第八章 描述函数法
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第8章 非线性系统分析
14
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
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第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
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第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
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一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
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一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
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一、非线性控制系统概述(4)
精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
19
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
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8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
描述函数法讲解
0
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
自动控制原理第八章
非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述
2.非线性系统的一般数学模型
f (t , d y dt
n n
,
dy dt
, y ) g (t ,
d r dt
m
m
,
dr dt
, r)
其中，f (· )和g (· )为非线性函数。
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 23
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 5
（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特
征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。 （2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂 态过程为一常量。 （3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系 统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。 系统的暂态过程如图所示。 由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理。
非线性弹簧输出的幅频特性
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 11
实际中常见的非线性例子
实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，
超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上
还人为引入饱和特性用以限制过载；
电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输
2012-6-21
《自动控制原理》 第八章 非线性系统
16
系统进入饱和后，等效K↓
% ( 原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性
2.非线性系统的一般数学模型
f (t , d y dt
n n
,
dy dt
, y ) g (t ,
d r dt
m
m
,
dr dt
, r)
其中，f (· )和g (· )为非线性函数。
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 23
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 5
（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特
征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。 （2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂 态过程为一常量。 （3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系 统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。 系统的暂态过程如图所示。 由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理。
非线性弹簧输出的幅频特性
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 11
实际中常见的非线性例子
实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，
超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上
还人为引入饱和特性用以限制过载；
电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输
2012-6-21
《自动控制原理》 第八章 非线性系统
16
系统进入饱和后，等效K↓
% ( 原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
非线性系统分析
