管理优化之指派问题
指派问题的最优解法
指派问题的最优解法指派问题是一个最优化问题，在给定若干个任务和执行者（或机器）的情况下，要求将每个任务指派给一个执行者，并使得总体的执行成本或者效益最优。
指派问题可以用匈牙利算法（Hungarian algorithm）或者KM算法（Kuhn-Munkres algorithm）来求解，这两个算法是目前被广泛采用的指派问题求解方法。
匈牙利算法是一个具有全局优势的贪心算法，它通过不断优化当前的局部选择，最终得到全局最优解。
其基本思想是通过给任务和执行者之间的边标注权重，然后选取最小权重的边进行指派，如果发现某个任务或者执行者已经被指派，就将其它相关的边进行更新，并继续寻找最小权重的边进行指派，直到所有的任务都得到指派。
KM算法是匈牙利算法的一种更加高效的变体。
它首先将指派问题转化为一个最大权匹配问题，然后通过不断调整边的权重，使得每次迭代都可以找到一个指派边的增广路径，并更新相应的匹配结果。
KM算法的核心思想是通过对匹配结果进行调整，减小局部优势并增加全局优势。
无论是匈牙利算法还是KM算法，在最坏情况下的时间复杂度都是O(n^3)，其中n表示任务和执行者的数量。
这两个算法的主要区别在于实现的复杂度和算法的效率，KM算法相对于匈牙利算法来说具有更好的性能。
除了匈牙利算法和KM算法之外，还有一些其他的指派问题求解方法，例如启发式搜索、遗传算法等。
这些方法一般适用于指派问题的规模比较大、复杂度比较高的情况下，但是相对于匈牙利算法和KM算法，它们的效率和准确性可能会有所降低。
总之，指派问题的最优解法可以通过匈牙利算法或者KM算法来求解，具体选择哪一种方法可以根据问题的规模和复杂度来决定。
第六章_指派问题资料
Solution:
1 当分配第 i 人完成第 j 项任务
设 xij 0 否则
i, j 1, 2, , n
§2 指派问题
显然，这是一个 0-1
任务 人员
E
J
G R ai
规划问题， 也是一个 A 2 15 13 4 1
特殊的运输问题 .
B 10 4 14 15 1
所以,分配问题可用
C 9 14 16 13 1
在第一节的人员工作安排问题中，分配工作时， 只考虑人员有工作做 . 但事实上，由于工作的性质和 个人的特长不同，在完成不同的任务时，其效益是不 同的（成本、时间、利润、费用 etc.）.
设有 n 个人员去完成 n 项任务，第 i 人完成第 j 项
任务的效益为 cij 0 ，要求每人完成且仅完成一项，
可用图和矩阵给出它的数学模型及求解方法 .
§1 最大基数匹配问题 Graph Vertex Edge
Definition 4.1 设图 G = ( V，E )
15、、如如果果 MM是一E匹，配且，对而对 ei ,eejj，GM,与M ee无i j 不e j是 G
公的共匹顶 配点 ，， 则则 称称M边是子G集的M一是个极G大的匹一配个匹. 配；
列在 Y-T 中，这与 N(S) T 矛盾. 显然 M C .
而 M B ， 所以 B 是最小覆盖 .
证毕
§2 指派问题
1 0 0 0
显然，Ex . 2 的可行解可 用一个 0-1 矩阵表示 .
(
xij
)
0 0
0 1
0 0
1
0
表示： A E, B R, C J, D G.
0
0
cij
指派问题详解
第一章绪论1、指派问题的背景及意义指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n 件事，各人做不同的一件事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作的效率（如熟练程度等），怎样安排会使总效率达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值.虽然指派问题可以用0-1规划问题来解，设X(I,J)是0-1变量, 用X(I,J)=1表示第I个人做第J件事, X(I,J)=0表示第I个人不做第J件事. 设非负矩阵C（I，J）表示第I个人做第J件事的费用，则问题可以写成LINGO程序SETS:PERSON/1..N/;WORK/1..N/;WEIGHT(PERSON, WORK): C, X ;ENDSETSDATA:W=…ENDDATAMIN=@ SUM(WEIGHT: C*X);@FOR(PERSON(I): @SUM(WORK(J):X(I,J))=1);@FOR(WORK(J): @SUM(PERSONM(I):X(I,J))=1);@FOR(WEIGHT: @BIN(X));其中2*N个约束条件是线性相关的, 可以去掉任意一个而得到线性无关条件.但是由于有N^2个0-1变量, 当N很大时，用完全枚举法解题几乎是不可能的. 而已有的0-1规划都是用隐枚举法做的，计算量较大. 对于指派问题这种特殊的0-1规划，有一个有效的方法——匈牙利算法，是1955年W. W. Kuhn利用匈牙利数学家D.König的二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小的定理提出的一种算法，这种算法是多项式算法，计算量为O(N3).匈牙利算法的基本原理是基于以下两个定理.定理1设C=(C ij)n×n是指派问题的效益矩阵，若将C中的任一行（或任一列）减去该行（或该列）中的最小元素，得到新的效率矩阵C’，则C’对应的新的指派问题与原指派问题有相同的最优解.证明：设X’是最优解, 即@SUM(WEIGHT: C*X’)<= @SUM(WEIGHT: C*X), 则当C中任一行或任一列减去该行或该列的最小数m时,得到的阵C’还是非负矩阵, 且@SUM(WEIGHT: C’*X’)<=@SUM(WEIGHT: C*X)-m=@SUM(WEIGHT: C’*X)定理2效率矩阵C中独立的0元素的最多个数等于覆盖所有0元素的最少直线数. 当独立零元素的个数等于矩阵的阶数时就得到最优解.3、理论基础定义:图G的一个匹配M是图G中不相交的边的集合. 属于匹配M中的边的所有端点称为被该匹配M饱和, 其他的顶点称为M-未饱和的. 如果一个匹配M 饱和了图G的所有顶点，则称该匹配M是一个完全匹配. 可见顶点数是奇数的图没有完全匹配. 一个匹配M称为是极大匹配, 如果它不能再扩张成更大的一个匹配. 一个匹配称为是最大匹配, 如果不存在比它更大的匹配.定义:对于一个匹配M, 图G的一个M-交替路是图G中的边交替地在M中及不在M中的边组成. 