高中数学例谈导数法求解中点弦问题学法指导
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学例谈导数法求解中点弦问题
梁金国
导数进入中学数学，丰富了中学数学知识和解法，给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法，也给许多常规问题的解法提供了新的视角。利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题，正是其中一个方面。
一、方法介绍
1. 利用导数求解切线方程
利用导数的几何意义，把二次曲线方程看作：y 是x 的函数，利用复合函数求导法则，可轻松求出切线的斜率。如对圆()()x a y b R -+-=222，两边对x 求导，则有220()()'x a y b y x -+-=，所以在切点（m ，n ）处的切线斜率k y x x m y n ===='|，－ m a n b
--。从而求出切线方程是()()()()x a m a y b n b R --+--=2。类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程。
2. 利用求导法求解中点弦问题
如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB 中点M 相切（如图1）。此时缩小的曲线方程如()()()x a y b tR -+-=222， x ta y tb 222
21()()
±=，两边对x 求导，可发现并不改变原方程求导的结果。因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是y x '在中点处的值。
图1
二、应用举例
1. 求中点弦方程
例1. 已知双曲线方程22122
x y -=()，求以A （2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点B （1，1），能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于P 、Q 两点，且点B 是弦PQ 的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。 解：对2222x y -=两边求导，得
420x yy x -='
（1）以A （2，1）为中点的弦的斜率k y x x y ===='|214，，所以所求中点弦所在直线方程为
y x -=-142()
（2）以B （1，1）为中点的弦的斜率k y x x y ===='|112，，所以所求中点弦所在直线方程为
y x -=-121()
即210x y --=。
但与双曲线方程2222x y -=联立消去y 得2430802x x -+==-<，∆，无实根。因此直线l 与双曲线无交点，所以满足条件的直线l 不存在。
注意：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。
2. 证明与中点弦有关的不等式
例2. 已知椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()，A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ()x 00，，求证：--<<-a b a x a b a
22022
。 证明：设AB 的中点是P （m ，n ），则中点P 在椭圆内，