第八章 连续系统的复频域分析
实验：连续系统的频域分析
实验4：连续系统的频域分析一、实验目的（1）掌握连续时间信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换的实现方法。
（2）掌握傅里叶变换的数值计算方法和绘制信号频谱的方法。
二、实验原理 1.周期信号的分解根据傅里叶级数的原理，任何周期信号都可以分解为三角级数的组合——称为()f t 的傅里叶级数。
在误差确定的前提下，可以由一组三角函数的有限项叠加而得到。
例如一个方波信号可以分解为：11114111()sin sin 3sin 5sin 7357E f t t t t t ωωωωπ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭合成波形所包含的谐波分量越多，除间断点附近外，它越接近于原波形，在间断点附近，即使合成的波形所含谐波次数足够多，也任存在约9%的偏差，这就是吉布斯现象（Gibbs ）。
2.连续时间信号傅里叶变换的数值计算 由傅里叶变换的公式：()()lim()j tj n n F j f t edt f n e ωωττωττ∞∞---∞→=-∞==∑⎰当()f t 为时限信号时，上式中的n 取值可以认为是有限项N，则有：()(),0k Nj n n F k f n e k N ωτττ-==≤≤∑，其中2k k N πωτ=3.系统的频率特性连续LTI 系统的频率特性称为频率响应特性，是指在正弦信号激励作用下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况，表示为()()()Y H X ωωω=三、实验内容与方法 1.周期信号的分解【例1】用正弦信号的叠加近似合成一个频率为50Hz 的方波。
MA TLAB 程序如下： clear all; fs=10000; t=[0:1/fs:0.1]; f0=50;sum=0; subplot(211) for n=1:2:9plot(t,4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),’k ’); hold on; endtitle(‘信号叠加前’); subplot(212) for n=1:2:9;sum=sum+4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t);endplot(t,sum,’k ’); title(‘信号叠加后’); 产生的波形如图所示：00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-2-1012信号叠加前00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-2-1012信号叠加后2.傅里叶变换和逆变换的实现求傅里叶变换，可以调用fourier 函数，调用格式为F=fourier(f,u,v)，是关于u 的函数f 的傅里叶变换，返回函数F 是关于v 的函数。
第八章 连续系统的复频域分析
系统函数的图示法
零极点分布图
H (s) N (s) D (s) H0 ( s Z 1 )( s Z 2 ) ( s Z m ) ( s P1 )( s P2 ) ( s Pn )
频率特性曲线 对数频率特性曲线(波特图) 复轨迹
§8.3 零极点分布与时域响应特性
1 1 1
j » 45
因此相频特性曲线可以用三段直线近似表示，即在远离断 点部分可以用两段直线表示，而在断点附近用斜线连接，通 w 常取= 1 T 和 = 10 / T 两处作为折线的拐点。 w
10
1
1
2.二阶因式
( j w - Z 2 )( j w - Z 2 ) =
*
Z2
2
- w -
2
j 2 ws
§8.5 波特图
频率特性曲线是实际中表示系统特性最常用的形式。波特提 出使用对数坐标绘制频率特性的方法，使得计算和作图大 为简化。 一.对数频率特性
m
H 0 Õ ( jw - Z j ) H (w ) =
j= 1 n
= H (w ) e
jj ( w )
Õ
i= 1
( j w - Pi )
ln [ H ( w )] = ln H ( w ) + jj ( w ) = G ( w ) + jj ( w )
一.零极点分布规律
1.系统函数的极点和零点分布必定是对实轴成镜像 对称 2.系统函数零点和极点的数目是相等的，只是可能 有若干极点或零点出现在s平面的无限远处。
二.零极点分布与系统的时域特性
系统函数的几种典型情况的极点分布与系统时域特性：
1.
