圆幂定理的应用
2-3-4圆幂定理
141+ = 第四讲 圆幂定理在圆锥曲线中的应用圆幂定理在圆中的应用【例 1】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (-1 ，0)，点 P 是圆O : x 2 + y 2 = 4上的任意一点，过点B (1 ，0)作直线 BT 垂直于 AP ，垂足为T ，则2PA + 3PT 的最小值是．【例 2】(2015 全国 1 文)已知过点 A (0 ，1)且斜率为 k 的直线l 与圆C : (x - 2)2 + ( y - 3)2 = 1交于 M 、N .(1) 求 k 的取值范围；(2) OM ⋅ ON = 12,其中O 为坐标原点，求| MN |.圆幂定理在椭圆上的推广x 2 y 2 1 【例 3】（2019•陆良县月考）已知椭圆C : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为 2， 椭圆C 上的点 M (1 ， 3)到点 F ， F 的距离之和等于 4． 2 1 2（1）求椭圆C 的标准方程；2 （2）是否存在过点 P (2 ，1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点 A ， B ，满足 PA ⋅ PB = PM？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【例 4】（2017•南京二模）在平面直角坐标系中，焦点在 x 轴上的椭圆C : x 8 y 2 b 21经过点(b ，2e )，其中 2142 AP TBe 为椭圆C 的离心率．过点T (1 ，0)作斜率为 k (k > 0)的直线l 交椭圆C 于 A ， B 两点( A 在 x 轴下方）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点 M ， N ，求 AT ⋅ BT 的值；MN 2（Ⅲ）记直线l 与 y 轴的交点为 P ，若 = 2 ，求直线l 的斜率 k ．5。
圆幂定理+讲义2023年九年级数学中考复习【附解析】
圆幂定理九年级数学中考复习一、圆幂的定义：一点P对半径为r的圆O的幂=22OP r-二、圆幂定理：是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统称。
1、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则··PAPB PC PD=()PAC PBD∆∆∽2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线(PA)长是割线和这点到割线（PD）与圆交点的两条线段长的比例中项²·PA PC PD=()PAC PDA∆∆∽3、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B 与C、D，则·PA PB PC PD⋅=总结：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
22··PA PB PC PD r OP==-222·PA PC PD OP r==-22·PA PB PC PD OP r⋅==-例题讲解【例1】如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ， 若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为( )A ．83B ．3C ．103D ．52【例2】如题图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于 点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ．【例3】如图，点P 为弦AB 上一点，连接OP ，过P 作PC OP ⊥，PC 交O 于点C ，若 6AP =，3PB =，则PC 的长为( )A ．4B ．5C ．23D ．32【例4】如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，交AC 于点Q ．若 QP QO =，则QC QA的值为( )A ．231B ．23C 32D 32+【例5】如图，PA 切圆于点A ，直线PCB 交圆于C ，B 两点，切线长42PA =4PC =， 则AB AC等于( )A 2B ．22C ．2D ．以上结果都不对 【例6】如图，AT 切O 于T ，若6AT =，3AE =，4AD =，2DE =，则BC 等于()A ．3B ．4C ．6D ．8【例7】如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作小圆的割线 AXY ，若4AX AY ⋅=，则图中圆环的面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π【例8】如图，在ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =， 5BE =，则DE 的长为( )A ．3B ．4C ．154D ．165【例9】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，AB 、DC 的延长线交于点P ，若C 是PD 的中点，且6PD =，2PB =，那么AB 的长为( )A ．9B ．7C ．3D ．92【例10】已知：P 为O 外一点，PQ 切O 于Q ，PAB 、PCD 是O 的割线，且PAC BAD ∠=∠．求证：22PQ PA AC AD -=．【例11】圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：已知：如图①，点P为O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、C．求证：2=⋅．PA PB PC证明：如图，连接AB、AC、BO、AO，PA切O于点A，∠+∠=︒．PAB BAO∴⊥，即90PA AO⋯阅读以上材料，完成下列问题：（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；（2）如图②，割线PDE与圆交于点D、E，且4PE=，求DE的长．==，7PB BC挑战训练【挑战训练1】如图，已知：PA切O于A，若AC为O的直径，PBC为O的割线，E 为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且45FPB∠=︒，点F到PC的距离为5，则FC 的长为()。
圆幂定理浙教版八年级上册
圆幂定理浙教版八年级上册圆幂定理是几何学中一个重要的定理，出现在我国初中数学教材的八年级上册。
它涉及到圆、线段、角度等几何元素，为我们解决实际问题提供了有力的工具。
下面，我们将详细介绍圆幂定理的相关内容。
一、圆幂定理的定义及意义圆幂定理是指：在同一个圆中，相交弦（非直径）的长度乘以其所对的圆心角的正弦值，等于两弦端点与圆心构成的直角三角形的面积的两倍。
用数学公式表示为：AC × sinA = 2 × △ABC的面积。
这个定理在实际应用中具有很大的价值，可以帮助我们快速计算几何图形的面积、周长等参数。
二、圆幂定理的应用1.求解弦心距：已知弦长和弦所对的圆心角，可以利用圆幂定理求解弦心距。
2.求解三角形面积：已知三角形的一条边和对应的角度，可以利用圆幂定理求解三角形面积。
