第二章 数学悖论 逻辑学悖论PPT课件
关于数学悖论
引言数学常被视为严格、和谐、精确的学科.但纵观数学发展史的，数学的发展从来不是完全直线式的，它的体系不是永远和谐的，常常出现悖论. “悖论”一词来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”. 这个词的意义比较丰富，是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则推出了两个互相矛盾的结论.数学悖论在数学发展史中占据了重要的地位，可以这样说：数学也正是在不断消除悖论，解决矛盾中向前发展的，这体现了矛盾是事物发展的基本动力这一原理.这里，首先对数学悖论进行一个概述，然后介绍数学史中三个著名的悖论产生、消除及其对数学发展的历史意义.1 数学悖论的概述值得注意的是，我们所说的悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩或谬论不仅从公认的理论明显看出它的错误，而且一般地还可以运用已有的理论、逻辑论述其错误的原因；而悖论就与此不同了，悖论虽然感到它是不妥的，但是从它所在的理论体系中，却不能自圆其说.1.1 悖论的产生背景及定义悖论问题是一个古老而又常新的话题.“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代.但严格意义下的悖论是在19世纪末、20世纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的.当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论.1897年意大利数学家不拉里——弗蒂在超穷序数理论中发现了第一悖论，接着，集合论的创始人康托尔于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”.1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”.由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡.那么，究竟什么是悖论呢？对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题.这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的.”又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真.”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面.这里认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确：(1）任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的.例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对朴素集合论和真理性理论而言的；(2）悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示.这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念（真、假）而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑-数学悖论”.例如：古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德悖论、格里林悖论等就属于第一类悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类悖论；(3）对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”或“诡辩”.因为悖论与诡辩有含义上的不同.后者不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论逻辑可以论述其错误的原因，而前者虽感到其是不妥的，却不能阐明其错误的原因.我们认为，布拉里——弗蒂与希尔伯特关于悖论的陈述是精确的，如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但是这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含一个悖论.数学悖论也叫“逆论”或“反论”，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学悖论.这些结论会让你无比的惊讶：他们有的看起来肯定是错了，但实际却是对的；有的看起来是对的，但实际是错的；还有的会让你陷入对也不是、错也不是的困境.数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后的逐步发展又动摇了某些数学基础，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩.历史上人民对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革.1.2研究数学悖论的意义数学科学历来视为严格、和谐、精确的典型学科，但是数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠信仰的动摇.数学史上的三次数学危机皆由数学产生悖论而引起.悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使那些著名数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考.可以说是悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的.悖论是一种思辨的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论替代的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就是不完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消除悖论，在消除悖论的过程中提高认知水平.消除悖论的过程常常是完善、发展原有理论的过程.悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻.从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的.因而研究悖论的定义、悖论产生背景、解决方案以及对数学发展是非常必要的.数学悖论是一种特殊的逻辑矛盾，它的形成与客观对象的复杂性、多样性，每一代人认识的有限性和局限性，以及人类的主观认识与客观现实的不一致性相关.在数学发展的过程中，人的认识是不断深化的.在不同的历史阶段，人的认识具有一定的片面性和相对性，就会出现“悖论”.因此，它的发生是必然的、不可避免的.数学悖论的发现改变了人们以往的思维方式，迫使人们重新构建理论，从而，在数学认识史中具有积极的意义.2 数学史上三个著名的悖论出现、消除及历史意义数学拥有“美”的内容，也存在着“丑”的东西，数学悖论就是一种“丑”的表现，追求数学美能促进数学发展，同样的，为了消除它的“丑”必然也能推动数学自身的发展，数学三次危机的克服对数学发展的推动作用，就是历史事实.数学发展是矛盾运动的结果.爱因斯坦指出：“提出问题比解决问题更重要.”问题就是矛盾，解决问题就是促使矛盾转化.数学探索与研究起源于数学问题，数学问题的源泉存在于自然科学、社会科学及数学自身的矛盾运动.