H (s) = 1 s
连续系统的频域和复频域分析
二、实验设计
1.方波的合成实验。 用 5 项谐波合成一个频率为 50Hz， 幅值为 3 的方波， 写出 MATLAB 程序， 给出实验的结果。 实验代码： clear all; fs=10000; t=[0:1/fs:0.1]; f0=50;sum=0; subplot(211); for n=1:2:11 plot(t,12/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),'k'); hold on; end title('信号叠加前'); subplot(212) for n=1:2:11 sum=sum+12/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t); end plot(t,sum,'k'); title('信号叠加后');
实验结果：
三、思考题
1.拉普拉斯变换的定义是什么？ 答：拉普拉斯变换是对于 t>=0 函数值不为零的连续时间函数 x(t)通过关系式 (式中 st 为自然对数底 e 的指数)变换为复变量 s 的函数 X(s)。它也是 时间函数 x(t)的“复频域”表示方式。 2.系统的零、极点对系统的冲激响应有何影响？ 答： 冲激响应波形是指指数衰减还是指数增长或等幅振荡， 主要取决于极点位于 s 左半平面 还是右半平面或在虚轴上；冲激响应波形衰减或增长快慢，主要取决于极点离虚轴的远近； 冲激响应波形振荡的快慢，主要取决于极点离实轴的远近 3.由系统的零、极点能否确定系统的固有响应和强迫响应？ 答：系统的零、极点能确定系统的固有响应，而不能确定强迫响应。 4.拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系是什么？
实验六：连续系统的复频域分析
一、实验目的
1.了解连续系统的复频域分析的基本方法。 2.掌握相关函数的调用。
信号与系统-连续系统的复频域分析
内容提要
l 拉普拉斯变换 l 系统的拉氏变换分析法
– 零输入响应 – 零状态响应
l 系统稳定条件
§5.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F (s) = ∫ f ( t ) e st d t −∞ σ + j∞ 1 st F ( s ) e ds f (t ) = ∫ − ∞ σ j 2π j
− st
。
③时移和尺度变换都有时：
1 s f (at − b) ⇔ F ( )e a a
b −s a
④f(t)时间微分，积分函数的拉普拉斯变换不 仅与 F(s)有关，还与 t-0 点函数值 f(0)，函数的 微分值 f (0) 或 函数的积分值 f
n (−n)
(0) 有关。这
一点需要与傅立叶变焕相区分(这里的 n 取整数)
at
才收敛，所以收敛坐标为 σ 0 = a 。 ④右边信号的收敛域在收敛轴以右的 s 平面,既
σ >a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面， 既σ < β ⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
α <σ < β
另外， 对所有拉普拉斯变换来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如果信号的收敛域包括虚轴， 则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
⑤初值定理和终值定理应用的条件 关于初值定理，要注意所求的初值是 f(t)在 t=0+时刻的值,而不是 f(t)在 t=0-和 t=0 时刻的值,无论拉氏变换 F(s) 是采用 0-系统的结果还是采用 0-系统 的结果,所求的初值总是 f(0+).
另外，用初值定理 f (0+ ) = lim sF ( s ) 求函数
《连续系统频域分析》课件
频域分析能够提供系统的频率响应和稳定性分析 ，适用于系统的稳定性和性能评估。
3
互补性
在实际应用中，时域分析和频域分析各有优势， 应结合使用以全面了解系统的特性和性能。
CHAPTER
06
总结与展望
频域分析的总结
频域分析的定义和
意义
频域分析是一种研究系统频率响 应的方法，通过将时域问题转换 为频域问题，可以更方便地分析 系统的频率特性、稳定性、传递 函数等。
CHAPTER
05
频域分析的局限性
频域分析的假设条件
线性时不变系统
频域分析适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统则不适 用。
周期信号
频域分析主要针对周期信号进行分析，对于非周期信号，需要采用 其他方法。
无初始条件
频域分析假设系统无初始条件，对于有初始条件的情况，需要进行 特殊处理。
频域分析的局限性
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号在复平面上的工具，它可以求解差分方程 和离散时间系统。
02
Z变换具有收敛性、唯一性和线性等性质，这些性质使得Z变换在解决 实际问题时具有广泛的应用。
03
Z变换的逆变换是将复平面上的函数转换回实数轴上的过程，它也是 通过数学公式实现的。
04
在实际应用中，Z变换被广泛用于数字信号处理、数字图像处理和数 字控制系统等领域。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换具有收敛性、唯一性和线性等性 质，这些性质使得拉普拉斯变换在解决实际问
题时具有广泛的应用。