3.求解圆的半径：在已知弦长和弦所对的圆心角的情况下，可以利用圆幂定理求解圆的半径。
4.求解扇形面积：已知扇形的半径和圆心角，可以利用圆幂定理求解扇形面积。
三、圆幂定理的证明证明圆幂定理的方法有很多，这里我们以向量法为例进行证明。
设圆心为O，弦AB的两端点分别为A、B，圆心角为AOB，弦心距为OC。
根据向量加法、减法及数乘运算，我们可以得到以下关系：1.OA × OB = OC × OA + OC × OB2.OC × OA = △AOC的面积× 23.OC × OB = △BOC的面积× 2将上述三个式子相加，可以得到：OA × OB +OC × OA + OC × OB = 2 × (△AOC的面积+ △BOC的面积)根据向量数量积的性质，我们知道：OA × OB = △AOB的面积× R（R为圆的半径）将上式代入前面的等式，可以得到：△AOB的面积× R + OC × OA + OC × OB = 2 × (△AOC的面积+△BOC的面积)整理后，我们可以得到圆幂定理的公式：AC × sinA = 2 × △ABC的面积四、总结与拓展圆幂定理是几何学中的一个基本定理，掌握它有助于我们更好地解决实际问题。
圆幂定理
圆幂定理廖述美 知识要点相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 即若弦AB 、CD 交于点P ，则PA·PB=PC·PD . 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项.即若PT 切⊙O 于点T ，PAB 是⊙O 的割线，则PT2=PA·PB割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.即若割线AB 、CD 与⊙O 分别交于A 、B 、C 、D ，则PA·PB=PC·PD .圆幂定理：相交弦定理、切割线定理、割线定理统称圆幂定理. 经典例题例1. 如图，⊙O 和⊙O ′都经过点A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q ，M ，交AB的延长线于N.求证：2PN NM NQ =∙例2.如图，两个以O 为圆心的同心圆，AB 切大圆于B ，AC 切小圆于C ，交大圆于D ，E ，AB ＝12，AO ＝20，AD ＝8， 求两圆的半径.例3.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.求证：AX·AY=BP·BQ破题分析相交弦定理练习1：如图，圆中两条弦AB,CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4，PC=14PD,求CD的长。
切割线定理2：两圆相交于A,B两点，P为两圆公共弦AB上任一点,从P引两圆的切线PC,PD,求证PC=PD3：E 是圆内两弦AB 和CD 的交点，直线EF//CB,交AD 的延长线于F,切圆于G 求证(1) EFA DFE (2)EF=FG基础题1．如图1，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是半圆的三等分点，则∠C ＋∠E ＋∠D ＝( )A ．135°B ．110°C ．145°D ．120° 2．如图2，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么( )A ．∠BAD ＋∠CAD ＝90°B ．∠BAD ＞∠CADC ．∠BAD ＝∠CADD ．∠BAD ＜∠CAD3、如图3，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为A ．62B ．6C ．32D ．3（如图1） （如图2） （如图3）ABC OP4、 如图4，已知⊙O 的直径5AB =，C 为圆周上一点，4=BC ，过点C 作⊙O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD =___________．5、如图5，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==， 则圆O 的半径为 ，C ∠=6、如图6，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦C D A B ⊥于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则PC =_________，OE =_________.（如图4） （如图5） （如图6）7．如图7，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 与B ，CD 切⊙O 与D ，交BA 的延长线于E ．若AB ＝3，ED ＝2，则BC 的长为______．8. 如图8，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC交O ⊙于F ，如果713P F F C ==，，且::2:4:P A A E E B =，那么CD 的长是 ．9. 如图9，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BFFC=．已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_____________．O F EDCBAPABCDEFO（如图7） （如图8） （如图9）AB PCO ·PCBA D EO lOAD CB10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，(Ⅰ)求∠AOD的度数；(Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．(1)求证：BC是⊙O切线；(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．12．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于E ，连结AC 、OC 、BC ．(1)求证：∠ACO ＝∠BCD ；(2)若BE ＝2，CD ＝8，求AB 和AC 的长．提高题1、如图1:PA 切O 于点A ，4PA =，PBC 过圆心O ，且与圆相交于B 、C 两点，:1:2AB AC =，则O 的半径为 ．2、如图2，在圆内接四边形ABCD 中, 对角线, AC BD 相交于点E ．已知23BC CD ==，2AE EC =，30CBD ∠=，则CAB ∠= ，AC 的长是 ．3、如图3，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC =4，AB =6，则MP ·NP = ．（如图1） （如图2） （如图3）C D M NOBAP BCOAP4、如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径,M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM>MC.连接DE，DE＝15,求EM的长．5.如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．挑战极限1．如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED=x°，∠ECD=y°，⊙B的半径为R，则⋂DE的长度是（）(题目进行过改编)A．()9090Rx-πB．()9090Ry-πC．()180180Rx-πD．()180180Ry-π2．（2012武汉中考题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是．考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。