数学问题一经提出，数学家一般要先经过各种尝试（如类比、归纳、演绎、分析、综合、试验等），经过长时期（甚至几代人）的不懈努力，最终目的促使数学问题得以解决，或说促使数学矛盾得以转化，从而创造出新的数学理论、新的数学成果及新的数学思想方法.数学的历史，就是不断解决数学矛盾又产生新的数学矛盾的过程.从哲学上看，数学是现实世界量的侧面在人们头脑中的反映，因为现实世界是充满着矛盾的，所以数学也必然充满了矛盾.正像恩格斯所指出的：不仅高等数学充满着矛盾，连初等数学也充满着矛盾.比如：正与负、直与曲、平行与相交、已知与未知、常量与变量、有限与无限、连续与不连续、精确与近似、必然与或然、加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、微分与积分、几何变换与其逆变换、数学算子与逆算子、实在的与虚构理性的，等等.当然在整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾.例如：有穷与无穷、连续与离散，乃至存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算，等等.他们可以说贯穿了整个数学发展史，而这些大大小小矛盾的产生，发展到激化，到解决，总是不断为数学产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的危机.危机实际上是一种激化的、非解决不可的矛盾，而这些矛盾的消除、危机的解决，往往给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力的基本原理.纵观数学与数学文化的发展史，数学问题是数学中的一种疑难和矛盾，它的提出和解决是推动数学发展的重要力量.2.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的化解2.1.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的出现在古希腊毕达哥拉斯时期,数学思维尚处于刚刚形成有理数观念的早期阶段.由于数量概念源于测量,而测量得到的任何量在任何精确度的范围内都可以表示成有理数,所以,人们普遍相信一切量均可用有理数表示.这种认识反映到历史上第一个数学共同体——毕达哥拉斯学派的理论体系中,便凝练为可公度原理,即“一切量均可表示为整数与整数之比”.毕氏学派深信数的和谐与数是万物的本源,而宇宙间的一切现象都归纳为整数和整数比的信条.然而，毕达哥拉斯定理（勾股定理）却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新的数来表示.希帕索斯的发现的诞生.这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上，这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派是致命打击，对于当时所有古希腊人的观念也是一个极大的冲击.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它竟然把以前所知道的事情从根本上推翻了.更糟糕的是，面对这一“荒谬”人们竟然毫无办法.这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.也就是著名的“毕达哥拉斯悖论”.2.1.2 第一次数学危机的解决第一次数学危机出现后，古希腊人陷入了“失乐园”的彷徨之中.为了摆脱危机，当时的学者作了种种努力.在这方面贡献最大的是柏拉图、欧多克索斯、欧几里得.在大约公元前370年，这个矛盾被希腊数学家欧多克索斯给出的两个比相等的新定义所解决，当然从理论上彻底克服这一危机还有待于实数理论的建立.欧几里得则在柏拉图、欧多克索斯、亚里士多德等人工作的基础上,总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统，并编写出《几何原本》一书.这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次数学危机的产物.第一次数学危机后承认除了整数和分数外还存在另外的数.由于对这种“怪数”的接受很不情愿，于是就给它起了一个难听的名字—无理数.不可通约量(即无理数)的发现引起人们思想上的困惑.甚至直到十九世纪，无理数也没有一个名正言顺的地位，但随着分析学的飞速发展，它(或整个实数理论)已不得不被人们摆在前台，到十九世纪下半叶，数学分析的进一步发展需要有逻辑严谨的实数理论作为其基础，于是两种实数理论几乎在同一时期产生了，这两种实数理论分别是由戴德金与康托尔建立的，它有一个共同点，即都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”.戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法.这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具.第一次数学危机也随之化解.这一危机的化解，使“数”真正具有了表达一切量的可能，不仅是无理数，还使数的概念不断扩大和发展.复数、四元数、超限数、理想数、非标准数等各种各样的数都被创造出来了.第一次数学危机持续了两千多年. 1872年,数学家戴德金通过他的“戴德金分割”从有理数扩展到实数，建立起无理数理论.十分有趣的是，在同一年，维尔斯特拉斯通过有界单调序列理论、康托尔通过有理数序列理论完成了同一目标：他们都从有理数出发定义出无理数，从而建立起了实数理论.实数的这三大派理论，从不同方面深刻揭示了无理数的本质.实数域的构造成功，使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了.直到此时，我们才可以说由毕达哥拉斯悖论引发的第一次数学危机圆满而彻底地解决了！2.1.3 “毕达哥拉斯悖论”的历史意义这次危机导致了数学史上第一个无理数的诞生，之后，许多数学家正式研究了无理数，直到19世纪下半叶，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论.无理数本质才被彻底搞清，无理数在数学中的合法地位才被真正确立，同时也为数学分析的发展奠定了基础.第一次数学危机还表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示.反之，数却可以由几何量表示出来.整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击.于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位.同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的，证明的思想在希腊人的心中扎下了根.进一步，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识，古典逻辑学应运而生.从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系.这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物.第一次数学危机的影响是巨大的.首先，它推动了数学及相关学科的发展.例如，欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的.其次，虽然第一次数学危机在一定程度上引发了数学思想上的混乱，但数学并没有在危机面前停滞，反而在克服危机的过程中产生了逻辑学和公理几何学，极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间几乎成为是全部严密数学的基础，这不得不说是数学思想史上的一次巨大革命.当然，这种将整个数学捆绑在几何上的狭隘做法，对数学的发展也产生了不利的影响.不可公度量的发现，使希腊人把几何看成了全部数学的基础，在数的研究过程中割裂了它们之间的密切关系.