分类加法计数原理
分类加法计数原理与分布乘法计数原理
1 1 2 , , 2 3 3
3
时，也有4个．
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考向大突破二：分步乘法计数原理
例2：已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示 平面上的点(a，b∈M)，问： (1)P可表示平面上多少个不同的点？ (2)P可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
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应用两个计数原理的注意点 (1)注意在应用两个原理解决问题时，一般是先 分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原 理． (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题， 可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直 观化．
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变式训练3：上海某区政府召集5家企业的负责人开年终 总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业 各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同 企业的可能情况的种数为________．
因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函 数．
(2)y＝ax2＋bx＋c的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的 取值均有6种情况， 因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的 二次函数．
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考向大突破三：两个计数原理的综合应用
解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C21C42种情况， 若3人中没有甲企业的，则共有C43种情况， 由分类加法计数原理可得， 这3人来自3家不同企业的可能情况共有C21C42＋C43＝ 16(种)． 答案： 16
第1节 分类加法和分步乘法
第1节分类加法和分步乘法【基础知识】1.分类加法计数原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.3.两个原理的区别：（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.【规律技巧】1.计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时：(1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4.用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．5.(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．6.分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．7.应用两种原理解题(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．8.涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．【典例】【例1】(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．9∴由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个)．答案(1)B(2)B【规律方法】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类(即标准明确，不重不漏)．【变式探究】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10B．11C．12D．15【例2】有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．【变式探究】(1)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花()A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元(2)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为________个．【针对训练】1、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279【答案】B2、春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．【答案】28【解析】每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班的方法数为种，其中包含甲乙甲乙甲，甲丙甲丙甲，乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙四种情况不符合，故有种．3、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有种；【答案】244、数列共有12项，其中，，，且，，则满足这种条件的不同数列的个数为（）A.84 B.168 C.76 D.152【答案】A5、用6种不同颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即右图中A、B所示的区域）用相同颜色，则不同的涂法共有___________种（用数字作答）.【答案】216【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，可以分为三种情况讨论，一共用了3种颜色，共有A 63=120种结果，一共用了2种颜色．共有C 62A 32=90种结果，一共用了1种颜色，共有6种结果，∴根据分类计数原理知，共有120+90+6=216，故答案为：216.。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理示范
THANKS
感谢观看
混合应用的实例
组合问题
在组合问题中，可以将问题按照不同的 组合方式进行分类，然后分别对每一类 进行计数，最后将各类计数结果相加。 同时，也可以将问题分解为若干个连续 的选择步骤，每一步都有一定的选择方 式，最后将各步的选择方式相乘。
VS
排列问题