从M-未饱和点出发到M-为饱和点结束的M-交替路称为一条M-增广路. 把M-增广路中不是M中的边改成新的匹配M’中的边, 把M-增广路中M中的边不作为M’中的边, 在M-增广路以外的M中的边仍作为M’中的边, 则M’的大小比M大1. 故名M-增广路. 因此最大匹配M不存在M-增广路.定义:若图G和图H有相同的顶点集V, 我们称G和H的对称差,记为G∆H,是一个以V为顶点集的图, 但其边集是G和H的边集的对称差: E(G∆H)=E(G) ∆E(H)=E(G)⋂E(H)-(E(G)⋃E(H))=(E(G)-E(H)) ⋂ (E(H)-E(G))定理: (Berge, 1957) 图G的一个匹配M是最大匹配,当且仅当G中没有M-增广路.证明: 我们只要证明, G中没有M-增广路时, M是最大匹配. 用反证法, 若有一个比M大的匹配M’. 令G的一个子图F, E(F)=M∆M’, 因M和M’都是匹配, F的顶点的最大度数至多是2, 从而F由不相交的路和环组成, 它们的边交替地来自M和M’, 于是F中的环的长度是偶数. 由于M’比M大, F中存在一个连通分支,其中M’中的边数大于M中的边数. 这个分支只能是起始和终止的边都在M’中. 而这就是一条G中的M-增广路. 与假设矛盾. 证毕.定理(Hall, 1935)设G是一个二部图, X和Y是其二分集, 则存在匹配M 饱和X当且仅当对于X中的任意子集S, Y 中与S中的点相邻的点组成的集合N(S)中元素的个数大于等于集合S中元素的个数.证明：必要性是显然的. 对于充分性, 假设 |N(S)|≥|S|, ∀S⊂X, 考虑G的一个最大匹配M, 我们用反证法，若M没有饱和X, 我们来找一个集合S不满足假设即可. 设u∈X是一个M-未饱和顶点, 令S⊂X和T⊂Y分别是从u出发的M-交替路上相应的点.我们来证明M中的一些边是T到S-u上的一个匹配. 因为不存在M-增广路，T中的每个点是M-饱和的. 这意味着T中的点通过M中的边到达S中的一个顶点. 另外, S-u中的每个顶点是从T中的一个顶点通过M中的一条边到达的. 因此M 中的这些边建立了T与S-u的一个双射, 即|T|=|S-u|. 这就证明了M中的这些边是T到S-u上的一个匹配，从而意味着T⊂N(S), 实际上, 我们可证明T=N(S). 这是因为连接S和Y-T中的点y的边是不属于M的, 因为不然的话, 就有一条到达y的M-增广路, 与y∉T矛盾. 故|N(S)|=|T|=|S-u|=|S|-1<|S|, 与假设矛盾.当X与Y的集合的大小相同时的Hall定理称为婚姻问题,是由Frobenius(1917)证明的.推论: k-正则的二部图（X的每一点和Y的每一点相关联的二部图）(k>0)存在完全匹配.证明: 设二分集是X,Y. 分别计算端点在X和端点在Y的边的个数, 得k|X|=k|Y|, 即|X|=|Y|.因此只要证明Hall的条件成立即可. 使X饱和的匹配就是完全匹配. 考虑∀S⊂X, 设连接S与N(S)有m条边, 由G的正则性, m=k|S|. 因这m条边是与N(S)相关联的, m≤k|N(S)|, 即k|S|≤ k|N(S)|, 即|N(S)|≥|S|. 这就是Hall的条件.用求M-增广路的方法来得到最大匹配是很费时的. 我们来给出一个对偶最优化问题.定义:图G的一个顶点覆盖是集合S⊂V(G), 使得G的每条边至少有一个端点在S中. 我们称S中的一个顶点覆盖一些边, 若这个顶点是这些边的公共端点.因为匹配的任意两条边不能被同一个顶点覆盖, 所以顶点覆盖的大小不小于匹配的大小: |S|≥|M|. 所以当|S|=|M| 时就同时得到了最大的匹配和最小的顶点覆盖.定理(König [1931],Egerváry[1931])二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小.证明: 设M是G的任一个匹配, 对应的二分集是X,Y. 设U是一个最小的顶点覆盖, 则|U|≥|M|, 我们只要由顶点覆盖U来构造一个大小等于|U|的匹配即完成证明. 令R=U⋃X, T=U⋃Y, 令H, H’分别是由顶点集R⋂(Y-T)及T⋂(X-R)诱导的G的子图. 我们应用Hall的定理来证明H有一个R到Y-T中的完全匹配，H’有一个从T到X-R中的完全匹配. 再因这两个子图是不相交的, 这两个匹配合起来就是G中的一个大小为|U|的匹配.因为R⋂T是G的一个覆盖, Y-T与X-R之间没有边相联接. 假设S⊂R, 考虑在H中S的邻接顶点集N(S), N(S) ⊂Y-T. 如果|N(S)|<|S|, 因为N(S)覆盖了不被T覆盖的与S相关联所有边, 我们可以把N(S) 代替S作为U中的顶点覆盖而得到一个更小的顶点覆盖. U的最小性意味着H中Hall条件成立. 对H'作类似的讨论得到余下的匹配. 证毕.最大匹配的增广路算法输入: 一个二分集为X，Y的二部图G，一个G中的匹配M， X中的M-未饱和顶点的集合U.思路: 从U出发探求M-交替路，令S⊂X，T⊂Y为这些路到达过的顶点集. 标记S中不能再扩张的顶点. 对于每个x∈(S⋂T)-U, 记录在M-增广路上位于x前的点.初始化: S=U,T=∅.叠代: 若S中没有未标记过的顶点, 结束并报告T⋂(X-S)是最小顶点覆盖而M是最大匹配.不然, 选取S中未标记的点x, 考虑每个y∈N(x)且xy∉M, 若y是M-未饱和的, 则得到一个更大的匹配，它是把xy加入原来的匹配M得到的,将x从S中去除. 不然, y是由M中的一条边wy相连接的, w∈X, 把y加入T(也有可能y本来就在T中), 把w加入S. w未标记, 记录w前的点是y. 对所有关联到x的边进行这样的探索后, 标记x. 再次叠代.定理: 增广路算法可以得到一个相同大小的匹配和顶点覆盖.证明: 考虑这个算法终止的情况, 即标记了S中所有的点. 我们要证明R=T⋂(X-S)是大小为|M|的一个顶点覆盖.从U出发的M-交替路只能通过M中的边进入X中的顶点, 所以S-U中的每个顶点通过M与T中的顶点匹配, 并且没有M中的边连接S和Y-T. 一旦一条M-交替路到达x∈S, 可以继续沿着任何未饱和的边进入T, 由于算法是对于x的所有邻域顶点进行探索才终止的,所以从S 到Y-T 没有未饱和边. 从而S 到Y-T 没有边, 证明了R 是一个顶点覆盖.因为算法是找不到M-增广路时终止, T 的每一个顶点是饱和的. 这意味着每个顶点y ∈T 是通过M 匹配与S 中的一个顶点. 由于U ⊂S, X-S 的每个顶点是饱和的, 故M 中与X-S 相关联的边不和T 中的点相连接. 