () 0, 不满足条件, 可引入函数解决
1 1 2 S X ( ) FT [ RX ( )] FT [ e ] 4 16
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
X T ( ) 0, 故S X ( ) 0
2
2、 若X (t )实平稳, 则S X ()是偶函数,即: S X () S X ()
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
x(t ), w和X T ()取决于试验的结果, 都带有一定的随机性.
4
样本函数x(t)的平均功率：
1 w lim T 2T
T
T
1 x(t ) dt 2
2
1 2 [Tlim 2T X T ( ) ] d
随机过程X(t)的平均功率：
1 1 2 E[ w] E{ [Tlim 2T X T ( ) ] d} 2 1 1 2 Tlim 2T E[ X T ( ) ] d 2 1 T lim E[ X 2 (t )] dt T 2T T
根据功率谱密度的性质来判断
随机过程的功率谱密度解析
平稳随机过程
严格平稳随机过程 广义平稳随机过程 平稳随机过程自相关函数性质
相关函数示意图
第五讲：小 结
平稳随机过程
相关系数
相关时间
随机过程的遍历性 平稳随机过程满足：
相关时间示意图
一、联合分布
二维联合分布函数：
二维联合概率密度：
一、联合分布
n+m维联合分布函数：
n+m维联合概率密度：
上均匀分布，求互协方差函数。
频谱：
复习
信号的 总能量
能谱密度：信号的能 量按频率分布的情况
一、随机过程的功率谱密度
截取数：
随机过程的样本函数及其截尾函数
时间平 均功率
功率谱密度：信 号的平均功率按 频率分布的情况
时间平 均功率
随机过程的平均功率 随机过程的功率谱密度：
功率谱密度：信 号的平均功率按 频率分布的情况
二、两随机过程的相互关系
互相关函数：
互协方差函数：
两随机过程的相互关系：
X(t)与Y(t)独立
若
，则X(t)与Y(t)正交；
若
，则X(t)与Y(t)不相关；
联合平稳的定义：如果随机过程X(t),Y(t)平稳，且满足 性质：
若 与 是联合平稳的，则 互相关系数：
是平稳的
例1、设 其中 为常数， 在
(1) Z(t)的功率谱密度； (2) X(t)、Y(t)不相关时Z(t)的功率谱密度； (3) X(t)、Y(t)分别与Z(t)的互谱密度。
第六讲：小 结
随机过程的联合分布
互相关函数： 互协方差函数： 互相关系数：
广义联合平稳的定义：
随机过程的功率谱密度 作业：2.31, 2.36, 2.39
4谱密度含义与功率谱密度
Fx ( ,T ) d
1
2
lim
1
T 2T
2
Fx ( ,T ) d
1
lim
1
2
T e jt x(t )dt d
2 T 2T T
记
S
x
(
)
:
lim
T
1 2T
Fx ( ,T
)
2
lim
T
1 2T
T e jt x(t)dt 2
T
称 Sx() 为确定性信号x(t)在 处的功率谱密度.
例 1. 已知平稳过程的功率谱密度为
S
X
()
4
2 4 10 2
9
求其相关函数与平均功率.
解 可以用两种方法求相关函数, 其一用留数定理算广义
积分得出相关函数, 其二利用特殊函数的 Fourier 变换.
法一:
RX
(
)
1
2
e
j
S
X
()d
1 e j
2 4
d
2 (2 9)( 2 1)
1 2 j[Res( 2 4 ej , j)
反演公式
x(t ) 1
2
Fx
(
)e
jt
d
(假设逆变换存在)
记 W x2(t)dt 为x(t)在(-,+)上的总能量
则
W
x2 (t)dt
x(t)[
1
2
Fx ()ejtd]dt
1
2
[Fx ()
x(t)ejtdt]d
1
2
2
| Fx () | d
(Fx()
x(t)ejtdt)
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借助 函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上 无限值用 函数表示。
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14
函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是 下列矩形波的极限，记
fa
x
1 , x a 2a 0, x a
其中a>0。不妨认为
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例3.13 设平稳过程 X t 的相关函数
RX ( )=e
a
其中，常数a>0.由定理3.5（ii）得到 X t 的谱 密度
S X ( ) 2 RX ( ) cos d
0
2 e
0
a
cos d
2a 2 2 a
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4
通常记作
F RX ( ) S X ( ) F
1
S X ( ) RX ( )
对于平稳序列， X n , n 0、 1、 2，…… （自）谱密度定义为
S X ( ) RX (m)e
m
i n
, .
