2018年高考数学黄金100题系列第31题三角函数的图像文
2018届高考数学(理)热点题型：三角函数与解三角形(含答案)
三角函数与解三角形热点一 三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝Asin (ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例1】已知函数f(x)＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值. (1)解 因为f(x)＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3. 所以f(x)的最小正周期为2π.(2)解 因为0≤x≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 【类题通法】求函数y ＝Asin (ωx＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝Asin (ωx＋φ)＋h 或y ＝Acos (ωx＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期； 第三步：确定f(x)的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【对点训练】 设函数f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx (ω＞0)，且y ＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值. 解 (1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx－π3. 因为y ＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω＞0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 设t ＝2x －π3，则函数f(x)可转化为y ＝－sin t. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤ 8π3， 如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图象，由图象可知，当t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 热点二 解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos Aa＋cos Bb＝sin Cc.(1)证明：sin Asin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.(1)证明在△ABC中，根据正弦定理，可设asin A＝bsin B＝csin C＝k(k>0).则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.代入cos Aa＋cos Bb＝sin Cc中，有cos Aksin A＋cos Bksin B＝sin Cksin C，变形可得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B). 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin Asin B＝sin C.(2)解由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cos A＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sin A＝1－cos2A＝45 .由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以45sin B＝45cos B＋35sin B，故tan B＝sin Bcos B＝4.【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理.(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.【对点训练】四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求角C的大小和线段BD的长度；(2)求四边形ABCD的面积.解(1)设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝1＋4－x2 2×2×1，在△BCD中，由余弦定理，得cos C＝9＋4－x2 2×2×3，∵A＋C＝π，∴cos A＋cos C＝0.联立上式，解得x＝7，cos C＝1 2 .由于C∈(0，π).∴C＝π3，BD＝7.(2)∵A＋C＝π，C＝π3，∴sin A＝sin C＝32.又四边形ABCD的面积SABCD ＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·ADsin A＋12CB·CDsin C＝32×(1＋3)＝23，∴四边形ABCD的面积为2 3.热点三三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的范围.解(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a ＋c)cos B ＋bcos C ＝0，∴cos B(2sin A ＋sin C)＋sin Bcos C ＝0，∴2cos Bsin A ＋cos Bsin C ＋sin Bcos C ＝0.即2cos Bsin A ＝－sin(B ＋C)＝－sin A.∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12. ∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c)2－ac≥(a＋c)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c)2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c)2≤4，故a ＋c≤2.又a ＋c>b ＝3，∴a ＋c∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2].【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【对点训练】 已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b，且y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间. 解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x ＋ncos 2x.因为y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝msin π6＋ncos π6，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y ＝g(x)得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6， 因此g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x. 由2kπ－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z. 所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.。
2018年高考数学(理)命题猜想 专题8三角函数的图像与性质
2018年高考数学（理）命题猜想 专题8三角函数的图像与性质【考向解读】1.三角函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．3.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.4.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.【命题热点突破一】 三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式例1、(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.【答案】－79【变式探究】【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【变式探究】 当x ＝π4时，函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A ．奇函数且图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．偶函数且图像关于点(π，0)对称C ．奇函数且图像关于直线x ＝π2对称D ．偶函数且图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 【答案】C【命题热点突破二】 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像与解析式例2、【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin 2cos 2cos 23326C y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos2y x =，再将曲线向左平移12π个单位长度得到2C ，故选D. 【举一反三】(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24【变式探究】设函数f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x∈R .(1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x 的取值集合；(2)若x ＝π8是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．【解析】（1）f （x ）＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx.当ω＝12时，f （x ）＝sin x 2－cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4， 而－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f （x ）的最大值为2，此时x 2－π4＝π2＋2k π，k∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k∈Z ，故相应的x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3π2＋4k π，k∈Z . （2）依题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝k π，k∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k∈Z ，又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，即－14<k<1，又k∈Z ，所以k ＝0，所以ω＝2，所以f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，f （x ）的最小正周期T ＝2π2＝π. 【感悟提升】三角函数最值的求法：(1)形如y ＝asin x ＋bcos x ＋k 的函数可转化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k(A>0，ω>0)的形式，利用有界性处理；(2)形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的函数可利用换元法转化为二次函数，通过配方法和三角函数的有界性求解；(3)形如y ＝cos x ＋asin x ＋b 的函数，一般看成直线的斜率，利用数形结合求解．【变式探究】【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【命题热点突破三】三角函数的性质例3、【2017课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.【答案】（1）23.（2）3【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.【变式探究】某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g(x)的图像，若y ＝g(x)图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．【解析】（1）根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f （x ）＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. （2）由（1）知f （x ）＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以g （x ）＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的图像的对称中心为（k π，0），k∈Z .所以令2x ＋2θ－π6＝k π，k∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k∈Z .由于函数y ＝g （x ）的图像关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.【感悟提升】函数图像的平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，如果x 的系数不是1，那么就要提取这个系数后再确定变换的单位长度和方向．【变式探究】函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位长度后所得图像关于原点对称，则函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12C.12D.32 【答案】A【命题热点突破四】 三角函数图像与性质的综合应用例4、(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解析】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．【变式探究】(2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【变式探究】(2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 【解析】根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A ，ω与φ的值．由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.答案：A【变式探究】已知函数f(x)＝2cos 2x ＋2 3sin xcos x ＋a ，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)的最小值为2.(1)求a 的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)先将函数f(x)的图像上的点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图像，求方程g(x)＝4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上所有根之和．（2）由题意得g （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋3，由g （x ）＝4，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＝12，解得4x －π6＝2k π＋π6或4x －π6＝2k π＋5π6，k∈Z ，即x ＝k π2＋π12或x ＝k π2＋π4，k∈Z ，又∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x＝π12或π4，故所有根之和为π12＋π4＝π3.【感悟提升】三角函数综合解答题的主要解法就是先把三角函数的解析式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再结合题目要求，利用函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像与性质解决问题． 【命题热点突破五】三角函数图像、性质、正余弦定理、不等式等的综合例5、 已知向量a ＝(sin x ，2cos x)，b ＝(2 3cos x ，－cos x)，函数f(x)＝a·b . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)在△ABC 中，若角A 满足f ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，且△ABC 的面积为8，求△ABC 周长的最小值．（2）设a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 对的边， 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3－π6－1＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π2＝1，又∵A 为三角形的内角，∴A＝π2， ∴12bc ＝8，∴bc＝16， ∴b＋c≥2 bc ＝8，a ＝b 2＋c 2≥2bc ＝4 2，当且仅当b ＝c ＝4时等号成立. 故△ABC 周长的最小值为8＋4 2.【失分分析】三角函数综合性问题最容易犯的错误是求错三角函数的解析式．解题时要注意各种限制条件的应用，如指定的角的范围、三角形内角的范围等．在使用基本不等式时注意等号成立的条件． 【变式探究】在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝2 2x(x≥0)．(1)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)若点P ，Q 分别是角α始边、终边上的动点，且|PQ|＝6，求三角形POQ 面积最大时点P ，Q 的坐标．【解析】（1）由射线l 的方程为y ＝2 2x （x≥0）， 可得sin α＝2 23，cos α＝13，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13×32－2 23×12＝3－2 26. （2）设P （a ，0），Q （b ，2 2b ）（a>0，b>0）. 在△POQ 中，∵|PQ|2＝（a －b ）2＋8b 2＝36，∴36＝a 2＋9b 2－2ab≥6ab－2ab ＝4ab ，当且仅当a ＝3b ，即a ＝3 3，b ＝3时取得等号，∴ab≤9， ∴S △POQ ＝2ab≤9 2.故△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标分别为（3 3，0），（3，2 6）. 【高考真题解读】1、(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.【答案】－792. (2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24(2)∵ f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴ f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ ω＝2π3π＝23，∴ f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.∴ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2， 得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，∴ 取k ＝0，得φ＝π12.故选A.3、(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．4. (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值． 【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.5.【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D6.【2017课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.【答案】（1）23.（2）3【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）- （D ）-【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以AC =，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ． 2.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.3.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A4.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= .【答案】2【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π5.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D.6.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B. 7.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.t =，s 的最小值为3π 【答案】A8.【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π【解析】因为sin 2sin()3y x x x π==+，sin 2sin()3y x x x π=-=-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移32π个单位长度得到．9.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B【解析】21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．10.【2016高考山东理数】函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 11.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D12.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B. 13.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.2t =，s 的最小值为3π 【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A.14.【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π15.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）- （D ）-【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以AC =，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BCAAB AC+-===⋅C．16.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin2α=（）（A）725（B）15（C）15-（D）725-【答案】D【解析】2237cos22cos12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos2cos2sin242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.17.【2016高考新课标3理数】若3tan4α=，则2cos2sin2αα+=（）(A)6425(B)4825(C) 1 (D)1625【答案】A1.【2015高考新课标1，理2】o o o osin20cos10cos160sin10- =( )（A）（B（C）12-（D）12【答案】D【解析】原式=o o o osin20cos10cos20sin10+ =osin30=12，故选D.2.【2015江苏高考，8】已知tan2α=-，()1tan7αβ+=，则tanβ的值为_______. 【答案】3【解析】12tan()tan7tan tan() 3.1tan()tan17αβαβαβααβα++-=+-===++-3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1）求实数m 的取值范围；（2）证明：22cos ) 1.5m a b -=-(【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2x k pp =+?；(Ⅱ)（1）(-；（2）详见解析． 【解析】解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p 个单位长度后得到y 2cos()2x p=-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k pp =+?(2)1) f()g()2sin cos )x x x x x x +=+=)x j +（其中sinj j =） 依题意，sin(x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当1<，故m 的取值范围是(.解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一.2) 因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin(a j +，sin(b j +.当1£+=2(),+();2pa b j a j p b j -=-+即当-时, 3+=2(),+3();2pa b j a j p b j -=-+即 所以cos +)cos()a j b j =-+(于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(22222cos ()sin()sin()[1] 1.5m b j a j b j =-++++=--+=-4.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II ）ABC ∆（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc ≤ 当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆5.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C6.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B. 7.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D8. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π= 【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为12x k πϕπ-=+12x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ-=23k πϕπ⇒=-,即对称轴121526x k k k ππϕπππ=++=-+(12,k k N ∈) 则56x π=是其中一条对称轴,故选A.9. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 . 【答案】6π10. 【2014辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B【解析】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为23sin(2)3y x π=-，令2222232k x k k z πππππ-+≤-≤+∈，，即23sin(2)3y x π=-的增区间为7[,]1212k k k z ππππ++∈，，令k=0，则可知B 正确.。
2018版高考数学全国理科专题复习：专题4 三角函数、解
