24.2.2 第2课时切线的判定与性质.ppt

24.2.2切线的判定和性质

变式2
如图 ,AB 为⊙ O 的直径 , AC 平分∠DAB ,CD是⊙O的切线.
求证: AD⊥CD
A
2
3 O B
活动五，拓展延伸
如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E。（1）求证：DE是⊙O的切线；(2)作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的长。
∴圆心O到直线l 的距离等于半径
∴OA是圆心O到直线l的距离 ∴ l⊥OA
我通过猜想与证明，知道了（切线的性质）即
●
O
圆的切线垂直于过切点的半径。
请你用几何语言来表示切线的性质定理：
A
┐
l
∵L是⊙O的切线 ,OA是半径 ∴l⊥OA
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直. 即“连半径，得垂直”.
C
B
活动三，运用新知
2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O. 求证：⊙O与AC相切. A 证明：过O作OE⊥AC于E ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线. E C
D O
B
小结
1与2的证法有何不同?组卷网
D O A
E A C B C O B
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：连半径,证垂直. (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长.简记为：作垂直,证半径.
活动四，巩固练习如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD 和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证: AC 平分∠DAB.

24.2.2 圆的切线的判定和性质

为什么？B
●
O
C
例3、已知 PA、PB 是
⊙O 的切线, 切点为 A、
B, 点C 是圆周上一点,
∠P= , 求∠ACBB
的度数。
C
P
O●
A
练习《教材》P102 习题第5题
例4、AB 是⊙O 的直径,
C 是⊙O 上一点, D在 AB
的延长线上,∠DCB=∠A,
(1) CD与⊙O相切吗?
为什么?
知识回顾
直线和圆
位置关系
数量关系
(1) 相离 (2) 相切 (3) 相交
.O d >r
.O a d =r
.O d <r
观察与思考
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的?
动手动脑
已知⊙O及半径OA，
经过半径 OA 的外端点
吗？为什么? E●
C
D●
O
┐
FB
小结证明圆的切线的思路: (1) 连半径，证垂直； (2) 作垂直，证半径。
练习 1、《教材》P96 练习第2题 2、《教材》P101 习题 3、4题
3、如图,△ABC 是等腰
三角形,O 是底边 BC 的
中点, ⊙O 与腰 AB 相切
于点D。AC 与⊙O
相切吗？ D A E
EF为⊙O 的切线。
F
F
A
O ●
BA
O ●
D
E CE
(《启》P76例1)
B C②
下课
不经历风雨，怎能见彩虹！
断直线 BD 与⊙O 的位置关系, 证明。 D
C

人教版九年级上册第24章课时2 切线的判定与性质3(23页)

经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线
切线的性质
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有1个公共点
常见辅助线
d=r
有切线时：连切点，得垂直；作垂直，得切点
证切线时：有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径
A O
第2题
第3题
4. 如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP = 2， ∠APO=30° ，求⊙O的半径.
解：连接OA，则OA为⊙O的半径，因为PA是⊙O的切线，所以OA⊥AP，又∠APO＝30°，OP＝2，所以OA＝1 OP＝1，
2
即⊙O的半径为1.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
A
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
E
又 AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB. ∴ AC 是⊙O 的切线.
B
D
C
典例精析
方法总结
当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.
典例精析证切线时辅助线的添加方法
都是沿圆的切线方向飞出的.
合作探究
思考
如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关系？
可以看出，圆心 O 到直线 l 的距离就是 ⊙O 的半径，直线 l 就是⊙O的切线.
O
l A
合作探究
归纳
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
随堂演练

24.2.2切线长定理精品ppt课件

2.如图， ∠APB=50° ，PA ，PB，DE 都为⊙ O的切线，则 ∠DOE=
A D P
O E
B
12
探究新知
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
A B
A
B C
C
13
作圆，使它和已知三角形的各边都相切
已知： △ABC（如图）求作：和△ABC的各边都相切的圆
7
切线长定理的基本图形的研究
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP 交于⊙O于点D、E，交AB于C。
E
A
O
CD
（1）写出图中所有的垂直关系
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP
作法：1,作∠ABC, ∠ACB 的平分线BM和CN,交点为I. 2、过点I作ID⊥BC,垂足为D. 3,以I为圆心,ID为半径作⊙I, ⊙I就是所求的圆.
A
I
N
M
B D
C
三角形的内切圆
14
1、如图1，△ABC是⊙O的
三角形。⊙ O是△A内B接C的
圆，点O叫△ABC的
，它是三角形外接
_____ __ __的交点。
解:设AF=Xcm, BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm ,DC=BD=Ycm, AE=EC=Zcm
A
依题意得方程组
x+y=13
y+z=14
X=4
x+z=9

24.2.2切线的判定、性质和切线长定理

例2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB 于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD A ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
D O E
B
C
例1与例2的证法有何不同?
D O A E A C O B
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）
3.切线长和切线长定理。 4.三角形的内切圆，三角形的内心
作业： 1.《书本》P101 第4、5、6题 2.《优化设计》P52~53
切线的判定和切线长定理
观察与思考
问题2：砂轮转动时，火花问题1：下雨天，转动的雨伞是沿着砂轮的什么方向上的水滴是顺着伞的什么方飞出去的? 向飞出去的?
想一想过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
A
O
B
如图，P是 ⊙O外一点， PA，PB是 ⊙O的两条切线，我们 P 把线段PA， PB叫做点P 到⊙O的切线长。
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
A 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I。

人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)

知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已知：直线 AB 经过 ⊙ O 上的点 C ，并且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.