这样做的最大弊端是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，从而导致了基本理论变的十分薄弱.这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年.总而言之，第一次数学危机的结果是产生了无理数概念，并取得重大飞跃，使人们对实数有了完整的认识，同时，这也为后来欧几里得、阿基米德等人在数学上取得杰出成就，甚至牛顿、莱布尼兹创建微积分奠定了数的基础.2.2“贝克莱悖论”与第二次数学危机的化解2.2.1 “贝克莱悖论”与第二次数学危机的出现在希腊的后期，除了研究直线、折线的长度、直线形的面积外，还讨论过曲线的长度和曲线形的面积问题.经过中世纪和文艺复兴，直到十七、八世纪，人们发现下列问题需要处理：(1)知路程函数，求速度以及它的逆问题；(2)求——曲线的切线；(3)求——函数的极值.在研究上述问题过程中逐步产生了微积分.牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者，他们把有关运动、切线、极值和求积等各种问题的解决统一成微积分方法，有计算微分的明确步骤，确立它是(不定)积分的逆运算，得到牛顿——莱布尼茨公式，这一新生而有力的数学方法，受到数学家们的欢迎，解决了大量过去无法解决的问题，同时，微积分基础的问题也越来越严重了.这就是如何解释“无穷小”的问题，牛顿给出瞬时速度的定义，又给出有效的计算方法：第一步，他用无穷小作分母进行除法运算；第二步，他又把无穷小看作零，以去掉那些包含着它的项，而得到所要的公式.这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在着漏洞，还不能自圆其说.例如，牛顿当时是这样求函数n y x =的导数的：()()()212()12nn n n n x x x n x x n n x x x --+∆=+⋅⋅∆+-⋅⋅∆+⋅⋅⋅+∆ 然后把函数的增量△y 除以自变量的增量△x ，得到：()()()()211212n n n n n n x x x y x x n n x x nx x x x x ----+∆-∆==⋅+-⋅⋅∆+⋅⋅⋅+∆+∆∆∆ 最后，扔掉其中所有含 x ∆的项，就得到函数n y x =的导数为1n nx - .“无穷小”在逻辑推理上是零与非零的矛盾，而牛顿却不能在逻辑上说清楚，他说：“量在其中消失的终极比，严格地说来，不是终极量的比，而且它与无限减小的这些量所趋近的极限之差虽然能比任意给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前即不能超越也不能达到这个极限.”无论牛顿用数学语言，还是利用物理意义，他都没有说清楚无穷小量是什么.科学家们相信它，因为它使用起来十分有效，得出的结果总是对的，但是由于逻辑上的漏洞，遭到一些人指责，甚至嘲讽与攻击.如1695年，荷兰数学家纽汶蒂在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据”等.法国数学家罗尔（罗尔中值定理以他的名字命名）也对微积分表示怀疑.然而，对新生的微积分攻击得最厉害的是爱尔兰主教贝克莱，他的观点是“存在即被感知”，认为一切事物不过是人的感知的综合，他的哲学目的是论证上帝的存在.贝克莱在1734 年写了题为《分析学家》，副标题“致不信神的数学家”一书，该书对微积分大肆攻击：“既不是有限量，也不是无穷小，但又不是无”、“是消失了的量的鬼魂”.尽管一些数学家对贝克莱的攻击进行反驳，但没有在逻辑上说清楚无穷小量引起的数学逻辑基础的混乱.贝克莱是出于恐惧当时自然科学发展所造成对宗教信仰的威胁，也是由于当时的微积分理论缺乏牢固基础，所以当时的微积分遭到攻击和非难在所难免. 历史上，人们就把微积分自诞生以来数学界出现的混乱情形叫做“第二次数学危机”，也把贝克莱的攻击称为“贝克莱悖论”.2.2.2 第二次数学危机的解决贝克莱悖论的提出与第二次数学危机的出现，使微积分基础问题引起了更大的重视.十七、十八世纪，数学家们不顾贝克莱们的挑剔和攻击，受微积分有大用的鼓舞，继续在不牢固的基础上建筑微积分的大厦.在英国，数学家马克劳林对贝克莱悖论做出最重要的回应.虽然马克劳林巨大的努力回答了贝克莱的质疑，但十八世纪的大多数数学家对他这种用几何方法严格论证微积分的工作并不欣赏.后来欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等为微积分的基础严密化做了重大贡献，但是微积分逻辑基础在十八世纪结束的时候仍然是一个悬而未决的问题.十九世纪初，许多迫切的问题基本上得到解决，一种追求严密性的风尚开始在数学界蔓延开来.一些数学家开始沿着正确的途径建立微积分的严格基础.例如波尔查诺、阿贝尔、柯西、魏尔斯特拉斯等，波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量，而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，并且定义了导数和积分；狄利克雷给出了函数的现代定义.在这些工作的基础上，魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，完成了一套被认为是天衣无缝的()N ξξσ--语言，严格刻画了极限的定义.人们放弃了无穷小，而以一个无限过程刻画的极限理论统一了导数和积分概念.由于这个理论用不着“无穷小”，一切都按程序操作,“无穷小”引起的混乱被消除了.十九世纪八十年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限理论的基本定理，这样，数学分析中微积分的理论基础——严格的极限理论建立起来了，微积分的发展从此进入了一个新的阶段.原有的悖论在新的体系下可以圆满地予以清除，第一次数学危机和第二次数学危机几乎同时在十九世纪消除.第二次数学危机的消除，与第一次数学危机的消除，两者实际上是密不分的.为解决微积分问题，必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论，加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论，这样，第一、二次数学危机就相继消除.2.2.3 “贝克莱悖论”的历史意义“贝克莱数学上的悖论”源于他的哲学上的悖论认知.比如,他的著名观点“存在就是被感知”,就包含了存在、感知、观念、精神以及上帝.这里就潜藏着悖论因子:如果从上帝开始,那么,那是《创世纪》的方向,一切以经文为准,即“信仰之道”；相反,如从观念开始,就成了逆式的“哲学之路”了.这样他就混淆了这两条路:论证的路一再被信仰打破；而论证的困境一次又一次地因信仰而解决.事实上,贝克莱的思想处处充满逻辑悖论.对于他的“物质”观念化,我们就有理由追问:他的上帝似乎在虚无中创世,而创造的也是虚无.尽管作为抽象概念的物质并不存在,但在感知的另一头,是否会有某些不可名状的东西?但如果没有被动的观念,哪来主动的精神?既然没有物质实体,精神实体又在何处?如果没有精神实体,无限精神又当如何?最后的归宿就是:没有上帝,他的哲学注定漂无定所,假设有上帝,哲学又将变得可疑；如果哲学的虚拟性贯穿始终,则上帝将止于空洞的说词.可见,他的矛盾式的、悖论式的哲学思想就为微积分的缺口的批判——无穷小悖论做了伏笔.虽然从贝克莱本人的目的来看,他试图通过对微积分的批判,曲解数学而为神学辩护.但从客观上看,微积分的理论体系还是具有高度的精确性(虽然不十分严谨)和广泛的应用性.贝克莱悖论的出现只是从一个更高层次上对新生的微积分理论体系所提出的更高的要求,这样迫使数学家认真对待这一悖论：柯西用极。
数学悖论
都能找到更“大”的无限集合）。
2
奇怪的旅店
有个故事据说出自杰出的德国数学家 希尔伯特之口：
一天深夜，一个人走进一家旅店， 想订一间房.店主微笑的告诉他说： “对不起，我们所有房间都住满了客 人，不过让我想想办法，或许我最终 可以为您腾出一个房间来.”