一、选择题1．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－433.已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π64．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形5．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．5二、填空题6．已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2.7．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 8．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则β＝________. 9.如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217 s ．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH ＝________ m ．(声音在空气中的传播速度为340 m/s)三、解答题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A －sin C (cos B ＋33sin B )＝0.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值．答案精析1．C cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.]2．C ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.]3．A 因为A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12， 所以T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2. 因为A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ， 所以－π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，解得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又因为0<φ<π2，所以φ＝π3.故选A.]4．B 由正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 整理得sin A cos B ＝cos A sin B ， ∴tan A ＝tan B .又∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B . ∵sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，∴sin A sin B ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2C 2＝sin 2C 2＋12， ∴sin A sin B ⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2＝12⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2， ∴sin A sin B ＝12.∵A ＝B ，∴sin A ＝sin B ＝22. ∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B ＝π4.∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π2，∴△ABC 是等腰直角三角形．]5．B 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ， 即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调， 所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]6．1 2 1解析 设扇形的圆心角为α，半径为r cm ，则2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r －2，∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2.7.782 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又∵y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x － 2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.8.π3解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝437.又∵cos(α＋β)＝－1114，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴β∈(0，π)，∴β＝π3.9．140 3解析 由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40) m ．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝1403(m)． 故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m. 10．解 (1)由题意得，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )， ∴sin B cos C ＋sin C cos B －sin C cos B －33sin B sin C ＝0， 即sin B (cos C －33sin C )＝0， ∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴tan C ＝3， 又0<C <π，故C ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ab ×32＝3，∴ab ＝4，又c ＝2，由余弦定理得a 2＋b 2－2ab ×(12)＝4，∴a 2＋b 2＝8.则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，a 2＋b 2＝8， 解得a ＝2，b ＝2.。
2018高考文科数学三角函数专项100题(WORD版含答案)
2018高考文科数学三角函数专项100题（WORD版含答案）一、选择题（本题共45道小题）1.设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称2.已知x1，x2是函数 f（x）=2sinx+cosx﹣m在[0，π]内的两个零点，则sin（x1+x2）=（）A．B．C．D．3.已知函数f（x）=3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（）A．若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）B．函数f（x）的图象关于（﹣，0）对称C．函数f（x）的图象与g（x）=3cos（2x+）的图象相同D．函数f（x）在[﹣π，π]上递增4.为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个长度单位B．向右平行移动个长度单位C．向左平行移动1个长度单位D．向右平行移动1个长度单位5.设函数y=2sin（x+）cos（x+）的图象各点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象的对称中心可以是（）A ．（，0）B ．（，0）C ．（，0）D ．（，0）6.已知函数2()2sin ()()1cos()424x f x x g x ππ=+=++，的图象在区间()22m m ππ-+， 上有且只有9个交点，记为()(129)i i x y i =，，，，，则91()iii x y =+=∑A. 92πB. 8C.982π+ D.992π+ 7.cos37537522︒+︒的值为A. 2B.12C. 2-D. 12-8.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，2a b =，sin B ．则（ ）．A ．π3A =B ．π6A =C ．sin AD ．2sin 3A =9.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，ππω-<<）的部分图象，如图所示，那么()f x 的解析式为（ ）．A ．π()sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π()sin 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π()sin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π()sin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10.将函数y=sin （2x ﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．x=B ．x=C ．x=D ．x ﹣=11.函数y=cos 2(x ﹣6π)的一条对称轴为（ ） A ．x=﹣6π B ．x=125π C ． x=3π D ．x=﹣3π 12.函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，﹣2π＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）A ．2，﹣3πB ．2，﹣6π C ．4，﹣6π D ． 4，3π 13.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线x+3y=0上，则cos2α的值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣14.把函数y=f （x ）（x ∈R ）的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的y=sinx 图象，则函数y=f （x ）的解析式是（ ） A ．y=sin （2x ﹣3π），x ∈R B ．y=sin （2x +6π），x ∈R C ．y=sin （2x+32π），x ∈R D ．y=sin （2x+3π），x ∈R 15.已知sin （6π+α）=31，则cos （32π﹣2α）=（ ）A ．924B ．98C ．﹣97D ．9716.在钝角△ABC 中，c=，b=1，B=，则△ABC 的面积等于（ ）A ．B ．C ．或D ．或17.已知3sin α﹣cos α=0，7sin β+cos β=0，且0＜α＜＜β＜π，则2α﹣β的值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣π18.已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，π＜|φ|＜，2π）的部分图象如图所示，则φ的值为（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣19.将函数y=cosx+sinx （x ∈R ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．20.已知函数，则f （x ）的值域是（ ）A ．[﹣1，1]B ．C ．D ．21.为了得到函数y=sin3x ﹣cos3x 的图象（ ）A ．只要将函数y=2sin3x 的图象向右平移个单位B ．只要将函数y=sin3x 的图象向右平移个单位C．只要将函数y=2sin3x的图象向右平移个单位D．只要将函数y=sin3x的图象向右平移个单位22.已知cos（+α）=，则α∈（，），则sin2α=（）A．﹣B．﹣C． D．23.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则函数f （x）的解析式为（）A．B．C．D．24.在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（）A．4B．4C．4D．25.已知角α的终边经过点P（﹣1，2）），则的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣26.在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）A．79 B．69 C．5 D．﹣527.要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位28.sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣29.若函数y=f（x）的最小正周期是π，且图象关于点对称，则f（x）的解析式可以（）A．B．C．y=2sin2x﹣1 D．30.化简=（）A．1 B．2 C．D．﹣131.将函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，则函数y=g（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）32.已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）图象向左平移个单位长度后所得的函数过点，则函数f（x）=sin （ωx+ϕ）（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增33.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上，则=（）A．B．C．D．34.若，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．35.设α为锐角，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．36. 把函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ． B ．C ．D ．37.若f （x ）=Asin （ωx+ϕ）（其中A ＞0，|φ|）的图象如图，为了得到的图象，则需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位38.在△ABC 中，若，b=4，B=2A ，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．39.函数2cos(2)6y x π=+的部分图像是（ ）A ．B ．C. D ．40. 已知(,0)2x π∈-，3sin 5x =-，则tan 2x =（ ） A ．247 B ．247- C. 724 D ．724- 41.顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在y 轴上的角α的集合是( ) A ．2k ,k Z 2禳p 镲a a =p +?睚镲铪 B ．2k ,k Z 2禳p 镲a a =p -?睚镲铪 C.k ,k Z 2禳p 镲a a =p +?睚镲铪 D ．k ,k Z 2禳p 镲a a =?睚镲铪42.设函数f(x)=4cos(x ﹣6π)sinx ﹣2cos(2x +π)，则函数f （x ）的最大值和最小值分别为（ ）A ．13和﹣11B ．8和﹣6C ．1和﹣3D ．3和﹣143.已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g （x ）=cos ωx 的图象，则函数f （x ）的图象（ ）A ．关于直线x=对称B ．关于直线x=对称C ．关于点（，0）对称D ．关于点（，0）对称44.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（）A．B． C． D．45.将函数f（x）=cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调区间是（）A．[4k+1，4k+3]（k∈Z）B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[2k+1，2k+2]（k∈Z）D．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）二、填空题（本题共20道小题）46.已知函数f （x ）=2sinxcosx ﹣2sin 2x ，x ∈R ，则函数f （x ）的单调递增区间是 ．47.△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，且a 2=b （b+c），则= ． 48.已知ABC ∆中，2A π=，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，点D 在边BC 上，AD=l ，且BD=2DC ，∠BAD=2∠DAC ，则sin sin BC=__________. 49.已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则ω=__________．50.ABC △中，角A 、B 、C 所对应的边分别是a 、b 、c ，若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则边c =__________． 51.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a=3，b=2，cos （A+B ）=31，则边c=． 52. 若=﹣，则sin2α= ．53.已知α∈（，π），sin α=，则tan= ．54.若=2，则sin2x﹣sin2x= ．55.有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则a=﹣1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．其中真命题的序号是．56.将函数的图象上所有点的横坐标向平移个单位，可得函数y=sin2x的图象．57.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则三角形的另一边长为．58.已知tanα=2，则= ．59.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则a= ．60.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为．61.如图是函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，则f（3x0）=62.已知△ABC中，角C为直角，D是BC边上一点，M是AD上一点，且|CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB，则|MA|= ．63.给出以下四个结论：①函数的对称中心是（﹣1，2）；②若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是k≥2；③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件；④若的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，则φ最小值是．其中正确的结论是．64.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1bcosA sin B2=，且a=b c6+=，则△ABC的面积为．65.在△ABC中， = ．三、解答题（本题共35道小题）66.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcos2+acos2=c．（1）求证：a，c，b成等差数列；（2）若C=，△ABC的面积为2，求c．67.已知，（1）若，且，求x的值；（2）设，求f（x）的周期及单调减区间．68.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知a=2acosAcosB﹣2bsin2A．（1）求C；（2）若△ABC的面积为，周长为 15，求c．69.已知函数f （x ）=sin 2x+sin2x ．（1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （）=，△ABC 的面积为3，求a 的最小值．70.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足a ≠b ，2sin （A ﹣B ）=asinA ﹣bsinB （Ⅰ）求边c（Ⅱ）若△ABC 的面积为1，且tanC=2，求a+b 的值． 71.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=． （Ⅰ）判断ABC △的形状．（Ⅱ）若()sin cos f x x x =+，求()f A 的最大值． 72.已知函数ππ()2sin cos cos 2cos 266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ．（Ⅰ）求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（Ⅱ）求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，及相应的x 的值．（Ⅲ）求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调区间．73.已知函数2(cos cos f x x x x +． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．74.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c >>2sin 0b C -=． （I ）求角B 的大小．（II ）若b =1c =，求a 和ABC △的面积． 75.已知函数π()2sin sin 22f x x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭．（I ）求()f x 的最小正周期．（II ）求()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．76.已知向量，（x ∈R ），设函数．（1）求函数f （x ）的值域；（2）已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若，，求f （C ）的值． 77.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c(3sinB+cosB)=a+b ． （Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若a=5，△ABC 的面积为53，求sinB 的值． 78.已知：函数f （x ）=23sin 2x+sin2x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅲ）把函数y=f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求g(6π)的值． 79.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asin2B=3bsinA ． （1）求B ； （2）已知cosA=31，求sinC 的值． 80.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， sinB ﹣cosB=1，a=2．（1）求角B 的大小；（2）若b 2=ac ，求△ABC 的面积． 81.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2bcosC=2a ﹣c ． （ I ）求B ；（ II ）若b=7，c=2，求△ABC 的面积． 82.已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ），x ∈R （其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内，图象经过M （6π，2），N （32π，﹣2）．（Ⅰ）求f （x ）的解析式； （Ⅱ）当x ∈[0，3π]，求f （x ）的最值． 83.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由茎叶图知甲组送出钥匙扣的平均数为16，从而乙组送出钥匙扣的平均数为17，由此能求出x ．（2）乙组送出的钥匙扣的个数分别为8，12，18，19，22，23，若从乙组中任取两名志愿者送出钥匙扣的数字，基本事件总数n=C=15，甲组送出的钥匙扣的平均数为16个，利用列举法求出符合条件的基本事件个数，由此能求出结果． 【解答】解：（1）由茎叶图知甲组送出钥匙扣的平均数为：，则乙组送出钥匙扣的平均数为17，∴，解得x=9．（2）乙组送出的钥匙扣的个数分别为8，12，18，19，22，23，若从乙组中任取两名志愿者送出钥匙扣的数字，基本事件总数n=C =15，甲组送出的钥匙扣的平均数为16个，符合条件的基本事件有：（18，19），（18，22），（18，23），（19，22），（19，23），（22，23），共有6个基本事件，故所求概率为p==．84.已知函数f （x ）=cos （2x ﹣）﹣cos2x （x ∈R ）．（I ）求函数f （x ）的单调递增区间；（II ）△ABC 内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ．，c ，若f （）=﹣，b=1，c=且a＞b，求B和C．85.已知=（sinωx+cosωx， cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx）（ω＞0），函数f（x）=•，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．（1）求ω的取值范围；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=2，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．86.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=．（1）求cosB的值；（2）若△ABC的面积为，且a=c+2，求b的大小．87.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若sinAsinC=sin2B，求a﹣c的值．88.已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．89.根据下列条件，解三角形．（Ⅰ）已知 b=4，c=8，B=30°，求C，A，a；（Ⅱ）在△ABC中，B=45°，C=75°，b=2，求a，c，A．90.已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α﹣3sinαcosα+4cos2α．91.已知向量=（sinx，cosx），=（cos（x+）+sinx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，）且cos（α+）=，求f（α）．92.五点法作函数的图象时，所填的部分数据如下：x﹣0 πωx+φ﹣y ﹣1 1 3 1 ﹣1（1）根据表格提供数据求函数f（x）的解析式；（2）当时，方程f（x）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．93.已知向量，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的值域；（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面积为，求a的值．94.设函数．（1）试说明y=f（x）的图象由函数的图象经过怎样的变化得到？并求f （x）的单调区间；（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，当x∈[0，1]时，求函数y=g （x）的最值．95.已知函数．（1）求f（x）单调递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足，求f（A）的取值范围．96.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小；（2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .97.（13分）在△ABC 中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣41． （1）求b 的值； （2）求△ABC 的面积． 98.已知向量，函数．（1）求函数f （x ）的对称中心；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且，且a＞b ，求a ，b 的值． 99.设f （x ）=2sin （π﹣x ）sinx ﹣（sinx ﹣cosx ）2．（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求g （）的值．100.已知，（I ）若x ∈[0，2]，求的单调递增区间；（Ⅱ）设y=f （x ）的图象在y 轴右侧的第一个最高点的坐标为P ，第一个最低点的坐标为Q ，坐标原点为O ，求∠POQ 的余弦值．试卷答案1.D【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x=kπ（k∈Z），所以y=cos2x的对称轴方程是：x=（k∈Z），所以A，C错误；y=cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．故选D．2.C【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意可得 m=2sinx1+cosx1=2sinx2+cosx2，即 2sinx1﹣2sinx2=cosx2﹣cosx1，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求．【解答】解：∵x1，x2是函数 f（x）=2sinx+cosx﹣m在[0，π]内的两个零点，即 x1，x2是方程2sinx+cosx=m在[0，π]内的两个解，∴m=2sinx1+cosx1=2sinx2+cosx2，∴2sinx1﹣2sinx2=cosx2﹣cosx1，∴2×2×cos sin=﹣2sin sin，∴2cos=sin，∴tan=2，∴sin（x1+x2）==，故选：C．3.D【考点】正弦函数的图象．【分析】根据f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kπ，判断A错误；根据f（﹣）≠0，判断B错误；化g（x）为正弦型函数，判断C错误；根据x∈[﹣，]时f（x）是单调增函数判断D正确．【解答】解：对于A，f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kπ，k∈Z，∴A错误；对于B，f（﹣）=3sin（2×（﹣）﹣）=﹣3≠0，∴f（x）的图象不关于（﹣，0）对称，B错误；对于C，g（x）=3cos（2x+）=3sin[﹣（2x+）]=﹣3sin（2x﹣），与f（x）=3sin（2x﹣）的图象不相同，C错误；对于D，x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴f（x）=3sin（2x﹣）是单调增函数，D正确．故选：D．4.A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x图象向左平移单位，即可，故选：A．5.B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【分析】由倍角公式可求函数解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求y=cos4x，由4x=kπ+，k∈Z，即可解得函数的对称中心．【解答】解：∵y=2sin （x+）cos （x+）=sin[2（x+）]=sin （2x+），∴图象各点的横坐标缩短为原来的，可得函数y=sin （4x+），再向左平移个单位，得到函数y=sin[4（x+）+]=cos4x ，∴由4x=k π+，k ∈Z ，解得：x=+，k ∈Z ，∴当k=0时，可得函数的图象的对称中心为：（，0）．故选：B ．