在排列问题中，可以将问题按照不同的排 列方式进行分类，然后分别对每一类进行 计数，最后将各类计数结果相加。同时， 也可以将问题分解为若干个连续的排列步 骤，每一步都有一定的选择方式，最后将 各步的选择方式相乘。
理的混合应用
原理的结合方式
分类加法计数原理
混合应用
将问题按照不同的分类标准进行划分， 然后分别对每一类进行计数，最后将 各类计数结果相加。
在解决复杂问题时，将分类加法计数 原理与分步乘法计数原理结合使用， 以更全面地考虑问题的各种情况。
分步乘法计数原理
将问题分解为若干个连续的步骤，每 一步都有一定的选择方式，最后将各 步的选择方式相乘。
02
分步乘法计数原理应用建议
确定连续步骤的顺序和数量。
ห้องสมุดไป่ตู้03
对两种计数原理的应用建议
计算每个步骤发生的方法数。
将各个步骤的方法数相乘得 到总的方法数。
注意事项：在应用两种计数原 理时，需要注意事件的互斥性 和步骤的连续性，以及方法数
的准确计算。
对两种计数原理未来发展的展望
分类加法计数原理与分步乘法计数原理作为组合数学中的基本原理，在数学、计算机科学、统计学等 领域有着广泛的应用。
理解
分步乘法计数原理强调的是分步骤完成一件事情，每一步都有多种不同的方法，最终的方法数就是每 一步方法数的乘积。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理是指将一个计数问题分成若干个子问题，然后将子问题的计数结果相加得到最终的计数结果。
其基本思想是将问题中的元素分成若干个不重叠的类别，然后分别计数各个类别的元素个数，最后将各类别的计数结果相加。
这个原理常用于解决包含多个步骤的计数问题。
举个例子来说明分类加法计数原理的应用：假设有一个盒子，里面有红球、蓝球和绿球，分别有3个、4个和5个。
现在要从盒子中任选3个球，问有多少种选择方法。
我们可以将这个问题分为三个子问题：选取3个红球的方法数、选取3个蓝球的方法数和选取3个绿球的方法数。
然后分别计数这三个子问题的方法数，最后将它们相加得到总的方法数。
与分类加法计数原理相对应的是分步乘法计数原理。
分步乘法计数原理是指将一个计数问题分成若干个步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到最终的计数结果。
这个原理常用于解决包含多个独立步骤的计数问题。
举个例子来说明分步乘法计数原理的应用：假设有一个密码锁，需要输入5位密码，每位密码都是从0到9的数字。
问一共有多少种可能的密码组合。
我们可以将这个问题分为5个步骤：第一位密码的选择、第二位密码的选择、第三位密码的选择、第四位密码的选择和第五位密码的选择。
然后计数每个步骤的可能性，最后将它们相乘得到总的可能性。
分步乘法计数原理也可以用于解决其他的计数问题，例如从一个字母表中选择若干个字母组成单词的方法数、从一个数列中选择若干个数的方法数等等。
总的说来，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决组合数学中计数问题的重要方法。
它们可以帮助我们系统地分析和解决各种计数问题，提高我们的计算能力和思维能力。
无论是在学术研究还是在实际应用中，这两个原理都有着广泛的应用价值。
分类加法计数原理
分类加法计数原理
分类加法计数原理是一种用于解决计数问题的方法。
它适用于将问题分解为多个独立部分，并计算每个部分的个数，然后将它们相加以得出最终的结果。
首先，我们将问题分成若干个互不重叠的部分，每个部分都是有限的。
然后，我们计算每个部分的个数，这可以通过直接计算或使用其他计数方法来完成。
最后，将每个部分的个数相加，就得到了最终的结果。
为了更好地理解分类加法计数原理，我们可以通过一个实际的例子来说明。
假设我们要计算从1到100的整数中，能同时被
2和3整除的个数。
我们可以将问题分解为两个部分：能被2
整除的数和能被3整除的数。
首先，我们计算能被2整除的数的个数。
从1到100的整数中，每隔2个数就有一个能被2整除的数，即有50个数。
然后，我们计算能被3整除的数的个数。
从1到100的整数中，每隔3个数就有一个能被3整除的数，即有33个数。
最后，我们将两个部分的个数相加，即50+33=83，即从1到100的整数中，能同时被2和3整除的数的个数为83。
通过这个例子，我们可以看到分类加法计数原理的应用过程。
根据问题的要求，将问题分解为多个独立部分，并计算每个部
分的个数，再将它们相加，得出最终的结果。
这种方法可以用于解决各种计数问题，如排列组合、选取对象等。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理【要点梳理】要点一：分类加法计数原理(也称加法原理)1．分类加法计数原理：完成一件事,有n 类办法.在第1类办法中有1m 种不同方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法.2．加法原理的特点是：① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n 类；② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。
3．图示分类加法计数原理：由A 到B 算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。
从图中可以看出，完成由A 到B 这件事，共有方法m+n 种。
要点诠释：用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。
要点二、分步乘法计数原理1.分步乘法计数原理“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成．2．乘法原理的特点：① 完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可；② 完成每一步有若干种方法；③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。
3.图示分步乘法计数原理：由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。
要点诠释：从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。
分类加法与分步乘法计数原理
济宁育才中学
C123
【分类加法计数原理】
如果完成一件事有n类不同方案，在第
1类方案中有m1种不同的方法，在第2 类方案中有m2种不同的方法，…，在 第n类方案中有mn种不同的方法，那么 完成这件事的方法总数为
N＝m1＋m2＋…＋mn
【分步乘法计数原理】
如果完成一件事需要n个步骤，做第1 步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，…，做第n步有mn种 不同的方法，那么完成这件事的方法 总数为N＝m1×m2×…×mn
P6例5：给程序模块命名，需要用3个字符
其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两 个要求用数字1～9，问最多可以给
多少个程序命名？ 答:(7+6) ×9 × 9=1053,
故最多可以给1053个程序命名.
