二章圆波导

相同的周长圆的面积最大
可见，要探索小衰减，大功率传输线，想到圆波 导是自然的。
特点小结：损耗小；用于天线馈线；也可用于较远距离的 传输线；广泛用作微波谐振腔。
2.功率容量和衰减是波导传输线十分重要的两个指 标。这个问题从广义上看
功率容量 衰减 a
Pmax S(其中S是截面) L(其中L是周长)
r
r
(rE )
Er
j Hz
z
二、圆波导一般解
可以把上面两个Maxwell旋度方程分解成两组
j Er
H
1 r
Hz
Er
j H
Ez r
Hr
j E
Hz r
j Hr
E
1 r
Ez
(12)
H
1 kc2
j
Ez r
r
Hz
Er
1 kc2
j
r
Hz
Ez r
2.2 圆波导
我们已经研究了矩形波导，对于 圆波导的提出应该有它的理由。
一、圆波导的一些特点 在矩形波导应用之后， 还有必要提出圆波导吗？当然，既然
要用圆波导，有其优点存在。
主要有： 1.实践的需要 结构几何对称性——独特用途如，雷达的旋转搜索。如果没有 旋转关节，那只好发射机跟着转。象这类应用中， 圆波导成了 必须要的器件。
1 r2
2 2
2 z2
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
圆波导包含三种边界条件
•有限条件 f(r=0)≠∞ • 周期条件f( 0 )=f( 2 ) • 理想导体条件ft(r=R)=0
其中t表示切向分量
二、圆波导一般解
各种波导之间的差异主要是横向边界条件不同，由 此可以得到各种不同的波型和模式，很自然，为了 适合圆波导，应该采用圆柱坐标系。 分析方法： 1、利用波动方程求解纵向场分量Ez，Hz的通解 2、根据边界条件求特解 3、利用横纵关系式求解所有场分量的表达式 4、根据表达式讨论其截至特性、传输性和场结构。
二、圆波导一般解
1. 它们也可以划分为TE和TM波。
我们以TE波作为例子，这时 Ez=0
z分量分别满足
2
H
z
k2Hz
0
H r
z
|rR
0
对于圆柱坐标
2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2 z2
假设
H z R(r)( )Z (z)
(1)
(2) (3)
二、圆波导一般解
同样可解出 Z ( z) ce z
(4)
于是
H z R(r)( )e z
(5)
且满足
2
1 r
r
r
r
...
2Hz r2
1 Hz r r
1 r2
2Hz 2
kc2 H z
(6)
其中
2 kc2 k 2
二、圆波导一般解
2Rz r2
1R r r
R r2
2z 2
kc2 H z
等式两边除以ΦR，乘上r２
r
)
Jm (kcr) Nm (kcr)
(8)
其中c1，c2，c3，c4为常数。m=0，1，2，…为整数。
Jm (kcr)为第一类m阶Bessel函数 Nm (kcr)为第二类m阶Bessel函数(Neumann函数)
二、圆波导一般解
对于Neumann函数最大特点是x→0，Nm(x)→-∞。
z
H
j
kc2r
H
0
J
m
mn
R
r
sin cos
m m
e
j
z
Hz
H0Jm
mn
R
r
sin cos
m m
e j z
Hr
1 kc2
j
r
Ez
Hz r
E
1 kc2
r
Ez
j
Hz r
二、圆波导一般解
j, H0 kc2Hm,n
TE模式
Ez
0; H z
H0
Jm
(kc r )
cos m sin m
e
z
有
Er
H0
j m
kc2 r
Jm
(kcr)
sin m cos m
e
z
E
其中t表示切向分量
有限条件导致圆波导体不出现Neumann函数。 周期边界条件要求m为整数阶。
二、圆波导一般解
理想导体边界条件要求r=R处， E=0，也即
J m (kc R) 0
设 m是n m阶Bessel函数导数的第n个根，则
(14)
kc R m n (n 1, 2, 3, ) (15)
kc
H
r
H0
j
kc
cos m Jm (kcr) sin m
e z
H0
kc
J
m
(kc
r
)
cos sin
m m
e
z
H
H0
m
kc2 r
J
m
(kc
r
)
sin cos
m m
e
z
(13)
其中， J'm是(k第cr)一类m阶Bessel函数的导数。
二、圆波导一般解
3. 边界条件 圆波导包含三种边界条件
• 有限条件 f(r=0)≠∞ • 周期条件f( 0 )=f( 2 ) • 理想导体条件地ft(r=R)=0
m n
R
2 c
c
2 R m n
(16)
二、圆波导一般解
圆波导TE波场表达形式 γ =jβ，H0=k2c Hm,n
Er
j
m
kc2r
H0Jm
mn
R
r
sin cos
m m
e
j
z
E
j kc
H0 Jm
mn
R
r
sin cos
m m
e
j
z
Ez 0
Hr
j
kc
H0 Jm
mn
R
r
sin cos
m m
e
j
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r2 R
2 Rz r2
r R
R r
kc2r
2
1
2 2
z
0
显然，可以令一常数-m２
1
d 2
d 2
m2
(7)
r 2
d2R dr 2
r
dR dr
(kc2r 2
m2 )R
0
二、圆波导一般解
其解分别是
( )
c1
cos
m
c2
sin
m
cos m
sin
m
R(r
)
c3
J
m
(kc
r
)
c4
Nm
(kc
很容易引出一个品质因数F
F Pmax S aL
很明显，数字研究早就指出：在相同周长的条件下， 圆面积最大
思考：圆波导与矩形波导区别？
思考：圆波导与矩形波导区别？
截面形状不同 采用不同坐标系 波动方程的表现
形式不同
形状不同导致边界条 件的表现形式不同
解的形式不同
拉普拉斯算子
2
1 r
r
r
r
J
v
(
x)
cos(v ) sin(v
)
J
v
(
x)
二、圆波导一般解
利用纵向分量表示横向分量
H j E
E jH
1
r
H
z
H z
j Er
1
r
Ez
E z
j Hr
(11)
Hzr
Hz r
j E
(10)
1
r
r
(rH )
Hr
j Ez
注意到
Ezr
Ez r
j H
1
而空心波导，中间没有导体的条件下不可能出现 Neumann函数。
Hz
cos m H0 Jm (kcr) sin m
e z
(9)
2. 纵向分量法
贝塞尔函数曲线
U’11=1.841
U01=2.40 5
J 0 '(x) J1 (x)
J
v
(
x)
x 2
v
k 0
k!(v
x2 4
2
k
1)
Nv
(x)