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想，是基础题． 6.D由()1012g π=+=，可知()g x 的图象关于点(1)2π，对称，由2()2sin ()1cos(2)1sin 242f x x x x ππ=+=-+=+，可得()1012f π=+=，所以()f x 的图象关于点(1)2π，对称，所以999111()i i i i i i i x y x y ===+=+∑∑∑94242119222πππ=⨯⨯++⨯⨯+=+，故选D. 7.Acos375375cos 45cos375sin 45sin 37522︒+︒=︒︒+︒︒cos(37545)cos330cos30=︒-︒=︒=︒=A. 8.A∵2a b =，sin B ， sin sin 2A Ba b =，∴sin sin a B A b ==， ∴π3A =． 故选A ．9.A 周期2ππ42π2T ω==⨯=， ∴1ω=，()sin(4)f x x =+， ∵(0)sin 1f ϕ==，π2ϕ=， ∴π()sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选A ． 10.C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数y=sin （2x ﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin （2x+），当x=时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=，故选：C ． 11.D【考点】弧长公式；二倍角的余弦．【分析】利用倍角公式可得函数y=cos （2x ﹣）+，由2x ﹣=kπ，k ∈Z ，解得对称轴方程，k 取值为﹣1即可得出．【解答】解：∵==cos （2x ﹣）+，∴令2x ﹣=kπ，k ∈Z ，解得对称轴方程为：x=+，k ∈Z ，∴当k=﹣1时，一条对称轴为x=﹣．故选：D ． 12.A【考点】y=Asin （ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x 值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k ∈Z ），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T 满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f （x ）=2sin （2x+φ） 又∵当x=时取得最大值2，∴2sin （2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k ∈Z ）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A ． 13.C【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到tan α的值，然后根据同角三角函数间的基本关系和二倍角的余弦，将cos2α化为关于tan α的式子，代入求值．【解答】解：由题意知：直线的斜率k=tan α=﹣，∴cos2α=cos 2α﹣sin 2α====．故选：C ． 14. D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】直接采用逆向思维，对函数的关系式进行平移和伸缩变换求出结果． 【解答】解：采用逆向思维的方法：首先把函数y=sinx，图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到y=sin2x的图象，再把图象上所有点的横标向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）]=sin（2x+）的图象．故选：D15.C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，求得cos（﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos （﹣2α）的值．【解答】解：∵sin（+α）==cos（﹣α），则cos（﹣2α）=2﹣1=﹣1=﹣，故选：C．16.B【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinC，结合C范围，可求C的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵c=，b=1，B=，∴sinC===，又∵C∈（0，π），∴C=或，又∵△ABC为钝角三角形，∴S△ABC=bcsinA=．故选：B．17.D【考点】三角函数的化简求值．【分析】由3sinα﹣cosα=0，求出tanα的值，再由二倍角的正切公式求出tan2α的值，由7sinβ+cosβ=0，求出tanβ的值，根据角的范围得到2α﹣β∈（﹣π，0），再由两角和与差的正切函数公式化简代值得答案．【解答】解：∵3sinα﹣cosα=0，∴．．∵7sinβ+cosβ=0，∴．∵0＜α＜＜β＜π，∴2α∈（0，π），2α﹣β∈（﹣π，0），=．则2α﹣β的值为：．故选：D．18.A【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值【解答】解：据图分析得﹣=，∴T=π，又∵T=，∴ω==2，∴函数f（x）=sin（2x+φ），∵sin（2×π+φ）=1，π＜|φ|＜2π∴φ=，故选：A19.B【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．20.D【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【解答】解：由题=，当时，f（x）∈[﹣1，]当时，f（x）∈（﹣1，）故可求得其值域为．故选：D．21.C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的化简求值．【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x﹣cos3x=2（sin3x﹣cos3x）=2sin（3x﹣）=2sin[3（x﹣）]，故只需将函数y=2sin3x的图象向右平移个单位，即可得到y=sin3x﹣cos3x的图象．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，属于基本知识的考查．22.C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数的诱导公式求出sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，将sinα和cosα的值代入即可求出答案．【解答】解：由cos（+α）=﹣sinα=，得到sinα=﹣，又α∈（，），∴cosα=，则sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系的应用，是一道基础题．23.C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过（），求出φ，从而得到f（x）的解析式．【解答】解：由函数的图象可得A=1，T=4×（）=π，T=解得ω=2．图象经过（），0=sin（2×+φ），，φ=，故f（x）的解析式为．故选C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力．24.A【考点】正弦定理．【分析】先根据已知求得∠A的值，从而由正弦定理即可求值．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=180°﹣60°﹣75°=45°∴由正弦定理可得：b===4．故选：A．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值和正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．25. D【考点】两角和与差的正切函数．【分析】先根据题意求得tanα的值，进而利用正切的两角和公式求得答案．【解答】解：由题意知tanα=﹣2，∴===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用．属于基础题．26.D【考点】余弦定理；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出所求向量的数量积，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：cosB==，又||=5，||=7，则=||•||cos（π﹣B）=﹣||•||cosB=﹣5×7×=﹣5．故选D【点评】此题考查了余弦定理，以及平面向量数量积的运算．注意与的夹角是π﹣B，而不是B，学生做题时容易出错．27.B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．28.A【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形【解答】解：sin（﹣）=﹣sin=﹣sin（3π+）=﹣sin（π+）=sin=．故选：A．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．29.D【考点】正弦函数的图象．【分析】根据周期公式求解出ω，将点坐标带入即可得到满足要求的f（x）的解析式．【解答】解：函数y=f（x）的最小正周期是π，即T=，解得：ω=2，排除A．将点坐标代入，即当x=时，y的值应该为0，B，C，D选项中只有D满足．故f（x）的解析式可以是D，故选：D．30.B【考点】二倍角的余弦；三角函数中的恒等变换应用．【分析】用倍角公式化简后，再用诱导公式即可化简求值．【解答】解： ===2．故选：B．31.C【考点】三角函数的化简求值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先通过三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，进一步利用平移变换，最后根据正弦型函数的单调性求得结果．【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位，得到g（x）=2sin（2x+2φ﹣）．∵g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，∴g（）=±1，即2sin（2×+2φ﹣）=±1，∴φ=kπ+，（k∈Z）∵0＜φ＜，∴φ=，∴g（x）=2sin（2x+）．令2x+∈[2kπ+，2kπ+π]，（k∈Z）则x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）故选：C．32.D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得函数的解析式，利用正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜π）的最小正周期是=π，∴ω=2．将函数f（x）图象向左平移个单位长度后所得的函数的解析式为 y=sin[2（x+）+ϕ=sin（2x++ϕ），根据所得图象过点，∴sin（﹣++ϕ）=1，∴ +ϕ=，即ϕ=．则函数f（x）=sin（ωx+ϕ）=sin（2x+）．在区间上，2x+∈[﹣，]，函数f（x）=sin（2x+）在区间上没有单调性，故排除A、B；在区间上，2x+∈[﹣，]，函数f（x）=sin（2x+）在在区间上单调递增，故排除C，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．33.C【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于边长之比，把边长代入，得到比值【解答】解：∵△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上∴a=2，即AB+CB=2a，AC=2c∵由正弦定理知，∴则=．故选：C．【点评】本题考查椭圆的性质和正弦定理的应用，解题的关键是把角的正弦值之比写成边长之比，进而和椭圆的参数结合起来．34.B【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意求得sin（α+）的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．【解答】解：∵，若，则α+为锐角，∴sin（α+）==，则=2sin（α+）cos（α+）=2••=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．35.B【考点】GI：三角函数的化简求值．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值．【分析】先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．【解答】解：∵α为锐角，若，设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=﹣，cos2β=2cos2β﹣1=﹣，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=（﹣）×﹣（﹣）×=．故选：B．36.D【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后的函数，结合三角函数的性质对称中心．【解答】解：函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得y=sin（2x），再将图象向右平移个单位，可得：y=sin[2（x﹣）]=sin（2x）=﹣cos2x．令2x=，可得：x=，k∈Z．当k=0时，可得对称中点为（，0）．故选：D．37.B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|φ|）的图象，可得A=1，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）．故把f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得y=sin[2（x﹣）+]=sin （2x ﹣）=g （x ）的图象，故选：B ． 38.D【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理的式子，结合二倍角的正弦公式和题中数据算出cosA ，再由同角三角函数的基本关系即可算出sinA 的值．【解答】解：∵△ABC 中，，b=4，∴由正弦定理得，∵B=2A ，∴==，化简得cosA=＞0，因此，sinA==． 故选：D ． 39. A由2cos(2)6y x π=+可知，函数最大值为2，故排除D ；又因为函数过点(6π，0)，故排除B ；过点(12-π，2)，故排除C ；故选A.40. B因为(,0)2x π∈-，sin x =53-⇒cos x =54所以tan x =43-⇒tan2x =xtan 1x tan 22-=724-，应选答案D 。
2018三角函数专题(2018高考真题)
2018三角函数、向量专题（文）1．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +2．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b ( )A ．4B ．3C ．2D ．03．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =( )A．BCD．4．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．若1sin 3α=，则cos 2α=( ) A ．89B ．79C ．79-D ．89-6.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件7．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >>（D ）c a b >>8．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间[,]44ππ- 上单调递增 B.在区间[,0]4π上单调递减C.在区间[,]42ππ 上单调递增D.在区间[,]2ππ 上单调递减9．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为410．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15B C D ．111.在平面坐标系中， 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A.B. C. D. 12．在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为( )A.15-B.9-C.6-D.013.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ∙的最小值为_________.14.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为_________.15．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．16.已知a ，b ∈R ，且a –3b +6=0，则2a +18b的最小值为__________． 17.已知函数)22)(2sin(πϕπϕ<<-+=x y 的图象关于直线3π=x对称，则ϕ的值是______18.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：x y 2=上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与l 交于另一点D ，若0=⋅，则点A 的横坐标为_______ 19.在ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，︒=∠120ABC ，ABC ∠的平分线交AC 与点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为_______ 20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若ab =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．21．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．22．已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．23．若ABC △的面积为222)4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.24.已知函数2()sin cos f x x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值.25.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ．已知b sin A =a cos(B –π6)． （Ⅰ）求教B 的大小；（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin(2A –B )的值．26.已知βα,为锐角，34tan =α，55)cos(-=+βα， (1)求α2cos 的值；(2)求)tan(βα-的值．27.设常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第311315
感知高考刺金311已知共有()*k k ∈N 项的数列{}n a ，12a =，定义向量1(,)n n n c a a += 、(,1)n d n n =+ ()1,2,,1n k =- ，若n n c d = ，则满足条件的数列}{n a 的个数有（ ）个A. 2B. kC. 12-kD. ()122k k -解： n n c d = ⇒22221(1)n n a a n n ++=++⇒22221(1)()n n a n a n +-+=--，∵031221≠=-a , ∴22122(1)1n n a n a n +-+=--⇒22{}n a n -为等比数列， ∴122)1(3--=-n n n a ⇒122)1(3--+=n n n a∵2n ≥时，24n ≥，∴0)1(312>-+-n n ，故当2n ≥时，n n n a )1(32-+±=，即始终有两种选择，∴{}n a 有12-k 个感知高考刺金312 若方程[][]22221,1,5,2,4x y a b a b+=∈∈表示焦点在x 轴上且离心的椭圆，则z a b =+的最小值为 ． 解：方程22221x y a b +=表示焦点在x时，有22a b c e a ⎧>⎪⎨==<⎪⎩，即22224a b a b ⎧>⎨<⎩，化简得2a b a b >⎧⎨<⎩， 又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，令z a b =+，平移直线b a z =-+，当过(2,2)时，min 4Z =感知高考刺金313已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列， 则正数q 的取值集合是 ．解：因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{}n a 的公差为d ，则① 若删去a 2，则由2a 3＝a 1＋a 4得2a 1q 2＝a 1＋a 1q 3，即2321q q =+，整理得q 2(q －1)＝(q －1)(q ＋1)．又q ≠1，则可得21q q =+，又q ＞0解得q = ② 若删去a 3，则由2a 2＝a 1＋a 4得2a 1q ＝a 1＋a 1q 3，即2q ＝1＋q 3，整理得q (q －1)(q ＋1)＝q －1．又q ≠1，则可得q (q ＋1)＝1，又q ＞0解得q =．综上所述，q = 感知高考刺金314如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若12AC BD =- ，则AD BC = ．解：转基底，以,AB AD 为基底，则13AC AD AB =+ ，BD AD AB =- 则222148cos 121233AC BD AD AB AD AB BAD =--=-∠-=- 所以1cos 2BAD ∠=，则∠BAD ＝60o ， 则()()222440AD BC AD AC AB AD AD AB AD AB AD =-=-=-=-= 点评：本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．感知高考刺金315数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足()12*n n n n b a a a n ++=∈N ，设n S 为{}n b 的前n 项和．若125308a a =>，则当n S 取得最大值时n 的值等于___________． 解：设{}n a 的公差为d ，由125308a a =>得 176,05a d d =->，所以815n a n d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 从而可知1≤n ≤16时，0n a >， n ≥17时，0n a <．从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．因为1560 5a d=->，1890 5a d=<，所以15186930 555a a d d d+=-+=<，所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故S n中S16最大．点评：利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前n项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(三角函数 三角恒等变换)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （三角函数 三角恒等变换）一、选择题1．（2018北京文）在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边， 若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ） A ．AB B ．CD C ．EF D ．GH 1．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向 线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．2．（2018天津文）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A ）在区间[,]44ππ- 上单调递增 （B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ 上单调递减2．【答案】A【解析】由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 即()44k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；故选A ．3．（2018天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 （ ）(A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减3．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ， 即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为44、答案：B解答：222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+， ∴最小正周期为π，最大值为4.5．（2018全国新课标Ⅱ文）若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．【答案】C【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由0224k x k π+π≤+≤π+π，()k ∈Z得32244k x k ππ-+π≤≤+π，()k ∈Z ，因此[]30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，04a 3π∴<≤，从而a 的最大值为43π，故选C ．6．（2018全国新课标Ⅱ理）若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．【答案】A【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由()022,4k x k k π+π≤+≤π+π∈Z 得()322,44k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ，因此[]π3π,,44a a ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，π,4a a a ∴-<-≥-，3π4a ≤，π04a ∴<≤，从而a 的最大值为π4，故选A ．7．（2018全国新课标Ⅲ文、理）若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89B ．79C ．79-D ．89-7.答案：B解答：227cos 212sin 199αα=-=-=.故选B.8．（2018全国新课标Ⅲ文）函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π8.答案：C解答：22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos xx x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.故选C.二、填空1．（2018北京理）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．1．【答案】23【解析】()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，()ππ2π46k k ω∴-=∈Z ，()283k k ω∴=+∈Z ，0ω>，∴当0k =时，ω取最小值为23．2．（2018江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．2．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππ32k ϕ+=+，()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，因为ππ22ϕ-<<，所以0k =，π6ϕ=-．3．（2018全国新课标Ⅰ文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15B C D ．13．答案：B解答：由22cos22cos 13αα=-=可得222225cos 1cos 6sin cos tan 1ααααα===++，化简可得tan 5α=±；当tan 5α=时，可得15a =，25b =，即5a =，5b =，此时5a b -=；当tan 5α=-时，仍有此结果.4．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．4.答案： 解答：∵()2sin sin 2f x x x =+，∴()f x 最小正周期为2T π=，∴2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-，令'()0f x =，即22cos cos 10x x +-=，∴1cos 2x =或cos 1x =-.∴当1cos 2=，为函数的极小值点，即3x π=或53x π=,当cos 1,x =-x π=∴5()3f π=.()3f π=，(0)(2)0f f π==，()0f π=∴()f x 最小值为5．（2018全国新课标Ⅱ文）已知5π1tan()45α-=，则tan α=__________．5．【答案】32【解析】5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4αααααπ-π-⎛⎫-=== ⎪π+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2α=．6．（2018全国新课标Ⅱ理）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．6．【答案】12-【解析】sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，()()221sin cos 1αα∴-+-=，1sin 2α∴=，1cos 2β=，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1224442αβαβαβαα+=+=⨯-=-+=-+=-．7．（2018全国新课标Ⅲ理）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．7．答案：3解答：由()cos(3)06f x x π=+=，有3()62x k k Z πππ+=+∈，解得39k x ππ=+，由039k πππ≤+≤得k 可取0,1,2，∴()cos(3)6f x x π=+在[0,]π上有3个零点.三、解答题1．（2018北京文）已知函数()2sin cos f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，求m 的最小值．1．【答案】（1）π；（2）π3．【解析】（1）()1cos 211122cos 2sin 222262x f x x x x x -π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（2）由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为π3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，所以π5ππ22666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,． 要使得()f x 在π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1．所以ππ262m -≥，即π3m ≥．所以m 的最小值为π3．2. （2018上海）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+（1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕31=，求方程12f x =（）ππ-［，］上的解。
