概率论与数理统计(完整版)

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例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
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二、几何定义:
定义若对于一随机试验,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个,且具有非 零的 ,有限的几何度量,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
Байду номын сангаас
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会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不相 关. 求甲、乙两人能会面的概率.
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
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随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
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1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下. 事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两 两 互 不,则 相 容
对偶律: A B A B;
A B A B.
证明 对偶律.
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例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
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（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) AB.
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2.和事件:
AB{x|xA或xB}称为 A与B的和事 . 件
即AB ,中至少有一 ,称个 为 A与 发 B的 生和 ,记AB.
fn (A 1 A 2 A k) fn(A1)fn(A2)fn(Ak).有 ( 限可
3. 频率的特性: 波动性和稳. 定性.
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四. 概率公理化定义:
1.定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个
事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合 函数P(.)满足下列条件:
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1P) (|A )0.
(2设 )B1,B2,,Bn两两互,不 则相容
n
n
P( Bi |A) P.(iB|A.)
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i1
i1
(3P )B (|A )1P (B |A ).
(4P ) (C B |A P ) |(A B P ) |(A C) -P(|A BC ).
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
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例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
A-BAAB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)AB
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5.事件的互不相容(互斥):
若 AB,则A 称 与 B 是 互 不 ,或 相 互 ,容 即 斥
A 与 B 不能同 . 时发生
B
A B
A
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6. 对立事件(逆事件)： 若ABS且A B，则A称 与B互为逆事件
为对立.事 即:件 在一次实 , 事 验件 A中 与B中必然有 个 发,且 生仅 有 一.个 发 生
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§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
( 1 ) P ( A B )( ;P 2 ( A B )( ;P 3 ( A ) B )( ;4 ( A B )P .
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§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
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定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
P(A) m(A)
m()
(其中 m()是样本空间,m 的 (A)度 是量 构成事 A 件 的子区域的 )这度样量借助于几量 何来 上合 的理 度 规定的概率 几称 何为 概 . 率
n
(ii)Bi S,
i1
S B1
则 本称 空B1间 S,B的2,一 B个 n为划样 . 分 Bn
推广 P(ABC)P(A )P(B )P(C) P(A)B P(A)C P(B)C P(AB ).C
n
P (A 1 A 2 A n ) P(A i ) P(A i A j )
i1
1i jn
P(A i A jA k )
1i jk n
(
1)
n1
.
P(
A
1
A
2
A n ).
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例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列 事件的概率:
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(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
P(A 1)P(A2)P(An).(有限可 )
性3质 . 若 AB,则有
P(BA)P(B)P(A);
P (B )P (A ).
一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).
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性4质 .对任一 A, 事 P(A)件 1.
性5质 .对任一 A , P 事 (A)件 1P(A).
性6质 .对任意A 两 ,B有 事件 P(AB)P(A)P(B)P(A)B.
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A).
例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
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(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算
P(B| A) P(AB.) P(A)
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2. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并
(1) 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） (2) P(S)=1;（规范性)
(3) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
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2.概率的性质： 性1质 . P()0.
性质 2. 若A1,A2,,An是两两互不相容 , 则 P(A 1A2An)
A的 对 立 事A件 .若A与 记B互 为为 对 立 事 件 A， B, 或BA.
B A
S
BA
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7.事件的运算律:
交换律: A B B A ； A B B A .
结合律: A(BC)(AB )C; A(BC)(AB )C.
分配律: A(BC )(AB)(AC ); A(BC )(AB)(AC ).
可列个A事 1, A2件 ,的和事件记 Ak.为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA
k 1
K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
(2)AB
A B
(3)A B
.S
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4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
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三. 统计定义:
(一) 频率
1. 在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次
数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为 fn(A).
2. 频率的基本性质：
(1) 0f（ n A） 1； （非负性）
(2) fn(S)1;
（规范性）
（ 3）A 若 1， A2， ,Ak两两互,则 不相容
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性.
3. 概率与数理统计的广泛应用.
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§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
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例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3 只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）
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蒲丰投针试验
例2 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为l ( <a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率.
a M
x
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几何概型的概率的性质
(1) 对任一事件A ,有 0p(A)1;
(2 )P ( ) 1 ,P ( ) 0 ; (3) 对于两两互斥 个的 事可 A1件 ,A列 2,多 , P(A1A2)P(A1)P(A2)
A中 的 基 本 事k件 数 P(A)S中的基. 本事n件总数 15
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集. (2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算: P(A)SA 中 中的 的基 基本 本事 事 kn件 件总 数
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例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
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(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定:义 若 B1,B2,,Bn一组事:件满
(iB i) B j φ ,i ji,j, 12,.,.n .,,