在实际应用中，拉普拉斯变换被广泛用于电路分析、 控制系统分析和信号处理等领域。
拉普拉斯变换是分析线性时不变连续系统的工 具，它可以求解常微分方程和偏微分方程。
实验八连续系统复频域分析
实验八 连续系统复频域分析1实验目的(1) 掌握拉普拉斯变换的物理意义及应用。
(2) 掌握用MA TLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。
(3) 理解拉普拉斯变换与傅里叶变换之间关系。
(4) 掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系。
(5) 拉普拉斯逆变换的MA TLAB 计算。
2 实验原理及方法2.1连续时间L TI 系统的复频域描述拉普拉斯变换主要用于连续时间LTI 系统分析。
描述系统的另一种数学模型是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数”—H(s)：[][])()()()()(t x L s X t y L s Y s H 换系统激励信号的拉氏变换系统冲击响应的拉氏变→→= 8-1 系统函数H(s)的实质就是系统单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换。
因此，系统函数可以定义为：⎰∞∞--=dt e t h s H st )()( 8-2 系统函数H(s)的一些特点是和系统时域响应h(t)的特点相对应。
求H(s)的方法，除了按照定义之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程，经拉氏变换后得到H(s)。
假设描述一个连续LTI 系统的线性常系数微分方程为：∑∑===M k k k k Nk k k k dt t x d b dt t y d a 00)()( 8-3 对式8-3两边做拉普拉斯变换，则有∑∑===M k k k N k k k s X s b s Y s a 00)()( 即：∑∑====N k kk M k k k s as b s X s Y s H 00)()()( 8-4 式8-4告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间L TI 系统，它的系统函数是一个关于复变量s 的有理多项式的分式，其分子和分母多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。
根据这一特点，可以很容易根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统微分方程。
连续信号与系统的复频域分析
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REPORTING
PART 01
连续信号的复频域表示
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换定义
将时间域的连续信号转换为频率 域的表示，通过积分将时间函数 与其复指数函数相乘，得到频谱 函数。
傅里叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、对称 性、微分性、积分性等。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号分析
通过傅里叶变换将信号分 解为不同频率的分量，便 于分析信号的频率成分和 特征。
复频域分析的原理
复频域分析的应用
复频域分析是一种将连续时间信号和 系统从时域转换到复频域的方法。通 过在复频域内分析信号和系统的性质 ，可以更方便地处理信号的频谱、系 统的稳定性以及频率响应等问题。
复频域分析在通信、控制、图像处理 、音频处理等领域有着广泛的应用。 例如，在通信领域中，信号的调制和 解调过程通常需要在复频域内进行。 在控制领域，系统的稳定性分析和控 制策略的设计也需要用到复频域分析 。
将低频信号调制到高频载波上，实现信号的传输和放大。
解调
将已调信号从载波中分离出来，还原为原始信号。
信号的滤波与去噪
滤波
通过一定的滤波器对信号进行滤波处理，提取所需频率成分，抑制噪声和干扰。
去噪
采用各种去噪算法对信号进行降噪处理，提高信号的信噪比。
PART 04
连续信号与系统的复频域 分析在实际中的应用
通信系统中的信号处理
01
信号调制与解调
在通信系统中，信号通常需要经过调制和解调过程才能传输。复频域分
析可以用于分析信号在调制和解调过程中的频谱变化，从而优化传输性
第八章 线性动态网络复频域分析
(2) F2 (S ) 0有共轭复根
F (S ) F1 ( S ) F2 ( S )
S1, 2 j
F1 ( S )
( S j )( S j )
k1 S j
k2 S j
K 1 [( s j ) F ( s )] s j
0 .5 2 45
0 . 5 2 45
k2
s3 2s 2
S 1 j 2
f (t ) 2 k1 e 2e
t
t
cos( 2 t 45 )
cos( 2 t 45 )
(3) 若F2(s) = 0 有n个重根
F ( s) k1 s s1 k21 ( s s2 ) k22 ( s s2 )
F ( s ) L f ( t ) 1 1 t0 s 1 t s e (1 e 0 ) s s s
t0
t
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8.2 拉普拉斯反变换的部分分式法
部分分式展开法
拉普拉斯反变换的应用