2018年高考数学 黄金100题系列 第33题 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性 文
第 33题 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性53B ⎡=-⎢⎣4再与A B C D最小正周期大于ACx＋奇＋b＋令x；的对称中心的横坐标，只选A ．例．（2017浙江）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –sin x cos x （x ∈R ）．（Ⅰ）求)32(πf 的值． （Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间． 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数概念32cos 32sin 3232cos 32sin )32(22πππππ--=f ，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ，结合ωπ2=T 可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．试题解析：（Ⅰ）由2332sin=π，2132cos-=π，)21(2332)21()23()32(22-⨯⨯---=πf 得2)32(=πf （Ⅱ）由xx x 22sin cos 2cos -=与xx x cos sin 22sin =得递增区间对应求解即可．（II ）由（I ）知()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+． ∴()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ． 例4．（2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】 试题分析：21cos 2cos 2()sin sin sin sin 22-=++=++=-++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．例5．（2016高考山东理数】函数f （x ）=xx ）（cos x –sin x ）的最小正周（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D 【答案】B 【解析】()2sin 2cos 2sin 266f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，故最小正周期22T ππ==，故选B ． III ．理论基础·解题原理考点一 三角函数的单调性xy sin =在22k ⎢⎣⎡+-ππ上单调递增，在递减，当Z k k x ∈+=,22ππ时，1m a x =y ；当x y cos =在[])(2,2Z k k k ∈+-πππ上单调递增，递减，当Z k k x ∈=,2π时，1ma x=y ；当x tan =在)(2,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ上单调递增．考点二 三角函数的周期性函数sin ,cos y x y x ==的最小正周期为2π，tan y x =的最小正周期为π． 考点三 三角函数的奇偶性对于函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是奇函数，当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是偶函数；对于函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>，当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是奇函数，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是偶函数．考点四 三角函数的对称性sin y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()ππ2x k k =+∈Z ，其对称中心是()()π,0k k ∈Z ；cos y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()πx k k =∈Z ，其对称中心是()ππ,02k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；tan y x =的图像不是轴对称图形，是中心对称图形，其对称中心是()π,02k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等． 【技能方法】（1）讨论()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的单调性可用整体思想：把()0x ωϕω+>视为一个整体，()00A A ><所列不等式的方向与sin ,cos ,tan y x y x y x ===的单调区间对应的不等式方向相同（反）．（2）利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，若不属于，可先化至同一单调区间内；若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较、与1比较等）求解．（3）函数()()sin ,cos y A x B y A x B ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2πω，()tan y A x B ωϕ=++的最小正周期为πω． （4）三角函数中奇函数一般可化为sin y A x ω=或tan y A x ω=，而偶函数一般可化为cos y A x B ω=+的形式．（5）()()()sin 0f x A x A ωϕω=+≠的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，()f x 图像关于直线0x x =对称的充要条件是()0f x A =±，()f x 图像关于点0(,0)x 对称的充要条件是()00f x =．【易错指导】（1）对于三角函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>求其单调区间，要注意ω的正负，若ω为负，则需先化正，化为()sin y A x ωϕ=---的形式，若求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的单调减区间内；若求其单调递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的单调增区间内．（2）解答时不要遗漏“k Z ∈”，另外三角函数存在多个单调区间时不能用“”联结．（3）必须先将解析式化为()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的形式，再分别利用公式一定要加绝对值． V，，，，．D ．【答案】D例2．函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为 ．【答案】)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ． 【解析】Q函数()2c o s(2)2c o s (44f x x x ππ=-+=-，由222,4k xk k Z ππππ-+≤-≤∈，得： 3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为：)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．故答案应填：)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ． 例3．函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 【答案】5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景，考查的是三角函数中形如)sin()(ϕω+=x A x f 的正弦函数的图象和性质．解答时先从题设中的条件增函数入手，对函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭进行变形，将其变形为一般式)62sin(2π--=x y ，将其转化为求函数)62sin(2π-=x y 的减区间．最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法．通过解不等式使得本题获解.例4．（2018河北石家庄） 时，求()f x 的值域；（Ⅱ）若函数()f x 的图象向右平移个单位后，所得图象恰与函数()g x 的图象关于，求函数()g x 的单调递增区间．【答案】试题解析：即()f x 在（Ⅱ）函数()f x 的图象向右平移个单位后得到()h x 的图象，设点(),P x y 是()g x 图象上任意一点，则点P 关于直线在()h x 的图象上，∴时， ()g x 单调递增，∴()g x 的单调递增区间是点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等．例5．（2017吉林模拟）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin B C A B C +-=（1） 求角A 的大小；（2）已知函数()()sin ,0f x x A ωω=+>的最小正周期为π，求()f x 的单调减区间．【答案】（2）[k πk π（k ∈Z ）试题解析：(1)可得：（2）由题意，ω= 2，∴f （x ）=sin （，∴由2k ππ（k ∈Z ），可得：k π≤x≤k π（k ∈Z ），∴f（x）的减区间为：[kπkπ（k∈Z）考向2 三角函数的奇偶性例6．（2018浙江温州）已知函数，则下列命题错误的是（）A．函数是奇函数，且在上是减函数B．函数是奇函数，且在上是增函数C．函数是偶函数，且在上是减函数D．函数是偶函数，且在上是增函数【答案】A【解析】函数，，在上递减，在上递增，在上递增，命题“函数是奇函数，且在上是减函数”错误，故选A．(+=为常数，且R)a∈≠,0），若函数xsinbacosxb(x,a的值为．以及分析问题解决问题的考向3 三角函数的周期性例8．（2018）A ．2T π=B ．T π= D ．4T π=【答案】C【解析】由C ． 例9．（2018湖北武汉起点调研）函数的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】()sin(2)sin(2)sin2cos cos2sin sin2cos cos2sin sin2333333f x x x x x x x xππππππ=-++=-++=，∴最小正周期．本题选择C 选项．例10．（2018则函数()f x 的周期为________． 【答案】π例11．（2018上海模拟）设函数()()2sin ,f x x x R ωϕ=+∈，其中，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=__________．【解析】 由()f x 的最小正周期大于2π，得又，得34π，∴3Tπ=，则得结论．（1∴()f x 的最大值为x（2）整理又010ω<<，∴0, 2.k ω==π． 考向4 三角函数的对称性例13．（2018河南林州10月调研）长为原来的2 ）A 【答案】D例14．（2018河南漯河）若把函数的图象向右平移个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数的图象向右平移个单位后所得函数为图象关于坐标原点对称，则，-∴的最小值为，故选A ．例15．（2018所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．最小正周期为π BC D 【答案】D2(2017f ++4032 C ．4033 Do1的最大值为3 ，，∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2 ，可，又()f x 的图象与y 轴的，∴函数的解析式为，，故选C ． 例17．（2018江苏横林）若函数()()2cos f x x m ωθ=++对任意的实数f()99t t f t ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭都有且3,9f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则m =_______ ． 【答案】1- 或5-例18．（2018河南南阳）函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像为C ，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）．①图象C 关于直线1112x π=对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③()f x 在区间15,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是增函数； ④将sin2y x =的图象向右平移3π个单位可得到图像C ． 【答案】①②③【解析】对于()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令1112x π=，求得f (x )=−1，为函数的最小值，故它的图象C 关于直线1112x π=对称故①正确．令x =23π，求得f (x )=0，可得它的图象C 关于点(23π，0)对称，故②正确． 令51212xππ-剟，可得2232x πππ--剟，故函数f (x )在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是增函数，故③正确，由sin2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到22233y sin x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除④， 故答案为：①②③．考向5 已知三角函数的单调性求参数的值或范围例19．（2018安徽安庆模拟）若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且2536f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的一个可能值是（ ） A ．12 B ．35 C ．34 D ．32【答案】C例20．设函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数， 0,0A ω>>）．若()f x 在区间()1,3上具有单调性，且()()()135f f f =-=-，则ω=_______________．【解析】()()13,f f =-∴一个对称中心横坐标为()3f f =，故答案为考向6 已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值 例21．（2018四川成都）若函数()()sin 2fx x b ϕ=++，对任意实数x 都有，则实数b 的值为（ ） A ．2-和0 B ．0 和1 C ．1± D ．2± 【答案】A【解析】由得函数一条对称轴为 ，因此，由得，选A ． 点睛：求函数解析式()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法：(2)(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ．（4）由例22．（2018河北衡水）已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++（1ω>，，其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的立，则ϕ的取值范围是（ ）A 【答案】C由题意得“()1f x >对于任意的恒成立”等价于“()sin 20x ϕ+>对．21 得2017πx =， ()f a = ()f b = ()f c ，a b ∴+= π， ()π,2017πc ∈， a b c ∴++= ()π2π,2018πc +∈，故答案为()2π,2018π．，故选答案为()2π,2018π． 【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解．。
2018年高考数学 黄金100题系列 第32题 三角函数的值域与最值问题 理
第32 题 三角函数的值域与最值问题I ．题源探究·黄金母题例1．已知()22sin cos 2cos y x x x =++．①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值． 【解析】()22sin cos 2cos 12sin cos 1cos22sin 2cos2224y x x x x x xx x x π=++=+++⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭①令πππππk x k 2234222+≤+≤+，解得ππππk x k +≤≤+858，即函数的单调区间为)(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ． ②由题意得22max +=y ，22min +-=y ． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第147页第9题．【母题评析】本题综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】灵活选择三角公式化为形式()sin y A x B ωϕ=++或()cos y A x B ωϕ=++，再讨论相关性质．II ．考场精彩·真题回放例2．（2017课标II ）函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【答案】1 【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：()22231cos 41cos cos 142f x x x x x x =-+-⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭， 由自变量的范围：0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1．【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性、对称性、单调性、零点等性质．【考试方向】这类试题可以是以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等．【难点中心】注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期；②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 例3．（2017山东理16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<．已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值．【答案】（Ⅰ）2ω=．（Ⅱ）得最小值32-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x=)3x πω=-由题设知()06f π=及03ω<<可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-．根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值．试题解析：（Ⅰ）∵()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，∴1()cos cos 2f x x x x ωωω=-- 的图象关于直线0x x = 对称，则()0f x A= 或()0f x A =-．3cos 2x x ωω=-1sin )2x x ωω=-)3x πω=-由题设知()06f π=，∴63k ωπππ-=，k Z ∈．故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，∴2ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-∴()))4312g x x x πππ=+-=-． ∵3[,]44x ππ∈-，∴2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-． 例4．（2017江苏16）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b（1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取得最大值，为3； 5π6x =时，()f x 取得最小值，为-．【解析】（1）∵co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，∴3sin x x =，又cos 0x ≠，∴tan 3x =-，∵，∴5π6x =． （2）π(cos ,sin )(3,3cos cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．∵，∴ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤．于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．例5．（2016高考新课标1）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 ( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对称轴，()444TkT ππ∴--=+，即41412244k k T ππω++==⋅， 41(*)k k N ω∴=+∈，又()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，5236181222T ππππω∴-=≤=，即12ω≤，由此ω的最大值为9．故选B ．III ．理论基础·解题原理考点 三角函数的最值与值域 有如下几种类型：（1）一次型：()()sin cos ,sin ,cos y a x b x y A x B y A x B ωϕωϕ=+=++=++，值域分别为,,,,A B A B A B A B ⎡-++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣；（2）二次型：222s i n s i n ,cy a x b x c y a =++=++等；（3）分式型：sin cos sin cos ,,,sin cos cos sin a x b a x b a x b a x by y y y c x d c x d c x d c x d++++====++++等． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大．【技能方法】（1）二次型22sin sin ,cos cos y a x b x c y a x b x c =++=++可化为区间上的二次函数来求值域；二次型22sin sin cos cos y a x b x x c x =++可先用倍角公式、降幂扩角公式及辅助角公式化为一次型来求解；（2）分式型sin cos ,sin cos a x b a x by y c x d c x d++==++可以用sin x 或cos x 的有界性求值域，或利用分离常数法求解；分式型sin cos ,cos sin a x b a x by y c x d c x d++==++可以用数形结合法求值域． 【易错指导】求解三角函数的最值（值域）时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚，不然极易出错误． V ．举一反三·触类旁通考向1 三角函数的值域与最值例6．（2018河北武邑调研）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（ ）A ． D ．- 【答案】C例7．已知函数()sin f x a x x =关于直线6x π=-对称 ，且()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．6π B ．3π C ．56π C ．23π 【答案】D【解析】()()sin tan f x a x x x ϕϕ⎛==-= ⎝⎭ ()()()12,463f x x k f x f x ππϕπ=-∴=+⋅=-对称轴为112212min 522,2,663x k x k x x πππππ∴=-+=+∴+=，故选D ． 例8．（2017陕西西安）已知()sin 2017cos 201763f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数12,x x ，使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）A ．2017πB ．22017π C ．42017π D ．4034π【答案】B【解析】()sin 2017cos 201763f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11πcos2017cos20172sin 2017226x x x x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭ ∴12122π2π2,2220172017T A x x A x x =-≥=∴-≥⨯ ，选B ．例9．（2016湖南湘西二模）若5,412xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()sin4sin2x xf xxπ⎛⎫+⎪⎝⎭=的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A例10．（2016河北沧州）函数sin(cos)(0)2y x x x xπ=-≤≤的值域为（）A．2+ B．[]22-- C．[0,1] D．[2-【答案】D【解析】因2111cos2sin2sin23sin(2)2223xy x x x xπ-==-=+，且由02xπ≤≤，得42333xπππ≤+≤，sin(2)13xπ≤+≤，1y≤≤-，故应选D．例11．（2016安徽安庆三模）已知()()sin,,,22f x x x x Rππϕϕ⎛⎫=++∈∈-⎪⎝⎭的图像过,42π⎛⎫⎪⎝⎭点，则()f x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A．[]5,5- B．[]3,5 C．[]3,4 D．[]2,5【答案】B【解析】由42fπ⎛⎫=⎪⎝⎭，有c o s s i n422ππϕ⎛⎫++=⎪⎝⎭，得s i n2ϕ=-，而,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴()(),sin 3cos 4sin 5sin 44f x x x x x x ππϕθ⎛⎫=-=-+=+=+ ⎪⎝⎭，其中34sin ,cos 55θθ==，故64ππθ<<，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知，02x πθθ≤+≤+，故()35s i n 5s i n 5x θθ=≤+≤，即()f x 的值域为[]3,5，故选B ．【方法点晴】本题考查两角和与差的正弦公式、三角函数的图象及三角函数的最值，属于难题．求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式利用三角函数有界性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值．本题是利用方法③的思路解答的．例12．（2018广州）已知函数，当时，有最大值，则=__________． 【答案】-5/12例13．（2018海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学等八校联考）函数()sin cos 2sin cos ,44f x x x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最小值是__________．【答案】1-【解析】解：f （x ）=sinx+cosx+2sinxcosx ，x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，化简f （x ）=（sinx+cosx ）2+sinx+cosx ﹣1设sinx+cosx=t ，则（x ）x+4π，那么函数化简为：g （t ）=t 2+t ﹣1．∵x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∴x+4π∈[0， π２]，∴： 0t 1≤≤．∵函数g （t ）=t 2+t ﹣1． 开口向上，对称轴t=－１２，∴0t 1≤≤是单调递增．当t=0时，g （t ）取得最小值为-1．例14．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．