然后，店主便离开自己的办公台， 很不好意思的叫醒了旅客，并请他们 换一换房间：他要每一号房间的旅客 搬到房间号比原来高一号的房间去.
13
芝诺悖论---由无限引出的
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）
爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明 该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可
分的“一”及“静止的例证，人称
“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。
我们从数学角度看其中的一个悖论。
18
症结：
无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。
芝诺悖论的意义：
1）促进了严格、求证数学的发展
2）较早的“反证法”及“无限”的思想
3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：
空间和时间有没有最小的单位？
19
芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连
续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离
数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的
（整体看又是圆的）
2）锉刀锉一个光滑零件：
每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
1
无限集合也有“大小”
——从“一一对应”说起
实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能
有不同的“大小”。
正整数集合是最“小”的无限集合。 实数集合比正整数集“大”。实数集合上全体连续函 数的集合又比实数集合更大。 不存在最“大”的无限集合（即对于任何无限集合，
逻辑学悖论
逻辑学悖论说谎者悖论“这句话是错的。
”上面这个句子是对的吗？如果是对的，这句话就是错的；如果是错的，这句话就是对的。
这一类的悖论变化是无穷的。
例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治．摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。
”你可以创造一个这样的悖论吗？无穷倒退“先有鸡还是先有蛋？”先有鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那么是先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。
鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学为“无穷倒退“的最普通的例子，无穷倒退还有很多例子。
柏拉图：「下面苏格拉底说的话是假的。
」苏格拉底：「柏拉图说了真话。
」这是说谎者悖论的一个翻版。
假若苏格拉底说的是真的，那么柏拉图说的必然是真的。
但是，如果柏拉图说的是真的，那苏格拉底说的就必须是假的。
若我们假定苏格拉底说的是假的，那就意味着柏拉图说的是假的，这么，要是柏拉图说的是假的，苏格拉底说的就必须是真的，结果我们又从头开始，这个过程就会这样子一直重复下去。
理发师悖论“我给城里一切不自已刮脸者刮脸，我也只给这些人刮脸。
”著名的理发师悖论是伯特纳德．罗素提出的。
一个理发师的招牌写着如上面的告示。
谁给这位理发师刮脸呢？他提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个着悖论用故事通俗地表述出来。
某些集合看起来是它自已的元素。
现在来考虑一个由一切不是它本身的元素的集合组成的集合，这个集合是它本身的元素吗？无论你如何作答，都会得到矛盾。
设对于一类集合：A1={a11，a12，…a1i，…}，A2={a21，a22，…a2i，…}，…，A i={a i1，a i2，…a ij，…}都满足条件a ij∈A i ( i = 1，2，…j = 1，2，…)，但A i∉A i一切这类集合物成新集合A={A1，A2，…，A i} A1∈A，问A ∈A？如果认为A ∈A，则A应该不是自身集合的元素，即A ∉A；如果A ∉A，A就应是本集合的元素，即A ∈A，得到矛盾。
逻辑学悖论
逻辑学悖论如果你曾向学生介绍过逻辑学的基本概念，刁就会发现，凚没有什么比一个使人主意忽左忽右的悖论更能引起他们的兴趣了。
凐他们被一步一步地引上繁花似锦的小道，凘遵循着一条无懈可击的推理思路往前走，凎结果他们忽然发现自己已陷入矛盾之中。
凥到底是什么错了？难道就在演绎推理这一过程背后有可能隐伏着什么倒霉的缺陷吗？这一章的主要目的，刋是尽可能用娱乐的方式，刢通过提出现代逻辑学中最重要的悖论来引起学生的兴趣。
凭在这里，刧“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。
凭在其他几章中，凾悖论是强烈违反我们直觉的问题。
凞在这里，利悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，凌就像证明2+2又等于4，列又不等于4一样。
凚逻辑悖论是“不可解”的，別除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。
凉尽管从古希腊起到今天，刦逻辑悖论一直人们带来很大乐趣，减可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。
凕在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。
刅在这里，利你会看到引自伯特兰德?罗素的话，刎他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没有成功，切后来他和阿尔弗雷德?怀特里德合作，凟写了《数学原理》，凶这是一本奠基了现代形式逻辑的代表性论著。
凭作为一个数学教师，刃不用人提醒就懂得，刋逻辑学是一切演绎推理的基础，凑一个不懂基础逻辑的学数学的学生是没有能力来掌握数学基础的。
処对这些基础的理解往往是较困难的，凥它使初学学生丧失对数学的兴趣。
刏幸好，凷这组故事可以帮助你使学生认识到，凐逻辑学并不像他们想象的那样枯燥无味，刜而是一个对数学很重要的、生动有趣的课题、其中有很多令人兴奋的问题尚待解决。
凣在这组故事中有三个中心问题。
凳1．在我们谈论语句的真实价值时，凶为什么需要以一种更高级的语言(称为“元语言”)来谈论它？2．为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素？3．在什么样的特殊情况下，凬预言未来在逻辑上是不可能的？最好是在学习逻辑学、集合论或演绎（推理）证明的时候来认真阅读这一部分。
数学 悖论
红衣女子是真实的 还是在拼图里的？
两列火车会相撞吗？
美国魔术· 安德鲁斯创造了这个精彩的幻觉作品
球和影幻觉：两幅幻觉图中，球相对于背景的位置一样吗？
折叠的棋盘：你从上面还是从下面看到棋盘呢?