圆幂定理三大结论证明
圆幂定理是解决圆与直线之间的关系的重要定理，其三大结论证明如下：两条相交的弦所对应的弧所构成的圆周幂相等。
证明：设两条相交的弦AB、CD所对应的弧为a、b，交点为E。
则AE·EB=CE·ED，即AE·(AE+EB)=CE·(CE+ED)，化简得AE²-CE²=ED·CE-EB·AE，即(AE+CE)(AE-CE)=ED·CE-EB·AE，因为AE+CE=AD，所以AD·BD=ED·CE-EB·AE，即AD·BD=AB·EC，故得证。
一条切线与圆相交所得的切线段的平方等于这条切线外部点到圆的距离的平方。
证明：设切线与圆相交于点A、B，圆心为O，连接OA、OB，垂直于切线的直线与切线相交于点C，连接OC，过点B作圆的直径DE，则OC垂直于DE，且OC=OD，OE是半径，故OE ²=OC·OD。
因为OC²=OB²+BC²，所以OE²=OB²+BC²-OD²，即OB²=OE²-BC²，故得证。
直线段在圆内部或圆上所作的两条割线所对应的线段的乘积等于这条直线段与其所在圆的距离的平方减去圆的半径的平方。
证明：设直线段为AB，圆心为O，半径为r，与直线段相交于点C、D，连接OC、OD、OE，过点E作圆的直径EF，则OC·OD=(OE-CE)·(OE+DE)=OE²-CE·DE，因为CE·DE=AE·BE，所以OC·OD=OE²-AE·BE，故AE·BE=OB²- r²，即得证。
(完整版)圆幂定理
一、圆幂定理：平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统一。
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与
圆交点的两条线段长的比例中项LA·LB=LC·LD=LT²
2、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为L的两条相交直线与圆O相交于
A、B与C、D，则LA·LB=LC·LD。
3、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD
二、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，
等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
（∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC）
1、弦切角：角的顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
圆幂定理解析
圆幂定理解析
圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一，例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。
圆幂定理是一个总结性的定理。
根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
则有AE·CE＝BE·DE。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
则有PA²＝PC·PD。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，
则有PA·PB=PC·PD。
从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。
经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。
点对圆的幂
定义：P点对圆O的幂定义为OP²—R²。
性质：
点P对圆O的幂的值，和点P与圆O的位置关系有下述关系：点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；
点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；
点P在圆O上→P对圆O的幂为0。
注意：以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系判断点对的圆的幂的符号，还可以逆向应用，通过点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系。
在某些书中，点P对圆O的幂表示为|OP²—R²|。
数学圆幂定理
数学圆幂定理圆幂定理，是平面几何中的一个重要定理，它描述了一个点到一个圆或两个圆的幂的关系。
圆幂定理有多种形式和推广，是解决几何问题的有力工具。
圆幂定理的基本形式是：如果一条直线同时切割两个圆，那么这条直线上的任意一点到两个圆的切线段的乘积是一个常数，这个常数叫做这个点到两个圆的幂。
数学上，可以用公式表示为：$$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$其中，$P$是直线上的任意一点，$A$和$B$是直线分别与第一个圆的两个交点，$C$和$D$是直线分别与第二个圆的两个交点，如下图所示：!圆幂定理的基本形式圆幂定理的一个特殊情况是：如果一条直线同时切割一个圆，那么这条直线上的任意一点到圆的切线段的平方是一个常数，这个常数叫做这个点到这个圆的幂。
数学上，可以用公式表示为：$$PA^2 = PB^2$$其中，$P$是直线上的任意一点，$A$和$B$是直线与圆的两个切点，如下图所示：!圆幂定理的特殊情况圆幂定理的一个推广是：如果一条直线同时切割两个圆，那么这条直线上的任意一点到两个圆的切线段的比值是一个常数，这个常数叫做这个点到两个圆的幂比。
数学上，可以用公式表示为：$$\frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PD}$$其中，$P$是直线上的任意一点，$A$和$B$是直线分别与第一个圆的两个切点，$C$和$D$是直线分别与第二个圆的两个切点，如下图所示：!圆幂定理的推广圆幂定理的一个应用是：如果一个三角形的外接圆和内切圆相切于一点，那么这个点到三角形的三条边的垂线段的乘积是一个常数，这个常数叫做这个三角形的幂积。
数学上，可以用公式表示为：$$PH \cdot PK \cdot PL = rR^2$$其中，$P$是外接圆和内切圆的切点，$H$，$K$，$L$是$P$到三角形的三条边的垂足，$r$是内切圆的半径，$R$是外接圆的半径，如下图所示：!圆幂定理的应用圆幂定理是一个简单而深刻的定理，它揭示了点和圆之间的一种基本的几何关系，它可以用来解决很多关于圆和三角形的几何问题，也可以推导出很多其他的几何定理，是平面几何中的一个重要的基础知识。
圆中的重要模型-圆幂定理模型(学生版)
圆中的重要模型--圆幂定理模型圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。
可能是在19世纪由德国数学家施泰纳(Steiner)或者法国数学家普朗克雷(Poncelet)提出的。
圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