【答案】1例15．函数cos 2sin y θθ=+(R θ∈)的值域为 ．【答案】]33,33[-【解析】由函数cos 2sin y θθ=+可得θθcos sin 2=+y y ，即θθsin cos 2y y -=，令1sin ,11cos 22+=+=y y y αα，则y y 2)cos(12=++θα，∴1|12|2≤+y y ，解之得33||≤y ．故其值域为]33,33[-．应填]33,33[-． 【易错点晴】本题考查的是三角函数的有关知识及综合运用．解答时先依据题设条件借助辅助角α的引入将其转化为y y 2)cos(12=++θα，然后在借助三角函数中余弦函数的值域为]1,1[-建立不等式1|12|2≤+y y ，通过解不等式1|12|2≤+y y 求出函数cos 2sin y θθ=+的值域为]33,33[-．体现数学中的转化与化归的数学思想和方法，整个解答过程充满了化归与转化的数学思想的交替使用．例16．（2018河南洛阳）已知()51ax by ++（a ， b 为常数*a N ∈， *b N ∈）的展开式中不含字母x 的项的系数和为243，则函数()sin24x b f x x π+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为__________．【答案】2例17．（2018江苏南通如皋联考）已知函数()()()sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的周期为4，将函数f (x )的图象向右平移13个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数y ＝f (x )在[]01，上的值域为________．【答案】112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】∵函数()()()sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的周期为4，∴2πω=，即()sin 2f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数f (x )的图象向右平移13个单位后得：sin 26y x ππϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由其为图象关于原点轴对称，故sin 06πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0πϕ<<，∴6πϕ=，故()sin 26f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∵[]0,1x ∈，∴2,2663x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()1,12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例18．（2018江西）已知函数的一条对称轴为，且最高点的纵坐标是．（1）求的最小值及此时函数的最小正周期、初相；（2）在（1）的情况下，设，求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1）取得最小正值，，初相为．（2）最大值为，最小值为．试题解析：解：（1），∵函数的一条对称轴为， ∴，解得． 又，∴当时，取得最小正值．∵最高点的纵坐标是，∴，解得， 故此时．此时，函数的最小正周期为，初相为．（2），∵函数在上单调递增，在上单调递减，∴在上的最大值为，最小值为．点睛：已知函数的图象求解析式(1)．(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求．例19．（2018浙江名校协作体）已知函数()2sin cos cos f x x x x ωωω=+ (0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值． 【答案】(Ⅰ) 1ω=；(Ⅱ)1．试题解析：(Ⅰ) ()12242f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22T ππω==，∴1ω=(Ⅱ) ()()12sin 4242g x f x x π⎛⎫==++ ⎪⎝⎭ 当,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 34,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦∴()min 31162g x g π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； ()()max 01g x g == 例20．（2018安徽合肥调研）已知函数()sin cos f x x x =+．（Ⅰ）当()f x =sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭； （Ⅱ）若()()2g x f x =，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．【答案】（Ⅰ）1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （Ⅱ）值域为⎡-⎣解：（Ⅰ）依题意， ()2sin cos sin cos 2sin21x x x x x +=⇒+=⇒=∴cos20x =， ∴1sin 2cos 332x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭（Ⅱ）()sin2cos224g x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．∴函数()f x 的值域为⎡-⎣．例21．（2018山东平阴）已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】（1）()3x k k Z ππ=+∈（2）函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：先化简求得f （x ）sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭求出最小正周期和对称轴方程．（2）先确定()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，分析图像找出最值． 试题解析：（1）()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭221cos2sin2sin cos 22x x x x =++-1cos2cos22x x x =+- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22T ππ∴==周期，对称轴方程为（2）5,,2,122636x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴ 当3x π=时， ()f x 取最大值 1．又112222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=-<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当12x π=-时， ()f x 取最小值，∴ 函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦例22．（2016黑龙江哈尔滨二模）已知函数()()R x x x x x f ∈--=21cos cos sin 232． （Ⅰ）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值； （Ⅱ）设锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别是,,a b c ，且*1,a c N =∈，若向量()11,sin A =n 与向量()22,sin B =n 平行，求c 的值．【答案】（Ⅰ）3x π=，()f x 取得最大值0；12x π=-，()f x 取得最小值1；（Ⅱ）2．试题解析：（Ⅰ）()1cos 21122cos 21sin 212226x f x x x x x π+⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，∵5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴22363x πππ-≤-≤，∴sin 216x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，∴当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，即262x ππ-=，得3x π=，()f x 取得最大值0；当sin 262x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，即263x ππ-=-，得12x π=-，()f x 取得最小值12--； （Ⅱ）∵向量()1,sin A =n 与向量()2,sin B =n 平行，∴sin 2sin B A =，根据正弦定理的推论，得2b a =，∴1,2a b ==，由余弦定理214212cos 54cos c C C =+-⨯⨯=-，∵02C π<<，∴0cos 1C <<，∴215c <<，∴1c <<*c N ∈，∴2c =，经检验符合三角形要求，∴c 的值为2．例23．（2016天津和平区四模）已知3sin tan 2αα=，且0απ<<． （Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）求函数()()4cos cos f x x x α=-在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】（1）3πα=（2）[]2,3（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()()4cos cos 4cos cos cos sin sin f x x x x x x ααα=-=+14cos cos 22x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭22cos cos 1cos 22x x x x x=+=++12sin 26x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得22663x πππ≤+≤，当0x =时，()()m i n 02f x f ==；当6x π=时，()max 36f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭．∴，函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3．考向2 已知三角函数的值域或最值求参数的值或范围 例24．（2017辽宁锦州）若函数()22sinsin21f x x x ωω=+-（x R ∈）满足()f α= ()0f β=，且αβ-的最小值为34π，则正数ω的值为（ ） A ．13 B ．23 C ．43 D ．83【答案】A例25．（2018“超级全能生”26省9月联考）已知向量()()sin ,cos ,1,1a x x b ωω==-，函数()f x a b =⋅，且1,2x R ω>∈，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间()3,4ππ，则ω的取值范围是（ ）A ．][7151319,,12161216⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦ B ．][7111115,,12161216⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C ．][171119,,2121216⎛⎤⋃⎥⎝⎦ D ．][1111115,,2161216⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】()sin cos f x x x ωω=-，()4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由12ω>，得24T ππω=<，,2T π> 112ω<<，由对称轴13,424x k x k ππωπππω⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭,k z ∈，假设对称轴在区间()3,4ππ内，可知31,16443k kω+<<+当k=1，2，3时， 771111155,,16121612164ωωω<<<<<<，现不属于区间()3,4ππ，∴上面的并集在全集112ω<<中做补集，得ω∈ ][7111115,,12161216⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦，选B ．【名师点睛】对于否定性，或完全肯定性的命题，经常用补集思想来做，要注意全集的选择．例26．（2018百校联盟开学摸底联考）若()()2cos 2(0)f x x ϕϕ=+>的图像关于直线3x π=对称，且当ϕ取最小值时， 00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2-B ．[)2,1--C ．()1,1-D ．[)2,1- 【答案】D例27．（2016湖北七市教研协作体4月联考）已知函数()sin cos f x a x b x =-（,a b 为常数，0a ≠，x R ∈）在4x π=处取得最大值，则函数()4y f x π=+是（ ）A ．奇函数且它的图象关于点(,0)π对称B ．偶函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且它的图象关于点3(,0)2π对称D ．偶函数且它的图象关于点(,0)π对称 【答案】B【解析】∵()sin cos )f x a x b x x φ=-=+在4x π=处取得最大值，∴2()4k k Z πφπ=+∈，即()2))44f x x k x πππ=++=+，∴函数())42y f x x x ππ=+=+=，故函数()4y f x π=+是偶函数，且关于点3(,0)2π对称，故选B ．例28．设函数()x f x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 ．【答案】2m <-或2m >【解析】试题分析：()'cos f x x m π=，令()'0f x =，则(),2x k k Z m πππ=+∈，解得(),2m x km k Z =+∈．即()0,2mx km k Z =+∈． ()222222003sin 3cos 222m m x f x km k km k πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭22132m k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，0k ∴=时()2200x f x +⎡⎤⎣⎦取得最小值为234m +，存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦只需2234m m +<，即24m >，解得2m <-或2m >．。
三角函数的图象和性质-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍含解析
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象,了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在［0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性热点题型一三角函数的定义域及简单的三角不等式例1、(1)函数f（x)＝－2tan错误!的定义域是（）A。
错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!（2)不等式错误!＋2cos x≥0的解集是________.（3）函数f(x)＝错误!＋log2(2sin x－1）的定义域是________。
【答案】（1）D （2)错误!（3）错误!∪错误!∪错误!【解析】（1）由正切函数的定义域，得2x＋错误!≠kπ＋错误!,即x≠错误!＋错误!（k∈Z)，故选D.（2)由错误!＋2cos x≥0，得cos x≥－错误!，由余弦函数的图象,得在一个周期[－π，π］上,不等式cos x≥－错误!的解集为错误!，故原不等式的解集为错误!。
【提分秘籍】1．三角函数定义域的求法（1)应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝A tan（ωx＋φ）的定义域。
（2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域。
2．简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解。
(2）利用三角函数的图象求解.【举一反三】函数y＝错误!的定义域为________。
【答案】错误!【解析】要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0。
利用图象，在同一坐标系中画出［0，2π]上y＝sin x和y＝cos x 的图象，如图所示。
在［0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为错误!，错误!，再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为错误!。
热点题型二三角函数的值域与最值例2、(1）函数y＝－2sin x－1,x∈错误!的值域是（) A．[－3，1] B．[－2，1］C．（－3，1] D．(－2，1](2）函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( ）A．3，－1 B．3，－2C．2，－1 D．2,－2【答案】(1）D（2）D【提分秘籍】三角函数最值或值域的三种求法（1）直接法：利用sin x,cos x的值域。
2018届高考数学复习-三角函数：(三)三角函数的图像与性质(解析版)
题型1：三角函数的周期与定义域 【典型例题】[例1]求下列函数的周期(1))321-sin(π+=x y ,(2))32-tan(π+=x y , (3))32(cos π+=x y ,(4)y ＝|tan 2x |.[例2](1)(2013浙江文)函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2【答案】A (2)(2015·怀化市监测)函数f (x )＝1－2sin 2x 的最小正周期是( ) A.12B.2C.2π D .π 【答案】D [∵f (x )＝cos 2x ,∴f (x )的最小正周期为2π|ω|＝π.](3)(2016浙江理)设函数2()sin sin f x x b x c =++,则f (x )的最小正周期 A.与b 有关,且与c 有关 B.与b 有关,但与c 无关 C.与b 无关,且与c 无关 D.与b 无关,但与c 有关 【答案】B[例3](1)函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 ；【答案】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >09－x 2≥0, 得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3. ∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.(2)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为 ；【答案】(2)要使函数有意义,必须使sin x －cos x ≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象,在[0,2π]内,满 足sin x ＝cos x 的x 为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为{x |2k π ＋π4≤x ≤2k π＋5π4,k ∈Z }.(3)(2015·绵阳市一诊)在(0,2π)内,使|sin x |≥cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π4，7π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 C.⎣⎡⎦⎤0，5π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，2π 【答案】A [当x ∈(0,π]时,不等式为sin x ≥cos x ,解得x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π；当x ∈(π,2π)时,不等式为－sin x ≥cos x 即sin x ＋cosx ≤0,解得x ∈⎝⎛⎦⎤π，7π4,综上得x ∈⎣⎡⎦⎤π4，7π4.] (4)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为为 .【答案】 A[令π4－x ≠k π＋π2,k ∈Z ,∴x ≠k π－π4,k ∈Z .]【变式训练】1.函数)31sin(+=x y π的最小正周期是 ；2.[2014·陕西]函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B.π C .2π D .4π答案：B [解析]T ＝2π2＝π.3.[2017全国II 文]函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.2π解析：ππωπ===222T 选C4.[2014·山东]函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________. 答案：π [解析]因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12,所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π . 5.(2016山东理)函数f (x )=(3sin x +cos x )(3cos x –sin x )的最小正周期是A.2πB.πC.23πD.2π 【答案】B6.函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3,k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3,k ∈Z D.R 答案 C解析 由题意得cos x ≥12,即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3,k ∈Z ,故函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3,k ∈Z . 7.函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为 .[自主解答] 要使函数有意义,必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x >12，cos x ≤12，解得⎩⎨⎧π6＋2k π<x <5π6＋2k π，π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，(k ∈Z ),即π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π(k ∈Z ).故所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z ). 8.[2014·课标Ⅰ]在函数①y ＝cos|2x |,②y ＝|cos x |,③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6,④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中,最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③答案：A [解析]函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ,其最小正周期为π,①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变,位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方,即可得到y ＝|cos x |的图像,所以其最小天正周期也为π,②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π,③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2,④不正确. 9.[2017天津理]设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A题型2：三角函数的最值与值域【典型例题】[例1]求下列函数的值域(1))2sin(3x y =,)321sin(2π+-=x y ；(2)函数)4(cos 3-2π+=x y 的最大值为 ,此时x 的值为 ；(3)函数)4(cos 3-2π+=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-44ππ,的值域；(4)函数5sin 4sin 2+-=x x y 的值域,(5)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值. 解析:令t ＝sin x ,∵|x |≤π4,∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54, ∴当t ＝12时,y max ＝54,t ＝－22时,y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最大值为54,最小值为1－22.[例2](1)[2014·全国]函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________.答案： 32 [解析]因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32,所以当sin x ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值,最大值为32.(2)(2016全国II 文)函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为( )A.4B.5C.6D.7 【答案】B(3)[2017全国III 文]函数f (x )= sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为 A ．65B ．1C ．D ．【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,函数的最大值为65.本题选择A 选项.(4)(2013江西文)设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [∵f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x )|≤a 恒成立，∴a ≥|f (x )|max ，∴a ≥2.][例3]求下列函数的单调区间(1))32sin(π-=x y ； (2))32-sin(3π+=x y(3))x cos(y 423π--=. (4)y ＝tan )23(x -π.[解答]把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2,k ∈Z ,得k π－π6<2x <k π＋5π6,k ∈Z ,即k π2－π12<x <k π2＋5π12,k ∈Z . 故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ). [例4]►(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值. 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2, ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3,周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时,函数单调递增,∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z ). 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时,函数单调递减, ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z ).当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时,y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时,y min ＝－2.►(2)[2014·福建]已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x ).(I)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(II)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间. 解：方法一：(I)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2. (II)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1, 所以T ＝2π2＝π,故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2,k ∈Z ,得k π－3π8≤x ≤k π＋π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8,k ∈Z . 方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(I)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2.(II)因为T ＝2π2＝π,所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2,k ∈Z ,得k π－3π8≤x ≤k π＋π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8,k ∈Z . [例5]►(1)(2013辽宁文)设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x = 求的最大值【答案】►(2)(2013北京文)已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）.