线性代数第三章3-5

例4 设α、β为两个已知的 n 维向量，证明集合
V = {X | X = λα + µβ , λ , µ ∈ R}
是向量空间。 这个向量空间称为由向量α、β所生成的向量空 间。 一般地,向量 α1,α2 ,L,αm 所生成的向量空间为
V = {X | X = λ1α1 + λ2α2 + L + λmαm,λ1, λ2, L, λm ∈ R}
α ∈ V ，若
α = x1α 1 + x2α 2 + L + xrα r
则称有序数组 ( x1 , x 2 ,L, x r ) 为向量 α 在基
α 1 ,α 2 ,L,α r
或为 ( x 1 , x 2 , L , x r ) 下的坐标，记为 (x1 , x2 ,L, x r ) ， 显然，向量空间的基不是唯一的，但向量在给 定基下的坐标是唯一的。
所以α在基 β 1 , β 2 ,L, β n下的坐标为
(a1 , a1 + a2 ,L, a1 + a2 + L + an )
T
小结
n维向量空间，子空间； 空间V的一个基，维数与向量在基下的坐标； 由向量 α1,α2 ,L,αm 所生成的向量空间；
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ( β 1 , β 2 ,L , β n ) ⋅ ⎜ ⎟ M ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠
即
或
0 ⎛ 1 ⎜ ⎜−1 1 ⎜ 0 −1 ⎜ ⎜L L ⎜ 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 ⎝
L L L L L L
0 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ a 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 0 ⎟⎜ x 2 ⎟ ⎜ a 2 ⎟ 0 0 ⎟⎜ x 3 ⎟ ⎜ a 3 ⎟ ⎟ ⎟=⎜ ⎟⎜ L L ⎟⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ 1 0 ⎟ ⎜ x n −1 ⎟ ⎜ a n −1 ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ x ⎟ ⎜ a ⎟ ⎟ − 1 1 ⎠⎝ n ⎠ ⎜ n ⎟ ⎠ ⎝ 0 0
定义2 设有向量空间 V1, V2 ， 如果 V1 ⊂ V2 ， 就称
V1 是 V2 的子空间。
, , 例如，向量空间 V ={X | X = (0, x2,L xn ), x2,L xn ∈R}
是 Rn 的子空间。 定义3 设 α1,α2 ,L,αr 是向量空间V的向量,且满 足 1) α1,α2 ,L,αr 线性无关； 2) V中任一向量都可以由 α1,α2 ,L,αr线性表示。
则称集合V为向量空间。 例1 3 维实向量的全体，就是一个向量空间。 n 维向量的全体，也是一个向量空间。不过当 n ≥4 时，它没有直观的几何意义。 例2 集合 V = { X | X = (0, x2,L, xn ), x2,L, xn ∈ R } 是一 个向量空间。 例3 集合 V = { X | X = (1, x2,L, xn ), x2,L, xn ∈ R } 不是 一个向量空间。
x1 = a1 ⎧ ⎪ −x +x =a 1 2 2 ⎪ ⎪ ⎨ − x2 + x3 = a3 ⎪ LLLL ⎪ ⎪− xn−1 + xn = an ⎩
解得
⎧ x1 = a1 ⎪ x =a +a 1 2 ⎪ 2 ⎪ ⎨ x3 = a1 + a2 + a3 ⎪ LLLLL ⎪ ⎪ xn = a1 + a2 + L + an ⎩
第五节 n 维向量空间
在本章§1中，我们定义了n 维向量，并且对它 规定了加法和数乘两种运算。在向量的线性运算 基础上，我们进一步引进向量空间的概念。 定义1 设V为 n 维向量的非空集合，R 是实数 域。若 V 对加法和数乘运算封闭，即
∀ 1） α , β ∈ V , 有 α + β ∈ V
2） ∀α ∈ V，λ ∈ R，有λα ∈ V
′
例5 求n维向量 α = (a1 , a 2 ,L, a n )′在基
β1 =(1,−1,0,L0)′,β2 =(0,1,−1,L0)′Lβn−1 =(0,L0,1,−1)′,βn =(0,L0,1)′ , , , , ,
下的坐标。 解 设
α = x1 β 1 + x 2 β 2 + L + x n β n
则称 α 1 ,α 2 ,L,α r 为向量空间V的一个基，r 称为向 量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间。 只含零向量的集合也是一个向量空间，它没有 基，它的维数规定为0。 若把向量空间 V 看作向量组，则 V 的基就是 向量组的极大线性无关组，V 的维数就是向量组 的秩。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n 维向量 ε 1 , ε 2 , L , ε n 是 Rn 的一个基，所以Rn 的维数为 n 。 当然，任何 n 个线性无关的 n 维向量都是向 量空间Rn的一个基。 定义4 设 α 1 , α 2 ,L , α r 是向量空间 V 的一个基，