模型1.相交弦模型条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论：△CAE∼△BDE⇒ECEB=EAED⇒EC⋅ED=EB⋅EA。
1(2023·广东广州·九年级校考期中)如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，两圆组成的圆环的面积是．2(2023·江西景德镇·九年级校考期末)如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD=2，AD=3，BD=4，那PB=．3(2023·江苏·九年级专题练习)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦AB，CD交于点P，求证：．(2)如图②，已知AB是⊙O的直径，AB与弦CD交于点P，且AB⊥CD于点P，过D作⊙O的切线，交BA的延长线于E，D为切点，若AP=2，⊙O的半径为5，求AE的长．模型2.双割线模型条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：△CEG∼△CHF⇒ECCH=CGCF⇒EC⋅FC=GC⋅HC4(2023·浙江·九年级假期作业)如图：PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA∙PB=30，PC=3，则CD的长为()A.10B.7C.510D.35(2023·四川成都·九年级校考阶段练习)如图，PAB为⊙O的割线，且PA=AB=3，PO交⊙O于点C，若PC=2，则⊙O的半径的长为．6(2022·河南洛阳·统考一模)我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点(即直线与圆相交)时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．已知：如图①，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条割线，一条交⊙O 于A 、B 点，另一条交⊙O 于C 、D 点．求证：PA ⋅PB =PC ⋅PD ．证明一：连接AD 、BC ，∵∠A 和∠C 为BD 所对的圆周角，∴．又∵∠P =∠P ，∴，∴．即PA ⋅PB =PC ⋅PD ．研究后发现，如图②，如果连接AC 、BD ，即可得到学习过的圆内接四边形ABDC ．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．证明二：连接AC 、BD ，模型3.切割线模型条件：如图，CB 是圆O 的切线，CA 是圆O 的割线。
【初中数学】圆幂定理
【初中数学】圆幂定理圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳，所以目前书上已经把这个定理删除了，也作为补充知识点介绍。
根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：（1）相交弦定理（2）切割线定理（3）割线定理从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。
经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。
圆幂定理是几何学中的一条定理，它描述了一个点与一个圆之间的关系。
具体来说，圆幂定理说明了如果有一条直线通过了一个P点，与一个圆相交于点A和点B，那么这个点P到点A、点B的长度的乘积等于点P到圆心O的距离的平方减去圆的平方的绝对值，即可以表示为：PA·PB=|PO²-r²|（r表示圆的半径）.如何证明这个定理呢？就需要分三种情况讨论，点P与圆的位置关系。
我们非常清楚，点与圆的位置关系只有三种：圆外、圆上、圆内。
1、点P在圆外如图，点P在⊙O外部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：如图，延长PO交⊙O与点D.由割线定理可得：PA·PB=PC·PD∵ PC=PO+OC，PD=PO+OD，OC=OD=r∴ PC=PO+r，PD=PO+r∴ PA·PB=（PO+r）（PO-r）∴ PA·PB=PO²-r²=|PO²-r²|2、点P在圆内如图，点P在⊙O内部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：延长PO交⊙O于C、D两点根据相交弦定理，得：PA·PB=PC·PD∵ PC=OC-PO，PD=PO+OD，OD=OC=r∴ PC=r-PO，PD=PO+r∴ PA·PC=（r-OP）（PO+r）∴ PA·PC=r²-PO²=|PO²-r²|3、当点P在圆上通过以上两种情况的证明可得，PA·PB=|PO²-r²|，那么当P点在圆上时，P、A 两点重合，故PA=0，OP=r，所以PA·PB=0，PO²-r²=0，所以也成立。
圆幂定理及其应用之一
圆幂定理及其应用之一编者注：本专题本来我打算放到后面写，但是昨天和今天通过考试及学生提问，我发现很多学生对圆幂的概念不清，产生了极大的错误，所以先写一篇概念，以正视听。
“yuan”幂“yang”幂老婆看到这篇文章的标题，第一反应是“杨幂定理”！不过读起来确实有点像，虽然圆幂定理在数学中是很著名的定理，不过在当今中国应该还是没有杨幂的名气大。
言归正传，作为第一篇，本篇主要写关于圆幂的三个概念：点对圆的幂、两圆根轴、三圆根心。
众所周知，如图，半径为r的圆O内相交于E两弦AB、CD，有相交弦定理：AE*BE＝CE*DE=r^2-OE^2,同样对半径为r的圆O外点E，ET为圆切线，EAB、ECD为割线，则有切割线定理[1]：ET^2＝EA*EB＝EC*ED=OE^2- r^2。
为了把他们统一起来，我们引入点E对半径为r的圆O的幂[2] 为：由定义知:E在圆内时，p(E)<>E在圆上时，p(E)=0；E在圆外时，p(E)>0，即为过E的圆的切线长的平方。
从而圆幂的范围为：若过E的任意直线交圆O于A、B两点，则容易证明：圆幂定理：用向量（或者有向线段）的乘积表示圆幂的目的就是为了将切割线定理和相交弦定理中的正负号统一起来。
这里需要特别强调的是：刚开始接触圆幂概念的人会觉得很奇怪，为什么要引入一个负值呢，明明两个线段的乘积为正的，为什么要画蛇添足，引入有向线段的乘积来表示圆幂呢？所以很多竞赛教材都将圆幂定义成这恰恰是画蛇添足！还有些教材觉得加不加绝对值无所谓，都是合理的。
事实上，定义中绝对不能加绝对值！！至于原因，请允许我先买个关子，一会儿讲到根轴的时候再说明。
在解析几何中，点E（a,b）对圆O：的幂，不难用定义得到这样定义圆幂其实更简单明了，就是将点的坐标带入圆的解析式中即可。
对一个圆而言，每个点都有一个圆幂。
下面自然的问题是对两个圆呢？最简单的问题是：对两个圆的幂相等的点轨迹是什么？当然很多人知道这就是所谓的两圆的根轴，是一条与两圆连心线垂直的直线，若两圆相交，根轴即为两圆公共弦。
圆幂定理及其应用
点A、B、C,且△ ABC的外心在直线/=o上,求i+b的值. 解法！：可设点A（01,0）、B（02,O）、C（0,b）（b&0）. 因为点A、B均在抛物线y=02+ao+b上,所以0#、02是关
于0的一元二次方程02+a«+b=O的两个根. 由于％ ABC的外心在直线/=0上,可设％ABC的外接
*本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”（课题编号FT2017GD003,课题 负责人:甘志国）的阶段性研究成果.