(I)求()f x 的最小正周期及最大值; (II)若(,)2∈παπ,且22f =α(),求α的值.【答案】解:(I)因为21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）=1cos 2sin 2cos 42x x x+=1(sin 4cos 4)2x x +=2sin(4)24x π+,所以()f x 的最小正周期为2π,最大值为22. (II)因为22f α=（）,所以sin(4)14πα+=. 因为(,)2παπ∈,所以9174(,)444πππα+∈,所以5442ππα+=,故916πα=.►(3)(2015北京理)已知函数2()2sin cos 2sin 222x x x f x =-.(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值.【答案】(1)2π,(2)212--【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形,把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式,再利用周期公式2T πω=求出周期,第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤,借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-,即34x π=-时,()f x 取得最小值为：212--.试题解析：(Ⅰ) 211cos ()2sin cos 2sin 2sin 222222x x x x f x x -=-=⋅-⋅=222sin cos 222x x =+-2sin()42x π=+- (1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤ ,当3,424x x πππ+=-=-时,()f x 取得最小值为：212-- 考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. ►(4)(2015天津理)已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值.【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.★[例6](1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] [解析] A[由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.](2)(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增,在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减,则ω等于 ( ) A.23 B.32 C.2 D.3 答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点,∴当0≤ωx ≤π2,即0≤x ≤π2ω时,y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2,即π2ω≤x ≤3π2ω时,y ＝sin ωx 是减函数. 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增, 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知,π2ω＝π3,∴ω＝32. (3)(2013课标Ⅰ文)设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos =θ______.【答案】255-; (4)(2016上海文)若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5,则常数a =______.【答案】3±(5)(2016上海文)设a ÎR ,[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3x ax b -+,则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为( )A.1B.2C.3D.4 【答案】B【变式训练】1.(2013天津文)函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是 ( )A.1-B.22-C.22D.0 【答案】B2.函数y ＝sin x ＋1sin x(0<x <π)的最小值为________.答案 2解析 令sin x ＝t ∈(0,1],则函数y ＝1＋1t ,t ∈(0,1].又y ＝1＋1t在t ∈(0,1]上是减函数,所以当t ＝1时,y 取得最小值2.3.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． [解析] ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)[由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所求函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．] 4.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是________． [解析] ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)5.函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增,且在这个区间上的最大值是3,那么ω＝________. 答案 43解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增,且在这个区间上的最大值是3,所以2sin π4ω＝3,且0<π4ω<π2,因此ω＝43.6．(2017·长沙模拟(一))函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3B.⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2πC.⎣⎡⎦⎤－5π3，π3D.⎣⎡⎦⎤π3，2π [解析] C [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π3，π3，故选C.] 7.(2016浙江文)已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>,则A =______. 【答案】2.8.[2017全国II 理]函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【答案】1【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数取得最大值1.9.[2017全国II 文]函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为 5解析：10.已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4,求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值. 解析:由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2,∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6, ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 故当x ＝π3时,f (x )取最大值1；当x ＝－π12时,f (x )取最小值－32.11.(2013陕西文)已知向量1(cos ,),(3sin ,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . 5)sin(5)sin(12cos 2sin )(22≤+=++=+=ϕϕx x x x x f(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π. (Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈. ]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.12．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z.7分 (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，9分 f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32.故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32.12分13.(2015北京文)已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.【答案】(1)2π；(2)3-.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 14.(2015安徽文)已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++ (1)求()f x 最小正周期； (2)求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】(1)π ；(2)最大值为12+,最小值为0 15.(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (I)求ω的值；(II)求f (x )的单调递增区间．[解] (I)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.4分依题意，得πω＝π，解得ω＝1.6分(2)由(I)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z).8分 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z).12分 16.[2017北京文]（本小题13分） 已知函数()3cos(2)2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析.【题型】解答题【难度】一般17.(2016天津理)已知函数f (x )=4tanx ·si n(2x π-)cos(3x π-)-3. (Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f (x )在区间[,44ππ-]上的单调性.()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ . 所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间 412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.题型3：三角函数的奇偶性与对称性【典型例题】[例1](1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称,那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 解析 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0,∴2π3＋φ＝k π＋π2,k ∈Z ,∴φ＝k π－π6,k ∈Z , 取k ＝0,得|φ|的最小值为π6.故选A. (2)函数y ＝2sin(3x ＋φ) (|φ|<π2)的一条对称轴为x ＝π12,则φ＝________. 答案 π4解析 由题意得3×π12＋φ＝k π＋π2,k ∈Z , ∴φ＝k π＋π4,k ∈Z ,又|φ|<π2,∴φ＝π4. (3)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R ),函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称,则φ的值为________.解析f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3, y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称, 即f (x ＋φ)为偶函数.∴π3＋φ＝π2＋k π,k ∈Z ,φ＝k π＋π6,k ∈Z , 又∵|φ|≤π2,∴φ＝π6. [例2](1)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若x ∈[0,π2],则f (x )的取值范围是________.答案 [－32,3] 解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同,∴ω＝2,∴f (x )＝3sin(2x －π6). 由x ∈[0,π2],得－π6≤2x －π6≤56π, ∴－32≤f (x )≤3. (2)(2015·四川统考)点P ⎝⎛⎭⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0,|φ|＜π2)的图象的一个对称中心,且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2,则( ) A.f (x )的最小正周期是π B.m 的值为1C.f (x )的初相φ为π3D.f (x )在⎣⎡⎦⎤43π，2π上单调递增 答案：D [∵点P 是函数y ＝f (x )的一个对称中心,∴m ＝2,－π6ω＋φ＝k π(k ∈Z ), 又T ＝4×π2＝2π,则ω＝1, 由|φ|＜π2得φ＝π6, 作图可知选项D 正确.](3)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5,ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω,函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0,则f (x )的最小正周期是________. 答案：由题设,有f ⎝⎛⎭⎫π4ω＝±a 2＋b 2,即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2,由此得到a ＝b . 又f ′⎝⎛⎭⎫π8＝0,∴aω⎝⎛⎭⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0, 从而tan ωπ8＝1,ωπ8＝k π＋π4,k ∈Z , 即ω＝8k ＋2,k ∈Z ,而0<ω<5,∴ω＝2, 于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4, 故f (x )的最小正周期是π.(4)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．－33 C.2 D.22(2)B [由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3， 即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π3，解得a ＝－33.] (5)(2015天津文)已知函数()()sin cos 0,f x x x x ωωω=+>∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 .【答案】π2 【解析】试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤ ,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭, 所以2πππ.422ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质.(6)(2016天津文)已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx x x f ,R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点,则ω的取值范围是( )A.]81,0(B.)1,85[]41,0(C.]85,0(D.]85,41[]81,0( 【答案】D[例3]►(1)(2013山东文)设函数23()3sin sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π, (Ⅰ)求ω的值(Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值 【答案】►(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (I)求当f (x )为偶函数时φ的值；(II)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． [解] ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ).2分(I)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )，∴sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋φ)，将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.5分 (II)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32.6分 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π， ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.9分 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.12分【变式训练】1. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A.(－π,0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 答案 B解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π,0) (k ∈Z ),∴令x －π4＝k π (k ∈Z ),x ＝k π＋π4(k ∈Z ), 由k ＝－1,x ＝－3π4得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－3π4，0. 2．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.] 3. 函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是 ( )A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.有最大值又有最小值的偶函数答案 D解析 f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x ＝2cos 2x －1＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋142－98.显然有最大值又有最小值,而且在R 上有f (－x )＝f (x ),所以正确答案为D.4.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x 的图象的一条对称轴方程是 ( ) A.x ＝5π6 B.x ＝2π3 C.x ＝π3 D.x ＝π6解析：f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 所以当x ＝5π6时,f (x )＝23cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＝－2 3. 5.[2014·江苏]已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是________. 答案：π6 [解析]将x ＝π3分别代入两个函数,得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12,解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z ),化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z ).又φ∈[0,π),故φ＝π6. 6．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，π3B.⎝⎛⎭⎫－π3，π6 C.⎝⎛⎭⎫π6，2π3 D.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 A [依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单调递增．因此结合各选项知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π6，π3，故选A.] 7．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意； B 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意； C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意； D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．] 8.[2014·天津]已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0),x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f (x )的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C.πD.2π 答案： C [解析]∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1,∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12,∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z ),则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3,∴ω＝2,∴T ＝π. 9.设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0),y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间.解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2,k ∈Z , ∴φ＝k π＋π4,k ∈Z , 又－π<φ<0,则－54<k <－14,k ∈Z . ∴k ＝－1,则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4, 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π,k ∈Z , 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π,k ∈Z , 因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π,k ∈Z .10.(2016全国I 理)已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点,π4x =为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在π5π()1836，单调,则ω的最大值为 A.11 B.9 C.7 D.5【答案】B11.[2017天津理]设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π= 【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.。
2018年高考数学黄金100题系列第31题三角函数的图像文
第31题 三角函数的图象I ．题源探究·黄金母题例1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),23y x x R π=-∈； （2）2sin(+),4y x x R π=-∈； （3）1sin(2),5y x x R π=--∈；（4）3sin(),63xy x R π=-∈；【解析】 （1）（2）（3）（4）精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第16题）【母题评析】本考查了如何利用五点法去画函数sin()y A x b ωϕ=++的图象，同时培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ωϕ=++的性质有了进一步的了解，为以后解决由图定式问题奠定了基础．【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．例2．（1）用描点法画出函数sin ,[0,]2y x x π=∈的图象．（2）如何根据（1）题并运用正弦函数的性质，得出函数sin ,[0,2]y x x π=∈的图象；（3）如何根据（2）题并通过平行移动坐标轴，得出函数【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第17题【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了如何用五点法作图、如何利用对称性进行图象变换以及图象的平移变换．培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ωϕ=++的性质有了进一步的了解．【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第18题 【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了函数图象的平移变换．加深了学生对周期变换、振幅变换、相位变换的进一步了解．【思路方法】使学生进一步认识到数形结合思想在解决函数的问题中的地位，以便引起学生对数形结合思想的重视．621sin ,sin ,612sin ,6y x x R y x x R y x x R =∈−−−−−−→=∈−−−−−−→=∈横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变II ．考场精彩·真题回放例1．（2017新课标1理9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 （ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D ． 例2．（2016年高考北京理数）将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数【命题意图】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定,A h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定ϕ值． 【考试方向】sin y x =的图象变换后得到sin()y A x ωϕ=+的图象，可通过“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种途径得到，顺序不同，平移的单位长度就不同，这成为高考中考查方向．考查题型一般为选择题，难度较低，为容易题．【难点中心】三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，高考中比较重视考查三角函数图象的平移和伸缩、周期、最值、奇偶性、sin 2y x =的图象上，则 （ ） A ．12t =，s 的最小值为6π B．t = ，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3π D．2t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126πππ=个单位，故选A ．单调性、对称性及角的取值范围，同时往往注重考查对三角函数“化一”恒等变换．高考中对三角函数考查时，注重考查方程思想、整体思想、数形结合思想在解题中运用．尤其注重两种“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种变换的差异：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是()0ϕωω>个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．例3．（2016高考新课标2文数）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A【解析】由图知，2A =，周期2[()]36T πππ=--=，∴22πωπ==，∴2sin(2)y x ϕ=+，∵图象过点(,2)3π，∴22sin(2)3πϕ=⨯+，∴2sin()13πϕ+=，∴22(Z)32k k ππϕπ+=+∈，令0k =得，6πϕ=-，∴2sin(2)6y x π=-，故选A ．例4．（2016高考新课标2理数）若将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （ ） A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B ． 例5．（2016高考新课标1文数）若将函数y =2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 （ ）A ．y =2sin(2x +π4)B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)【解析】函数y 2sin(2x )6π=+的周期为π，将函数y 2sin(2x )6π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位，所得函数为y 2sin[2(x ))]2sin(2x )463πππ=-+=-，选D ．III ．