3、频率特性发生畸变 在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，使输出波形发生非线性畸变。
四、分析与设计方法 而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。 1、相平面法（二阶系统） 2、描述函数法（高阶系统）
8-2 常见非线性及其对系统运动的影响
一、死区特性 控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳态误差，而测量元件死区的影响尤为显著。
二、饱和特性 饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性做信号限幅。
三、间隙特性 间隙或回环特性对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使系统稳差增大，相位滞后增大，从而使动态特性变坏。
例题：设含饱和非线性特性的非线性系统方框图如图所示，试绘制当输入信号为r(t)=1(t)时的相轨迹。
解：饱和特性的数学表达式为：
描述系统运动过程的微分方程为
由上列方程组写出以误差e为输出变量的系统运动方程为
(I)
若
则系统在I区工作于欠阻尼状态，这时的奇点(0，0)为稳定焦点;
3、相轨迹的绘制 （1）解析法 用求解微分方程的办法找出x和 的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹。
（2）等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线。
二、线性系统的相轨迹
1、一阶系统的相轨迹
x
T<0
x
T>0
2、二阶系统的相轨迹
（1）奇点： 在相平面上，
，不确定的点称为奇点。
第八章 非线性控制系统分析
x x
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx
x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x
c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx
x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x
c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。
自控 第8章-3 描述函数法
3
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 (Yn sin( nt n ) n1
其中，
A0
1
2
2
y(t)d (t)
0
为直流分量
Yn sin( nt n ) 为n次谐波
转换关系 Yn
An2 Bn2 ,
n
arctg
An Bn
An , Bn 为傅里叶系数
4
傅里叶系数计算
An
1
2
y(t) cos ntd(t)
0
Bn
1
2
y(t) sin ntd(t)
0
(n 1,2, )
若 A0 0 ， 且 n 1 时，Yn 均很小
则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin( t 1)
5
非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信 号的复数比定义为非线性环节的描述函数
24
图B： 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使 A A1 A0 因为系统稳定
所以，振幅将衰减，最终 A 0
j
1 N ( A)
0 N1 N0 N2
G( j)
图B
若 A A2 A0 系统不稳定 所以，振幅将增大，最终 A
所以N0点的周期运动是不稳定的
25
图C：两个交点
对于N20点，若 A A2 A20 系统不稳定 A A20
23
图A：交点标记为N0 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使
j
1 N ( A)
0 N2 N0 N1
A A1 A0
G( j)
因为 G( j)曲线包围 N (1A)曲线，系统不稳定
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 (Yn sin( nt n ) n1
其中，
A0
1
2
2
y(t)d (t)
0
为直流分量
Yn sin( nt n ) 为n次谐波
转换关系 Yn
An2 Bn2 ,
n
arctg
An Bn
An , Bn 为傅里叶系数
4
傅里叶系数计算
An
1
2
y(t) cos ntd(t)
0
Bn
1
2
y(t) sin ntd(t)
0
(n 1,2, )
若 A0 0 ， 且 n 1 时，Yn 均很小
则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin( t 1)
5
非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信 号的复数比定义为非线性环节的描述函数
24
图B： 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使 A A1 A0 因为系统稳定
所以，振幅将衰减，最终 A 0
j
1 N ( A)
0 N1 N0 N2
G( j)
图B
若 A A2 A0 系统不稳定 所以，振幅将增大，最终 A
所以N0点的周期运动是不稳定的
25
图C：两个交点
对于N20点，若 A A2 A20 系统不稳定 A A20
23
图A：交点标记为N0 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使
j
1 N ( A)
0 N2 N0 N1
A A1 A0
G( j)
因为 G( j)曲线包围 N (1A)曲线，系统不稳定
8-4描述函数法
n 1 n 1
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1
1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10
k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20
x2 x20 | x2 | x20 x2 x20
2
Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1
0
y (t ) sin t d t cos
