折叠问题练习题(含答案)

折叠问题练习题
1.点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ． （Ⅰ）求EOF ∠的大小；（Ⅱ）求二面角E OF A --的大小． 解法一：（Ⅰ）如图，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H ，则
2EG FH ==，22GH =．
因为二面角D －AC －B 为直二面角， 2
2
2
2
2cos90EF GH EG FH EG FH ∴=++-⋅
222(22)(2)(2)012.=++-=
又在EOF ∆中，2OE OF ==，
22222222(23)1
cos 22222OE OF EF EOF OE OF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯．
120EOF ∴∠= ．
（Ⅱ）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ．
∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ．
∴
EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角． 在Rt ∆EGM 中，90EGM ∠=
，2EG =，1
12
GM OE =
=， ∴
tan 2EG
EMG GM
∠==．∴arctan 2EMG ∠=． 所以，二面角E OF A --的大小为arctan 2． 2.（2009福建卷文）（本小题满分12分）
如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒
∠=，2,4AB AD ==将
CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD
（I ）求证：AB DE ⊥（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。

（I ）证明：在ABD ∆中，2,4,60AB AD DAB ︒==∠=
222
2
2
22cos 23,BD AB AD AB AD DAB AB BD AD AB DE
∴=+-⋅∠=∴+=∴⊥
又 平面EBD ⊥平面ABD
平面EBD 平面,ABD BD AB =⊂平面ABD AB ∴⊥平面EBD
DF ⊂ 平面,EBD AB DE ∴⊥ （Ⅱ）解：由（I ）知
,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥
从而DE D ⊥在Rt DBE ∆中，
23,2DB DE DC AB ====
A
B
C
D
E
F
O
O
F
A
B
C
D
E
C D
M
H
G
O F
A B
E
G
H
M
A
B
C
D
E
F
O
1
232
ABE S DB DE ∆∴=
⋅=又AB ⊥ 平面,EBD BE ⊂平面,EBD AB BE ∴⊥ 1
4,42
ABE BE BC AD S AB BE ∆===∴=⋅= ,DE BD ⊥ 平面EBD ⊥平面
ABD ED ∴⊥，平面ABD 而AD ⊂平面
1
,,4
2ADE ABD ED AD S AD DE ∆∴⊥∴=⋅=
综上，三棱锥E ABD -的侧面积，823S =+
3.如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N 。

求（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC 和NC 的长；
（3）平面NMP 和平面ABC 所成二面角（锐角）的正切值
正解：①正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为
974922=+②如图1，将侧面BC 1旋转
120使其与侧面AC 1在同一平面上，点P 运动
到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过CC 1到点M 的最短路线。

设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，
在2,292)32
2
1==+∆x x MAP Rt ＋中，（
5
4
,5211=∴==∴NC A P C P MA MC ③连接PP 1（如图2），则PP 1就是NMP 与平面ABC 的交线，作NH 1PP ⊥于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得，1PP CH ⊥。

所成二面角的平面角。

与平面就是平面ABC NMP NHC ∠∴ 1,602
1
1=∴=∠=
∠∆CH PCP PCH PHC Rt 中，在 54
tan ==∠∆CH NC NHC NCH Rt 中，在
4.（2010浙江理数）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，
2
43
AE EB AF FD ===
=.沿直线EF 将 AEF V 翻折成'
A EF V ，使平面'
A EF BEF ⊥平面. （Ⅰ）求二面角'
A FD C --的余弦值；
（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线
MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长。

解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应
用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。

方法二：
（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ,AF 的中点G ,连结
',',A G A H GH 。

因为'A E ='A F 及H 是EF 的中点，
所以'A H EF ⊥又因为平面'A EF ⊥平面BEF ，所以
'A H ⊥平面BEF ,又AF ⊂平面BEF ,
故'A H ⊥AF ，又因为G 、H 是AF 、EF 的中点，
易知GH ∥AB ，所以GH ⊥AF ，于是AF ⊥面'A GH ，所以'A GH ∠为二面角
'A DH C --的平面角，在'Rt A GH 中，'A H =22，GH =2，'A G =2
3
所以3cos '3A GH ∠=
.故二面角'A DF C --的余弦值为33。

（Ⅱ）解：设FM x =,因为翻折后，C 与'A 重合，所以'CM A M =，而
222
228(6)CM DC DM x =+=+-222222'''A M A H MH
A H MG GH =+=++ 2(22)= 得214x =
，经检验，此时点N 在线段BC 上，所以21
4
FM =。

5.（2010浙江文数）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120°。

E 为线
段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ’DE ，使平面A ’DE ⊥平面BCD ，F 为线段A ’C 的中点。

（Ⅰ）求证：BF ∥平面A ’DE ；
（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A ’DE 所成角的余弦值。