离散型随机变量的均值和方差

1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1， 1，2，2，2，3，3，4； （1）设他所得环数为X,求X的分布列 (2)求他所得的平均环数是多少？
（1）环数为X的可能所取的值为什么，1，2，3，4，其分布列
X
1
2
P
4
3
10
10
3
4
2
1
10
10
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 10 10 10 10
(2)X 1111 2 2 2 3 3 4 2 10
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩 的期望分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25． 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的 均值为90分的含义是什么?
不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ= 2.4
.
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
P
0.3
a
9
10
b
0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤： ①、确定离散型随机变量可能的取值。 ②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。 ③、求出均值(期望)。
a( x1 p1 x2 p2 L xn pn ) b( p1 p2 L pn )
Fra Baidu bibliotekE b
即 E(a b) aE b
离散型随机变量的均值的理解
(1) 均 值 是 算 术 平 均 值 概 念 的 推 广 ， 是 概 率 意 义 下 的 平 均．
(2)E(X)是一个实数，是由X的概率分布唯一确定的，它 描述X取值的平均状态．
解：X的可能取值为0，1，其分布列如下
X
1
0
P
0.7
0.3
EX 10.7 0(1 0.7) 0.7
各种不同概率模型下的数学期望
若X~B(1，p)
则E(X) ＝p
若X~B(n，p)
则E(X)＝np
若X~H(N ，M ， n)
则E(X)＝
nM N
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其
中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满 分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每 题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩的均值.
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题 个数分别是 和η,则 ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)， 所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5．
高二数学 选修2-3
2.3离散型随机变量 的均值和方差
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
X
x1
x2 ··· xi
···
P
p1
p2 ··· pi
···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
复习引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
10元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这 场赌博对你是否有利?
X 10
-3
0
P
1
1
1
6
2
3
E
1 10 1 3 1 0 1
6
2
3
6
.
对你不利!劝君莫参加赌博.
例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的数学期望？
1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
从以数据你能否说明谁的射击水平高？
解 EX1 9, EX2 9
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，
2. 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢
1 3
0.7
0.32
2
C
2 3
0.7
2
0.3
3 0.73
EX 2.1 3 0.7
1：若 a b, 则 E aE b
Q P( axi b) 所以， 的分布列为
P(
xi
), i
1, 2, 3L
L ax1 b ax2 b
L LL P p1
p2
axipi b
axn b
pn
E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 L (axn b) pn
P
3 6
2 6
m平16千1均8克价63混格m合为糖2244果的6262mm总价336格6为1616mm
m
18 3 24 2 36 1 23元 / kg.
6
6
6
E X 18 P X 18 24 P X 24 36 P X 36
二、互动探索
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1， 1，2，2，2，3，3，4； （1）设他所得环数为X,求X的分布列 (2)求他所得的平均环数是多少？
3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚 不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.3
2
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2)
EX
0 0.33
1
C
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
问题情景
18元/kg
24元/kg
36元/kg
按3：2：1的比例混合，混合糖果 中每一粒糖果的质量都相等.
定价为混合糖果的平均价格才合理
情景探究 按3：2：1混合以下糖果
X 18 1284元/3k6g
24元/kg
36元/kg