即它们与是饱和T 的边不同的, 这样我们可见M 至少有|T|+|X-S|条边. 因不存在一个比顶点覆盖更大的匹配， 所以有|M|=|T|+|X-S|=|R|.设二部图G 的二分集X 和Y 都是n 个元素的点集, 在其边j i y x 上带有非负的权ij w , 对于G 的一个匹配M, M 上各边的权和记作w(M).定义: 一个n ×n 矩阵A 的一个横截(transversal)是A 中的n 个位置, 使得在每行每列中有且只有一个位置（有的文献中把横截化为独立零元素的位置来表示）.定义: 指派问题就是给定一个图G=n n K ,(完全二部图, 即每个X 中的顶点和Y 中的每个顶点有边相连接的二部图)的边的权矩阵A, 求A 的一个横截, 使得这个横截上位置的权和最大. 这是最大带权匹配问题的矩阵形式.定义: 对于图G=n n K ,，设其二分集是X ，Y ，给定G 的边j i y x 的n ×n 权矩阵W={ij w }.考虑G 的子图v u G ,, 设其二分集是U ⊂X ，V ⊂Y, 边集是E(v u G ,)， 对于子图v u G ,的带权覆盖u,v 是一组非负实数{i u },{j v },使得ij j i w v u ≥+,)(,v u j i G E y x ∈∀, v u G ,的带权覆盖的费用是∑∑+j i v u 记为C(u,v), 最小带权覆盖问题就是求一个具有最小费用C(u,v)的带权覆盖u,v.引理: 若M ⊂E(v u G ,)是一个带权二部子图v u G ,的最大匹配, 且u, v 是v u G ,的带权覆盖, 则C(u,v)≥w(M). 而且, C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀. 这时M 是v u G ,最大带权匹配, u,v 是v u G ,的最小带权覆盖， 定义这时的v u G ,为G 的相等子图（equality subgraph ）.证明: 因为匹配M 中的边是不相交的, 由带权覆盖的定义就得C(u,v)≥w(M). 而且C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀成立. 因一般地有C(u,v)≥w(M).所以当C(u,v)=w(M)时. 意味着没有一个匹配的权比C(u,v)大, 也没有一个覆盖的费用比w(M)小.Kuhn 得到一个指派问题的算法，命名为匈牙利算法, 为的是将荣耀归于匈牙利数学家König 和Egerv áry.指派问题的匈牙利算法(Kuhn[1955], Munkres[1957]):输入G=n n K ,的边的权矩阵A, 及G 的二分集X,Y.初始化: 任取一个可行的带权覆盖，例如)(max ij ji w u =，0=j v ，建立G 的相等子图v u G ,, 其二分集是X, Y ’⊂Y, 求v u G ,的一个最大匹配M. 这个匹配的权和w(M)=C(u,v), M 的带权覆盖是具有最小费用的.叠代: 如M 是G 的一个完全匹配, 停止叠代, 输出最大带权匹配M. 不然, 令U 是X 中的M-未饱和顶点. 令S ⊂X, T ⊂Y 是从U 中顶点出发的M-交替路到达的顶点的集合.令},:min{T Y y S x w v u j i ij j i -∈∈-+=ε.对于所有的S x i ∈, 将i u 减少ε, 对于所有的T y j ∈,将j v 增加ε,形成新的带权覆盖u ’,v ’及对应的新的相等子图v u G '',.如果这个新的相等子图含有M-增广路, 求它的最大匹配M ’, 不然不改变M 再进行叠代.定理: 匈牙利算法能找到一个最大权匹配和一个最小费用覆盖.证明: 算法由一个覆盖开始，算法的每个叠代产生一个覆盖，仅在相等子图有一个完全的匹配为止。
管理运筹(运输问题和指派问题)
实验四 运输问题和指派问题求解习题4.6习题1某公司要将一批货从三个产地运到四个销地，有关数据如下表所示。
现要求制定调运计划，且依次满足： （1）B 3的供应量不低于需要量； （2）其余销地的供应量不低于85%； （3）A 3给B 3的供应量不低于200； （4）A 2尽可能少给B 1；（5）销地B 2、B 3的供应量尽可能保持平衡。
（6）使总运费最小。
试建立该问题的目标规划数学模型。
123412341234min z 7379265116425A A A A B B B B C C C C x x x x x x x x x x x x =+++++++++++123412341234333111222444312223331234123min z 7379265116425480272204323200s..0222560A A A A B B B B C C C C A B C A B C A B C A B C C B A B C A B C A A A A B B B B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t x x x x x x xx x x x x x x x =+++++++++++++≥++≥++≥++≥≥=++=+++++≤+++()412344007500,,;1,2,3,4C C C C ij x x x x x i A B C J ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪≤⎪⎪+++≤⎪≥==⎪⎩案例4某市的菜篮子工程某市是一个人口不到15万人的小城市，根据该市的蔬菜种植情况，分别在A 、B 和C 设三个收购点，再由收购点分送到全市的8个菜市场。
按常年情况，A 、B 、C 三个收购点每天收购量分别为200、170和160（单位：100kg ），各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失见表 C －1。
从收购点至各菜市场的距离见表 C －2，设从收购点至各菜市场蔬菜调运费用为1元/(100kg.100m)。
指派问题
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去， 第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有
0 11 122 202 0 11 22 22 25 0 100 180 25 0 0 0 ⇒ 0 5 105 185 0 5 5 5 27 0 145 225 27 0 45 45