40 中•了京市丰台二中甘志国
2019年7月
圆&定理在平面几何中有重要应用，相交弦定理与 切割线定理都是其重要推论，反过来，用它们也可给出 圆幕定理的证明.文章还给出了圆幕定理在解答自主招 生试题中的应用.
圆"定理:若过定点"作一动直线与定圆！0（其半 径是$）交于％两点，则"％ •"& = （0"2-$21（把常数 \OP2-R2\叫作定点"对于定圆。的J）.
证明：当点"）00外时，如图1所示，作PT9QO于 点,，连接 0T、0P,可得"OTP=90°.
由切割线定理及勾股定理，可得"％ •P&=PT2=OP2R2=\OP2-R2\.
当点"在OO上时,不妨设点％与点"重合，可得"％ PB=O=\OP2-R2\.
当点"在O O内，即点"在线段％&上且不是端点时， 如图2所示，作O O过点"的直径ST.
' ） 圆圆心为6 ,-£ .再由圆幕定理的注“0$间= * 6O2 -6C2”， 可 得 0(02 =b = -~2 ） ,-b 丨；-_2） + - ） ）&0），则i+b=-1.
圆幂定理及其应用
教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容.从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.(1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165)(2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166)(3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167)(4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168)至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系.3.启发学生理解定理的实质.经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R)在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF＝(R-OP)(R+OP)＝R2-OP2；在图(2)中，PA·PB＝PT2＝OP2-OT2＝OP2-R2在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT2＝OP2-R2.教师指出，由于PA·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)例1 如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB＝12，AO＝15，AD＝8，求两圆的半径.分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理便可求出AC，于是问题得解.例2 如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.求证：AX·AY=BP·BQ分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.方法1 在图7-172中，过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ.再连结CO，AO，DO，BO，易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC＝BD所以AX·AY＝BP·BQ.方法2 在图7-173中，作直线XP交大圆于E，F，分别延长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有AX·XC＝EX·XF，BP·PD＝FP·PE.易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.所以AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE.所以AX·AY＝BP·BQ.方法3 如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有AX·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD.易证AE＝BC，AF＝BD，所以AE·AF＝BC·BD.从而AX·AY＝BP·BQ.通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此题?三、强化练习练习1 已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B，C，且PB ＝BC.如果OA＝7，PA＝2，求PC的长.练习2 如图7-175，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证：PN2＝NM·NQ.四、小结用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图7-176)，让学生观察并说出相应的定理.教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.五、布置作业课本p.133习题7.4A组13、14题.思考题：课本p.130.想一想，p.134B组6题板书设计课堂教学设计说明这份教案为1课时.课本没有给出“圆幂定理”这一名称，而是以“和圆有关的比例线段”的形式出现的，教学时可根据学生的程度而定.圆幂定理十分重要，它是进行几何论证、计算和作图常用定理，但是应用难度较大，所以在教学时应时刻注意启发学生进行思考，培养学生的发散思维能力.例题和练习题可根据学生实际选用.。