P7例6：核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞
中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着 数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一 个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占 据.总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G， U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任 意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基 与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分 子由100个碱基组成，那么能有多少个不同的 RNA分子？
1.答：35 2.答：53
课下讨论：书P41B组13.
P7例7：电子元件很容易实现电路的通与断、电
位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的 两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0 或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机 能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符 可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算 机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二 进制位构成.问： （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同
9.1第一节 分类加法计数原理
考向二 分步乘法计数原理[自主练透型] 1．(2016·课标全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活 动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
解析：先确定从E到G的步骤，再分别考虑每一步中最短路 径的条数，最后求出最短路径的总条数．
从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的 最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向
路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如题图，从E到 F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再 从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所 以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短 路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为 6×3＝18.
二、必明2个易误点 1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方 法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． 2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只 是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联 的．
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或 “×”)．
答案：10
悟·技法 1.分类加法计数原理的实质 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为 若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独 立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事． 2．使用分类加法计数原理遵循的原则 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准， 都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.
答案：C
答案：B
3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共 有( )
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件
一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为 ( )
A.11
B.28
C.16 384
D.2 401
解析:要完成配套,分两步.第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4
种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的
选法.故共有4×7=28种不同的配法.
答案:B
3.某商场共有4个门,购物者从一个门进,从另一个门出,不同的走法 种数是( ) A.8 B.7
法.
解析:若这个人来自(1)班,则有54种不同的选法;若来自(2)班,则有
56种不同的选法,所以共有110种不同的选法.
答案:110
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有
n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
【做一做2】 已知某乒乓球队有男队员9人,女队员8人,现从男、
解:(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的 方案.
第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法; 第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法; 第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会 主席,共有50+60+55=165种不同的选法.
高三(2)班
30
30
60
高三(3)班
35
20
55
(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选
法? (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担
任学生会生活部部长,有多少种不同的选法? 思路分析:(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席都能独立地