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1
1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10
k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20
x2 x20 | x2 | x20 x2 x20
2
Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1
0
y (t ) sin t d t cos
《自动控制原理8.4》
谐波线性化 设非线性系统的方框图如下图所示。
r(t ) 0
x(t )
N( A)
y(t )
G( s )
c(t )
-
图中N（A）为非线性元件。设N（A）的输入信号 为一正弦信号 x(t ) Asin t 由于非线性特性的作用， 其输出信号的稳态分量y(t)是一个非正弦周期函数， 其周期与输入信号相同。我们作如下假设：
《自动控制原理》 —— 第八章（第4节）
洛阳理工学院 电气工程与自动化系
Ldyichm@邮箱
非线性环节的正弦响应
y(t) ωt y(t)
ωt
y(t) ωt y(t) ωt
8.4.1 描述函数的概念
描述函数定义
为非线性环节输出基波分量与输入正弦量的复数比。
描述函数法实质上是一种谐波线性化方法，其基 本思想是用非线性环节输出信号中的基波分量来 取代其正弦输入信号作用下之实际输出。
（3）若 G( j) 与 N ( A) 相交，则意味着系统会产生自激振荡， 交点处 G( j) 曲线所对应的角频率 为自激振荡的角频率，
1 交点处的N ( A)
所对应的幅值A为自激振荡的振幅值。
8.4.4 用描述函数法分析非线性系统
1 G ( j ) N ( A)
处于自激振荡情况下的非线性环 1
t
8.4.2典型非线性的描述函数
（1）饱和特性 y (t )
输入值为
y (t )
x(t ) A sin t 当 A 时，饱和特性的输出为y（t）
t
a
x(t )
x(t )
t
x(t ) A sin t
B1
2 0 y(t )sin td (t ) y(t )sin td (t ) y(t )sin
描述函数法
描述函数的定义对于很多非线性环节当输入信号为正弦函数出量xt一般都不是同频率的正弦波而是一个非正弦的周期函数其周期与输入信号的周期相同一般可以展开为傅里叶级数480481a481b设非线性特性是关于原点对称的则at0xt的基波分量为482sinsincos483a483b484atg1484b类似于线性系统理论中的频率特性的概念把非线性环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之比定义为该非线性环节的描述函数记为naj3
(4.82)
式中
2
A1
1 π
x(t) cosω td (ω t)
0
2
B1
1 π
x(t) sin ω td (ω t)
0
X1 A12 B12
（4.83a） （4.83b） (4.84a)
1=tg-1A/B
(4.84b)
类似于线性系统理论中的频率特性的概念，把非线性
环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之
解 因为是x(t)奇函数，所以A1=0。由式（4.83b）得
B1
1
2
x(t) sin ω td (ω t)
4
2 [ A sin ω t 2
A3 4
sin 3 ω t]sin ω td (ω t)
0
0
A 2 (2 sin 2 A2 sin 4 )d A 3 A3
其中， 1
sin 1 (
A
2a) A
，于是
0ωt
2
2
ωt
1
1 ωt
A1
2
x(t) cosω td (ω t)
(4.82)
式中
2
A1
1 π
x(t) cosω td (ω t)
0
2
B1
1 π
x(t) sin ω td (ω t)
0
X1 A12 B12
（4.83a） （4.83b） (4.84a)
1=tg-1A/B
(4.84b)
类似于线性系统理论中的频率特性的概念，把非线性
环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之
解 因为是x(t)奇函数，所以A1=0。由式（4.83b）得
B1
1
2
x(t) sin ω td (ω t)
4
2 [ A sin ω t 2
A3 4
sin 3 ω t]sin ω td (ω t)
0
0
A 2 (2 sin 2 A2 sin 4 )d A 3 A3
其中， 1
sin 1 (
A
2a) A
，于是
0ωt
2
2
ωt
1
1 ωt
A1
2
x(t) cosω td (ω t)
自动控制原理第8章
第八章 非线性控制系统分析 y0=［0.5 1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
第八章 非线性控制系统分析 y0=［-0.8 -1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
第八章 非线性控制系统分析 a=［1 1 1］ n=length(a)-1 p=roots(a) v=rot90(vander(p)) y0=［0 0］′ c=v＼y0 y1=zeros(1, length(t)) y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t) end plot(x1+y1′, x2+y2) hnd=plot(x1+y1′, x2+y2′) set(hnd, ′linewidth′, 1.3) hold on
第八章 非线性控制系统分析 8.1.3 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式, 以解
决稳定性问题为中心, 对系统实施有效的控制。由于非线性系
第八章非线性控制系统的分析
否则，必须考虑死区的影响。而在工程实际中，有时为了提高系统的抗干扰能力，
会有意引入或增大死区。
3.间隙特性(滞环特性)
间隙特性的静特性曲线如图8.4所示，其数学表达式为
（8.3）
式中，a为间隙宽度，K为比例系数(线性段斜率)，(t)=dx(t)/dt。
ሶ
8.1
非线性控制系统概述
间隙特性是一种非单值特性，表现为正向特性与反向特性不是重叠在一起，而是在输入—输出曲线上出现
性具有明显的饱和非线性。
上述伺服电动机的非线性是因为使用的磁性材料具有非线性，
因此当输入电压超过一定数值时，伺服电动机的输出转矩就出现饱和现
象。实际上，由于伺服电动机还存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当