圆幂定理
圆幂定理圆幂定理就是对相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及它们推论统一归纳的结果。
ﻩﻩﻩﻩ圆幂=PO^2-Ｒ^2(该结论为欧拉公式)所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零。
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理:从圆外一点引圆的切线与割线,切线长就是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于Ａ、B;C、D,则有PA·PB=PＣ·PＤ。
线),L2与圆交于C、D(可重合),则有ＰA·PB=PC·PD。
问题１相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
证明:连结AC,BD,由圆周角定理的推论,得∠A=∠Ｄ,∠C=∠B。
∴△ＰAＣ∽△PDＢ∴ＰＡ/PD=PC/ＰＢ∴PＡ·PB=PC·PＤ问题２割线定理:从圆外一点Ｐ引两条割线与圆分别交于Ａ、B.C、D 则有PA·PB=PC·PD,当ＰA=ＰB,即直线AＢ重合,即ＰA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD证明:(令A在P、B之间,Ｃ在P、D之间)∵ＡBCＤ为圆内接四边形∴∠CAB+∠CDB=１80°又∠ＣAB＋∠PAC=180°∴∠PＡC=∠CＤB∵∠APC公共∴△AＰC∽△DPＢ∴PＡ/PD=PC/PB∴PA·PB=ＰC·PＤ切割线定理:从圆外一点引圆的切线与割线,切线长就是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言:∵PＴ切⊙O于点T,PBA就是⊙O的割线∴PT＾2=PA·ＰB(切割线定理)推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PＢA、PDC就是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PＢ(切割线定理推论)问题3过点Ｐ任作直线交定圆于两点A、B,证明PA·PB为定值(圆幂定理)。
圆幂定理在几何计算中的应用
圆幂定理在几何计算中的应用
圆幂定理（Pascal's theorem）是非常经典的几何定理，它是按照法
国数学家吕克·帕斯卡（Blaise Pascal）在1640年发表的文章而得名。
圆幂定理指出，如果一个几何图形由六角形的六条边所形成，那么这六条
边在同一个平面上会连接到彼此的折点，并且它们会构成一个边数为四的
正方形。
圆幂定理在几何计算中有着重要的应用。
首先，它可以应用在构建多
边形的场合。
在构建几何图形时，需要判断形成的外形是否满足圆幂公式，这就是圆幂定理的重要应用。
此外，圆幂定理也可以应用在求解多边形内
角和的计算中。
一般情况下，如果多边形的边数为n，那么它的内角和就是(n-2)π，但是有时候，我们需要计算复杂的多边形的内角和，这就需要求
解使用圆幂定理的相关公式，才能得出正确的结果。
圆幂定理也应用到曲面几何学中。
它可以用来描述一个曲面的顶点和
它构成的多边形的拓扑关系，并可以准确地求出曲面中多边形与多边形之
间拓扑上的连接关系。
同时，圆幂定理还可以用来推导椭圆曲线的拓扑关系，以及它们彼此之间的联系，比如哈密顿环的存在。
另外，圆幂定理还可以用来解决数学中的多种问题，比如几何变换、几何线性模型、矩阵变换等，用圆幂定理的方法求解这些问题时，能够更加准确和有效地得到正确的答案。
总之，圆幂定理在几何计算中有着重要的应用，它可以用来构建多边形，计算多边形内角和，描述曲面顶点的拓扑关系，以及解决数学中的多种问题。
它为几何计算提供了更加准确可靠的方法，使几何学成为更加实用的工具，从而为人类社会的发展做出了积极的贡献。
子主题二圆幂定理的应用(精)
一、学习目标进一步理解圆幂定理的作用与内涵，能够运用圆幂定理解决有关的线段问题和面积计算问题．从方程的视角看待圆幂定理，感悟“图形”与“数量”的内在联系，提高分析问题和解决问题的能力．在用圆中比例线段探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．通过小组之间的分工与合作，产生学习数学的兴趣，提高探究问题的能力．二、重难点分析通过对与圆有关的线段长问题的分析，学生将能认识到圆幂定理有助于建立与与圆有关的线段的长度间的关系，进而运用圆幂定理解决问题．用方程的观点看待圆幂定理，从而运用该定理实现已知与未知的转化是本探究活动的难点，可以通过分析题目中的已知、未知，引导学生沿着已知或者未知展开联想的方式克服这一难点，在问题解决后，再次强化方程思想在解题中的作用．三、活动建议方案《圆幂定理的应用》活动建议方案一、活动流程框图二、活动过程2.1活动任务通过探究活动，让学生体会如何运用相交弦定理及其推论、切割线定理及其推论进行线段长度计算．2.2活动1：线段长度的计算2.2.1活动内容第一步：提出问题出示线段长度的计算题（见媒体资源），请学生完成．第二步：小组合作探究请学生以小组为单位解决上述问题，根据需要可以给学生提出如下建议：第一，每位同学首先独立思考，将自己面对问题的想法和感到的困难记下来；第二，小组内就题目的共同特点、对解决问题过程中获得的感悟以及总结出的通性通法进行提炼总结，向全班交流．第三步：全班集体交流选择2～3个具有不同特点的小组的同学汇报自己的探究结果，全班讨论，建议从如下几个方面进行总结：第一，解决与圆有关的线段长度问题时，圆幂定理是个重要工具；第二，有些问题直接给出的条件不符合圆幂定理的条件，可以通过添加辅助线的方式使之适应于圆幂定理；第三，圆幂定理实质上可以看成是一个等量关系，因此，应用它时可以结合方程思想花未知为已知．参考资料1．相交弦定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．若弦AB、CD交于点P，则P A·PB=PC·PD．推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=P A·PB．2．割线定理割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B和C、D，则有P A·PB=PC·PD．3．切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