理论基础·解题原理考点一 图象变换与性质相结合图象变换与函数性质的综合问题可根据两种图象变换的规则，也可先通过图象变换求得变换后的函数解析式，再研究函数性质．常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质．考点二 三角函数模型的应用三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． 考点三 由函数图象求解析式的方法（1）如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式()sin y A x ωϕ=+中的参数A 和ω，再选取 “第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“0x ωϕ+=”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得ϕ．（2）通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数,,A ωϕ，依据是五点法． （3）运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】以考察函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换，考查函数()sin y A x ωϕ=+解析式中参数ϕ的求法为主．sin y x =的图象变换后得到sin()y A x ωϕ=+的图象，可通过“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种途径得到，顺序不同，平移的单位长度就不同，这成为高考中考查方向．考查题型一般为选择题，难度较低，为容易题．【技能方法】确定()()sin 0,0y A x B A ωϕω=++>>的步骤和方法 （1）求,A B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==； （2）求ω，确定函数的周期T ，则可得Tω2π=； （3）求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时,,A B ω已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）时0x ωϕ+=；“第二点”（即图象的“峰点”）时2x ωϕπ+=；“第三点”（即图象下降时与x 轴的交点）时x ωϕ+=π；“第四点”（即图象的“谷点”）时2x ωϕ3π+=；“第五点”时2x ωϕ+=π． 【易错指导】1．一个区别——两种图象变换的区别由sin y x =的图象变换到sin()y A x ωϕ=+的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是ϕ个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是()0ϕωω>个单位长度．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于x ω加减多少值．2．解答有关平移伸缩变换的题目时，向左（或右）平移m 个位时，用x m +(或x m -)代替x ，向下（或上）平移n 个单位时，用y n +（或y n -）代替y ，横（或纵）坐标伸长或缩短到原来的k 倍，用k x 代替x (或ky代替y )，即可获得解决． 3．解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时，通常是利用三角函数的有关公式，通过将三角函数化为“只含”一个函数名称且角度唯一，最高次数为一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答．求三角函数的最值的方法：（1）化为正弦(余弦)型函数 sin cos y a x b x ωω=+型引入辅助角化为一角一函；（2）化为关于sin x (或cos x )的二次函数；（3）利用数形结合法．V ．举一反三·触类旁通考向1 “知式作图”或“知图求式”（由三角函数的图象求解析式） 例1．（2018湖南永州一模）函数的部分图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A例2．（2017天津八校联考）函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0ω>，的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）AC 【答案】A点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式（1） （2（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ．例3．（2017山东日照三模）已知角θ始边与x 轴的非负半轴重合，与圆224x y +=相交于点A ，终边与圆224x y +=相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为C ， ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意()()202cos ,2sin A B θθ，，，所以()()1122cos 2sin 022S BC AC θθθ==-⋅≥，所以排除C ，D ．又当3π4θ=时， ()12S θ=>，综上可知，B 选项是正确的．考向2 图象变换与辅助角公式相结合例4．（2018辽宁六校协作体联考）已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C例5．（2016高考新课标3理数）函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π【解析】∵sin 2sin()3y x x x π==+，sin 2sin()3y x x x π=-=-＝2sin[()]33x π2π+-，∴函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移32π个单位长度得到． 考向3 图象变换与函数性质相结合例6．（2018河南林州10月调研）的图象向右平移(0)m n >个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则m 的最小值为( )A 【答案】A的图象向右平移(0)m n >个单位长度，所得函数的解析式为：，又函数图象关于y 轴对称，则1， 0m > ，当1k =-时，A ．例7．2018单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）A 【答案】A【点睛】把sin y x =的图象沿x 轴向左（或向右）平移ϕ（0ϕ>）个单位得到函数()sin y x ϕ=+（或()sin y x ϕ=-）的图象，简称“左加右减”；从解析式角度说，把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移ϕ（0ϕ>个单位，反映在解析式上就是把原解析式中的x 替换为x φ+．例8．（2018后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】因函数的图象向右平移个单位后可得，由题设1，故Z ，即()31k k Z ω=--∈，故()min 3112ω=-⨯--=，应选答案B ．例9．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】D ．【考点定位】三角函数的图象和性质．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等． 考向4 “五点法”、图象变换与函数性质相结合例10．（2018河北石家庄）已知函数()2sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】B【解析】根据函数()()20,0y s i n x ωϕωϕπ=+><<的部分图象，可得125,2221212T πππωω=⋅=+∴=，再根据五点法作图可得2122ππϕ⋅+=， 0,3πϕπϕ<<∴=，故选C ．【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题．利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键．求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=． 例11．某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：．．．．．．．．．．．()x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图 象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．∵sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．【考点定位】“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．【名师点睛】“五点法”描图：（1）x y sin =的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为：(0，0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)． （2）x y cos =的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为：(0，1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)． 考向5 三角恒等变换、图象平移与函数性质相结合例12．（2018(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ）A 【答案】D例13．（2016高考山东文数）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- ． （I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值． 【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（或()5(,)1212k k k Z ππππ-+∈）（∏ 解析：（I ）由()()()2sin sin cos f x x x x x π=---()212sin cos x x x =--)1cos 2sin 21x x =-+-sin 21x x =2sin 21,3x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由()222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ∴()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（∏）由（I ）知()f x 2sin 21,3x π⎛⎫=-⎪⎝⎭把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =2sin 13x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到y 2sin 1x =的图象，即()2sin 1.g x x =∴2sin 166g ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭考点：1．和差倍半的三角函数；2．三角函数的图象和性质；3．三角函数图象的变换． 【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换．此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典．解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新的函数解析式并求值．本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等．考向6 图象变换与诱导公式相结合例14．（2016云南一测）为得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移3π个单位B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D考向7 三角函数图象与向量相结合例15．（2017江西南昌一模）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（的周期为π，若()1fα=，则 ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】由题意得选B ．例16．（2016江西赣中南五校联联）如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于（ ）A ． 8B ．8π C ． 4π D ．2π【答案】B例17．（2018陕西西安模拟），且2AB BC π⋅=-（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若将()f x 的图像向左平移个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x【答案】（1）（2，最小值2-．【解析】试题分析：（1 11,2,,AB T BC T ⎛⎫⎛== ⎪ 则2T AB BC ⋅=-，所以T π=．故2ω=，利用正弦函数的单调性解不等式，从而可得结果；（2）根据平移变换可得， 0,2x π⎡∈⎢⎣（2）由题意将()f x 的图像向左平移个单位长度，得到函数()g x 的图像，0,2x π⎡∈⎢⎣，∴当时，22x π⎛⎫+⎪ ()g x 取得最大值 ()g x 取得最小值2-．。
2018高考复习数学第一轮 第31讲 三角函数的最值(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)
三角函数的最值（2018年5月）一、 知识要点1、 三角函数最值的典型题型及其解法（1） 形如()sin y A x ωϕ=+()x R ∈的三角函数，利用三角函数的有界性，最值为||A ±；当x 有范围限制时，可结合函数图像或单调性求最值．（2） 形如()()2y a f x bf x c ⎡⎤=++⎣⎦的三角函数，通过换元，令()t f x =，把函数变换为关于t 的二次函数，用配方法在确定的范围内求最值．（3） 形如sin cos sin cos a x b x cy d x e x f++=++的三角函数，去分母后利用辅助角公式化为某一复角三角比（如()sin x ϕ+或()cos x ϕ+）的形式，利用其有界性或特定条件下的取值范围转化为解不等式求y 的范围，从而得出其最值．（4） 若所给三角函数中出现和或积为定值时，可利用基本不等式求最值，但必须遵循“一正”、“二定”、“三相等”的原则．（5） 某些三角函数寻找其几何意义，运用数形结合是一种不错的选择．2、 解含参数的三角函数最值问题，应注意参数的作用与影响，在必要时应对参数的取值范围进行合理的分类讨论．二、例题精讲例1、求13sin 3sin xy x+=+的最值，并求出相应的x 的值．答案：max min 2,1;2,122x k y x k y ππππ=+==-=-，k Z ∈例2、求函数()44332cos sin cos sin x x y x x-=-的最值，并求出相应的x 值．答案：2x k π=或22x k ππ=+时，m a x 2y =；2x k ππ=+或22x k ππ=-时，m i n 2y =-，k Z ∈例3、已知函数()()2cos sin cos 1,f x x x x x R =-+∈， （1） 求函数()f x 的最小正周期； （2） 求函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值． 答案：（1）π；（21-．例4、若函数()21cos 2sin sin 42sin 2x f x x a x x ππ+⎛⎫=+++ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭3，试确定常数a 的值．答案：a =例5、设函数()2sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0ω>，a R ∈），且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （1） 求ω的值； （2） 如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a 的值． 答案：（1）12；（2．例6、若函数()()sin ,0,0,||2f x A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为2-，且它的图像经过点(和5,06π⎛⎫⎪⎝⎭． （1） 写出一个满足条件的函数解析式()f x ； （2） 若函数()f x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求此函数所有可能的解析式； （3） 若函数()f x 在[]0,2上恰有一个最大值和最小值，求ω的值． 答案：（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（答案不唯一，满足：()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭且其中62,5k k Z ω-=∈即可）； （2）()42sin 53f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）2ω=．*例7、已知函数()22sin sin cos f x m x x x n =-+的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域[]5,4-，试求函数()()sin 2cos g x m x n x x R =+∈的最小正周期和最值．答案：2T π=*例8、已知ABC ∆的面积S 3S ≤，且6A B B C ⋅= ，AB 与BC的夹角为θ．（1）求θ的取值范围； （2）求函数()22sin 2sin cos 3cos fθθθθθ=++的最小值．答案：（1）,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3． 三、课堂练习1、要使函数|sin |cos 1y x x =-取得最大值，则x =． 答案：24k ππ±，k Z ∈2、若函数2sin 4y x x =+的最小值为1，则a =． 答案：53、函数()()1cos cos 22f x x x x R =-∈的最大值等于． 答案：344、函数sin cos sin cos 1x xy x x =++的值域是．答案：1⎡⎫⎛--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦5、函数3sin 32cos 10x y x -=+的最大值是，最小值是．答案：0，58-6、函数sin 234y x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的最小值是．答案：2-四、 课后作业 一、填空题1、函数()23sin cos 4cos f x x x x =-的最大值为．答案：122、若()()2sin 01f x x ωω=<<，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω=． 答案：343、函数2212sin cos y x x=+的最小值是．答案：3+4、函数3sin 1sin 2x y x -=+的最大值是，最小值是．答案：23，4- 5、设函数cos y a x b =+（,a b 为常数）的最大值为1，最小值为7-，则co s s i n a x b x+的最大值是．答案：56、对于函数()sin ,sin cos ,cos ,sin cos x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩，给出下列四个命题：①该函数的值域为[]1,1-；②当且仅当()2x k k Z π=∈时该函数取得最大值1； ③该函数是以π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当()3222k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <． 上述命题中错误的是．答案：①②③二、选择题7、已知4k <-，则函数()cos2cos 1y x k x =+-的最小值为（ ） A 、1B 、1-C 、21k +D 、21k -+答案：A8、函数|sin |2sin y x x =-的值域为（ ）A 、[]3,1--B 、[]1,3-C 、[]0,3D 、[]3,0-答案：B9、当02x π<<时，函数()21cos 28sin sin 2x xf x x++=的最小值为（ ）A 、2B 、C 、4D 、答案：C三、解答题10、已知函数()22sin 2,,442f x x x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）求()f x 的最大值和最小值； （2）若不等式()||2f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（1）最大值3，最小值2；（2）()1,4．11、已知向量()sin ,1a θ= ，()1,cos b θ= ，22ππθ-<<，（1）若a b ⊥，求θ；（2）求a b +的最大值．答案：（1）4π-；（21．12、设函数()2sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0ω>，a R ∈），且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （1）求ω的值；（2）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a 的值； （3）在（2）的条件下，()y f x =的图像按某个向量m平移得到sin y x =，求m．答案：（1）12；（2；（3）1,32mπ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
2018年高考数学 黄金100题系列 第13题 函数的图像 文
第13题函数的图像I ．题源探究·黄金母题【例1】下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．【解析】图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第23页练习第2题【母题评析】本题考查了函数的表示法之一—图像法，意在培养学生的数形结合思想，也考察了学生的分析问题和解决问题的能力，同时告诉了学生生活之中处处有数学，数学来源于生活又应用与生活。
【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。
【例2】函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？ （2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第25页习题1．2B 组第1题【母题评析】本题以分段函数的图像为载体考察了函数定义域、值域的求【解析】（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应． 法，加强学生对函数概念及函数三要素的理解，这对以后学习函数的性质有很大的帮助。
【思路方法】函数图像解决函数问题是强有力的工具，因此培养学生的读图、识图能力很重要。
2018年高考数学专题16三角函数的图像和性质问题黄金解题模板
专题16 三角函数的图像和性质问题【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。
要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】类型一 求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数,A ω的正负；第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间； 第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例 1 【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学（文）试题】 设向量cos ,cos2,sin2,sin 44a x b x ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ()f x a b =⋅ .（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的单调递减区间. 【答案】(1) π;(2) 37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式演练1】函数cos(2)4y x π=-的单调递增区间是（ ）A ．[k π＋8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π] C ．[2k π＋8π，2k π＋85π] D ．[2k π－83π，2k π＋8π]（以上k ∈Z ）【答案】B.考点：三角函数单调性.【变式演练2】已知函数()sin2(0)f x x ωω=->的图象关于点5,04M π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的值为__________． 【答案】25【解析】函数()s i n 2(0)f x x ωω=->的图象关于点5,04M π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故552sin0,22w w k k Z πππ-=⇒=∈ ， 2,5w k =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，故得到： 1422w wππ≥⇒≤两者取交集得到 ω的值为25。
高考数学黄金100题系列第33题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性文(2021学年)
2018年高考数学黄金１０0题系列第３3题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性文编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（２018年高考数学黄金1００题系列第３3题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性文)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为２０18年高考数学黄金100题系列第3３题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性文的全部内容。