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8.2 拉普拉斯反变换的部分分式法
拉普拉斯反变换可以根据定义式求解；也可以 查表8-1，直接写出原函数。但多数情况下，象函 数不能直接从表上查到。 在集总参数电路中，响应的象函数往往是 s 的 有理分式，若将其展开成部分分式的形式，就能比 较容易地求出其象函数了，这种方法叫做部分分式 法。
拉氏反变换：如果F(s)已知，由F(s)到f(t)的变换称为拉氏反 变换，它定义为：
f(t )
1 2 j
j
j
F ( S )e ds
连续系统的复频域分析
t
t
只要选择σ>α，随着时间t的增大，e-(σ-α)t将会衰减。故有
lim e-(s- )t 0
t
从而使f(t)的象函数为
F(s) 1
s
若σ<α，e-(σ-α)t将随着时间t的增大而增大。当t→∞时， 结果 将趋于无穷大， 从而使积分不收敛， f(t)的象函数不存在。
从上述讨论中可以看到，f(t)乘以衰减因子e-σt后是否
【例】求指数函数
的象函数F(s)。
f (t) eαt (t)
(α>0, α∈R)
【解】根据定义
F (s) etestdt e(s )tdt e(s )t
0
0
(s )
0
1 [1 lim e(s )t ]
s t
由于s=σ+jω，因此上式中括号内第二项可写为
lim e-(s- )t lim e e -( - )t -jt
例：求下列各单边函数拉氏变换的收敛域（即求收敛坐标 0）
1 f t t ;
2 f t ut;
3 f t e2tu t ; 4 f t e2tu t ;
5 f t cos0tu t
三、典型信号的拉普拉斯变换
1. 单位阶跃信号u(t)
LT[u(t)] e-st dt e-st 1
1 (e j0t 2
e j0t )
LT [cos 0 t ]
1 2
LT[e j0t
]
1 2
LT [e
j0t
]
11
1
s
(
)
2 s j0 s j0 s2 02
同理：LT[sin 0t]
0 s2 02
二、时移性
连续系统的频域分析
n =1 ∞
• 由欧拉公式 f ( t ) = • 其中
F ( 0) = a0
n = −∞
∑
∞
F (n ω 1 )e
jn ω 1 t
引入了负频率
1 F(nω1) = (an − jbn ) 2 1 F(−nω1) = (an + jbn ) 2
dt =1
FT
−1
[ δ ( ω )]
δ (t )
0 t
F (ω )
1 = 2π
∫
∞ −∞
δ (ω ) e
1 0
jω t
1 dω = 2π
f (t ) = 1
t
1 0
δ (ω ) = 2π
2π
ω
27
ω
0
3. 阶跃信号的傅立叶变换
u(t) = + sgn( ) t
1 2 1 2
u(t)
1 FT [u (t )] = πδ (ω ) + jω
∫
∞
−∞
F (ω ) cos(ωt + ϕ (ω )dω
22
4.傅立叶变换存在的充分条件
∫
∞
−∞
f ( t ) dt < ∞
用广义函数的概念，允许奇异函数也 能满足上述条件，因而象阶跃、冲激 一类函数也存在傅立叶变换
23
§ 5 典型非周期信号的频谱
• 矩形脉冲信号 • 冲激函数信号 • 阶跃函数信号
jn ω 1 τ / 2
)
nπτ Sa ( ) T1
13
x(t) E -T
−
实验3连续系统的时域及复频域分析
实验三 连系统的时域及复频域分析一、实验目的1、熟悉LTI 连续时间系统的时域及复频域分析方法；2、熟悉系统的零输入响应、零状态响应及冲激响应的求解步骤；3、熟悉拉普拉斯变换的原理及性质，熟悉常见信号的拉氏变换。
3、学会用MA TLAB 进行部分分式展开，学会用MATLAB 进行Laplace 正、反变换。
4、学会用MA TLAB 分析LTI 系统的特性。
二、实验环境计算机，Matlab 软件三、实验原理（一）连续系统的时域分析LTI 连续时间系统以常系数微分方程描述，系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到。
MATLAB 提供了专门用于求解零初始状态微分方程数值解的函数以及专门用于求连续系统冲激响应及阶跃响应并绘制其时域波形的函数，利用其可以方便的计算系统的响应。
1、连续时间系统零状态响应的求解LTI 连续时间以常系数微分方程描述,系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到.在MATLAB 的控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始状态微分方程数值解的函数lsim.其调用方式为： y=lsim(sys,f,t)式中，t 表示计算系统响应的抽样点向量；f 是系统输入信号向量；sys 是LTI 系统模型，用来表示微分方程、差分方程、状态方程。
在求解微分方程时，微分方程的LTI 系统模型sys 要借助tf 函数获得（Create transfer function model ），其调用方式为：sys=tf(b,a)式中，b 和a 分别为微分方程右端和左端各项的系数向量。
（注意：微分方程中为零的系数一定要写入向量a 和b 中。
）例1：系统的微分方程为：)()(100)('2)(''t x t y t y t y =++，已知输入信号)π2sin(10)(t t x =。
ts=0;te=5;dt=0.01;sys=tf([1],[1 2 100]);%注意系数与微分方程系数的对应关系t=ts:dt:te;f=10*sin(2*pi*t);y=lsim(sys,f,t); %LSIM Simulate time response of dynamic systems toarbitrary inputs. 注意调用格式。