求 Yn 的谱密度。
Ry (w)
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定理3.5（谱密度的性质） 设S X ()是平稳 过程 {X t , t } 的谱密度， RX ( ) d S X () 是取非负实数值的偶函数，即 （i）
S X () 0且S X () S X ()
主要内容
一、平稳过程的（自）谱密度及性质 二、平稳过程的互谱密度及性质
三、谱密度与相关函数的关系
四、傅立叶变换的性质
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谱密度的概念
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁 波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以 一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的 功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density,PSD）或者谱功率分布 （spectral power distribution,SPD）。功率 谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz） 表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的 瓦特数（W/nm）来表示。
0
2 e a cos 0 cos d
0
e
0
a
cos 0 d e
0
a
cos 0 d
a a +0
2
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2
a a 0
2 2
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在电子技术中，常常遇到脉冲现象。这类现象不 能用普通函数来描述，需要引进广义函数。
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3
维纳-辛钦公式证明了如下结果：当相关函数 S X () 存在， RX ( ) 绝对可积，即 RX ( ) d 时， 且相关函数
1 RX ( ) 2
S X ( )e d
i
这表明谱函数 S X ( )是相关函数RX ( )的傅立叶 变换，而 RX ( ) 是 S X () 的傅立叶逆变换.
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例3.14 设平稳过程 X t 的相关函数 其中，常数a>0.易见当常数 0 0 时， RX ( ) 即是例3.13。由定理3.5（ii）得到 X t 的谱密度
PX ( )=e
a
cos 0
S X ( ) 2 RX ( ) cos d
容易看出上式右端是一个傅立叶级数。
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赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数 RX (m) 满
足
m
RX ( m) 时，
S X ( )
存在（即上述傅立叶级数收敛） ，且相关函数
1 i n RX (m) S X ( )e d , m 0, 1, 2,……. 2
n
m
i n 2 R ( m ) e R (0) . X X
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1 、 2，…… Yn , n 0、 例3.12 设 是一个离散白噪声的滑动和。例3.6中已经证明了 Yn是一个平稳序列。为了方便，我们记
k
0(k 0或k N )
定义3.6 如果函数 x 满足
, x 0 x 且 0, x 0
x dx 1
那么称函数 x 为狄拉克函数，简称为 函数。
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引入 函数
其傅立叶变换
( ) 1 1 2 ( )
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一、平稳过程的（自）谱密度
定义3.5 设{X t , t } 是一个平稳 过程，如果含参变量的广义积分
S X ()Βιβλιοθήκη = RX ( )e
i
d
存在，那么，称 S X () 为平稳过程 X t 的 （自）谱密度
（ii）
S X ( ) 2 RX ( ) 1
0
RX ( ) cos d S X ( ) cos d
0
（iii）巴塞伐等式
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1 R ( ) d X 2
2
S X ( ) d
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2
谱密度的引入使得对平稳过程相关 理论的研究不再局限于时间域内， 它可以同时也在频率域内进行，傅 立叶变换提供了两者之间转换的数 学工具。下面通过例题来说明两者 之间的相互换算。
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X n , n 0、 1 、 2，…… 例3.11 设 是一个离散白噪声时间序列。例3.5中已经证明了 X n 是一个平稳序列，且相关函数
RX (m) ｛
于是，谱密度
2，m 0
0, m 0
S X ( )
这个谱密度 S X () 是常数，即平稳序列 X n 的谱密度在 X 各个频率 上具有相同的分量，由于物理上白光的谱 为常数，因此，称 X n 为白噪声（序列）。