圆幂定理‘-概述说明以及解释
圆幂定理‘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述部分：圆幂定理作为几何学中重要的定理之一，其内容涉及到圆和直线之间的关系。
通过圆幂定理，我们可以推导出在圆内或圆外的点与圆的关系，从而解决相关的几何问题。
该定理的基本概念和证明方法将在后续章节进行详细介绍。
圆幂定理在数学研究和实际问题解决中具有重要的应用价值，我们将在文章的后续部分探讨其具体应用案例。
通过本文的学习，读者将对圆幂定理有更深入的理解，从而提升数学知识和解题能力。
1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，首先概述了圆幂定理的基本概念和意义，接着介绍了文章的结构和目的，为读者提供了全文的概览。
在正文部分，将详细阐述圆幂定理的基本概念，包括定义、原理和相关定理等内容；然后介绍圆幂定理的证明方法，探讨其推导过程和逻辑；最后探讨圆幂定理在几何学和其他领域中的应用，展示其在实际问题中的作用和意义。
在结论部分，将对全文进行总结，回顾圆幂定理的重要性和实际应用，同时展望未来对该定理的进一步研究和应用方向。
整个结构清晰，逻辑严谨，希望能为读者提供全面深入的了解和思考。
1.3 目的圆幂定理是几何学中的重要定理之一，它可以帮助我们理解圆的性质和与其他几何图形之间的关系。
本文的目的在于深入探讨圆幂定理的基本概念、证明方法以及应用，以便读者能够更全面地了解这一定理的内容和意义。
通过学习圆幂定理，我们可以更好地解决与圆相关的几何问题，拓展我们的数学思维，提高我们的解题能力。
同时，深入理解圆幂定理还可以为我们之后学习更高级的几何知识打下良好的基础。
除此之外，通过探讨圆幂定理的重要性和应用，我们也可以更好地体会到数学在现实生活中的应用，激发我们对数学的兴趣和热情。
希望本文能够为读者带来启发，并引起他们对数学的思考和探索欲望。
2.正文2.1 圆幂定理的基本概念圆幂定理是几何学中的一项重要定理，它描述了圆与直线之间的关系。
在介绍圆幂定理之前，我们需要了解一些基本概念。
圆幂定理及其在竞赛中的应用
竞赛强基２０２４年１月下半月㊀㊀㊀圆幂定理及其在竞赛中的应用◉吉林师范大学数学与计算机学院㊀张战举㊀㊀摘要:奥林匹克数学这一名词由苏联人所创,发展至今已经成为一种风靡全球的文化现象．而在各种数学竞赛中,几何内容始终占据着重要位置,蕴含着奥林匹克数学的深刻内涵,其中圆幂定理更是解决奥林匹克几何问题的最重要工具之一,也与其他许多著名几何问题有着紧密联系．本文中从几何和代数两个角度解释圆幂定理,并利用圆幂定理解决奥林匹克几何中的两个问题．关键词:圆幂定理;数学竞赛㊀㊀我们先从几何角度开始讨论:圆幂定理是相交弦定理㊁割线定理㊁切割线定理三者的统称．下面分别证明这三个小定理[１]．１相交弦定理如图１所示,设平面内有一圆Γ和一点P ,点P位于Γ内,任意两条直线分别交Γ于A ,B 和C ,D 两点,则P A P B ＝P C P D ．图１㊀㊀㊀图２证明:如图２所示,连接A D ,B C ．由同弧所对的圆周角相等,得øB C D ＝øD A B ,且øC B A ＝øA D B ．所以әC B P ʐәA D P ．根据相似三角形三边成比例,得P A ʒP C ＝P D ʒP B ．因此P A P B ＝P C P D ．２割线定理图３如图３所示,设平面内有一圆Γ和一点P 且点P 在Γ外,过P 的任意两条直线分别交圆于A ,B和C ,D 两点,连接A D ,B C ,则有P A P B ＝P C P D ．证明:因为øP B C ＝øP D A ,所以әP B C ʐәP D A ,于是可以得到P A P C ＝P DP B．因此P A P B ＝P C P B ．３切割线定理图４如图４,设平面内有一圆心为O 的圆Γ和一点P ．且点P 在Γ外,设任意一条直线过点P 且与圆相交于A ,B 两点,过点P 的另一条直线与圆切于点T ．连接A T ,O T ,A O ,则P T ２＝P A P B ．证明:因为øP T O ＝９０ʎ,所以øA T O ＝９０ʎ－øP T A ．所以øA O T ＝１８０ʎ－２(９０ʎ－øP T A )＝２øP T A ,可得øT B A ＝１２øA O T ＝øP T A ．易得әP T A ʐәP B T ,所以P T P B ＝P AP T．因此P T ２＝P A P B ．４圆幂的代数意义上述证明过程也是证明四点共圆很好的方法,这里不展开叙述．接下来从代数的角度讨论,通过代数的计算去感受何为 圆的幂 ,注重感受圆幂的代数意义．分别考虑点P 在圆外㊁圆内㊁圆上三种情况．４．１点P在圆外图５如图５所示,设在平面直角坐标系中有一圆Γ和一点P ,圆心为O (a ,b ),半径为r ．点P (x ０,y ０)在圆外,过点P 的任意两条直线与Γ相交于点A ,B和E ,F ．过P 和圆心O 的直线与Γ交于点C 和D ．设Γ的一条切线过点P 切圆于点T ,则P A P B ＝P E P F ＝P T ２＝P C P D ．２８２０２４年１月下半月㊀竞赛强基㊀㊀㊀㊀因为P C ＝O P －r ,P D ＝O P ＋r ,所以P AP B ＝P E P F ＝P T ２＝O P ２－r ２．