输入电压达到一定数值时，伺服电动机才会转动，即存在不灵敏区。所
以，伺服电动机的实际静特性是同时具有不灵敏区与饱和的非线性特性。
2.死区(不灵敏区)特性
死区特性的静特性曲线如图8.3所示，其数学表达式为
（8.2）
式中，a为死区宽度，K为线性输出斜率。
死区特性的特点是，当系统或环节有输入信号，但尚未超过数值a时，
无相应的信号输出。
死区特性在控制系统中也较为常见，一般的测量元件和执行机构都具
图8.3
死区特性
图8.4
间隙特性
有死区特性。当死区很小或对系统性能不会产生不利影响时，可以忽略不计。
现的这种周期运动即为自激振荡。自激振荡是非线性控制系统特有的，是非线性控制理论研究的重要问题。
8.1
非线性控制系统概述
8.1.4
非线性控制系统的分析与设计方法
描述非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程，对非线性控制系统进行分析的重点是系统稳定性
会有意引入或增大死区。
3.间隙特性(滞环特性)
间隙特性的静特性曲线如图8.4所示，其数学表达式为
（8.3）
式中，a为间隙宽度，K为比例系数(线性段斜率)，(t)=dx(t)/dt。
ሶ
8.1
非线性控制系统概述
间隙特性是一种非单值特性，表现为正向特性与反向特性不是重叠在一起，而是在输入—输出曲线上出现
性具有明显的饱和非线性。
上述伺服电动机的非线性是因为使用的磁性材料具有非线性，
因此当输入电压超过一定数值时，伺服电动机的输出转矩就出现饱和现
象。实际上，由于伺服电动机还存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当
输入电压达到一定数值时，伺服电动机才会转动，即存在不灵敏区。所
以，伺服电动机的实际静特性是同时具有不灵敏区与饱和的非线性特性。
2.死区(不灵敏区)特性
死区特性的静特性曲线如图8.3所示，其数学表达式为
（8.2）
式中，a为死区宽度，K为线性输出斜率。
死区特性的特点是，当系统或环节有输入信号，但尚未超过数值a时，
无相应的信号输出。
死区特性在控制系统中也较为常见，一般的测量元件和执行机构都具
图8.3
死区特性
图8.4
间隙特性
有死区特性。当死区很小或对系统性能不会产生不利影响时，可以忽略不计。
现的这种周期运动即为自激振荡。自激振荡是非线性控制系统特有的，是非线性控制理论研究的重要问题。
8.1
非线性控制系统概述
8.1.4
非线性控制系统的分析与设计方法
描述非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程，对非线性控制系统进行分析的重点是系统稳定性
西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_03_描述函数法_1描述函数
A3
[例1] 故：该非线性元件的描述函数为
N ( A) B1 jA1 1 3 A2 A 2 16
y
6
3
123 x
N ( A)
4 2
12345 A
二、应用描述函数法的基本假设条件
基本条件： 非线性环节正弦输入的响应输出高次谐波可忽略
基本条件成立的条件：
A 经结构图等效变换，非线性系统可简化成如下典型结构
在线性环节和非线性环节两种情况下的输出。
1、描述函数定义
设其输入为正弦函数，即：x(t) Asint
则其输出 y(t) 为非正弦周期函数，
对非正弦周期函数 y(t) ，可以展开成傅立叶级数：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) A0 Yn sin(nt n )
1
arcsin
h A
,
2
arcsin mh , A
y(t) 为奇对称函数，但非奇函数，有 A0 0
因其在一个周期内对称：
A1
2
2 M costdt 2Mh (m 1)
1
A
2
B1
2
M
sintdt
2M
Hale Waihona Puke 11 mh2
A
1
h
2
A
五、典型非线性特性的描述函数
死区滞环继电非线性环节特性的描述函数
)2
1
五、典型非线性特性的描述函数
死区(不灵敏区)特性的描述函数
负倒特性
1 N ( A)
2K
2
sin1(
a ) A
a A
1
(
a A
)2
1
当 A a时
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
第八章 描述函数法
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
G1 ( s ) N ( A) 1 1 G1 ( s ) G1 ( s ) 0.5( s 1) G * ( s) 2 1 G1 ( s ) s 0.5s 0.5
§7.3.3
1
1 2 2 2 非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式 A0 y ( t ) d t Yn A n Bn 0 2 为此，定义正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波 1 2 1 2 分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用 N(A) 表示： B y ( t ) sin n t d t An y ( t ) cos n t d t 1 1 n 1 1 0 0
KA 2b 2b b b [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] 2 A A A A K 2b 2b b b 4Kb b N ( A) [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] j ( 1) 2 A A A A A A
4 MKe j t 3 2 j ( 2 2 ) A
4 5
2 4
22 ( arctan ) 3
M 1 K 10 9.93 代入 A 4 比较模和相角得 1 t arctan 0.322 1 3
自动控制_08b系统分析的描述函数法
线性系统的Nyquist判据：闭环系统是否稳定取决于
在复平面上G(jω)曲线是否包围实轴上的－1／k点。
现在将上述结论推广到N(A)为非线性函数的情 况。因为A连续变化时N(A)是复平面上的一根曲线， 所以闭环系统是否稳定取决于曲线G(jω)是否包围－ 1／N(A)曲线。具体讲就是：在复平面上，如果曲线 G(jω)不包围－1／N(A)曲线，那么闭环系统稳定； 如果G(jω)曲线包围－1／N(A)曲线，那么闭环系统 不稳定；如果曲线G(jω)与曲线－1／N(A)相交，那 么闭环系统出现自持振荡（极限环）。为了方便， 我们将曲线－1／N(A)称为‘负倒描述函数曲线’。