曲折的悖论：这是一个奇妙的不可能成立的曲折体， 由匈牙利艺术家托马斯· 伐克期创作
瑞典艺术家奥斯卡· 卢特 斯瓦尔德，给了我们不可 能的三角形中又一种变化。
1 2 1
概率悖论之贝壳之谜
• 三个贝壳的谜题改编自蒙特霍问题，也就是三门 问题，源于博弈论和数学游戏问题.以下是蒙提霍 尔问题的一个著名的叙述：假设你正在参加一个 游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中 一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊.你选 择了一扇门，假设是一号门，然后知道门后面有 什么，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三 号门.他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换 你的选择对你来说是一种优势吗？这条问题亦被 叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上 并不自相矛盾，但十分违反直觉.这问题曾引起一 阵热烈的讨论.
概率悖论之三张卡片的骗局
• 问题提出：三张卡片，分别为第一张A两面 都是红色，第二张B，一面是红色，一面是 黑色，第三张C两面都是黑色.庄家把卡片 放在帽子里摇晃，取出一张放在桌子上， 打赌下面和上面的颜色相同.庄家会这样说， 这个赌博是公平的.假定取出的卡片上面是 红色，那么不可能是卡片C，所以要么是A， 要么是B，也就是要么相同，要么不同，这 样的话输赢的概率都是1/2.
悖论(paradox)来希腊自语“para+dokein”，意思是“多想一想”
悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之 后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏 法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知 不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。 正是因为悖论的存在， 数学才能越来越严密，可以说，
(优质)数学逻辑推理课件PPT课件
练习 甲、乙、丙三人中有一人做了一
件好事．他们各自都说了一句话，而 且其中只有一句是真的．甲说：“是 乙做的．”乙说：“不是我做的．” 丙说：“也不是我做的．”问：到底 是谁做的好事?
（优质）数学逻辑推理课 件PPT课件
在日常生活中，有些问题常常要求我们主要 通过分析和推理，而不是计算得出正确的结 论。这类判断、推理问题，就叫做逻辑推理 问题，简称逻辑问题。
这类题目与我们学过的数学题目有很大不同， 题中往往没有数字和图形，也不用我们学过 的数学计算方法，而是根据已知条件，分析 推理，得到答案。
方法实际上很简单，囚犯抽出纸片后，不给任何 人看，立即放进嘴里嚼烂了，这样别人没有办法看他 抽的纸片上写的是什么字，只能根据剩下的纸片写的 “死”字，判定囚犯吃进去的纸片上应写着“活”字。
例1 三个小姑娘穿着崭新的连衣 裙跳舞，她们穿的裙子一个是花的， 一个是白色的，一个是红色的．这三 个小姑娘分别姓王、李、张，但不知 哪一个姓王、姓李、姓张，只知道姓 张的喜欢穿红的，姓王的既没有穿红 的也没有穿花的，你能猜出这三个姑 娘各姓什么吗?
例2 盘子里有香蕉、苹果、桔子三 种水果．小刚说：“每人只吃一种水 果，我不吃桔子．”小林说：我既不 吃苹果，也不吃桔子．”大江问： “请你猜一猜我们三人各吃什么水果?”
例3 五年级有三个班举行数学竞赛， 分别从三个班中一名选手小军、小
明、小强参加抢答比赛，知道：小军 比五(1)班的选手得分高，小明与五(1) 班的选手得分同样多，又比五(3)班选 手得分高．问：小军、小明、小强各 是哪个班的选手?
