中考数学题型四 动点与最值问题

3. (2020·宿迁)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝ 3 ，P 为 AD 上一个动点，连接 BP，线段 BA 与线段 BQ 关于 BP 所在的直线对称， 连接 PQ，当点 P 从点 A 运动到点 D 时，线段 PQ 在平面内扫过的面 积为____3__－__π3__________．
6. (2019·宁波)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，点 D 在 边 BC 上，CD＝5，BD＝13.点 P 是线段 AD 上一动点，当半径为 6 的⊙P 与△ ABC 的一边相切时，AP 的长为_6_._5_或___3__1_3______.
7. (2020·龙东地区)如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动(不与点 A，B 重合)，∠DAM＝45°，点 F 在射线 AM 上，且 AF＝ 2 BE，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC，EF，EG.则下列结 论：
9. (2019·长沙)如图，在△ ABC 中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC
于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD＋
5 5
BD 的最小值是
( B) A．2 5 B．4 5
C．5 3
D．10
10. 如图，AC 是⊙O 的弦，AC＝5，点 B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC
4
5
6
A. 3
B. 1 C. 6
D. 5
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝ FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当 FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用 相似三角形的性质求解即可．
动点问题探究题 1．明确与动点有关的图形、位置发生的变化以及运动过程中产生的特殊 图形的时刻． 2．用点运动的时间表示线段，并得到图形面积、周长等关于时间的函数 关系． 3．点运动过程中，产生特殊位置时，注意对运动时间进行分类讨论．
①∠ECF＝45°；
②△AEG 的周长为(1＋
2 2
)a；
③BE2＋DG2＝EG2；
④△EAF 的面积的最大值是18 a2；
⑤当 BE＝13 a 时，G 是线段 AD 的中点． 其中正确的结论是_①__④__⑤__________．
类型二 最值问题探究题
例 2 (2020·绵阳)如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝60°， AD＝BC＝CD＝4，点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点 M 到直线 BC 的距离的最小值为__3__3__－__2________．
1. 如图，在△ ABC 中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.点 D 是 BC 上的中点．点 P 是边 AB 上的动点，若要使△ BPD 为直角三角形，则 BP＝_5_或__1_56_____
2. 如图，正方形 ABCD 边长为 2，F 为 BC 上一动点，作 DE⊥AF 于点 E，连接 CE.当△ CDE 是以 CD 为腰的等腰三角形时，DE 的 长为___4_5_5__或___2__________．
12. (2019·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，已知 C(3，4)，以点 C 为 圆心的圆与 y 轴相切．点 A，B 在 x 轴上，且 OA＝OB. 点 P 为⊙C 上的动点，∠APB＝90°，则 AB 长度的最大值为__1_6_．
2．运用代数性质： (1)运用配方法求二次三项式的最值； (2)运用一元二次方程根的判别式．
8. (2020·常州)如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A， B重合)，CH⊥AB，垂足为点H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3， 则MH长的最大值是( A ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
＝45°，若点 M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 MN 的最大值是_5__2_． 2
11. (2020·扬州)如图，在▱ABCD 中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8， 点 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F，使得 DF＝14 DE， 以 EC，EF 为邻边构造▱EFGC，连接 EG，则 EG 的最小值为_9__．3
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题型四 动点与最值问题
类型一 动点问题探究题
例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 6，BC＝8，点 F 在边 AC 上，并且 CF＝2，点 E 为边 BC 上的动点，将△ CEF 沿直线 EF 翻折， 点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 的距离的最小 值是( D )
4. (2019·常州)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3AB＝3 10 ，点 P 是 AD 的中点，点 E 在 BC 上，CE＝2BE，点 M，N 在线段 BD 上．若 △ PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则 MN 的长为_6_或__1_85____．
源自文库
5. 如图，已知正方形 ABCD 的边长是 1，点 E 是 CD 边上的中点．P 为正方形 ABCD 边上的一个动点，动点 P 从 A 点出发，沿 A→B→C→E 运动，到达点 E.若点 P 经过的路程为自变量 x.△ APE 的面积为因变量 y，则当 y＝15 时，x 的值等于_25__或__21_10________．
【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于 点E，过点O作OF⊥BC于点F，交CD于点G，则OM＋ME≥OF.求出OM， OF即可解决问题．
解决最值问题的两种方法 1．应用几何性质： (1)三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第 三边；(2)两点间线段最短；(3)连接直线外一点和直线上各点的所有线段 中，垂线段最短；(4)定圆中的所有弦中，直径最长；(5)利用对称的性质 作已知点的对称点，结合对称的性质将两条线段的和转化为一条线段的 长，进而在直角三角形中利用勾股定理进行求解．