考虑图8－37所示死区特性，当输入为正弦函
数 x(t) Asin t ( A ) 时，输出 y(t)如图8－
37 所 示 ， 因 为 图 中 的 y(t) 是 单 值 奇 对 称 的 ， 所
以 A1 0,1 0 ，
图8－37 死区特性的描述函数
所以
B1
1
2 y(t) sin tdt 4
益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇
对称的，那么：A1 0,1 0, N B1 / A
只有当非线性元件具有储能特性时，描述函数才既是输 入振幅又是角频率的函数。
(2)描述函数分析的应用条件
1）非线性系统应能够简化成一个非线性环节和一个 线性部分闭环连接的典型结构；
2）非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇函数， 或正弦输入下的输出为t的奇对称函数；
1
2
，A
2
A A A
（2）继电特性 图8－38 继电特性的描述函数
在复平面上G(jω)曲线是否包围实轴上的－1／k点。
现在将上述结论推广到N(A)为非线性函数的情 况。因为A连续变化时N(A)是复平面上的一根曲线， 所以闭环系统是否稳定取决于曲线G(jω)是否包围－ 1／N(A)曲线。具体讲就是：在复平面上，如果曲线 G(jω)不包围－1／N(A)曲线，那么闭环系统稳定； 如果G(jω)曲线包围－1／N(A)曲线，那么闭环系统 不稳定；如果曲线G(jω)与曲线－1／N(A)相交，那 么闭环系统出现自持振荡（极限环）。为了方便， 我们将曲线－1／N(A)称为‘负倒描述函数曲线’。
考虑图8－37所示死区特性，当输入为正弦函
数 x(t) Asin t ( A ) 时，输出 y(t)如图8－
37 所 示 ， 因 为 图 中 的 y(t) 是 单 值 奇 对 称 的 ， 所
以 A1 0,1 0 ，
图8－37 死区特性的描述函数
所以
B1
1
2 y(t) sin tdt 4
益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇
对称的，那么：A1 0,1 0, N B1 / A
只有当非线性元件具有储能特性时，描述函数才既是输 入振幅又是角频率的函数。
(2)描述函数分析的应用条件
1）非线性系统应能够简化成一个非线性环节和一个 线性部分闭环连接的典型结构；
2）非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇函数， 或正弦输入下的输出为t的奇对称函数；
1
2
，A
2
A A A
（2）继电特性 图8－38 继电特性的描述函数
描述函数
1
tg 1
A1 B1
N（A）是复增益是输入正弦振幅A的函数。
举例：理想继电器特性的描述函数
x(t) Asin t
M y(t) M
(0 t ) ( t 2 )
傅氏展开
y(t) A0 (An cos nt Bn sin nt)
1
N ( A) 2k[ sin1 a a 1 ( a )2
2
AA A
A＝a时
1 N ( A)
A ∞ 时 1 1 N ( A) k
(A a)
负倒描述函数轨迹 =实轴上（-∞,-1/k)。
G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡
G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:不稳定自振交点
斜对称
②非线性环节特性是斜对称的；
y(x) y(x)
③系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 正弦信号输入时，
输出不含直流分
量。
在上述条件下，正弦输入信号作用于非线性环节时，输出的 高次谐波分量将被其后的线性部分滤除，也就是说，可以忽 略输出的所有高于一次的谐波分量。由此可定义：
描述函数=非线性环节输出的一次谐波分量/输入的正弦函数
非线性系统的描述函数法分析
描述函数的概念 例 典型的非线性特性的描述函数
非线性系统的稳定性 非线性自持振荡的稳定 分析法
典型非线性系统的稳定性 例
非线性系统的校正
利用描述函数的前提条件
1、系统开环部分可分离为： 非线性环节N(A) 、线性部分G(s)
2、假定：
①非线性环节的特性不是时间的函数；
取得极值。
极值为
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2 KA
a a a [arcsin 1 ( )2 ] A A A
a a a 2 N ( A) [arcsin 1 ( ) ] A A A
2K
A0 0
间隙特性描述函数
2 /2 A1 ( K ( A sin t b) costdt 0
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
1
1 2 2 2 非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式 A0 y ( t ) d t Yn A n Bn 0 2 为此，定义正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波 1 2 1 2 分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用 N(A) 表示： B y ( t ) sin n t d t An y ( t ) cos n t d t 1 1 n 1 1 0 0
2 A h h 1 j 4h A A
A h 1 j 4h 4 A
2
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（3）
穿入 穿出
相切于
4 自振分析 (定性)
不是自振点 的点 是自振点 对应半稳定 的周期运动
y K ( x ) K ( A sin t )
A0 0, A1 0
B1
4
/2
1
K ( A sin t ) sin tdt
/2 4 /2 ( KA sin 2 tdt K sin tdt ) 1 1 /2 4 KA / 2 [ ( 1 cos 2 t ) d t K sin tdt ] 1 2 1
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（6）
1 例2 系统如右，欲产生 A 4 的周期信号, 试确定K、t的值。 分析：可以调节K, t实现要求的自振运动。
解 N ( A) G( j ) 1 4M Ke jt 1 A j (1 j )(2 j )
1
K ( A sin t b) sin tdt )
继电特性描述函数