表5-34 工作 人员 甲 乙 丙 丁 A 85 95 82 86 B 92 87 83 90 C 73 78 79 80 D 90 95 90 88
x11 x X = 21 x31 x41
x12 x22 x32 x42
x13 x23 x33 x43
x14 x24 x34 x44
指派问题 assignment problem
min 58 75 65 82 69 50 70 55 180 150 170 200 260 58 230 50 ⇒ 250 65 280 55
0 11 122 202 25 0 100 180 0 5 105 185 27 0 145 225
6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
第五步：覆盖所有零最少需要 条直线 表明矩阵中存在4个 条直线， 第五步：覆盖所有零最少需要4条直线，表明矩阵中存在 个 不同行不同列的零元素．容易看出4个 不同行不同列的零元素．容易看出 个“0”的位置 的位置
( 0 ) 30 0 × 32 6 17 17 × ( 0) 0 0 × 0 ( 0) 0 ( 0) 45 45 ( 0 ) 30 × 0 32 6 17 17 × 0 ( 0) 0 × ( 0) 0 0 ( 0) 45 45
指派问题遗传算法
指派问题（Assignment Problem）是一种组合优化问题，涉及到在给定的一组任务和一组执行者之间找到最佳的任务-执行者分配方案，以最小化总体成本或最大化总体效益。
遗传算法是一种基于生物学演化过程的启发式优化算法，被广泛应用于解决组合优化问题。
以下是指派问题遗传算法的详细步骤：1. 定义问题：▪任务集合：包含需要执行的所有任务。
▪执行者集合：包含可以执行任务的所有执行者。
▪成本矩阵：描述将任务分配给执行者的成本或效益。
2. 初始化种群：▪随机生成初始的任务-执行者分配方案，形成一个种群。
3. 适应度函数：▪设计适应度函数，用于评估每个个体（分配方案）的优劣。
适应度函数的目标是最小化总体成本或最大化总体效益。
4. 选择操作：▪使用选择操作（如轮盘赌选择）根据个体的适应度值选择父代个体，以构建新的种群。
5. 交叉操作：▪通过交叉操作（如单点交叉或多点交叉）产生新的个体，以模拟生物学中的基因交流。
6. 变异操作：▪引入变异操作，随机改变个体的某些分配，以增加种群的多样性。
7. 替代策略：▪使用替代策略，如代沟保留或精英保留，选择个体进入下一代种群。
8. 终止条件：▪定义终止条件，如达到最大迭代次数或找到满意的解决方案。
9. 迭代过程：▪重复执行选择、交叉、变异、替代等步骤，直到满足终止条件。
10. 最终结果：▪返回种群中具有最佳适应度值的个体，即为指派问题的解。
注意事项：▪调整算法参数，如交叉率、变异率等，以提高算法性能。
▪可以使用不同的交叉和变异操作，根据具体问题的特点进行调整。
示例：考虑一个具体的指派问题，如工人与任务的分配，成本矩阵表示每个工人执行每个任务的成本。
遗传算法将尝试找到最佳的工人-任务分配，以最小化总体成本。
这个过程需要根据具体问题的特点进行调整，但以上步骤提供了一个通用的遗传算法框架，可用于解决指派问题。
软考指派问题计算
软考指派问题计算
软考指派问题是一种常见的组合优化问题，通常涉及到将一组任务分配给一组工人，以最小化总成本或最大化总效益。
解决指派问题的一种常见方法是使用匈牙利算法。
以下是使用匈牙利算法解决指派问题的基本步骤：
1. 创建代价矩阵：将问题抽象为一个二维矩阵，其中每个元素表示将某个任务分配给某个工人的成本或者效益。
代价矩阵的大小为n行m列，其中n
表示任务的数量，m表示工人的数量。
2. 寻找增广路径：从代价矩阵中寻找增广路径，即从某一行或某一列出发，沿着矩阵的边缘移动，直到回到起始位置。
在寻找增广路径的过程中，需要不断更新代价矩阵。
3. 构造增广矩阵：在增广路径上，将代价矩阵中对应位置的元素减去最小值，并将路径上的其他元素设置为最大值。
这样构造的增广矩阵与原代价矩阵具有相同的行和列。
4. 求解最小二等分问题：将增广矩阵分为两个子矩阵，分别代表左半部分和右半部分。
求解这两个子矩阵对应的最小二等分问题，即找到一个分割线，使得左半部分和右半部分的元素总和最小。
5. 确定最佳分配方案：根据最小二等分问题的解，确定最佳的分配方案。
如果最小二等分问题的解为0，则说明已经找到了最优解；否则，需要重复步骤2-4，直到找到最优解。
通过以上步骤，可以求解指派问题并找到最优的分配方案。
需要注意的是，指派问题的解并不一定是整数解，可能是小数或者分数。
在实际应用中，需要根据具体问题和要求来确定是否需要取整或者进行其他处理。
《指派问题》课件
指派问题的扩展研究
多目标指派问题
应用场景：生产调度、资源 分配等
解决方法：线性规划、启发 式算法等
定义：指派问题在多个目标 下的扩展
挑战：如何在多个目标之间 找到最优解
动态指派问题
动态指派问题的定 义
动态指派问题的应 用场景
动态指派问题的求 解方法
动态指派问题的优 化策略
大规模指派问题
问题定义：大规模 指派问题是指在给 定一组任务和一组 资源，如何将任务 分配给资源，使得 总成本最小化或总 收益最大化。
混合算法
混合算法的概念： 将多种算法进行 组合，以获得更 好的优化效果
混合算法的优点： 能够充分利用各 种算法的优点， 提高优化效果
混合算法的应用： 在指派问题中， 混合算法可以结 合多种算法，如 遗传算法、模拟 退火算法等，以 提高优化效果
混合算法的挑战： 如何合理选择和 组合各种算法， 以获得最佳的优 化效果
应用场景：大规 模指派问题广泛 应用于物流、供 应链、生产调度 等领域。
研究方法：大规 模指派问题的研 究方法包括启发 式算法、遗传算 法、神经网络等。
挑战与展望：大规 模指派问题的挑战 在于如何设计高效 的算法，以及如何 解决大规模问题中 的优化问题。未来 的研究方向包括分 布式计算、并行计 算等。
禁忌搜索法：在搜索过程中引入禁忌表，避免重复搜索已搜索过的解
元启发式方法
基本概念：元启发式 方法，也称为元启发 式算法，是一种基于 启发式策略的优化方 法。
特点：元启发式方 法具有自适应性、 鲁棒性和易于实现 等特点。
应用：元启发式方法 在指派问题、路径规 划、调度等问题中都 有广泛的应用。
实例：遗传算法、模 拟退火算法、蚁群算 法等都是元启发式方 法的典型代表。
管理运筹学第四章整数规划与指派问题