信号与系统的实验报告（2）
信号与系统实验报告——连续时间系统的复频域分析班级：05911101学号：**********姓名：***实验五连续时间系统的复频域分析——1120111487 信息工程（实验班）蒋志科一、实验目的①掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MA TLAB 实现方法 ②学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及其复频域分析方法③掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理与方法 1、拉普拉斯变换连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为：X s =x (t )e −st dt +∞−∞拉普拉斯反变换为：x t =12πj X (s )e st ds σ+j ∞σ−j ∞在MA TLAB 中可以采用符号数学工具箱中的laplace 函数和ilaplace 函数进行拉氏变换和拉氏反变换。
L=laplace(F)符号表达式F 的拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。
L=laplace(F,t)用t 替换结果中的变量s 。
F=ilaplace(L)以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量t 的结果表达式。
F=ilaplace(L,x)用x 替换结果中的变量t 。
2、连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是系统单位冲激响应的拉氏变换H s =ℎ(t )e −st dt +∞−∞此外，连续时间系统的系统函数还可以由系统输入和输出信号的拉氏变换之比得到H s =Y(s)/X(s) 单位冲激响应h(t)反映了系统的固有性质，而H(s)从复频域反映了系统的固有性质。
对于H(s)描述的连续时间系统，其系统函数s 的有理函数H s =b M s M +b M−1s M−1+⋯+b 0a n s n +a n −1s M−1+⋯+a 03、连续时间系统的零极点分析系统的零点指使式H s 的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统函数的值无穷大。
RLC系统的复频域分析(信号与系统)
解 (1) 求完全响应iL(t)：
＋
u s1(t)
＋ －
(a)
＋ －
u C(t) L
－
u s1 ( t ) iL ( 0 ) = = 1A R1 + R2
−
R2 uC (0 ) = us1 (t ) = 1V R1 + R2
−
t＝ 0 S 1
R1 2
R2 i L(t) C
＋
u s1(t)
＋
u s2(t)
＋ －
u C(t) L
－
－
(a)
R1 1 sC I1(s)
R2 IL(s) I2(s) L
＋
Us2(s)
＋ －
(b)
－
u C(0－) s
－ ＋
Li L(0－)
则S域的网孔方程为
1 1 uC (0− ) R1 + sC I1 ( s ) − sC I 2 ( s ) = U S 2 ( s ) − s 1 uC (0− ) 1 I1 ( s ) + − + R2 + sL I 2 ( s ) = + LiL (0− ) sC s sC
di (t ) u(t ) = L dt 1 t i (t ) = i (0 ) + ∫ − u (τ )dτ L 0
−
t ≥ 0
(4.6-5)
U ( s ) = sLI ( s ) − Li (0 ) U ( s ) = sLI ( s )
−
1 i (0 ) I (s) = U (s) + sL s
连续时间系统的复频域分析
信号与系统实验报告实验题目： 实验三：连续时间系统的复频域分析实验仪器： 计算机，MATLAB 软件101b s b a s a ++++++称为系统的特征多项式，征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。
为将个特征根，这些特征根称为()F s 极点。
根据求函数21()(1)F s s s =-的拉氏逆变换。
源代码：num = [1]; 结果为：r ＝-1 1 1 a=conv([1 -1],[1 -1]);den = conv([1 0], a); p ＝1 1 0 [r,p,k] = residue(num, den); k=03.示例3：求函数2224()(4)s F s s -=+的拉氏逆变换源代码：num = [1 0 -4];den = conv([1 0 4], [1 0 4]); [r,p,k] = residue(num, den);结果为：r ＝-0.0000-0.0000i 0.5000+0.0000i -0.0000+0.0000i 0.5000-0.0000ip ＝-0.0000+2.0000i -0.0000+2.0000i -0.0000-2.0000i -0.0000-2.0000i k=04.示例4：已知系统函数为：321()221H s s s s =+++，利用Matlab 画出该系统的零极点分布图，分析系统的稳定性，并求出该系统的单位冲激响应和幅频响应。
