高一数学不等式知识点总结页PPT文档
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与 只是符号，而不表示具体的数.
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• 问题：
• 一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间 存在着哪些联系？
• 比如： • 一次函数：y=2x-6 • 一元一次方程：2x-6=0 • 一元一次不等式：2x-6>0或2x-6<0
• 归纳： • 观察函数y=2x-6的图像：
• 方程2x-6=0的解恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是 不等式2x-6>0的解集{x|x>3}；在x轴下方的函数图像所对 应的自变量x的取值范围，恰好是不等式2x-6<0的解集 {x|x<3}．
念
ax2+bx+c＞（≥）0 或 ax2+bx+c＜（≤）0， 其中，a、b、c 为常数，且 a≠0.
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即 a 0 ，则可
以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以 1，使其二次
项系数化为正数，然后再求解.
（1）当方程 ax2+bx+c=0 的判别式=b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等 的实数根 x1、x2（x1＜x2），此时不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为（-∞， x1）∪（x2，+∞）；不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为（x1，x2）.
x a(a 0) 型不等式来求解.这种方法称为“变量替换法”或
“换元法”.
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• 问题： • 资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断
提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时 速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的， 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越 世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度 值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间．
高一数学不等式知识点总结PPT讲稿思维导图知识点归纳总结[PPT白板课件]
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a
0
1 b
a 2 b 2 2ab
a2
b2
1 (a b) 2 2
3. 基
整
式
形
式
本
ab
a
b
2
2
ab a 2 b 2 2
不
等 式 定
根
式
形
a 式a
2
b b
ab 2(a 2 b 2 )
理
分
式
形
式b
a
2(a, b同 号 ）
ab
倒
数
形
式
a
0
a
a 0 a
12 a 1 2
a
4.公式
a2 b2 a b
2
2
ab
a 1
2 b 1
5.重要结论
a3 b 3 c3 3abc (a, b, c, 0)
ac
bc,
同
向
正
数
不
等
式
相
乘a c
b d
0 0
ac
乘
方
法
则a b n N
0
an
bn
开 方 倒 数
法 法
则 n
则a
a
b0 N且n 1 b0 1
a
na
0
1 b
a 2 b 2 2ab
a2
b2
1 (a b) 2 2
3. 基
整
式
形
式
本
ab
a
b
2
2
ab a 2 b 2 2
不
等 式 定
根
式
形
a 式a
2
b b
ab 2(a 2 b 2 )
理
分
式
形
式b
a
2(a, b同 号 ）
ab
倒
数
形
式
a
0
a
a 0 a
12 a 1 2
a
4.公式
a2 b2 a b
2
2
ab
a 1
2 b 1
5.重要结论
a3 b 3 c3 3abc (a, b, c, 0)
ac
bc,
同
向
正
数
不
等
式
相
乘a c
b d
0 0
ac
乘
方
法
则a b n N
0
an
bn
开 方 倒 数
法 法
则 n
则a
a
b0 N且n 1 b0 1
a
na
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
高中数学不等式 PPT课件 图文
性质8 如果a＞b＞0，那么 n a n b（n∈N，n≥2）
绝对值不等式的基本性质
a 0
绝对 值不 等式
a
b
a
b
a b
a
b
基本 性质
a
n
an
a b ab a b
a1
a2
an
a1
a2
an
不等式的解法
(1)一元一次不等式：ax
x
a, (a
0)
x
a, 或x
a
公式法
f(x) g(x) f(x) g(x),或f(x) f(x) g(x) g(x) f(x) g(x)
a b ab a b
g(x)
a1 a2 an a1 a2 an
平方法f(x) g(x) f 2 (x) g2 (x) 划分区域讨论法：适合于两个或两个以上绝对值号的不等式
利用绝对值的几何意义:
(6)指数不等式：
af(x)ag(x) f(fx()x ) g(g x()x(),0(, a a 1)1)
(7)对数不等式：
f(x) 0
g(x) 0
(a 1)
loga f (x)
logag(x)
fg((fxx())x)
0 0
g(x) (0
a 1)
f(x) g(x)
不等式的证明方法
证明不等式的主要方法
（1） 比较法
绝对值不等式的基本性质
a 0
绝对 值不 等式
a
b
a
b
a b
a
b
基本 性质
a
n
an
a b ab a b
a1
a2
an
a1
a2
an
不等式的解法
(1)一元一次不等式：ax
x
a, (a
0)
x
a, 或x
a
公式法
f(x) g(x) f(x) g(x),或f(x) f(x) g(x) g(x) f(x) g(x)
a b ab a b
g(x)
a1 a2 an a1 a2 an
平方法f(x) g(x) f 2 (x) g2 (x) 划分区域讨论法：适合于两个或两个以上绝对值号的不等式
利用绝对值的几何意义:
(6)指数不等式：
af(x)ag(x) f(fx()x ) g(g x()x(),0(, a a 1)1)
(7)对数不等式：
f(x) 0
g(x) 0
(a 1)
loga f (x)
logag(x)
fg((fxx())x)
0 0
g(x) (0
a 1)
f(x) g(x)
不等式的证明方法
证明不等式的主要方法
（1） 比较法
高中数学--不等式小结(一)ppt
典型例题
4. 解一元二次不等式
例9.已知关于x的方程(k－1)x2＋(k＋1)x＋ k＋1=0有两个相异实根，求实数k的取值 范围.