货物运输路线选择案例
案例描述
某物流公司需要为其客户提供从起点到终点的货物运 输服务。在运输过程中，有多种可能的路线可以选择 ，每条路线都有不同的运输成本和时间。此外，客户 对货物的运输时间和成本也有一定的要求。
整数规划应用
该案例可以通过整数规划来解决。首先，将每条路线的 选择定义为整数决策变量，1表示选择该路线，0表示 不选择。然后，根据每条路线的运输成本和时间，构建 目标函数，即最小化总运输成本和时间。接下来，根据 客户的要求和路线的特点，构建约束条件，如运输时间 限制、成本限制和路线连通性等。最后，使用整数规划 求解算法，找到满足所有约束条件的最优路线组合，即 最小化总运输成本和时间的路线选择方案。
展望
未来，整数规划与指派问题将在更多领域得到应用和推广 ，为实际问题的解决提供更加有效的方法和工具。同时， 随着相关技术的不断发展，整数规划与指派问题的求解方 法将更加高效和精确，为相关领域的发展提供更加有力的 支持。
THANKS
感谢观看
要点一
Xpress
Xpress是一款功能强大的数学优化求 解器，适用于线性规划、整数规划等 多种问题。它提供了丰富的算法和工 具，支持大规模问题的求解和分析。
要点二
LINGO
LINGO是一款易于使用的数学优化建 模工具，具有直观的语法和丰富的函 数库。它可以帮助用户快速构建和求 解线性规划、整数规划等问题，并提 供详细的解决方案和报告。
原理
通过添加割平面约束条件，逐 步缩小问题的可行域，从而找 到整数最优解。
添加割平面
根据松弛问题的最优解，构造 一个割平面约束条件，添加到 原问题中。
迭代
重复添加割平面和求解新问题 的步骤，直到找到整数最优解 或确定无整数最优解为止。
《指派问题》课件
什么是指派问题
指派问题是一种在实际生活和工作中常见的问题，涉及到任务分配和资源调 度。考虑如何最优地分配任务或者资源，以达到特定的目标。
指派问题的应用场景
工作管理
有效分配工作任务，提高团队效率。
比较与总结
不同算法之间有各自的特点，选择合适的解决方法需要考虑问题的性质和目 标。解决指派问题时，我们需要根据具体情况选择最合适的算法。
总结
指派问题是一个具有挑战性的问题，并且有广泛的应用领域。算法在解决指 派问题的应用和发展中发挥着重要的作用。展望未来，我们期待能够进一步 提升算法在指派问题中的性能和效果。
暴力搜索是一种穷举所有可能解的方法，通过对比所有解决方案，选择最优 解。尽管时间复杂度较高，但可以保证找到最优解。
贪心算法
贪心算法是一种根据当前情况选择最优解的方法，不考虑未来可能出现的情 况。它的时间复杂度相对较低，但可能无法达到最优解。
分支界定算法
分支界定算法通过限制搜索空间来快速找到最优解。它可以大大减少搜索时间，但仍需权衡精确 度与效率。
运输调度
合理安排运输车辆和货物，降低成本，提高效率。
任务分配
根据工作需求分派任务给不同的人员，确保工作顺利完成。
指派问题的解决方法
暴力搜索
尝试所有可能的解决方案， 选择最优解。
贪心算法
根据当前情况，选择当前最 优解，不考虑未来可能出现 的情况。
分支界定算法
通过限制搜索空间，快速找 到最优解。
暴力搜索
指派问题在高校班级管理中的运用
指派问题在高校班级管理中的运用
高校班级管理中，指派问题是一个非常重要的环节。
指派问题是指将实际工作任务分配给相应的人员，以确保工作的高效进行。
在高校班级管理中，指派问题主要包括以下几个方面的运用。
指派问题在学生工作中的运用。
学生工作是高校班级管理的重要组成部分，通过指派适当的学生工作任务，可以让学生充分发挥自己的才能，培养其各方面的能力。
可以将班级的文艺活动指派给有艺术特长的学生，将班级的体育活动指派给有体育特长的学生，将班级的组织工作指派给有组织能力的学生，以此提高班级的整体素质。
指派问题在学习任务中的运用。
学习任务是高校班级管理的核心内容，通过合理的指派可以提高学生的学习成效。
可以将学习任务指派给不同的学生，让他们充分发挥自己的优势，相互学习和合作，提高学习的效果。
还可以根据学生的学习特点和能力水平，将学习任务分为不同的层次和难度，以促进学生的个性化发展。
指派问题在高校班级管理中具有重要的运用价值。
通过合理的指派可以充分发挥学生和教师的专业能力，提高班级管理和学习效果，促进学生的全面发展。
高校班级管理中应注重指派问题的运用，并结合实际情况合理安排各项工作任务，以达到最佳管理效果。
指派问题回溯法
指派问题回溯法
指派问题回溯法是一种解决任务分配问题的数学算法。
该方法在实际生活中被广泛应用，如人力资源管理、航空调度、医院排班等领域。
指派问题是一个典型的优化问题，通常可以用线性规划、贪心算法、遗传算法等多种方法求解。
而指派问题回溯法则是其中一种比较简单但有效的算法。
其基本思想是从一个初始解开始，逐步调整已分配的任务或者重新分配未完成的任务，直到找到最优解。
在此过程中，需要注意一些约束条件，如每个任务只能被一个人完成，每个人只能完成一个任务等。
具体来说，指派问题回溯法可以通过以下步骤进行：
1. 初始化：确定初始任务分配方案，并计算当前方案的成本。
2. 变换：对当前方案进行变换，包括交换任务的分配、增加或减少任务等。
3. 评估：计算新方案的成本，并与当前方案进行比较。
4. 更新：如果新方案优于当前方案，则更新任务分配方案，否则保留原方案并返回上一步。
5. 终止：当满足一定条件时，停止迭代并输出最优解。
虽然指派问题回溯法可能不是最优解决方案，但它的优点在于简单易懂，可以快速得到可行解。
因此，在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的算法来解决任务分配问题。
指派问题在高校班级管理中的运用
指派问题在高校班级管理中的运用随着高校规模的不断扩大和教育管理的不断改进，如何有效地管理班级成员，成为高校管理者面临的一个重要问题。
指派问题（Assignment Problem）是一个运筹学中的经典问题，它可以有效地解决班级中的任务分配、岗位配备、学生调剂等问题。
本文将探讨指派问题在高校班级管理中的运用。
将指派问题应用于高校班级管理中可以帮助管理者合理分配班级资源。
在每个班级中，有各类资源需要合理分配，如教师、学生、教室、教学设备等。
通过将班级中各个资源与任务之间建立对应关系，我们可以使用指派问题算法优化资源分配方案，提高资源利用率，减少浪费。
指派问题能够帮助管理者合理安排学生成绩反馈和评价。
在每个班级中，学生成绩的反馈和评价是一项重要工作。