源代码： num=[1];den=[1 2 2 1]; sys=tf(num,den); poles=roots(den); figure(1);pzmap(sys);xlabel('Re(s)');ylabel(' Im(s)');title('zero-pole map'); t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t); figure(2);plot(t,h);xlabel('t(s)');ylabel('h(t)');title('Impulse Response'); [H,w]=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H));xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('|H(j\omega)|');title('Magenitude Response'); 结果为：poles =-1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i (2) 已知象函数，试调用residue 函数完成部分分式分解，并写出逆变换。
连续信号与系统的复频域分析1
二.拉普拉斯变换的复频域分析 ［1］三大域分析 信号的时域分析：将信号分解成许多的冲激信号或阶跃信号 信号的频域分析：将信号分解成许多虚指数信号或等幅正弦信号 信号的复频域分析：将信号分解成许多复指数信号或幅度以指数规律变化 的正弦信号。 可见各个域的分析不同只是信号分解的基本单元函数不同。
当 s j 则傅复频域分析 拉普拉斯变换同时具有傅里叶变换的特性也能将系统的微分方程变成代数方 程且自动引入初始值，其拉普拉斯反变换有很方便。因此可以一举求出系统 的全响应，使之应用更为简捷。这也是线性系统分析经常用拉普拉斯变换而 不用付里叶变换的原因。但这不意味着傅氏变换就没用了，傅氏变换还是用 来分析信号和系统的频率特性的主要手段。 ［3］系统函数的零极点分析系系统综合的重要基础
［2］尺度变换性
开始
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结束
［3］延时特性
［4］复频移特性
［5］时域微分特性
［6］时域积分特性
开始
上一页 下一页
结束
［7］时域卷积特性
［8］初值定理
［9］终值定理
［10］周期信号的拉氏变换
f1 (t ) F1 ( s) fT (t ) F1 ( s) 1 e sT
开始
冲激响应应绝对可也应该有限开始上一页下一页结束2系统稳定性的充分必要条件稳定系统s域系统函数的全部极点位于s左半平面不包括虚轴时域临界稳定系统s域系统函数的极点位于s平面的虚轴上且只有一阶极点时域不稳定系统s域系统函数的全部极点位于s右半平面或者在原点和虚轴有二阶或二阶以上的重极点时域3系统稳定性判定罗斯霍尔维兹准则是在不解方程情况下判断代数方程的根有几个正实部的开始上一页下一页结束罗斯准则
实例：
连续时间信号与系统的复频域分析课件
子e-t使之变为收敛函数，满足绝对可积条件；从物理意义
上看，是将频率ω变换为复频率s，ω只能描述振荡的重复
频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡的增长的
速率或衰减速率。
例：求信号f(t)= e-atu(t)在a>0时的拉普拉斯变换。
解： f(t)的拉普拉斯变换为
F (s) f (t)estdt eatestdt 1
性质4 若f(t)是右边信号，即有始信号，则其收敛域为 从最右边极点开始的右半平面。
性质5 若f(t)是左边信号，即有终信号，则其收敛域为 从最左边极点开始的左半平面。
性质6 若f(t)是双边信号，则其收敛域是S平面的一条带 状区域。
例：已知信号f(t)=e-b|t|，试对b>0及b<0两种情况求其拉普拉斯 变换及收敛域。
0
sa
Re{s} a
如果a=0，f(t)就是阶跃函数，其拉普拉斯变换对为
u(t) 1 s
Re s 0
再来看一下信号f(t)= -e-atu(-t)的拉普拉斯变换。
F (s) eatu(t)estdt 0 e(sa)tdt 1
sa
Re{s} a
不同信号的拉氏变换表示式是一样的，但使表示式有
4. 尺度特性
若 f (t) F(s) 收敛域为：R
则 f (at) 1 F ( s ) aa
R1 aR
若a=-1，则有 f (t) F(s)
如： eatu(t) 1 sa
Re{s} a
R1 R
则 eatu(t) 1
saΒιβλιοθήκη eatu(t) 1Re{s} a
sa
Re{s} a eatu(t) 1 sa
A
A1
【系统】连续时间系统的复频域分析
【关键字】系统西南科技大学课程设计报告课程名称：信号与系统课程设计设计名称：连续时间系统的复频域分析姓名：林强学号:班级：电子0502指导教师：老师起止日期：--课程设计任务书学生班级：电子0502 学生姓名：林强学号：设计名称：连续时间系统的复频域分析起止日期：-- 指导教师：老师课程设计学生日志课程设计考勤表课程设计评语表连续时间系统的复频域分析一、设计目的和意义通过对连续时间系统的复频域分析的Matlab实现，进一步理解掌握连续系统及信号拉普拉斯变换概念；学会利用Matlab绘制系统零极点图;调用系统库函数实现绘制冲激响应曲线以及通过零极点图对零极点的分析而得出系统冲激响应的时域特性、系统的稳定性、系统的频率特性等。
实现在实验环境中，以计算机为辅助手段，用信号分析的软件帮助我们完成数值的计算、信号与系统的分析的可视化建模以及仿真调试，培养我们学生主动获取知识和独立解决问题的能力，为后续专业打下坚实的基础。
二、设计原理1、拉普拉斯变换曲面图的绘制连续时间信号的拉普拉斯变换定义为:（1）其中，若以为横坐标（实轴），为纵坐标（虚轴），复变量就构成了一个复平面，称为平面。