古代有个国家，在死囚处决前还要用抽签的方法 请“神”做最后决定．抽签的办法是在两张纸片上分 别写上“活”与“死”字，然后让死囚来抽，如果抽 到“活”的纸片，他就可以活下来。
高中数学选修课《悖论》课件
诉 讼 悖 论
从前一个老律师立了一个规矩：跟他学习法律的 学生可以先不交纳学费。学成毕业后，徒弟如果打 赢了第一场官司就得支付学费，否则就可以免付学 费。数年后，他的一名弟子满师后的第一件事就是 和老律师打一场官司。 徒弟所打的主意是：如果我赢了，按照法官的判 决，我可以不付学费；如果我输了，那么按照老师的 规矩，我也可以不付学费。老律师也积极应诉，他打 的算盘是：如果我赢了，按法官的判决收回学费；反 之，如果我输了，那按我的规矩学生还是得付钱。
小说《唐· 吉诃德》里描写过一个残酷 的国王，在他所统治的国家有一条奇怪的 法律：每一个旅游者都要回答一个问题： “ 你来这里干什么？” 如果旅游者回答对 了，一切都好办；如果回答错了，旅游者 立刻会被绞死。 有一天，有个旅游者来到这个国家， 他答道：“我来这里是要被绞死。 ”这时， 卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，旅 游者就说错了，就得受绞刑。可是，如果 他们绞死旅游者，他就说对了，就不应该 绞死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那 里。国王苦苦想了好久，才说：“不管我 做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。 我们还是宽大为怀算了，让这个人自由 吧。”
数学上的三次危机与悖论
第一次危机是古希腊时代关于无理数的争论 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即“宇宙一彻现象都能归结 为整数或整数之比” 希伯索斯在研究边长为1的正方形时，发现对角线与边长是不可 通约的，即不能用整数之比表示这个数。 无理数的发现与” 可通约“的信条想矛盾公开化，人们将这个矛 盾称为毕达哥拉斯悖论，它引起了第一次数学危机。 它促使人们进一步认识无理数，扩大了数域，为实数理论的创建 和发展作了奠基工作。 希腊人开始重视几何学的演绎推理，一门新的学科欧氏几何学诞 生，欧几里得《几何原本》的出现，标志着第一次数学危机的结束， 从此，几何学公理化与数理逻辑成为数学界关注的问题。
数学悖论ppt课件
第二天，老板又拿出60张唱片。 他想：“如果30张唱片是一块钱卖两张， 30张是一块钱卖三张，何不放在一起， 两块钱卖5张呢？”这一天，60张唱片 全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时 才发现，只卖得24元，而不是25元。 请问一块钱哪儿去了？
例4：龟兔赛跑(基诺悖论) 兔子和乌龟相距一公里，兔子的速度比乌龟快 很多，请问兔子能追 上乌龟吗？ 当兔子跑到兔子和乌龟原来所在的中点时，乌龟 已向前爬了一段距离 但是兔子跑到新的中点处时，乌龟又爬到前面去了。 乌龟：你别想抓住我，老朋友。只要你一到 我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截 了，那怕这个距离比头发丝还小。
偶 数 集 自 然 数 集
例5：无穷旅店
“无穷旅店”是我们银河系中心 的一家巨大的旅馆。它拥有无穷 多 个房间，这些房间通过黑洞伸展 到更高级的时空领域。房间号 从1开始，无限制地排下去。
一天，这个旅店的客房 全住进了客人，这时候 来了一位飞碟（不明飞 行物）的驾驶员，他正 要去别的星系。
尽管已经没有空房间了，可是 旅店老板仍然给驾驶员找到了 一个房间。他不过是把原来住 在各个房间里的房客都一一移 到高一号的房间。于是左边第1 号房间就空出来给该驾驶员住。
数学悖论
悖论 ：笼统地说，是指这样的推理过程： 它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。 悖论在很多情况下表现为能得出不符合排 中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它 为假；由它的假，则可以推出它为真。
悖论的三种形式： 1：一种论断看起来好像肯定是对的，但实际 上却错了（似是而非的理论）。 2：一种论断看起来好像肯定错了，但实际上 却是对的（佯谬）。 3：一系列推理看起来好像无懈可击，可是却 导致逻辑上自相矛盾。
周末，又有无穷多个泡泡 糖推销员来到这家旅馆开 会。
推理悖论ppt课件
-
8
• 一条红鲤鱼同样证实“所有乌鸦是白色的。”
• 所有非白色的东西都是非乌鸦。
• 明显二者等价，而且红鲤鱼是非白色的，还是非乌
鸦。
• 一个观察结论不可能同时证实两个相互排斥的假说。
• 这条红鲤鱼证实所有乌鸦的颜色是黑色，同时也证
实所有乌鸦的颜色是白色，因此，黑就是白。
• 一旦你接受这个显而易见的矛盾，那么就没有什么
是不可"证明"的了。
-
9
• 疑问1：所有非黑的东西是非乌鸦“与”所有乌鸦
是黑色的“这两个命题确实等价吗?如果不等价，悖 论就消失了。
• 有一个好办法证明它们在逻辑上确实等价。假定我
们有一个精灵仆人，这个精灵有能力在一瞬间查明 任何(全部)具体事实。
• 这个精灵他不大理解概括命题。
• 从实用主义的角度看"所有乌鸦是黑色的"似乎仅讨
归纳悖论
-
1
一、忒修斯之船
-
2
二、谷堆悖论
-
3
三、秃头悖论
-
4
• 1、模糊逻辑 • 2、语言的意义 • 3、递增证实和绝对证实 • 4、99英尺高的人
-
5
• 你每一天都爱我的概率有多少？
• 0.99^365 = 0.02551796445229
• 0.99^730=0.0006511665
限，而其换质位命题则不然。
• 为了确定“所有乌鸦是黑色的”这个命题的真假，
需要耗费一定的时间、人力和财力，具体消耗取决 于乌鸦的数量(或非黑色的东西的数量)。
• 根据康奈尔大学鸟类学实验室的R- 托德·恩斯特伦
(R - Todd Engstrom) 的说法，世界上的普通乌鸦的 数量在50 万左右。
逻辑学(二)悖论
悖论（paradox）早八一郑博中同学们大家好！由于上次本逗比发表的《有趣的命题》刊登后本人应大Q老师好召再次着笔自己最喜欢的逻辑类半学术性文章，希望大家喜欢。
今天在这里我要讲的是悖论。
相信对悖论（paradox）这个东西大家并不陌生，但科普一下更深层的介绍还是用必要的。
首先，当然是度娘环节。
悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。
悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确。