通过指派问题算法，可以将每个学生与适合他们的教师进行匹配，使得教师可以全面了解每个学生的学习情况，并提供针对性的指导和反馈。
这样不仅可以提高学生成绩，还可以增强学生与教师之间的沟通和互动。
指派问题在高校班级管理中还可以应用于学生调剂。
在每个班级中，由于各种原因，可能会出现需要对学生进行调剂的情况。
通过指派问题算法，可以最大限度地满足学生的需求和班级的要求，保证每个班级资源的平衡和稳定性。
通过合理调剂，还可以提高班级整体的学习氛围和水平，促进学生成长和发展。
指派问题在高校班级管理中的应用具有重要的意义。
通过指派问题算法，可以优化班级资源分配、学生成绩反馈和评价、学生调剂、小组分配和教育资源调配等方面的工作，提高班级管理的效率和水平。
高校管理者可以充分利用指派问题算法，进行班级管理的决策和操作，提升教学质量和学生发展。
指派问题在高校班级管理中的运用
指派问题在高校班级管理中的运用高校班级管理是确保学生健康成长和学术进步的重要工作之一，但在实践中，班级管理者常常面临着诸多难题。
其中一个常见的问题是如何有效分配任务和管理工作。
这时，指派问题的运用可以为班级管理者提供一种简单而有效的解决方案。
指派问题是一种数学概念，它是指通过确定一项任务或工作要由哪个人或哪几个人来完成，以达到最佳效果和效率。
在高校班级管理中，指派问题可以应用于多种任务，如制定课表、组织活动、负责班级宣传等。
此外，指派问题还可以被用来解决一些问题，比如如何分配课堂服务任务，如何协调班级团队的工作等。
指派问题的运用可以帮助班级管理者更好地分配任务和管理工作，使整个班级更加高效运作。
以下是指派问题的具体运用案例：1. 制定课表指派问题可以用来帮助班级管理者制定课表，以使学生在一周内得到最优的学习效果。
管理者可以列出所有需要上的课程，并确定每节课程的时长。
然后，通过考虑不同学生的课程需求以及老师的不同安排情况，确定哪些课程应该由哪些老师教授，并确定在哪个时间段进行。
最后，将课程分配图列在每个班级的黑板上，方便学生和老师参考。
2. 组织活动指派问题可以用来协调组织一些重要的班级活动，如运动会、文艺晚会等。
管理者可以确定哪些学生负责策划活动，并在活动执行期间担任指挥官。
学生可以根据自己的兴趣和能力选择自己要负责的任务，如音乐、灯光、演员等，以使活动达到最佳效果。
此外，管理者还可以利用指派问题来规划相关活动的预算和资源，以确保活动能够得到充分的支持。
3. 负责班级宣传指派问题可以用来确定哪些学生在班级宣传中担任重要角色。
每个学生可以根据自己的特长和兴趣选择自己要负责的任务，比如设计海报、发传单、宣传流程等。
通过细心的规划和指派，班级成员可以针对不同的宣传对象，如学校、社区、家长等，制定不同的宣传策略，以达到最佳宣传效果。
指派问题可以为班级管理者提供简单而有效的解决方案，以帮助他们更好地管理工作并使班级更加高效运作。
指派问题在高校班级管理中的运用
指派问题在高校班级管理中的运用高校班级管理中的指派问题一直是一个热点话题，因为一方面指派可以很好地调动学生们的积极性，提高学生们的自主学习和探究能力，使其终身受益；另一方面，在指派过程中，也需要考虑学生们的个性和特长，合理地分配任务和工作，以达到班级管理的最佳效果。
一、指派的原则在指派工作时，需要遵循一些原则。
首先，任务应该与学生们的能力和特长相匹配，这样可以更好地调动学生的积极性和学习热情；其次，任务必须具有明确的目标和要求，让学生们知道自己需要做些什么，这样他们才能更好地完成任务；再次，任务要有一定的难度，不能过于简单也不能过于复杂，以激发学生的学习动力和兴趣；最后，任务应该有一定的时限，不能太紧张也不能太宽松，以保证任务的完成和有效性。
二、指派的形式指派的形式有许多种，如课堂中的小组讨论、个人作业、实践调研、社会实践等。
不同的形式适用于不同的任务，可以更好地满足不同学生的兴趣和需求。
比如，小组讨论可以增强学生的沟通交流能力和合作精神，个人作业可以培养学生的独立思考和自主学习能力，实践调研可以提高学生的实践能力和思维能力，社会实践可以拓宽学生的视野和锻炼学生的实践操作能力。
三、指派的实施指派任务后，要督促学生们完成任务。
这需要教师制定明确的任务计划和时间表，帮助学生规划好任务完成的路线和思路，引导学生认真对待任务，并时刻监督和检查任务进度，及时发现和解决问题，达到最佳效果。
同时，也要在任务结束后及时对学生的表现进行评价和反馈，肯定学生的优秀表现并及时纠正不足之处，鼓励学生继续努力。
四、指派任务的注意事项在指派任务时，还需要注意以下几点：首先，任务分配应该均匀，不得让一部分学生承担过多任务，而另外一部分学生没有任务或任务太轻；其次，任务的内容应与课程内容相关，以使学生不仅能够完成任务，而且能够获得知识和技能的拓展和深化；最后，指派任务的形式和内容应该有多样性和丰富性，以满足不同学生的兴趣爱好和学习需求，激发学生的学习热情和积极性。
指派问题在高校班级管理中的运用
指派问题在高校班级管理中的运用随着时代的发展，高校班级管理的任务逐渐繁重，越来越需要班级管理者有一套科学的管理方法和技巧。
而“指派问题”正是其中一项重要的运用之一。
一、分配学生任务班级管理者通过指派不同的任务，可以让学生们充分发挥自己的才能和能力，也可以增强学生的凝聚力和集体感。
这些任务可以是学习任务，例如组织同学们进行讨论、整理资料等；也可以是生活任务，例如负责班级卫生、管理班费等。
通过有计划地进行任务的分配，可以提高班级的积极性，使管理工作更加有效。
二、协调班级内部事务在班级管理中，经常需要协调处理班级内部事务，例如处理同学之间的矛盾、协调班委之间的分工等。
如果没有指派问题的方法，这些事务很可能会不了了之，影响班级的正常运行。
而通过指派问题，班级管理者可以把事务分配给具有相应能力和经验的同学，让他们协助解决问题，避免发生因管理不善而引起的各种冲突。
三、提升班级凝聚力班级凝聚力是一个班级运行良好的重要特征。
而通过指派问题，班级管理者可以让学生们在分工协作中逐渐建立信任和目标，从而增强班级的凝聚力。
例如，班级管理者可以让不同学生负责策划和组织一些班级活动，让他们在工作中慢慢建立信任和友谊，增强集体感。
四、帮助学生发掘潜能通过指派问题，班级管理者可以帮助学生发掘出自己的潜能和兴趣，让他们在学习和生活中得到更多的锻炼和成长。
例如，管理者可以向学生提出具有挑战性的任务，让他们拓宽眼界、提高能力；也可以向学生询问自己的兴趣爱好，然后分配相应的任务，让他们在工作中发挥所长，不断完善自我。