显然，是复变量的复函数，为了便于理解和分析随的变化规律，可以将写成：（2）其中，称为复信号的模，而则为的幅角。
2、连续系统零极点图的绘制线性时不变系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述：（3）其中，为系统输出信号，为输入信号。
将上式两边进行拉普拉斯变换，则该系统的系统函数为：（4）将式（4）因式分解后有：（5）其中为常数为系统的零点，为系统的极点。
可见，若连续系统函数的零极点已知，系统函数便可确定下来。
即系统函数的零极点分布完全决定了系统的特性3、零极点分布与系统稳定性根据系统函数的零极点分布来分析连续系统能够的稳定性是零极点分析的重要应用之一。
稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。
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Y (s)
y (0) X ( s ) s s
系统的模拟
构成系统模拟图的基本规则：
①把微分方程输出函数的最高阶导数项保留在等式 左边， 把其他各项一起移到等式右边； ②将最高阶导数作为第一个积分器的输入，其输出作为第二 个积分器的输入，以后每经过一个积分器，输出函数的导数 阶数就降低一阶，直到获得输出函数为止； ③把各个阶数降低了的导函数及输出函数分别通过各自的标 量乘法器，一齐送到第一个积分器前的加法器与输入函数相 加，加法器的输出就是最高阶导数。
§8.6 线性系统的模拟
三种基本运算器
加法器 标量乘法器 积分器 ①初始条件为零，积分器输出信号与输入信号间的关系 为： t y(t ) x( )d Y ( s) X ( s) / s 0
②初始条件不为零时，则：
y(t ) x( )d x( )d x( )d y(0) x( )d
①在
w 较小的范围内，若 w < < 1/ T
G1 (w) ? 10lg1 0
1
对数频率特性的低频渐近线方程式
②在 w 较大的范围内，若 w > > 1/ T1
G1 (w) ? 20 lg(wT1 ) 20 lg w - 20 lg 1 T1
对数频率特性的高频渐近线
由于
- Z1 =
1 T1
j (w) = arctan(wT1 )
§8.7 信号流图
信号流图的性质
1.信号只能沿着支路上的箭头方向通过
2.结点兼有加法器的作用。结点上的值等于全部输入支路信 号之和，并把总和信号传送到所有输出支路。 3.具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单位 传输的支路，可以把它变成输出结点。 4.对于给定系统，信号流图的形式并不是唯一的。 5.信号流图转置以后，其传输函数保持不变。 流图中各信号传输方向调转 转置 输入输出结点对换
通过对线性系统的积分微分方程进行拉氏变换可以 直接求得系统的全响应,因为在这种变换过程中,反 映系统储能的初始条件被自动引入,计算过程较为 简便. 不足:
全响应中零状态响应与零输入响应是混在一起的,在解题过 程中对信号和系统间的相互作用不容易进行物理意义的解 释.
8.2 系统函数的表示法
系统函数的分类:(激励和响应是否属于同一端口)
频率特性曲线 对数频率特性曲线(波特图) 复轨迹
§8.3 零极点分布与时域响应特性
一.零极点分布规律
1.系统函数的极点和零点分布必定是对实轴成镜像 对称 2.系统函数零点和极点的数目是相等的，只是可能 有若干极点或零点出现在s平面的无限远处。
二.零极点分布与系统的时域特性
系统函数的几种典型情况的极点分布与系统时域特性：
2.初始条件
I (s) scUc (s) cuc (0)
iL (0)
di (t ) u L (t ) L dt
U L (s) sLI (s) Li L (0)
I (s) i (0) 1 U L ( s) L sL s
串联冲激电势源
并联阶跃电流源
积分微分方程的拉氏变换法
h(t )
根据 h(t ) 衰减或增长形式可以将系统划分为稳定系统和不 稳定系统。 时域特性的波形只由极点位置来决定，与零点位置无关。
系统的频率特性包括幅度频率特性和相位频率特性两方面， 它表明系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率变化的 情况。 一.从系统函数的观点来观察系统的正弦稳态响应，并根据 H (s) 在s平面的极.零点分布绘制频率特性曲线 。
10
1
1
2.二阶因式
( jw - Z 2 )( jw - Z 2* ) = Z 2 - w 2 - j 2ws 2
2
s2
为
Z 2 的实部，令
1/ Z2 = T2
z = - s 2T2
2 2 2 轾 (1 w T 2 ) + j 2wz T2 犏 臌
( jw - Z 2 )( jw - Z 2* ) =
输入阻抗函数
策动点函数 (输入函数)
输入导纳函数 转移阻抗函数
转移函数 (传输函数)
转移导纳函数
电压传输函数 电流传输函数
系统函数的图示法
零极点分布图
H ( s) ( s Z1 )( s Z 2 ) N ( s) H0 D( s ) (s P 1 )( s P 2) (s Zm ) (s Pn )
H (s) = H 0 ( s - Z1 )( s - Z 2 ) (s - P 1 )( s - P 2) (s - Zm ) ( s - Pn )
§8.4 零极点分布与系统频率特性
s - P = s - P e ja = Ae ja
H (w) = H 0 ( jw - Z1 )( jw - Z 2 ) ( jw - P 1 )( jw - P 2) ( jw - Z m ) ( jw - Pn )
1.
