小学奥数第五讲 用字母表示数与一元一次方程.doc

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第五讲用字母表示数与一元一次方程

阅读与思考

在荷塘边，小明看到了许多青蛙，他数着：1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿；3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿；……他发现青蛙的只数、嘴的张数、眼睛只数、腿的条数是有规律的，那么怎么表示出这些有规律的数量关系呢？如果用文字表述太麻烦了。

没关系，数学家早已为我们发明了用字母表示数的代数语言，如上面的数量关系可以表示为n，n，2n，4n。你知道吗？最先有意识、系统地使用符号表示数的人是16世纪末法国科学家——违达。因为他在现代代数的发展上起了决定性的作用，后世称他为“代数之父”。

用字母表示数是代数的一个重要特征，它在列式、求值、表示公式等方面有广泛的应用，用字母表示数具有以下几个特点：

1、任意性：可以表示任意的数，广泛、方便。

2、确定性：在代数式中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定。

3、抽象性：用字母表示数有更抽象的意义。

在解决问题时，如果我们将未知量用字母表示，列出的等量关系式就是方程，即方程就是含有未知数的等式。在本讲里我们重点学习一元一次方程的解法。

解一元一次方程时，我们常用下面两点将较复杂的方程转化变形为易解的方程。

1、带括号的方程，可运用乘法分配律展开，再合并化简方程。

2、两边都含有未知数的方程，可在方程两边同时加上或减去同一个数或同一个代数式，或同时乘（或除以）同一个不等于0的数或代数式，转化为一边含有未知数，另一边为常数的方程。

典型例题

|例①|观察下列算式：

3×3-1×1=8=8×1 5×5-3×3=16=8×2 7×7-5×5=24=8×3 9×9-7×7=32=8×4 …

你发现了什么规律？你能用式子表示出这一规律吗？

分析与解 1，3，5，7，9，……是一组奇数，奇数可用（2n-1）（n取大于或等于1的自然数），两个连续奇数可用（2n-1）和（2n+1）表示，所以上面式子的规律可以表示为：

（2n+1）（2n+1）-(2n-1)（2n-1）=8n

训练快餐1

观察下面等式：9×0+1=1 9×1+2=1 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 …

你发现了什么规律？你能用式子表示出第n个式子吗？

|例②|观察下图：三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱……那么n棱柱有多少个面？多少个顶点？多少条棱？

分析与解从图中我们可以看出，n棱柱就有n个侧面，另加上上、下两个表面，所以共有（n+2）个面；棱的条数是n的3倍；顶点的个数是n的2倍，即2n个顶点。

训练快餐2

一个弹簧原长为1米，每当挂重1千克就伸长5厘米，如果用n表示弹簧挂的重量（单位：千克），

用h表示弹簧的长度（单位：米），你能从下面的数量关系写出h与n的关系式吗？

当挂重为10千克时，弹簧的长度有多少米？

n（千克） h（米）

1 1+0.05

2 1+0.1

3 1+0.15

4 1+0.2

……

|例③|解方程：11x+42-2x=100-9x-22

分析与解方程的左边有两项含有未知数，右边有常数100、22，那么先合并，将能计算的先算出来。（注意解方程应将原方程先抄一遍）

解：11x+42-2x=100-9x-22

9x+42=78-9x

9x+42+9x-42=78-9x+9x-42

18x=36

X=2

训练快餐3

解方程：8x-3+3x+1=7x+6-6x

|例④|解方程：0.6（x-0.4）+3.8=1.2x+0.56

分析与解方程的左右两边均含有未知数，而且左边含有括号，先运用乘法分配律去掉括号，然后合并化简将方程变形为一边含有未知数的方程。

解：0.6（x-0.4）+3.8=1.2x+0.56

0.6x-0.24+3.8=1.2x+0.56

0.6x+3.56=1.2x+0.56

0.6x+3.56-0.56-0.6x=1.2x+0.56-0.56-0.6x

3=0.6x

X=5

训练快餐4

解方程：0.4（x-0.2）+1.5=0.7x-0.38

|例⑤|解方程：4（2x-7）-2（x-1）=3（x-1）-2

分析与解方程左边的第二项括号外是减号，在解方程时要运用减法的性质a-（b-c）=a-b+c，注意变号，然后按上面例4的方法解。

解：4（2x-7）-2（x-1）=3（x-1）-2

8x-28-2x+2=3x-3-2

6x-26=3x-5

6x-26+26-3x=3x-5+26-3x

3x=21

X=7

训练快餐5

解方程：4（2x-1）-2（x-1）=25

|例⑥|解方程：3x÷2=（x+7）÷3

分析与解方程两边有除法，要变形为ax=b的形式，可以先将方程两边同乘6，则除法运算就没有了。

解：3x÷2=（x+7）÷3

3x÷2×6=（x+7）÷3×6

3x×3=（x+7）×2

9x=2x+14

9x-2x=2x+14-2x

7x=14

X=2

训练快餐6

解方程：x÷2=（3x-10）÷5

|例⑦|使算式73.06-[□×（4.465+5.535）+42.06]=3成立，方框内应填的数是多少？

分析与解此类题实质上就是解关于未知数□的一元一次方程。除了利用等式的性质来解题外，也可以从整体上将算式看成某一种运算（如本题可看作是被减数、减数、差之间的关系），然后利用加、减、乘、除四则运算的关系式层层剥离，直至得出结果。

由原式可得：□×（4.465+5.535）+42.06=73.06-3

□×（4.465+5.535）=70.06-42.06

□×10=28

□=2.8

训练快餐7

在下面算式□中填上适当的数，使算式成立。

12+[0.4×0.75+（0.5+ □）×3]÷0.3=98

能力检测

1、一个正方形的边长是x米，20个这样的正方形顺次连接成一个大长方形，这个长方形的周长是多少米（用含x的式子表示）？

2、礼堂第一排有m个座位，后面每排都比前一排多一个座位，如果用S表示第n排的座位数，你能写出S 与n的关系式吗？当n=10时，S=？

3、学校开运动会，3支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每一支队都与其他所有的队各赛一场），那么