总之，指派问题在高校班级管理中的运用具有非常显著的作用。
班级管理者应该灵活运用这一方法，根据不同的情况，合理地分派任务，既可以提高班级的工作效率，又可以增强班级的凝聚力和学生的成长。
指派问题在高校班级管理中的运用
指派问题在高校班级管理中的运用指派问题是高校班级管理中常见的一个环节，它通常指的是将某项任务或职责分配给班级中的成员。
在高校班级管理中，指派问题的运用对于提高班级的组织性、效率和团队意识具有重要意义。
指派问题可以帮助提高班级的组织性。
在高校班级中，有许多需要组织协调的事务，如班级活动的策划、学生工作的安排等。
如果没有一个明确的指派问题，这些事务很可能会无法得到有效地安排和执行。
通过进行指派问题，可以明确每个成员的职责和任务，使得班级的工作有条不紊地进行。
在组织一次班级聚会时，可以指派一个同学负责主持、一个同学负责布置场地、一个同学负责邀请参加等。
这样，每个人都知道自己需要做什么，避免了工作重复或遗漏，提高了班级活动的组织性。
指派问题可以提高班级的效率。
高校班级中的工作往往繁杂而琐碎，如果由班主任或者少数几个同学完成所有的任务，势必会给他们带来很大的压力，也很难保证任务的质量和效率。
而通过指派问题，可以将任务分配给各个成员，充分发挥每个人的专长和潜力，提高整个班级的工作效率。
班级期末汇报需要进行PPT制作和资料整理，可以指派一个同学负责PPT设计和制作，指派另一个同学负责收集和整理资料，这样就能更好地利用每个人的优势，提高工作的效率。
指派问题可以增强班级的团队意识。
高校班级是一个集体，成员之间应该相互协作、互相支持。
通过进行指派问题，可以让每个成员感受到自己的重要性和价值，激发他们的工作热情和创造力。
每个人的任务都是班级工作中不可或缺的一部分，只有大家共同努力，才能完成班级的各项任务。
如果大家都能充分发挥自己的专长和潜力，互相帮助和倾听，班级的团队意识将会更加强大。
通过团队协作，班级成员之间的关系也会更加和谐融洽，增强班级的凝聚力和向心力。
指派问题在高校班级管理中的运用是非常重要的。
它可以帮助提高班级的组织性、效率和团队意识，为班级的事务安排和协调提供了有效的手段。
在实际应用中，需要根据具体情况和每个成员的实际情况来进行指派问题，灵活运用，以达到最佳效果。
指派问题在高校班级管理中的运用
指派问题在高校班级管理中的运用高校班级管理是学校管理工作中的重要组成部分，而指派问题是高校班级管理中的一项重要工作。
指派问题的运用不仅能够有效地管理班级秩序，还能够培养学生的自律意识和责任感。
本文将从指派问题的概念、运用方法、管理效果等方面对指派问题在高校班级管理中的重要性进行探讨。
一、指派问题的概念及意义指派问题是指在班级管理中，根据学生的特长和性格特点，将学生分配到不同的岗位上，让他们承担相应的责任和义务。
指派问题的目的是为了培养学生的责任感和团队意识，加强班级管理和学风建设，推动班级秩序的良性发展。
通过指派问题，可以发挥每个学生的优势，使得班级管理更加高效，学生的能力得到充分的锻炼和发展。
二、指派问题的运用方法1. 充分了解学生的特长和性格特点在进行指派问题之前，需要教师和班主任充分了解学生的特长和性格特点。
只有了解学生的个性和能力，才能够合理地安排他们的工作岗位，使得学生能够在自己擅长的领域发挥作用。
2. 制定详细的工作计划和责任分工在进行指派问题时，需要教师和班主任制定详细的工作计划和责任分工，明确每个学生的工作任务和责任，确保每个学生都能够清楚自己的工作内容和时间安排。
3. 给予适当的指导和培训在指派问题之后，需要给予学生适当的指导和培训，帮助他们更好地完成自己的工作任务。
通过指导和培训，可以让学生更好地理解自己的责任和义务，提高工作效率和质量。
三、指派问题的管理效果1. 促进学生的成长和发展通过指派问题，可以让学生承担相应的责任和义务，培养学生的自律意识和责任感，促进学生的成长和发展。
在承担工作任务的过程中，学生能够学会如何与他人合作，如何克服困难，如何处理矛盾等，提高自己的综合素质和能力。
2. 加强班级管理和学风建设通过指派问题，可以加强班级管理和学风建设，推动班级秩序的良性发展。
每个学生都有自己的工作任务和责任，班级管理更加有序，学风更加优良，提高了班级的凝聚力和战斗力。
3. 发挥学生成员的作用通过指派问题，可以发挥每个学生的优势，使得班级管理更加高效。
指派问题的算法分析与实现
《运筹学》课程设计题目：指派问题的算法分析与实现院系：专业：学号：姓名：日期：2014 年 1 月10 日摘要在企业、公司的运营与管理中，管理者总是希望把人员最佳分派以发挥其最大工作效率，从而降低成本、提高效益。
然而，如果没有科学的方法是很难实现优化管理的，由此我们引入了指派问题。
指派问题多是求项目的工时最少，而很多情况下人们并不关心项目总工时的多少，而只关心项目能否在最短的时间内完成，即历时最少的指派问题。
这类问题研究的是n个人执行n项任务，执行每项任务的人数以及总的指派人项数均有限制，要求最优指派。
在运筹学中求解整数规划的指派问题通常是通过匈牙利算法来求解，但指派问题也可以归结为一个0-1整数规划问题，本文先对指派问题进行陈述，引出对实际问题的求解。
在指派问题的背景、描述中充分理解该问题，先运用匈牙利算法实现指派问题，然后再建立一个0-1整数规划模型，并运用matlab编译程序对问题进行编译，运用软件解决模型问题，最终实现指派问题在实际问题中的运用。
通过运用匈牙利算法和0-1整数规划同时对指派问题求解，我们发现用0-1整数规划的方法来求解可以更简单，也更方便程序的阅读和理解。
与此同时，我们还对0-1整数规划问题由整数数据深入研究到小数数据。
最后通过实例来说明运用matlab编译程序来解决整数规划问题的简便和有效性。
问题陈述指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n 件事，各人做不同的事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作效率（如熟练程度等），怎样安排会使总销量达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值。
假设有n件工作分派给n个人来做，每项工作只能由一人来做，每个人只能做一项工作。
若给出各人对各项工作所具有的工作效率。
问应该如何安排人选，及发挥个人特长又能使总的效率最大。
为此用0-1整数规划来实现指派问题即如何安排人选。