1.1.1分类加法计数原理
例3.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、 女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的 选法？
分析： 选出一组参赛代表，可以分两个步骤。 第1步选男生，第2步选女生。 第2步，从24名女生中选出1人，有24种方法。 根据分步乘法计数原理，共有 32×24＝720种不同的选法。
解： 第1步，从30名男生中选出1人，有30种方法；
思考？
用前6个大写英文字母和1～9九个阿 拉伯数字，以A1，A2，·，B1，B2，·的方 · · · · 式给教室里的座位编号，总共能编出多少 个不同的号码？
分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能 与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且 它们各个不同，因此共有6×9＝54个不同的 号码。
字母
根据分类加法计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
探究
问题. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可
以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车 有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天 中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多 少种不同的走法? 解: 从甲地到乙地有3类方法, 第1类方法, 乘火车，有4种方法; 第2类方法, 乘汽车，有2种方法; 第3类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 生物学 化学 医学 物理学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。
1.1.1分类加法计数原理
分类加法原理和分步乘法原理
分类加法原理和分步乘法原理分类加法原理和分步乘法原理是概率论中常用的计数原理，它们在解决组合计数问题时非常有用。
本文将详细介绍这两个原理的概念、应用场景以及实际计算方法，希望能对读者有指导意义。
一、分类加法原理分类加法原理是指将一个计数问题分成若干个互不相交的子问题，然后将各个子问题的计数结果累加起来得到总的计数结果。
换句话说，分类加法原理认为，如果一个事件可以被划分为若干个不相交的情况，那么它所有情况的计数结果之和就是总的计数结果。
举个例子来说明分类加法原理的应用。
假设有一家商店，它的商品有3种颜色（红色、蓝色、绿色），每种颜色都有2种尺寸（大号、小号）。
现在要计算这家商店的商品总数。
根据分类加法原理，我们可以将这个问题划分为两个子问题：计算每种颜色的商品总数，然后将这些结果相加。
假设红色、蓝色、绿色商品的数量分别为3、4、2，那么总的商品数量就是3+4+2=9。
分类加法原理除了可以用于计算组合问题的数量，还可以用于计算各种可能性的总数，比如排列问题和概率问题。
二、分步乘法原理分步乘法原理是指将一个多步骤的计数问题分解成若干个独立步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到总的计数结果。
简而言之，分步乘法原理认为，如果一个多步骤的事件的计数问题可以被分解成若干个独立的子问题，那么它的总的计数结果就是各个子问题计数结果的乘积。
举个例子来说明分步乘法原理的应用。
假设有一家餐厅，它的菜单上有3种汤品选择（番茄汤、鸡肉汤、蘑菇汤），每种汤品有2种配料选择（鸡肉块、海鲜）。
现在要计算在这家餐厅用餐的菜单组合总数。
根据分步乘法原理，我们可以将这个问题分解成两个子问题：计算汤品选择的数量，然后计算配料选择的数量，最后将这两个数量相乘。
假设汤品选择的数量为3，配料选择的数量为2，那么菜单组合总数就是3 * 2 = 6。
分步乘法原理类似于分类加法原理，但是不同的是，分步乘法原理适用于计算多步骤问题的总数，而分类加法原理适用于计算一个事件的不同情况之和的总数。
分类加法计数原理分布乘法计数原理
分类加法计数原理和分布乘法计数原理一、回顾教材·知识梳理分类加法计数原理：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，.....在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.（对应微体验1、2）分布乘法计数原理:完成一件事需要n 个步骤，做第1步有N 1种不同的方法，做第2步有N 2种不同的方法，…做第n 步有N O 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.(对应微体验3、4)分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系都是完成一件事的不同方法种数的问题 区别 1、 分类2、 每类办法都是独立完成，并且只需一种方法就可完成这件事。
3、 互斥且独立1、 分步2、 “步步相依”即各个步骤是相互依存的，必须每步都完成了，才算做完这件事 注意分类要“不重不漏” 分步要“步骤完整” 二、基础检测·查漏补缺微体验1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 微体验2：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到,",#两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：问1：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？问2：在微体验2中,如果数学也是A 大学的强项专业,则A 大学共有6个专业可以选择,B 大学共有4个专业可以选择,那么用分类加法计数原理,得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10.这种算法有什么问题?微体验3：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以"1，"2…"9，#1，#2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？微体验4：某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法?三、考点分类·全面突破考点一：分类加法计数原理的应用例1：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为（ ）变式1：设a ，b ，c∈{1,2,3,4}，若以a ，b ，c 为三条边的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形有 个。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．分类加法计数原理的理解分类加法计数原理中的“完成一件事有两个不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．