2018年高考数学黄金100题系列第31题三角函数的图像文

第31题 三角函数的图象

I ．题源探究·黄金母题

例1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：

（1）1sin(3),23y x x R π=-∈； （2）2sin(+),4

y x x R π

=-∈； （3）1sin(2),5y x x R π=--∈；（4）3sin(),63

x

y x R π=-∈；

【解析】 （1）

（2）

（3

）

（4

）

精彩解读

【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第16题）

【母题评析】本考查了如何利用五点

法

去

画

函

数

sin()y A x b ωϕ=++的图象，同

时培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ωϕ=++的性质有

了进一步的了解，为以后解决由图定式问题奠定了基础．

【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别

是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．

例2．（1）用描点法画出函数sin ,[0,

]2

y x x π

=∈的图象．

（2）如何根据（1）题并运用正弦函数的性质，得出函数

sin ,[0,2]y x x π=∈的图象；

（3）如何根据（2）题并通过平行移动坐标轴，得出函数

【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第17题

【母题评析】本题是一道综合性问

题，考查了如何用五点法作图、如

何利用对称性进行图象变换以及图象的平移变换．培养了学生的作图、识图能力，对

sin()y A x b ωϕ=++的性质有了

进一步的了解．

【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．

【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第18题 【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了函数图象的平移变换．加深了学生对周期变换、振幅变换、相位变换的进一步了解．

【思路方法】使学生进一步认识到数形结合思想在解决函数的问题中的地位，以便引起学生对数形结合思想的重视．

621

sin ,sin ,6

1

2sin ,6

y x x R y x x R y x x R =∈−−−−−−→=∈−−−−−−→=∈横坐标伸长到原来

的倍，纵坐标不变纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变

II ．考场精彩·真题回放

例1．（2017新课标1理9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +

2π

3

)，则下面结论正确的是 （ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的

曲线向右平移π

6

个单位长度，得到曲线C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变，再把得到的

曲线向右平移

π

6

个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变，再把得到的

曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】

试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与

1

C 相同的函数名，则

222:sin(2)cos(2)cos(2)3326

C y x x x ππππ

=+=+-=+，则由1C 上

各点的横坐标缩短到原来的1

2

倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12

π

个单位得到2C ，故选D ． 例2．（2016年高考北京理数）将函数sin(2)3

y x π

=-

图象上的点

(,)4

P t π

向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数

【命题意图】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角

函数名统一，再进行变换．

根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高

点、最低点确定,A h 的值，函数

的周期确定ω的值，再根据函数图

象上的一个特殊点确定ϕ值． 【考试方向】sin y x =的图象变换后得到sin()y A x ωϕ=+的图象，可通过“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种途径得到，顺序不同，平移的单位长度就不同，这成

为高考中考查方向．考查题型一般为选择题，难度较低，为容易题．

【难点中心】三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，高考中比较重视考查三角函数图象的平

移和伸缩、周期、最值、奇偶性、

sin 2y x =的图象上，则 （ ） A ．12t =

，s 的最小值为6π B

．t = ，s 的最小值为6π

C ．12t =

，s 的最小值为3π D

．2

t =，s 的最小值为3π

【答案】A

【解析】由题意得，1

sin(2)432t ππ

=⋅-=，故此时'P 所对应的点为

1(,)122π，此时向左平移-4126

πππ

=个单位，故选A ．

单调性、对称性及角的取值范围，

同时往往注重考查对三角函数“化

一”恒等变换．高考中对三角函数考查时，注重考查方程思想、整体

思想、数形结合思想在解题中运用．尤其注重两种“先平移后伸缩”

和“先伸缩后平移”两种变换的差异：先相位变换再周期变换(伸缩

变换)，平移的量是ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变

换，平移的量是()0ϕ

ωω

>个单

位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．

例3．（2016高考新课标2文数）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图象如图所示，则（ ）

A ．2sin(2)6y x π=-

B ．2sin(2)3y x π

=-

C ．2sin(2+)6y x π=

D ．2sin(2+)3

y x π

=

【答案】A

【解析】由图知，2A =，周期2[()]36T π

ππ=--=，∴22π

ωπ

==，

∴2sin(2)y x ϕ=+，∵图象过点(

,2)3

π

，∴22sin(2)3

π

ϕ=⨯

+，∴

2sin(

)13πϕ+=，∴22(Z)32

k k ππ

ϕπ+=+∈，令0k =得，6

π

ϕ=-

，∴2sin(2)6

y x π

=-

，故选A ．

例4．（2016高考新课标2理数）若将函数2sin 2y x =的图象向左平

移12

π

个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （ ） A ．()26k x k Z ππ=

-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=

-∈ D ．()212

k x k Z ππ=+∈ 【答案】B

【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图象向左平移

12

π

个单位得2sin 2()2sin(2)126

y x x ππ

=+

=+

，