几何五大模型精讲-第2讲-蝴蝶模型

2 ， 7
【例 4】
A E D
O F G B C
设 BD 与 CE 的交点为 O ，连接 BE 、 DF ． 由蝴蝶定理 EO : OC S 而S
BED
BED
:S
BCD
， ，
1 S 4
ABCD
，S
BED
BCD
1 S 2
ABCD
所以 EO : OC S
:S
BCD
1 1: 2 ，故 EO EC ． 3
4、 (98 迎春杯初赛)如图， 阴影部分是直角三角形且面积为 54 ， ABCD 长方形中，
OD 的长是 16 ， OB 的长是 9 .那么四边形 OECD 的面积是多少？
A O B E C D
5、 如图， ABC 是等腰直角三角形， DEFG 是正方形，线段 AB 与 CD 相交于 K 点．已知正方形 DEFG 的面积 48， AK : KB 1: 3 ，则 BKD 的面积是多少？
DOC
AOB
:S
BOC
a 2 : ab 25 : 35 ，
AOB
:S
DOC
a 2 : b2 52 : 72 25 : 49 ，
49
梯形 ABCD 的面积为 25 35 35 49 144
【例 6】 由蝴蝶定理， S 得 a : b 2: 3 ，
S
AOD AOB
△BOE 的面积依次是 2、4、4 和 6．求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE
的面积．
A O G B E C D
F
【例 3】(2007 年人大附中考题)如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， BE 2EC ，
CF FD ，求三角形 AEG 的面积．
A G
D
F
B
E
C
【例 4】 如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，E 为 AD 中点，F 为 CE 中点，
A 25 O D 35 B
C
【例 6】 梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ， 已知梯形上底为 2， 且三角形 ABO 的面积等于三角形 BOC 面积的 ，求三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积 之比．
A D O B C
2 3
【例 7】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 ADG 的 面积是 11，三角形 BCH 的面积是 23 ，求四边形 EGFH 的面积．
A E 2 5 O 8 D C ? F B
【例 10】如图，正六边形面积为 6 ，那么阴影部分面积为多少？
作业题
1、 如图，长方形 ABCD 中，BE : EC 2:3 ，DF : FC 1: 2 ，三角形 DFG 的面积为 2 平方厘米，求长方形 ABCD 的面积．
A G D F C
B
E
【例 8】
A 8 16 B O 2 E C D
连接 AE ．由于 AD 与 BC 平行， 所以 AECD 也是梯形，那么 SOCD SOAE ． 据蝴蝶定理， SOCD SOAE SOCE SOAD 2 8 16 故 SOCD 2 16 ，所以 SOCD 4 另解：在平行四边形 ABED 中， SADE S 所以 SAOE SADE SAOD 12 8 4 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为 8 2 4 4
1 F 为 CE 中点，所以 EF EC ， 2
故 EO : EF 2:3 ， FO : EO 1: 2 ． 由蝴蝶定理 S 所以 S
S
BGD
BFD
BFD
:S
BED
FO : EO 1: 2 ，
ABCD

1 S 2
BED

1 S 8
，
1 S 2
BFD

1 S 16
ABCD

1 10 10 6.25 16
A G D F B H C
E
【例 8】(2008 年三帆中学考题)右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知 三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 方厘米．
A 8 16 2 B E C D
平
【例 9】(2007 年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形 ABCD 被 CE 、 DF 分成四块， 已知其中 3 块的面积分别为 2、 5、 8 平方厘米， 那么余下的四边形 OFBC 的面积为___________平方厘米．
SGCE 1 1 2 SCEF 2 ． 1 2 3 3
【例 3】
A G F D
B
E
C
连接 EF ． 因为 BE 2EC ， CF FD ，所以 SDEF ( )S 因为 SAED S
1 2
ABCD
1 1 1 2 3 2
ABCD
Baidu Nhomakorabea

1 S 12
ABCD
D K B E F C A G
答
【例 1】 因为 AO : OC SABD : SBDC 1: 3 ， 所以 OC 2 3 6 ， 所以 OC : OD 6: 3 2:1 ． 解法二：作 AH BD 于 H ， CG BD 于 G ．
1 1 3 3 1 所以 SAOD SDOC ， 3 1 AO CO ， OC 2 3 6 ， 3 OC : OD 6: 3 2:1 ．
．
，由蝴蝶定理， AG : GF :
6 7 6 1 7 4
ABCD
ABCD
1 1 6 :1 ， 2 12
所以 SAGD 6SGDF SADF S 所以 SAGE SAED SAGD S
1 2