分步乘法计数原理的理解分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成两个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)√某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有( )A．3种B．4种C．7种D．12种答案：C已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( ) A．1 B．3C．6 D．9答案：D某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．答案：3加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人可以选择，第二道工序有6人可以选择，第三道工序有4人可以选择，每两道工序中可供选择的人各不相同，如果从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．答案：120探究点1 分类加法计数原理[学生用书P2]在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解】法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．[变问法]在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).利用分类加法计数原理计数时的解题流程某校高三共有三个班，各班人数如下表：男生人数女生人数总人数高三(1)班30 20 50 高三(2)班30 30 60 高三(3)班 35 20 55(1)(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．探究点2 分步乘法计数原理[学生用书P2]从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，则可以组成抛物线的条数为多少？【解】 由题意知a 不能为0，故a 的值有5种选法； b 的值也有5种选法；c 的值有4种选法．由分步乘法计数原理得：5×5×4＝100(条)．1．[变问法]若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？解：需分三步完成，第一步确定a 有2种方法，第二步确定b 有5种方法，第三步确定c 有4种方法，故可组成2×5×4＝40条抛物线．2．[变条件、变问法]若从本例的六个数字中选2个作为椭圆x 2m ＋y 2n＝1的参数m ，n ，则可以组成椭圆的个数是多少？解：据条件知m >0，n >0，且m ≠n ，故需分两步完成，第一步确定m ，有3种方法，第二步确定n ，有2种方法，故确定椭圆的个数为3×2＝6(个)．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．解：(1)分三步：第1步，排个位，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)第1步，排个位，只能从2，4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．探究点3 两个计数原理的综合应用[学生用书P3]甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书，(1)若借1本书，则有多少种借法？(2)若每科各借1本书，则有多少种借法？(3)若任借2本不同学科的书，则有多少种借法？【解】(1)需完成的事情是“借1本书”，所以借给乙数学、物理、化学书中的任何1本，都可以完成这件事情．根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种借法．(2)需完成的事情是“每科各借1本书”，意味着要借给乙3本书，只有从数学、物理、化学三科中各借1本，才能完成这件事情．根据分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种借法．(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借2本不同学科的书”，可分三类：第1类，借1本数学书和1本物理书，只有2本书都借，事情才能完成，根据分步乘法计数原理，有5×4＝20种借法；第2类，借1本数学书和1本化学书，有5×3＝15种借法；第3类，借1本物理书和1本化学书，有4×3＝12种借法．根据分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47种借法．利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )A．8 B．15C．18 D．30解析：选A.共有5＋3＝8种不同的选法．2．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A、B中先后各取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为( )A．5 B．6C．10 D．12解析：选B.完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．3．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有( )A．12种B．7种C．14种D．49种解析：选D.要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4＋3＝7种方法；第二步出门也有4＋3＝7种方法，由分步乘法计数原理知进、出门的方案有7×7＝49种．4．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？解：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000种选法．(3)①高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2 100 种选法；②高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1 260种选法；③高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1 500种选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860种选法．[A 基础达标]1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是( )A．5 B．4C．9 D．20解析：选C.由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C.2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是( )A．18 B．16C．14 D．10解析：选C.分两类：第一类M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2＝6(个)第一、二象限的点；第二类M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4＝8(个)第一、二象限的点．