第 33题 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性例2．（求函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间.【解析】设[]2,2A ππ=-,函数()1sin 23y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的单调递增区间为B .由1222232k x k πππππ-≤+≤+，得()5544,4,43333k x k B k k k Z ππππππππ⎡⎤-≤≤+∴=-+∈⎢⎥⎣⎦.易知5,33A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.【试题来源】人教版A 版必修４第3９页例5.【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法,是历年来高考的一个常考点. 【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法:先用整体思想求()sin y A x B ωϕ=++()0,A x R >∈的单调区间,再与已知区间求交集即可.I Ｉ.考场精彩·真题回放例.（２０１7课标3理6）设函数f (x )=cos （x +3π），则下列结论错误的是Ａ.ｆ（x ）的一个周期为−２πB .y ＝ｆ(x )的图像关于直线x =83π对称Ｃ．f (x +π)的一个零点为ｘ＝6πD .ｆ(x )在(2π,π)单调递减【答案】Ｄ 【解析】试题分析:函数的最小正周期为221T ππ== ，则函数的周期为()2T k k Z π=∈ ，取1k =- ,可得函数()f x 的一个周期为2π- ,选项A 正确;【命题意图】本题考查两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性．考查学生分析问题解决问题能力、转化与化归能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现,难度中等.【难点中心】解答此类问题的关键是能综合运用三角公式化为形式函数的对称轴为()3x k k Z ππ+=∈ ,即:()3x k k Z ππ=-∈ ，取3k = 可得ｙ=ｆ(x )的图像关于直线x =83π对称，选项B 正确； ()cos cos 33f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()32x k k Z πππ+=+∈ ,即()6x k k Z ππ=+∈ ,取0k =可得f (x +π)的一个零点为x =6π,选项C 正确;当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时,54,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,函数在该区间内不单调,选项Ｄ错误.故选D .例例．（2017天津,理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ,其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=,()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 Ａ.23ω=，12ϕπ=ﻩﻩ B.23ω=，12ϕ11π=- Ｃ．13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,其中12,k k Z ∈,∴2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>,∴01ω<<,∴23ω=,11212k ϕππ=+,由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．例．（201７浙江）已知函数ｆ(ｘ）＝ｓin ２x –ｃos 2x –23 sin x co ｓ x (x ∈R ）． (Ⅰ)求)32(πf 的值． ()sin y A x B ωϕ=++，再进一步讨论相关性质．(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y =As ｉn （ωｘ+φ)或y ＝Ac ｏs （ω x ＋φ)的形式,则最小正周期为2T πω=;奇偶性的判断关键是解析式是否为y =Asi ｎ ωx 或y ＝Acos ωｘ+b 的形式.（2)求f (x )＝As ｉn (ωx +φ）（ω≠0)的对称轴,只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，求ｘ;求ｆ(x ）的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝ｋπ（k ∈Z )即可.(Ⅱ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间.【答案】(Ⅰ）２;（Ⅱ)最小正周期为π,单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ． 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由函数概念32cos 32sin 3232cos 32sin )32(22πππππ--=f ,分别计算可得;（Ⅱ）化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ，结合ωπ2=T 可得周期,利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间. 试题解析：（Ⅰ）由2332sin =π，2132cos-=π,)21(2332)21()23()32(22-⨯⨯---=πf 得2)32(=πf （Ⅱ）由x x x 22sin cos 2cos -=与x x x cos sin 22sin =得)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f∴)(x f 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ∴)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]32,6[ππππ. 例3.（2０16高考北京文数)已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π．(１）求ω的值;(2)求)(x f 的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）1ω=;（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 【分析】（Ⅰ)运用两角和的正弦公式对)(x f 化简整理，由周期公式求ω的值;(Ⅱ）根据函数x y sin =的单调递增区间对应求解即可．【解析】(I)∵()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+sin 2cos 2x x ωω=+2sin 24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∴()f x 的最小正周期22ππωωT ==．依题意，ππω=，解得1ω=．(I Ｉ）由（I)知()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ). 由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+. ∴()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ）. 例4.（2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++,则()f x 的最小正周期 （ )Ａ．与b 有关，且与ｃ有关 B ．与b 有关，但与c 无关Ｃ.与b 无关,且与c 无关 D.与b 无关,但与c 有关 【答案】B【解析】 试题分析:21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ,其中当0=b 时,cos 21()22=-++x f x c ,此时周期是π;当0≠b 时,周期为2π,而c 不影响周期．故选B.例5．(201６高考山东理数】函数f (x x ＋ｃｏs x ）(c ｏｓ x –si ｎ x )的最小正周期是（ )（A ）2π（B ）π (C)23π（D ）2π 【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故最小正周期22T ππ==,故选B ． III.理论基础·解题原理考点一 三角函数的单调性x y sin =在)(22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ上单调递增,在)(223,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ上单调递减,当Z k k x ∈+=,22ππ时,1max =y ;当Z k k x ∈+-=,22ππ时,1min -=y ；x y cos =在[])(2,2Z k k k ∈+-πππ上单调递增，在[])(2,2Z k k k ∈+πππ上单调递减,当Zk k x ∈=,2π时,1max =y ;当Z k k x ∈+=,2ππ时,1min -=y ;x y tan =在)(2,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ上单调递增．考点二 三角函数的周期性函数sin ,cos y x y x ==的最小正周期为2π，tan y x =的最小正周期为π．考点三 三角函数的奇偶性对于函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是奇函数,当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是偶函数;对于函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>,当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是奇函数,当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是偶函数.考点四 三角函数的对称性sin y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()ππ2x k k =+∈Z ,其对称中心是()()π,0k k ∈Z ;cos y x =的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,其对称轴是直线()πx k k =∈Z ,其对称中心是()ππ,02k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；tan y x =的图像不是轴对称图形,是中心对称图形，其对称中心是()π,02k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z .IV.题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题的形式出现,难度中等. 【技能方法】（1)讨论()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的单调性可用整体思想:把()0x ωϕω+>视为一个整体，()00A A ><所列不等式的方向与sin ,cos ,tan y x y x y x ===的单调区间对应的不等式方向相同(反）．(2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，若不属于,可先化至同一单调区间内；若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较、与1比较等)求解.（3）函数()()sin ,cos y A x B y A x B ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2πω，()tan y A x B ωϕ=++的最小正周期为πω. （４)三角函数中奇函数一般可化为sin y A x ω=或tan y A x ω=,而偶函数一般可化为cos y A x B ω=+的形式．（5）()()()sin 0f x A x A ωϕω=+≠的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,()f x 图像关于直线0x x =对称的充要条件是()0f x A =±，()f x 图像关于点0(,0)x 对称的充要条件是()00f x =.【易错指导】(1)对于三角函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>求其单调区间，要注意ω的正负,若ω为负,则需先化正,化为()sin y A x ωϕ=---的形式,若求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的单调减区间内;若求其单调递减区间,应把x ωϕ--放在正弦函数的单调增区间内．（2）解答时不要遗漏“k Z ∈＂,另外三角函数存在多个单调区间时不能用“"联结. （3)必须先将解析式化为()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的形式,再分别利用公式2,T T ππωω==求周期,注意ω一定要加绝对值． V.举一反三·触类旁通考向1 三角函数的单调性（单调区间)例1.（201８河南名校联考）已知,,,,则（ )A.B ．C.D ．【答案】Ｄ例2．函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为 ．【答案】)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ.【解析】函数()2cos(2)2cos(2)44f x x x ππ=-+=-，由222,4k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，得：3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为:)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．故答案应填：)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．例3.函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭([]0,x π∈)为增函数的区间是 .【答案】5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如)sin()(ϕω+=x A x f 的正弦函数的图象和性质．解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式)62sin(2π--=x y ,将其转化为求函数)62sin(2π-=x y 的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第31题 三角函数的图象I ．题源探究·黄金母题例1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),23y x x R π=-∈； （2）2sin(+),4y x x R π=-∈； （3）1sin(2),5y x x R π=--∈；（4）3sin(),63xy x R π=-∈；【解析】 （1）（2）（3）（4）精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第16题）【母题评析】本考查了如何利用五点法去画函数sin()y A x b ωϕ=++的图象，同时培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ωϕ=++的性质有了进一步的了解，为以后解决由图定式问题奠定了基础．【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．例2．（1）用描点法画出函数sin ,[0,]2y x x π=∈的图象．（2）如何根据（1）题并运用正弦函数的性质，得出函数sin ,[0,2]y x x π=∈的图象；（3）如何根据（2）题并通过平行移动坐标轴，得出函数【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第17题【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了如何用五点法作图、如何利用对称性进行图象变换以及图象的平移变换．培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ωϕ=++的性质有了进一步的了解．【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第18题 【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了函数图象的平移变换．加深了学生对周期变换、振幅变换、相位变换的进一步了解．【思路方法】使学生进一步认识到数形结合思想在解决函数的问题中的地位，以便引起学生对数形结合思想的重视．621sin ,sin ,612sin ,6y x x R y x x R y x x R =∈−−−−−−→=∈−−−−−−→=∈横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变II ．考场精彩·真题回放例1．（2017新课标1理9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 （ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D ． 例2．（2016年高考北京理数）将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数【命题意图】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定,A h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定ϕ值． 【考试方向】sin y x =的图象变换后得到sin()y A x ωϕ=+的图象，可通过“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种途径得到，顺序不同，平移的单位长度就不同，这成为高考中考查方向．考查题型一般为选择题，难度较低，为容易题．【难点中心】三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，高考中比较重视考查三角函数图象的平移和伸缩、周期、最值、奇偶性、sin 2y x =的图象上，则 （ ） A ．12t =，s 的最小值为6π B．t = ，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3π D．2t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126πππ=个单位，故选A ．单调性、对称性及角的取值范围，同时往往注重考查对三角函数“化一”恒等变换．高考中对三角函数考查时，注重考查方程思想、整体思想、数形结合思想在解题中运用．尤其注重两种“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种变换的差异：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是()0ϕωω>个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．例3．（2016高考新课标2文数）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A【解析】由图知，2A =，周期2[()]36T πππ=--=，∴22πωπ==，∴2sin(2)y x ϕ=+，∵图象过点(,2)3π，∴22sin(2)3πϕ=⨯+，∴2sin()13πϕ+=，∴22(Z)32k k ππϕπ+=+∈，令0k =得，6πϕ=-，∴2sin(2)6y x π=-，故选A ．例4．（2016高考新课标2理数）若将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （ ） A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B ． 例5．（2016高考新课标1文数）若将函数y =2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 （ ）A ．y =2sin(2x +π4)B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)【解析】函数y 2sin(2x )6π=+的周期为π，将函数y 2sin(2x )6π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位，所得函数为y 2sin[2(x ))]2sin(2x )463πππ=-+=-，选D ．III ．理论基础·解题原理考点一 图象变换与性质相结合图象变换与函数性质的综合问题可根据两种图象变换的规则，也可先通过图象变换求得变换后的函数解析式，再研究函数性质．常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质．考点二 三角函数模型的应用三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． 考点三 由函数图象求解析式的方法（1）如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式()sin y A x ωϕ=+中的参数A 和ω，再选取 “第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“0x ωϕ+=”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得ϕ．（2）通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数,,A ωϕ，依据是五点法． （3）运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】以考察函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换，考查函数()sin y A x ωϕ=+解析式中参数ϕ的求法为主．sin y x =的图象变换后得到sin()y A x ωϕ=+的图象，可通过“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种途径得到，顺序不同，平移的单位长度就不同，这成为高考中考查方向．考查题型一般为选择题，难度较低，为容易题．【技能方法】确定()()sin 0,0y A x B A ωϕω=++>>的步骤和方法 （1）求,A B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==； （2）求ω，确定函数的周期T ，则可得Tω2π=； （3）求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时,,A B ω已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）时0x ωϕ+=；“第二点”（即图象的“峰点”）时2x ωϕπ+=；“第三点”（即图象下降时与x 轴的交点）时x ωϕ+=π；“第四点”（即图象的“谷点”）时2x ωϕ3π+=；“第五点”时2x ωϕ+=π． 【易错指导】1．一个区别——两种图象变换的区别由sin y x =的图象变换到sin()y A x ωϕ=+的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是ϕ个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是()0ϕωω>个单位长度．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于x ω加减多少值．2．解答有关平移伸缩变换的题目时，向左（或右）平移m 个位时，用x m +(或x m -)代替x ，向下（或上）平移n 个单位时，用y n +（或y n -）代替y ，横（或纵）坐标伸长或缩短到原来的k 倍，用k x 代替x (或ky代替y )，即可获得解决． 3．解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时，通常是利用三角函数的有关公式，通过将三角函数化为“只含”一个函数名称且角度唯一，最高次数为一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答．求三角函数的最值的方法：（1）化为正弦(余弦)型函数 sin cos y a x b x ωω=+型引入辅助角化为一角一函；（2）化为关于sin x (或cos x )的二次函数；（3）利用数形结合法．V ．举一反三·触类旁通考向1 “知式作图”或“知图求式”（由三角函数的图象求解析式） 例1．（2018湖南永州一模）函数的部分图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A例2．（2017天津八校联考）函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0ω>，的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）AC 【答案】A点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式（1） （2（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ．例3．（2017山东日照三模）已知角θ始边与x 轴的非负半轴重合，与圆224x y +=相交于点A ，终边与圆224x y +=相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为C ， ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意()()202cos ,2sin A B θθ，，，所以()()1122cos 2sin 022S BC AC θθθ==-⋅≥，所以排除C ，D ．又当3π4θ=时， ()12S θ=>，综上可知，B 选项是正确的．考向2 图象变换与辅助角公式相结合例4．（2018辽宁六校协作体联考）已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C例5．（2016高考新课标3理数）函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π【解析】∵sin 2sin()3y x x x π==+，sin 2sin()3y x x x π=-=-＝2sin[()]33x π2π+-，∴函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移32π个单位长度得到． 考向3 图象变换与函数性质相结合例6．（2018河南林州10月调研）的图象向右平移(0)m n >个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则m 的最小值为( )A 【答案】A的图象向右平移(0)m n >个单位长度，所得函数的解析式为：，又函数图象关于y 轴对称，则1， 0m > ，当1k =-时，A ．例7．2018单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）A 【答案】A【点睛】把sin y x =的图象沿x 轴向左（或向右）平移ϕ（0ϕ>）个单位得到函数()sin y x ϕ=+（或()sin y x ϕ=-）的图象，简称“左加右减”；从解析式角度说，把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移ϕ（0ϕ>个单位，反映在解析式上就是把原解析式中的x 替换为x φ+．例8．（2018后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】因函数的图象向右平移个单位后可得，由题设1，故Z ，即()31k k Z ω=--∈，故()min 3112ω=-⨯--=，应选答案B ．例9．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】D ．【考点定位】三角函数的图象和性质．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等． 考向4 “五点法”、图象变换与函数性质相结合例10．（2018河北石家庄）已知函数()2sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】B【解析】根据函数()()20,0y s i n x ωϕωϕπ=+><<的部分图象，可得125,2221212T πππωω=⋅=+∴=，再根据五点法作图可得2122ππϕ⋅+=， 0,3πϕπϕ<<∴=，故选C ．【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题．利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键．求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=． 例11．某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：．．．．．．．．．．．()x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图 象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．∵sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．【考点定位】“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．【名师点睛】“五点法”描图：（1）x y sin =的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为：(0，0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)． （2）x y cos =的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为：(0，1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)． 考向5 三角恒等变换、图象平移与函数性质相结合例12．（2018(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ）A 【答案】D例13．（2016高考山东文数）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- ． （I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值． 【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（或()5(,)1212k k k Z ππππ-+∈）（∏ 解析：（I ）由()()()2sin sin cos f x x x x x π=---()212sin cos x x x =--)1cos 2sin 21x x =-+-sin 21x x =2sin 21,3x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由()222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ∴()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（∏）由（I ）知()f x 2sin 21,3x π⎛⎫=-⎪⎝⎭把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =2sin 13x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到y 2sin 1x =的图象，即()2sin 1.g x x =∴2sin 166g ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭考点：1．和差倍半的三角函数；2．三角函数的图象和性质；3．三角函数图象的变换． 【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换．此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典．解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新的函数解析式并求值．本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等．考向6 图象变换与诱导公式相结合例14．（2016云南一测）为得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移3π个单位B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D考向7 三角函数图象与向量相结合例15．（2017江西南昌一模）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（的周期为π，若()1fα=，则 ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】由题意得选B ．例16．（2016江西赣中南五校联联）如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于（ ）A ． 8B ．8π C ． 4π D ．2π【答案】B例17．（2018陕西西安模拟），且2AB BC π⋅=-（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若将()f x 的图像向左平移个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x【答案】（1）（2，最小值2-．【解析】试题分析：（1 11,2,,AB T BC T ⎛⎫⎛== ⎪ 则2T AB BC ⋅=-，所以T π=．故2ω=，利用正弦函数的单调性解不等式，从而可得结果；（2）根据平移变换可得， 0,2x π⎡∈⎢⎣（2）由题意将()f x 的图像向左平移个单位长度，得到函数()g x 的图像，0,2x π⎡∈⎢⎣，∴当时，22x π⎛⎫+⎪ ()g x 取得最大值 ()g x 取得最小值2-．。