t 1 0, 0 y M , 1 t 2 0, 2 t
A1
KA 2b 2b b b [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] 2 A A A A K 2b 2b b b 4Kb b N ( A) [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] j ( 1) 2 A A A A A A
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（9）
例5 非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明 系统是否自振，并确定使系统稳定的初值(A)范围。
解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s)
D( s) 1 N ( A) G1 ( s) G1 ( s) 0 N ( A) G1 ( s) [1 G1 ( s)]
非线性系统结构图简化
§7.3.3
1 基本假设
用描述函数法分析非线性系统（1）
① 结构上：N(A), G(j) 串联 ② N(A)奇对称,y1(t)幅值占优 ③ G(j)低通滤波特性好
2 稳定性分析 返回
G ( j )
稳定 不包围 1 则系统 不稳定 包围 N ( A) 相交于 可能自振
2M
h A sin 1 m h A sin( 2 )
N ( A)
2M mh h 2Mh [ 1 ( )2 1 ( )2 ] j (m 1), A h 2 A A A A
非线性特性的描述函数
一般继电特性的描述函数：
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
返回
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（4）
自振分析 (举例)
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（5）
4 自振分析 (定量)
自振必要条件：N ( A) G( j ) 1
例1 分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。
解 作图分析，系统一定自振。
由自振条件：N ( A) G( j ) 1
饱和特性描述函数
KA sin t ,0 t 1 y Ka , t 1 2
A0 0, A1 0
/2 4 1 2 B1 ( KA sin tdt KA sin tdt ) 1 0
1 N ( A) 的绘制及其特点 返回
( A h)
例2 纯滞环继电特性的负倒描述函数
2 2 4M 4 Mh M 4h h 4h 2 h N ( A) 1 j 1 j 2 2 A A h A A A A 1 A 1 2 N 0 ( A) 4h h h 1 j A A
1 /2
K ( A sin t b),0 t / 2 y K ( A b), / 2 t 1 K ( A sin t b), 1 t
1 N ( A) G( j ) 0 N ( A) G( j ) 1 1 G ( j ) N ( A)
3
1 的绘制及其特点 N ( A)
例1 理想继电特性的负倒描述函数 1 A 4M N ( A) N ( A) 4M A
§7.3.3
3
用描述函数法分析非线性系统（2）
1 K G ( s ) , G ( s ) 2 1 s ( s 1 ) s 已知： 2 h N ( A) 4 M 1 ( A h) A A
(1) G3 ( s) 1 时，系统是否自振？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。 (2) G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。
非线性环节的正弦响应
y(t) ωt y(t) ωt y(t) ωt y(t) ωt
描述函数的定义
y(t)= A0+∑(A cosn ωt+B sin n ωt) X (t) = A sin ωt n n n=1
∞ ∞
= A0+∑Y (sin n ωt+φ ) y(t) ≈ Y sin(ωt+φ n n n=1
K ( A b) costdt
4 Kb b ( 1) A 2 /2 B1 ( K ( A sin t b) sin tdt
11
K ( A sin t b) costdt )
0
1
/2
K ( A b) sin tdt
G1 ( s ) N ( A) 1 1 G1 ( s ) G1 ( s ) 0.5( s 1) G * ( s) 2 1 G1 ( s ) s 0.5s 0.5
§7.3.3
若A0=0，且当n>1时，Yn均很小，则可近似认为非线性环节的 Y1 j1 B1 jA 1 j ∠ N(A) e N(A) = N(A) e = 正弦响应仅有一次谐波分量！
) 1
y(t)≈ A1cosω t+B1sinω t ≈ Y1sin(ωt+φ1) φ1= arctgA1/B1
A
A
死区特性描述函数
1 arcsin
A
A sin 1
2 cos 1 1 ( ) A
4 KA 1 /2 /2 [ (t sin 2t ) K ( cos t ) 1 ] 1 2 2 2 KA 1 2 [( 1 sin 2 1 ) (cos 1 )] 2 2 A 2KA 2 [ arcsin 1 ( ) ] 2 A A A 2K N ( A) [ arcsin 1 ( )2 ] 2 A A A
解(1) N ( A)
8 A2 1 j 2 A 1 2 j A 1 j A 2 8 8 N ( A) 8 2K 2K 1 G( j ) 1 j j j (1 j ) 1 2 8 8
4 10 1 得： A j (1 j )(2 j )
40 j (1 j )(2 j ) 3 2 j ( 2 2 ) A
40 3 2 比较实/虚部： A (2 2 ) 0
2
A
40 2.122 6
2K 135 。 s ( s 1 )
(2) 依图分析： K A ,
1 K 8 0.3927 Ac 8 2 3.6
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（8）
例4 非线性系统结构图如右图所示，
演示
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（7）
例3 非线性系统结构图如右图所示，
M 2, h 1 已知： N ( A) 8 A2 1 j 8 ( A 1) A2 A2
(1) 自振时,调整K使 G( s)
求此时的K值和自振参数(A,)以及输出振幅Ac。 (2)定性分析K增大后自振参数(A,)的变化规律。