综上可知，共有6＋8＝14(个)不同的点．3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A．81 B．64C．48 D．24解析：选A.每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( )A．15 B．12C．5 D．4解析：选A.分情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15.5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )A．24种B．16种C．12种D．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.6．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有________种．解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种)．答案：77．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有________种．解析：小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法．答案：548．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22(条)，即所求的不同的直线共有22条．答案：229．(2018·云南丽江测试)现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．10．(1)如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源且仅闭合其中一个电键，使电灯C发光的方法有多少种？(2)如图，由电键组A，B组成的电路中，要闭合两个电键接通电源，使电灯C发光的方法有几种？解：(1)只要闭合图中的任一电键，电灯即发光．由于在电键组A中有2个电键，电键组B 中有3个电键，且分别并联，应用分类加法计数原理，所以共有2＋3＝5(种)接通电源使电灯发光的方法．(2)只有在闭合A组中2个电键中的一个之后，再闭合B组中3个电键中的一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光．根据分步乘法计数原理，共有2×3＝6(种)不同的接通方法使电灯发光．[B 能力提升]11．(2018·郑州高二检测)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8解析：选D.以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．12．(2018·长沙高二检测)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10解析：选B.对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小．若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.故选B.13．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．(1)点P可以表示平面上的多少个不同点？(2)点P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)点P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？解：(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，点P可以表示平面上6×6＝36(个)不同点．(2)根据条件，需满足a＜0，b＞0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，点P 可以表示平面上3×2＝6(个)第二象限的点．(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，点P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．14．(选做题)某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果．(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．。
分类加法计数原理
如何解决错排问题
1 递推公式
运用递推公式求解错排问题，将问题转化为小规模的子问题，逐步求解。
2 动态规划
通过构建状态转移方程，使用动态规划方法解决错排问题，优化计算过程。
3 组合数学
利用组合数学的方法，分析错排问题的性质和规律，得到数学表达式求解。
如何选择分类方式
1 问题特征
2 易于计数
根据问题本身的特点，选择与问题相关 的分类方式。
选择能够简化计数过程的分类方式，尽 量
考虑计数结果的准确性和可靠性，选择 能够满足需求的分类方式。
考虑分类方式的可行性和实施成本，选 择简单、易于操作的分类方式。
什么是加法
主要思想
根据问题特征进行合理分类，将问题化繁 为简，然后将各个子问题的计数结果相加， 得到最终的解答。
核心思路
合理分类 + 加法运算 = 求解计数问题
常见的应用场景
商业决策
在市场调研、产品定价等过程中，需要对不同 分类的数据进行统计和计数。
学术研究
用于分析实验结果、调查问卷的答案，并进行 计数和统计。
分类加法计数原理
分类加法计数原理是一种解决计数问题的方法，可以应用于多种场景和领域。 通过合理分类和加法运算，可以快速求解各种计数问题。
什么是分类加法计数原理
定义
分类加法计数原理是一种数学方法，用于 解决计数问题，通过将问题分解成不同的 分类，并进行加法运算求解。
应用范围
分类加法计数原理广泛应用于组合数学、 概率论、计算机科学等领域，是解决各种 计数问题的重要工具。
交通路口
统计不同类型车辆通过的数量，用于交通流量 监测和交通规划。
图书馆书架
计数不同分类图书的数量，方便读者借阅和图 书管理。
分类加法计数原理
将各类别的数量相加得到总数
加法原理与分
分类计数原理的应用场景
• 概率论中的事件概率计算
• 数据分析中的数据分类与统计
• 统计推断中的置信区间计算
• 质量控制中的缺陷分类与计数
• 机器学习中的分类算法
确定分类标准与方法
• 可以根据包裹的重量、体积、目的地等进行分类
• 可以采用不同的分类方法，如聚类分析、决策树分
类、人工神经网络分类等
计算各类别的数量
• 对每个类别进行数量统计，得到各类别的数量
将各类别的数量相加得到总数
• 将各类别的数量进行汇总，得到物流包裹总数
04
分类加法计数原理的扩展与优化
分类加法计数原理的扩展方法
分类加法计数原理的优势与不足
优势
• 方法简单易懂，适用于分类问题中的数量计算
• 可以根据实际问题和数据特点，灵活调整分类标准和方法
不足
• 分类标准与方法的选择对结果影响较大，需要根据实际情况进行调整
• 对于复杂的多层次分类问题，需要采用其他方法进行计算
分类加法计数原理的未来发展趋势与挑战
发展趋势
• 随着大数据和人工智能技术的发展，分类加法计数原理将在更多领域得到应用和