2.
H (s) = 1 s
1 h(t ) = L- 1[ ] = u (t ) s
1 H (s) = s± a
h(t ) = e
at
3.虚轴上的共轭极点对应等幅振荡
L- 1[
w ] = sin wt , P 1,2 = ? j w 2 2 s +w
4. S左半平面上的共轭极点对应于衰减振荡
L- 1[ w - at ] = e sin wt , P 1,2 = - a ? jw 2 2 ( s + a) + w w at ] = e sin wt , P 1,2 = a ? jw 2 2 ( s - a) + w
m
Õ ( jw i= 1
j= 1 n
= H (w) e jj ( w)
Pi )
ln[H (w)] = ln H (w) + jj (w) = G(w) + jj (w)
对数增益： G(w) = ln H (w) 相位：
j (w)
单位：奈培(Np) 单位： 弧度或度
更常用的增益：
G(w) = 20lg H (w) (dB)
8.1 拉普拉斯变换分析法
复频域分析原理
频域分析的不足之处
1.傅立叶反变换的积分比较困难 2.对于有些信号不能进行傅立叶变换 分析原理 st e 1.激励信号分解为基本信号: 2.基本信号分别作用于系统所引起的响应也是同一复频 率的指数形式的响应分量: H (s)est 3.将各基本单元信号的响应分量迭加
s右半平面上的共轭极点对应于增幅振荡
L- 1[
5.若 H ( s) 具有多重极点，则所对应的时间函数可能具有 t.t 2 .t 3 与指数相乘的形式，t的幂次由极点阶数决定。
小结：
H ( s)
左半面 右半面 虚轴上的一阶极点 虚轴上的二阶极点
的极点情况
波形为衰减形式 波形为增长形式 等幅振荡或阶跃形式 增长形式
三.最小相移函数
1.定义：系统函数不仅全部极点位于s左半平面，而且全部零 点也位于左半平面（包括虚轴） 2.具有最小相移函数的系统稳定性较好。
§8.5 波特图
频率特性曲线是实际中表示系统特性最常用的形式。波特提 出使用对数坐标绘制频率特性的方法，使得计算和作图大 为简化。 一.对数频率特性
H 0 Õ ( jw - Z j ) H (w) =
精品课件！
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信号流图的梅森公式
1 H Gk k k
H—总传输值； —信号流图的特征式
△=1-（所有不同环路的传输之和）+（每两互不接触环路传输乘积之和） —（每三互不接触环路传输乘积之和）+…
1 Li Li L j Li L j Lk
信号流图的化简规则（传输值的变化）
1.支路串联的化简：简化为单一支路，
传输值等于各串联支路传输值的乘积 2.支路并联的化简： 简化为一等效支路， 传输值等于各并联支路传输值之和 3.混合结点的消除：消除混合结点后，形成各新支路的传输值 为其前后结点间通过被消除结点的各顺向 支路传输值的乘积 4.自环消除：设某结点上有传输值为t的自环，则消除自环后， 该结点所有输入支路的传输值都要除以（1-t） 而输出支路的传输值不变
系统函数对数增益的一般表示式为：
G(w) = 20lg H 0 + 20邋 lg jw - Z j - 20
j= 1 m n
lg jw - P i
i= 1
相位可表示为：
j (w) =
邋b
j= 1
m
n j
i= 1
ai
由上可得， 只要能得到每一个因式的特性曲线，就 可以用加.减组合的办法求得系统的频率特性。
将初始条件转化为等效电源的几种情况
uc (0)
uc (t ) 1 t 1 0 1 t i ( ) d i ( ) d i ( )d c c c 0
U c (s) u (0) 1 I (s) c sc s
1.初始条件
串联阶跃电势源 并联冲激电流源
1 T2 2
G (w) = 20 lg
1 + 20 lg 2 T2
(1- w2T2 2 ) 2 + (2wz T2 ) 2
当 w < < 1/ T2 时， 当 w > > 1/ T2 时，
G2 (w) ? 20lg1
0
低频渐近线 高频渐近线
G2 (w) » 40lg wT2
1/ T2
处
高频渐近线与低频渐近线相交于断点
i i, j i , j ,k