3 S 14
ABCD
．
ABCD
3 S 14
ABCD
2 S 7
作业题答案
1.
A G D F C
B
E
连接 AE ， FE ． 因为 BE : EC 2:3 ， DF : FC 1: 2 ，所以 S 因为 S 以S
AED DEF
3 1 1 1 ( )S长方形ABCD S长方形ABCD ． 5 3 2 10
AGD
1 1 1 S长方形ABCD ， AG : GF : 5 :1 ，所以 S 2 2 10
O 【例 1】 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 如果三角形 ABD 的 1交于点 (如图所示)．
面积等于三角形 BCD 的面积的 3 ，且 AO 2 ， DO 3 ，那么 CO 的长度是
DO 的长度的_________倍．
A O B
D
C
【例 2】如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点， △CEF 、 △OEF 、 △ODF 、
54 54 96 30.375 ，所以四边形 OECD 的面积为： 54 96 30.375 119.625 (平方厘
米).
5.
D K B E M F C A G
由于 DEFG 是正方形，所以 DA 与 BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形．在梯形
ADBC 中，BDK 和 ACK 的面积是相等的．而 AK : KB 1: 3 ，所以 ACK 的面积是 ABC 面积的
第2讲 我们的目标
蝴蝶模型
掌握任意四边形蝴蝶模型与梯形蝴蝶模型的基本知识点 学会构造蝴蝶模型解决问题
任意四边形模型
任意四边形中的比例关系——蝴蝶模型
D A S2 B S1 O S3 C
S4
① S1 : S2 S4 : S3 或者 S1 S3 S2 S4 ② AO : OC S1 S2 : S4 S3 速记：上×下=左×右
G 为 BF 中点，求三角形 BDG 的面积．
A E D
F G B C
梯形蝴蝶定理
a S1 O S3 B b C S4
A S2
D
① S1 : S3 a 2 : b2 ② S1 : S3 : S2 : S4 a 2 : b2 : ab : ab ； ③ S 的对应份数为 a b
2
【例 5】 如下图， 梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD ， 对角线 AC ，BD 交于 O ， 已知 △AOB 与 △BOC 的面积分别为 25 平方厘米与 35 平方厘米， 那么梯形 ABCD 的面 积是________平方厘米．
梯形蝴蝶定理
a S1 O S3 B b C S4
A S2
D
① S1 : S3 a 2 : b2 ② S1 : S3 : S2 : S4 a 2 : b2 : ab : ab ； ③ S 的对应份数为 a b
2
【例 5】 由梯形蝴蝶定理， S 可得 a : b 5: 7 ， 再根据梯形蝴蝶定理， S 所以 S
2、 梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 9cm2 ，问三角形 AOD 的面 积是多少？
A D
O B C
3、 (人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面 积比为 4 比 5，四边形 2 的面积为 36，则三角形 1 的面积为________．
1 2 3
案
因为 S ABD SBCD ，所以 AH CG ，
A H O B
D G
C
【例 2】 ⑴ △BCD 的面积为 2 4 4 6 16 ，
△BCO 和 CDO 的面积都是 16 2 8 ，所以 △OCF 的面积为 8 4 4 ；
⑵由于 △BCO 的面积为 8， △BOE 的面积为 6， 所以 △OCE 的面积为 8 6 2 ， 根据蝴蝶定理， EG : FG SCOE : SCOF 2 : 4 1: 2 所以 SGCE : SGCF EG : FG 1: 2 ，
AFD
5S
GDF
10 平方厘米，所
AFD
12 平方厘米．因为 S
1 S长方形ABCD ，所以长方形 ABCD 的面积是 72 平方 6
厘米．
2.
A D
O B C
根据梯形蝴蝶定理， a : b 1:1.5 2: 3 ， S AOD : SBOC a 2 : b2 22 : 32 4 : 9 ， 所以 S AOD 4 cm2 ．
四边形 OFBC 的面积为 24 5 2 8 9 (平方厘米)．
【例 10】
2 1 2 4 4 2 1 2
连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半 根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为 18 份 阴影部分占了其中 8 份，所以阴影部分的面积
8 8 6 ． 18 3
1 2
ABED
1 16 8 12 2
【例 9】
A E 2 5 O 8 D C
FOC
F ?
B
连接 DE 、 CF ． EDCF 为梯形，所以 SEOD S 所以 SEOD 4 ， SECD 4 8 12
ABCD 面积为 12 2 24
，
又根据蝴蝶定理， SEOD SFOC SEOF SCOD SEOD SFOC SEOF SCOD 2 8 16 ，
3.
1
2
3
做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等 于三角形 1 和三角形 3，所以 1 的面积就是 36
36 5 20 ． 45 4 16 ，3 的面积就是 45
4.
A O B E C D
因为连接 ED 知道 △ABO 和 △EDO 的面积相等即为 54 ， 又因为 OD ∶ OB = 16 ∶ 9 ,所以 根据四边形的对角线性质知道：△BEO 的面积为： △AOD 的面积为 54 9 16 96 ，
1 1 1 ，那么 BDK 的面积也是 ABC 面积的 ． 1 3 4 4
由于 ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作 BC 的垂线， M 为垂足，那么 M 是 BC 的中点，而且 AM DE ，可见 ABM 和 ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的 一半，所以 ABC 的面积与正方形 DEFG 的面积相等，为 48． 那么 BDK 的面积为 48 12 ．
:S
BOC
ab : b2 2 : 3
:S
BOC
a 2 : b2 22 : 32 4 : 9
【例 7】
A G D F B H C
E
如图，连结 EF，显然 ADEF 和 BCEF 都是梯形， 于是 EFG 的面积等于三角形 ADG 的面积 三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积 所以四边形 EGFH 的面积是 11 23 34 ．