创新
• 分类加法计数原理将与其他统计分析方法相结合，提高分类计数的准确性和效率
挑战
• 如何应对复杂的多层次分类问题，提高分类计数的准确性
• 如何采用更先进的数据处理技术，提高分类计数的效率
CREATE TOGETHER
谢谢观看
05
分类加法计数原理的实践与体会
分类加法计数原理的实际操作经验
分类加法计数原理
分类加法计数原理首先，我们来了解一下分类加法计数原理的基本概念。
分类加法计数原理是指，当一个事件可以被分解为若干个互不相交的子事件时，可以通过分别计算这些子事件的概率，然后将它们相加得到整个事件的概率。
这一原理在解决复杂事件的概率计算问题时非常有用，它可以将一个复杂的事件分解为若干简单的子事件，从而简化计算过程。
接下来，我们将详细介绍分类加法计数原理的基本思想。
分类加法计数原理的基本思想是将一个复杂的事件分解为若干个简单的子事件，然后分别计算这些子事件的概率，最后将它们相加得到整个事件的概率。
这一思想在实际问题中非常实用，它可以帮助我们更清晰地理解复杂事件的结构，从而更好地计算其概率。
在应用分类加法计数原理时，我们需要注意一些基本的方法。
首先，我们需要将复杂事件分解为若干个简单的子事件，这需要对问题进行合理的分类。
其次，我们需要分别计算这些子事件的概率，这需要对每个子事件进行准确的计数。
最后，我们需要将这些子事件的概率相加，得到整个事件的概率。
通过这些方法，我们可以更好地应用分类加法计数原理解决实际问题。
在实际问题中，分类加法计数原理有着广泛的应用。
比如在排列组合问题中，我们经常需要计算某些复杂事件的概率，而分类加法计数原理可以帮助我们更好地解决这些问题。
此外，在概率计算中，分类加法计数原理也有着重要的作用，它可以帮助我们更准确地计算复杂事件的概率，从而更好地理解和预测实际问题。
综上所述，分类加法计数原理是概率论中的一种基本计数方法，它适用于计算一些复杂事件的概率。
通过将复杂事件分解为若干简单的子事件，然后分别计算这些子事件的概率，最后将它们相加得到整个事件的概率，我们可以更有效地解决一些实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解和运用分类加法计数原理，从而更好地解决实际问题。
分类加法计数原理
分类加法计数原理
分类加法计数原理是一种数学计算方法，它可以用来求解复杂的概率问题，使用它可以计算出某种情况发生的概率。
它可以帮助我们解决许多复杂的计算问题，比如概率、分类和统计等。
分类加法计数原理是通过分类所有可能的结果，然后对每个类别的概率分别计算，最后将这些类别的概率相加来计算总概率的。
它的基本原理是，如果一个事件由m个不同的类别组成，那么它的概率等于将这m个类别的概率相加。
例如，假设我们有一个事件，它有三个类别A、B、C，每个类别的概率分别为0.2、0.4、0.6，那么它的总概率就是：0.2 + 0.4 + 0.6 = 1.2。
分类加法计数原理广泛应用于统计学、经济学、运筹学和投资等方面，可以用来计算某个事件发生的概率，甚至可以用来评估投资风险等。
例如，一个投资项目的投资收益率有三种情况，分别为10%、20%和30%，其概率分别为0.4、0.3和0.3，那么这个投资项目的预期收益率就是：0.4 × 10% + 0.3 × 20% + 0.3 × 30% = 21%。
因此，可以看出，分类加法计数原理是一种强大的数学计算方法，它可以用来计算复杂的概率问题，对于许多计算问题，它都有着重
要的作用。
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那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有
多少种不同的走法?
火车1 火车2
甲
火车3
乙
汽车1
汽车2
解: 从甲地到乙地有2类方法,
第一类方法, 乘火车，有3种方法;
第二类方法, 乘汽车，有2种方法;
问题 1.2 从甲地到乙地，可以乘火车，也
可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火 车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法?
N＝3×2＝6
练习 1、在所有的两位数中，个位数字比十位数 字大的两位数有多少个？
N=36
思考题1 (1)设x，y∈N*，直角坐标平面中的点为P(x， y)．
①若x＋y≤6，这样的P点有________个． ②若1≤x≤4，1≤y≤5，这样的P点又有________个． 【解析】 ①当x＝1，2，3，4，5时，y值依次有5，4，3， 2，1个，不同P点共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)． ②x有1，2，3，4这4个不同值，而y有1，2，3，4，5这5个不 同值，共有不同P点4×5＝20(个)． 【答案】 ①15 ②20
面．
故可以确定 8＋5＝13 个不同的平面． 答案：C
请做：课时作业（一）
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
原理．
2．会利用分类加法计数原理分 2．难点是对事件的把握
析和解决一些简单的应用问题. 和分类加法计数原理的
应用.
思考？
用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号，总共能够编出多 少种不同的号码？
26+10=36
问题1.1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可
以乘汽车，一天中，火车有3 班, 汽车有2班。
A大学 生物学 化学 医学 物理学
B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。 根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
例2、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂 在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
1.1.1分类计数原理
与分步计数原理
第一课时
在德国举行的第十八届世界杯足球赛 共有32支队伍参加。他们先分成八 个小组进行循环赛，决出16强，这 16强按确定的程序进行淘汰赛后， 最后决出冠亚军，此外还决出了三、 四名。
问：一共安排了多少场比赛？
学习目标
目标解读
1.重点是分类加法计数
1.理解分类加法计数原理．
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。
一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有
m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的 方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有
2．已知两条异面直线 a，b 上分 个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40
B．16
C．13
D．10
解析：分两类：第 1 类，直线 a 与直线 b 上 8 个点可以确
定 8 个不同的平面；
第 2 类，直线 b 与直线 a 上 5 个点可以确定 5 个不同的平