由勾股定理,得P T ２＝O P ２－r ２．由于圆的标准方程为(x －a )２＋(y ＋b )２－r ２＝０,由两点间的距离公式,可得O P ２＝(x ０－a )２＋(y ０－b )２,所以点P 对圆的幂(x ０－a )２＋(y ０－b )２－r ２＝O P ２－r ２．因为O P ＞r ,所以O P ２－r ２＞０[２]．４．２点P 在圆上显然对于圆Γ(O ,r )上的任意点对该圆的幂为０．４．３点P 在圆内如果点P 在圆内,是否和点P 在圆外的情况类似呢我们接下来讨论点P 在圆内的情况．图６如图６所示,设在平面直角坐标系中圆Γ的半径为r ,圆心为O (a ,b ),P (x ０,y ０)．任意一条直线过点P (在圆内)交圆于E 和F 两点,过点P 和圆心O 的直线交Γ于C 和D 两点．设过点P 且垂直于直径C D 的极小弦与Γ交于A 和B 两点．可以发现P C P D ＝P E P F ＝P A P B ．由P A ＝P B ,得P A P B ＝P B ２＝O B ２－O P ２＝r ２－O P ２．而由两点间的距离公式,可得到点P 对圆的幂(x ０－a )２＋(y ０－b )２－r ２＝O P ２－r ２．因为O P ＜r ,所以O P ２－r ２＜０．因此,可得r ２－O P ２＝|O P ２－r ２|[３]．这样就得到了圆的幂的代数意义:对于所有过点P 和圆心O 的直线与圆交于A ,B 两点,O P ２－r２均为定值,此定值反映了点对圆的性质,我们把此定值称为点P 对圆的幂．当P 在圆外时,P 对圆的幂大于０;而P 在圆内时,P 对圆的幂小于０,且P A P B ＝|O P ２－r ２|;当点P 在圆上时,点P 对圆的幂等于０．５圆幂定理在竞赛题中的应用以上是从几何和代数的角度分别对圆幂定理的讨论,下面我们通过一个奥林匹克竞赛中的问题趁热打铁,感受圆幂定理在几何证明与代数运算之间的联系．这是一道２０１１年国际奥林匹克数学竞赛的预选题:图７题目㊀如图７所示,设A １A ２A ３A ４是四点不共圆的四边形．设O １和r １分别为三角形A ２A ３A ４的外接圆ω１的圆心和半径,类似地定义圆ω２,ω３,ω４的圆心O ２,O ３,O ４和半径r ２,r ３,r ４．证明:１O １A ２１－r ２１＋１O ２A ２２－r ２２＋１O ３A ２３－r ２３＋１O ４A ２４－４２＝０．证明:设点M 是对角线A １A ３和A ２A ４的交点．设x ,y ,z 和w 分别是由点M 到A １,A ２,A ３,A ４的长度．设B １是A １A ３与圆ω１的另一个交点,类似地定义B ２,B ３和B ４．对于ω１来说,点A １对圆的幂为O １A ２１－r ２１＝A １B １ A １A ３,由相交弦定理,得M B １ M A ３＝M A ２ M A ４．因为M A １,M A ２,M A ３,M A ４分别为x ,y ,z ,w ,则M B １＝y w z ,可得O １A ２１－r ２１＝(x －y w z)(x ＋z )＝x ＋z z(x z －y w )．对于圆ω２来说,点A ２对圆的幂A ２B ２ A ２A ４＝r ２２－O ２A ２２＝－(O ２A ２２－r ２２)．由相交弦定理,得M B ２ M A ４＝M A １ M A ３,则M B ２＝x z２．所以O ２A ２２－r ２２的值为－A ２B ２ A ２A ４＝－(x z２－y ) (y w －x z )＝y ＋ww (yw －x z )．对另外两个圆的幂进行相同的计算,可以得到ð４i ＝１１O i A i ２－r i２＝１x z －y w (z x ＋z －w y ＋w ＋x x ＋z －y y ＋w )＝１x y －yw (x ＋zx ＋z －w ＋yw ＋y )＝０．证明完毕．需要注意的是,当涉及很多圆幂的计算时,点的位置不同对应的情况也不同,在处理符号问题时一定要细心[４]．参考文献:[１]朱成万．圆幂定理与著名几何问题的联系及解题妙用[J ]．中学数学研究(华南师范大学版),２０２１(１９):４３Ｇ４６．[２]周春荔．圆幂定理(下)[J ]．中学生数学,２０１８(２０):３０Ｇ３１．[３]周春荔．圆幂定理(上)[J ]．中学生数学,２０１８(１８):３７Ｇ３８．[４]陈波．从圆幂定理到圆锥曲线幂定理[J ]．数学教学,２０１６(５):４２Ｇ４５．Z３８。
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《奥数群英会》圆幂定理的应用20160517wed
班级________姓名_________学号__________
1.已知：如图，△ABC内接于⊙O，P为⊙O外一点，作∠CPD=∠A，使PD交⊙O于D、E
两点，并与AB、AC分别交于点M、N（1）求证DN·NE=MN·NP（2）若PD∥CB,求证PC为切线。
2.如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，外公切线AB切⊙O1于点A，切⊙O2于点B，BC为直
径，求证：从C到⊙O1的切线长等于BC
3.如图，⊙O1与⊙O2相交，公共弦为MN，外公切线为AB,CD，直线MN交AB于点P，
交CD于点Q，求证：PQ2=AB2+MN2
4.如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半
圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，求BN
NC
5.如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC，一圆过点C，且与AC相
交于F，与AB相切于AB的中点G，求证：AD⊥BF
6. 如图，圆内接四边形ABCD中，延长AB,DC交于F，延长AD,BC交于E，EM,FN为圆的切线，分别以E、F为圆心，EM、FN为半径作弧，两弧交于K。
求证：EK⊥FK。