指派问题的背景在现实生活中，有各种性质的指派问题（Assignment Problem ）。
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丁
86 90 80 88
x14 x24 x34 x44 1 xij 0或1，i、j 1,2,3,4
●求解指派问题的方法：匈牙利算法
匈牙利算法是匈牙利数学家克尼格（Konig）证明了下面两个基本 定理，为计算分配问题奠定了基础。因此，基于两个定理基础上建 立起来的解分配问题的计算方法被称为匈牙利法。
ij
【例4.9】某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评 的 得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最高。
甲 85 92 73 90
乙 C＝丙
95 82
87 83
78 79
95 90
丁 86 90 80 88
【解】M＝95，令 C (95 cij )
10 3 22 5
C
＝
0
8 17 0
0
0
0
0
3 0 2 1 2 M 0 7 0 2 5 1 0 0 0 0
0 1 0 0 X＝0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 1
88
数学模型如下：
min Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87x22
78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34
86x41 90x42 80x43 88x44
x11 x12 x13 x14 1
x21 x22 x23 x24 1
【定理4.1 】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 （或加上）一个常数ui（被称为该行的位势），从每一列分别减去 （或加上）一个常数vj（称为该列的位势），得到一个新的效率矩
阵[bij]，若其中bij=cij－ui－vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解。这
里cij、bij均非负。
工作 A
B
C
D
x31 x32 x33 x34 1
人员
甲
x41 x42 x43 x44 1
乙
x11 x21 x31 x41 1
x12 x22 x32 x42 1
丙
85 92 73 90 95 87 78 95 82 83 79 90
x13 x23 x33 x43 1
位置
一
二
三
四
机器
A
13
10
12
11
B
15
--
13
20
C
5
7
10
6
解：1）在（B，二）处添上一个很大的数M，以排除机器B安 装在二号位置的可能。
2）在第四行虚设一行。
13 10 12 11
C＝15 M 13 20 5 7 10 6
0
0
0
0
13 10 12 11
C＝15 M 13 20 5 7 10 6
● 求最大值的指派问题
匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0
设C=(cij)m×m 对应的模型是求最大值
将其变换为求最小值
令
M
max i, j
cij
max z
cij xij
ij
C (M cij )
则
min w
cij xij
ij
与
max z
cij xij 的最优解相同。
管理优化之—
指派问题
1 指派问题及其数学模型
【例1 】指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不同岗 位工作，每个岗位只能一个人。经考核四人在不同工作岗位完成的 时间如下表所示，如何安排他们的工作使总时间最少。
工作 A
B
C
D
人员
甲
85
92
73
90
乙
95
87
78
95
丙
82
83
79
90
丁
86
90
80
【定理4.2 】 若矩阵A的元素可分成“ 0”与非“ 0”两部分，则覆盖 “ 0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“ 0”元素（称为 独立元素）的最大个数。
如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“ 0”元素，令这些零元 素对应的xij等于1，其余变量等于0，得到最优解。定理4.1告诉我们 如何将效率表中的元素转换为有零元素，定理4.2告诉我们效率表中 有多少个独立的“ 0”元素。
0 0
0 1
0 0 1 0
即甲安排做第二项工作、乙做第一项、丙做第四项、丁做第三项。 总分为：Z＝92＋95＋90＋80＝357
某工厂订购了3台机器(A、B、C），有4个位置可供机器安装，但B 机器不能安装在第二号位置。由于这4个安装位置离工厂中心的远
近不同，所需要的运送费用也就不同，见下表。问这些机器安装在 哪几个位置合适，可使总的运送费用达到最小。
13 12 16 5
9
5 15 7
用匈牙利法求解：
10 3 22 5
C＝
0
8 17 0
13 12 16 5
9
5
15 7
7 0 19 2 C＝0 8 17 0
8 7 11 0 4 0 10 2
7 0 9 2 C＝0 8 7 ×0
8 7 1 0 4 ×0 0 2
0 1 0 0
最优解：
X＝1 0
0 0
【例4.8 】已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优分 配方案。
85 92 73 90 C＝95 87 78 95
82 83 79 90 86 90 80 88
工作 A
B
C
D
人员
1
X＝
1
1
1
甲
85
92
73
90
乙
95
87
78
95
丙
82
83
79
90
最优分配
丁
86
90
80
88
甲→C 乙→B 丙→A 丁→D
● 不平衡的指派问题
1．当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如
15 20 10 9
6
5
4
0 9 9
6
5
4
7
4
10 13 16 17 10
0
0
0
0
0
6 11 1 0
2 1 0 3
0 3 6 7
×0 0 ×0 ×0
0 0 0 1
X＝0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
