折叠问题练习题(含答案)

折叠问题练习题

1.点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ． （Ⅰ）求EOF ∠的大小；（Ⅱ）求二面角E OF A --的大小． 解法一：（Ⅰ）如图，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H ，则

2EG FH ==，22GH =．

因为二面角D －AC －B 为直二面角， 2

2

2

2

2cos90EF GH EG FH EG FH ∴=++-⋅

222(22)(2)(2)012.=++-=

又在EOF ∆中，2OE OF ==，

22222222(23)1

cos 22222OE OF EF EOF OE OF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯．

120EOF ∴∠= ．

（Ⅱ）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ．

∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ．

∴

EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角． 在Rt ∆EGM 中，90EGM ∠=

，2EG =，1

12

GM OE =

=， ∴

tan 2EG

EMG GM

∠==．∴arctan 2EMG ∠=． 所以，二面角E OF A --的大小为arctan 2． 2.（2009福建卷文）（本小题满分12分）

如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒

∠=，2,4AB AD ==将

CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD

（I ）求证：AB DE ⊥（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。

（I ）证明：在ABD ∆中，2,4,60AB AD DAB ︒==∠=

222

2

2

22cos 23,BD AB AD AB AD DAB AB BD AD AB DE

∴=+-⋅∠=∴+=∴⊥

又 平面EBD ⊥平面ABD

平面EBD 平面,ABD BD AB =⊂平面ABD AB ∴⊥平面EBD

DF ⊂ 平面,EBD AB DE ∴⊥ （Ⅱ）解：由（I ）知

,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥

从而DE D ⊥在Rt DBE ∆中，

23,2DB DE DC AB ====

A

B

C

D

E

F

O

O

F

A

B

C

D

E

C D

M

H

G

O F

A B

E

G

H

M

A

B

C

D

E

F

O

1

232

ABE S DB DE ∆∴=

⋅=又AB ⊥ 平面,EBD BE ⊂平面,EBD AB BE ∴⊥ 1

4,42

ABE BE BC AD S AB BE ∆===∴=⋅= ,DE BD ⊥ 平面EBD ⊥平面

ABD ED ∴⊥，平面ABD 而AD ⊂平面

1

,,4

2ADE ABD ED AD S AD DE ∆∴⊥∴=⋅=

综上，三棱锥E ABD -的侧面积，823S =+

3.如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N 。求（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC 和NC 的长；

（3）平面NMP 和平面ABC 所成二面角（锐角）的正切值

正解：①正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为

974922=+②如图1，将侧面BC 1旋转

120使其与侧面AC 1在同一平面上，点P 运动

到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过CC 1到点M 的最短路线。设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，

在2,292)32

2

1==+∆x x MAP Rt ＋中，（

5

4

,5211=∴==∴NC A P C P MA MC ③连接PP 1（如图2），则PP 1就是NMP 与平面ABC 的交线，作NH 1PP ⊥于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得，1PP CH ⊥。

所成二面角的平面角。与平面就是平面ABC NMP NHC ∠∴ 1,602

1

1=∴=∠=

∠∆CH PCP PCH PHC Rt 中，在 54

tan ==∠∆CH NC NHC NCH Rt 中，在

4.（2010浙江理数）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，

2

43

AE EB AF FD ===

=.沿直线EF 将 AEF V 翻折成'

A EF V ，使平面'

A EF BEF ⊥平面. （Ⅰ）求二面角'

A FD C --的余弦值；

（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线

MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长。

解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应

用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。 方法二：

（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ,AF 的中点G ,连结

',',A G A H GH 。因为'A E ='A F 及H 是EF 的中点，

所以'A H EF ⊥又因为平面'A EF ⊥平面BEF ，所以

'A H ⊥平面BEF ,又AF ⊂平面BEF ,

故'A H ⊥AF ，又因为G 、H 是AF 、EF 的中点，

易知GH ∥AB ，所以GH ⊥AF ，于是AF ⊥面'A GH ，所以'A GH ∠为二面角

'A DH C --的平面角，在'Rt A GH 中，'A H =22，GH =2，'A G =2

3