悖论的成因极为复杂且深刻，但深入研究有助于数学、逻辑学、语义学、形而上学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。
当然，这都是废话，下面我来说一下悖论是什么。
悖论，亦称为吊诡、诡局或佯谬，是指一种导致矛盾的命题。
在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。
英文paradox原意为多想一想。
这个词的引申义比较丰富，就不要管它了。
之所以悖论如此著名，是因为在逻辑学缜密的规则下，悖论往往可以推知意想不到的结果。
首先，悖论分为三种主要形式：1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
这次看似很抽象，但我举一个臭名昭著的例子大家就知道了。
我要举的便是导致第三次数学危机的罗素悖论。
罗素悖论：设性质P(x)表示“x不属于x”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x不属于x}”。
那么问题是：A属于A是否成立？首先，若A属于A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P 知A不属于A；其次，若A不属于A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。
当然这是抽象的集合描述，我来举一个通俗易懂的例子。
假设早八一班有一位吴某。
他喜欢摸别人的头。
有一天在班里说：“同学们，你们谁的头痒痒本人可以随时帮你摸舒服，我为一切头痒却不挠者提供服务，且只给他们提供服务。
数学悖论和三次数学危机概述(ppt 35页)
3 罗素悖论与第三次数学危机
第一次数学危机的影响
毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了 沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了, 有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整 个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历 史上称之为第一次数学危机。
第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了 数学及其相关学科的发展。
2 贝克莱悖论与第二次数学危机
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝 克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以 表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题： 就无穷小量在当时实际应用而言，它必须 既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这 无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时 的数学界引起了一定的混乱，由此导致了 第二次数学危机的产生。
2 贝克莱悖论与第二次数学危机
针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹 都曾试图通过完善自己的理论来解决，但 都没有获得完全成功。这使数学家们陷入 了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获 成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾， 即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取 舍上到底何去何从呢？
2 贝克莱悖论与第二次数学危机
2 贝克莱悖论与第二次数学危机
1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题 很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其 中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神 秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本 书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为 计算比如说 x2 的导数，先将 x取一个不为0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx) 2 ，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双 重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的 理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑 无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神 学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。
【高中数学】逻辑学悖论--无穷的倒退
【高中数学】逻辑学悖论－－无穷的倒退m：机器受到的难题就像人碰到要解答一个古老的谜？。
问题：鸡还是蛋，哪个先来？m：先有鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那末先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。
好！你陷入了无穷的倒退之中。
古老的鸡和蛋问题是逻辑学家所谓的“无限回归”最常见的例子。
这位老人的麦片经常装在盒子里。
上面的照片是一位老人拿着一盒麦片。
在这个盒子上，还有一张老人拿着一盒麦片的小照片。
当然，小盒子上也有同样的图片。
在过去，它就像一个无限系列的中国盒子。
1965年4月的《科学美国人》杂志封面上有一张该杂志的照片，映入人们的眼帘高二.你可以看到，在反射的弹匣中，还有一个较小的眼睛，它反射一个较小的弹匣。
当然，它将继续保持小规模。
在理发店里，对面的墙上有许多对面的镜子。
人们可以在这些镜子中看到无限的倒退。
在幻想作品中有类似的倒退。
菲利浦·夸尔斯是阿尔道斯·赫克斯勒的小说《点计数器点》中的人物：他是一个作家，正在写一本小说，是关于一个作家正在写一个作家在写小说的小说……。
在安德烈·贾德的小说《伪造品》中，在卡明的剧作《他》中，在诺曼·迈勒的《笔记》这类短篇小说中，都有类似的倒退。
约拿·斯威夫特写了一首关于跳蚤无限回归的诗，由奥古斯都·德·摩根改写：大跳蚤有小跳蚤咬他们的背，小跳蚤又有小跳蚤，继续这样下去没完没了。
那只大跳蚤掉了下来——比它小上面还有大跳蚤，一对一，总也找不到这一代人已经老了。
在艺术、文学、数学和逻辑方面无穷倒退的更多实例可参见《科学美国人》编的马丁·加德勒的第六本数学游戏。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
能成立的。
13
诡辩有三个特点： 第一，为错误的观点进行辩护； 第二，故意地、有意识地违反逻辑规律、规 则； 第三，似是而非、貌似正确，具有一定的欺骗 性。
诡辩的手法五花八门、不胜枚举。常见的有含
糊其词、模棱两可，偷换概念、偷换论题，虚假论
据，循环论证，以人为据（人身攻击），诉诸权威
等。
14
两个大学生找到他们的逻辑学老师问道：“老 师，究竟什么叫诡辩呢？
的思统逻 辑中，三段论占有重要的地位。三段论是由 两个包含着共同项的性质命题推出一个新的 性质命题的推理，又称直言三段论。一个三 段论由三个性质命题所组成，其中前两个是 前提，另一个是结论。
例如：犯罪是触犯刑律的行为， 某人没有触犯刑律的行为， ——————————— 所以某人没有犯罪。
证明或反驳”的问题。 10
反驳是确定某一论证的论题虚假或指出其论 证不能成立的思维过程。
可以根据反驳中是否直接确定对方判断虚假而 将反驳分为直接反驳和间接反驳。直接反驳是引用 已知为正确的判断，直接确定某一判断的虚假性。 直接反驳可以从三个方面着手，即反驳论题、反驳 论据、反驳论证方式。反驳论据就是证明对方的论 据是虚伪的，从而推翻其论据。间接反驳是通过独 立证明与对方的论题或论据相矛盾或相反对的判断 是正确的，然后根据矛盾律由真推假，从而确定对
方的论题或论据的虚假性的反驳方法。
11
谬误：
关于谬误有几种不同的解释，一种是泛指人们 在思想上和语言表达中所产生的逻辑错误，另一种 是指由违反逻辑规律和规则而产生的各种逻辑错误， 再一种是仅指由于违反论证规则而产生的各种逻辑 错误。
12
所谓诡辩就是有意地把真理说成是错误， 把错误说成是真理的狡辩。用一句简单明了 的话来说，就是有意地颠倒是非，混淆黑白。 玩弄诡辩术的人，从表面上来看，似乎能言 善辩，道理很多。他们在写文章或讲话的时 候往往滔滔不绝，振振有词。他们每论证一 个问题，也总是可以拿出许多“根据”和 “理由”来。但是，这些根据和理由都是不
3
逻辑属于思维的科学。人们在认识过程中借助 于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现 实的理性认识过程称为逻辑思维，又称理论思维。 逻辑思维的特点是以抽象的概念、判断和推理作为 思维的基本形式，以分析、综合、比较、抽象、概 括和具体化作为思维的基本过程，从而揭露事物的 本质特征和规律性联系。逻辑思维是作为对认识着 的思维及其结构以及起作用的规律的分析而产生和 发展起来的。只有经过逻辑思维，人们才能达到对 具体对象本质规定的把握，进而认识客观世界。逻
是真实的，结论却未必真实，而可能为假。
8
论证、反驳与谬误
论证的定义，有广义和狭义之分。广义的 论证是指引用已知为正确的判断来确定另一判断 的真实性或虚假性的思维过程，它包括证明和反 驳。狭义的论证仅指证明，不包括反驳。证明是 指引用已知为正确的判断来确定另一判断的真实 性的思维过程。
9
论证由论题、论据和论证方式三个要素组成。 论题是指需要从逻辑学确定其真实性或虚假性 的判断，论题所要回答的是“证明或反驳什么”的 问题。 论据是用来确定论题的真实性或虚假性的判断， 也称为理由或根据，论据所要回答的是“用什么证 明或反驳”的问题。 论证方式是论题和论据之间的联结方式，即在 论证中所应用的推理形式，它所要回答的是“怎样
断。实践是检验一切判断真理性的唯一标准。 5
推理是由一个或几个已知的命题推导出一个新 的命题的思维过程或思维形式。其作用是从已知的 知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过 感觉经验掌握的未知知识。
在推理中，已知的命题是前提，得出的新命题 是结论。用命题对所面临的问题或情况做出判断， 进一步根据已有的知识来反映各种事物之间的复杂 关系，扩大认识范围，获取新的知识，这就是推理
1
整体概述
概况一
点击此处输入相关文本内容 点击此处输入相关文本内容
概况二
点击此处输入相关文本内容 点击此处输入相关文本内容
概况三
点击此处输入相关文本内容 点击此处输入相关文本内容
2
逻辑与推理
“逻辑”一词是英语Logic的音译，它源于希 腊文，原意是指词、规律、思维等，古代西方学 者把它当作推理论证的学问。逻辑学是一门古老 的科学，早在2000多年以前，伴随着生产实践 活动、自然科学的发展以及思想论战的进行，以 思维和辩论的方法为研究出发点的逻辑学就在古 希腊、中国、印度等地逐步萌芽、产生和发展了。 古希腊是逻辑学的主要发源地之一，最早对逻辑 学进行全面系统研究的是古希腊的学者，其中最 主要的代表人物是亚里士多德，他在研究并总结 前人成果的基础上创立形式逻辑这门科学。 。
第二章 逻辑学悖论
这一章的主要目的，是尽可能用浅显娱乐的 方式，通过提出现代逻辑学中最重要的悖论。在 这里，“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。 在其他几章中，悖论是强烈违反我们直觉的问题。 在这里，悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，就 像证明2+2又等于4，又不等于4一样。逻辑悖论 是“不可解”的，除非能找到一种方法来完全消 除这种恶性的矛盾。
老师稍稍考虑了一下，然后说：“有两个人来 我这里做客，一个人很干净，另一个很脏。我请这 他们洗澡，你们想，他们中谁会洗呢？”
辑思维是人类认识的高级阶段，即理性认识阶段4 。
判断是对思维对象有所肯定或有所否定 的一种思维形式，命题是表达判断的语句。 概括地说，判断有两个基本的特征：第一， 判断必须有所肯定或有所否定。这是看一个 语句是不是判断的主要标志；第二，判断必 须有真假。符合思维对象的实际情况就是正 确的判断，也就是真判断，不符合思维对象 的实际情况就是不正确的判断，也就是假判
7
归纳推理是从个别推出一般的推理，也 就是从个别性知识为前题推出一般性结论的 推理。归纳推理的客观基础是任何事物都是 个别和一般的统一体，个别包含着一般，一 般寓于个别之中，从而人们可以从关于事物 的个别性知识的前提推出关于事物一般性知 识的结论。归纳推理的前提是其结论的必要 条件，归纳推理的前提必须是真实的，否则 归纳就失去了意义，但即使归纳推理的前提