变式.一根大于1，一根小于1，求实数k的 取值范围.
课后作业
《习案》作业三十四.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
(7)开方法则：
知识梳理
(一) 不等式与不等关系 1. 应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (5)倒数法则： (6)乘方法则：
(7)开方法则：
知识梳理
(一) 不等式与不等关系 1. 应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (5)倒数法则： (6)乘方法则：
(7)开方法则：
不等式小结(一)
知识结构
不等关系与不等式
一元二次不等式 二元一次不等式 基本
及其解法
(组)与平面区域 不等式
简单的线性 规划问题
最大(小) 值问题
知识梳理
(一) 不等式与不等关系 1. 应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性： (2)传递性： (3)加法法则：
(4)乘法法则：
(4)乘法法则：
知识梳理
(一) 不等式与不等关系 1. 应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性： (2)传递性： (3)加法法则：
(4)乘法法则：
知识梳理
(一) 不等式与不等关系 1. 应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性： (2)传递性： (3)加法法则：
＜0
y Ox
典型例题
1. 用不等式表示不等关系
例1. 某电脑用户计划用不超过500元的资 金购买单价分别为60元、70元的单片软件 和盒装软件，根据需要，单片软件至少买 3片，盒装软件至少买2盒，写出满足上述 不等关系的不等式.
人教版高中数学必修一《基本不等式》PPT课件
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1．基本不等式的内容是什么？
2．基本不等式成立的条件是什么？
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栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式(x－2y)＋x－12y≥2 成立的前提条件为(
)
A．x≥2y
B．x>2y
C．x≤2y
D．x<2y
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x＋（21－x）2＝122＝14，当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时“＝”
高一不等式的知识点总结ppt
高一不等式的知识点总结ppt一、不等式的基本概念和表示方法不等式是指两个数之间的大小关系。
在数学中，常用的不等式符号包括小于号(<)、小于等于号(≤)、大于号(>)和大于等于号(≥)。
例如，a < b表示a小于b；c ≥ d表示c大于等于d。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。
1. 解一元一次不等式的基本步骤：(1) 移项：将所有含有未知数的项移到方程的一侧；(2) 合并同类项：将所有含有相同未知数的项合并；(3) 化简：对不等式进行化简，得到最简形式；(4) 代数解：根据不等式的性质得出解集；(5) 图解法：将不等式转化为图形，找出满足不等式的实数解。
2. 一元一次不等式的性质：(1) 若a < b且c > 0，则ac < bc；若a < b且c < 0，则ac > bc；(2) 若a < b且c > 0，则a + c < b + c；若a < b且c < 0，则a +c > b + c；(3) 若a < b且c > 0，则ac > bc；若a < b且c < 0，则ac < bc。
三、一元一次不等式组一元一次不等式组是指含有一个未知数的多个一次不等式组成的方程组。
1. 解一元一次不等式组的基本方法：(1) 将不等式组中的不等式进行标号；(2) 通过合并、消去、配凑等方法将不等式组中的不等式化为标准形式；(3) 由标准形式得出最后的解集。
2. 一元一次不等式组的解集表示：一元一次不等式组的解集可以表示为一个区间，用区间的端点表示解的范围。
例如，解集为[x, y)，表示解在x和y之间（含x，不含y）。
四、二次不等式二次不等式是指含有二次项的不等式。
1. 解二次不等式的基本步骤：(1) 求解方程：将二次不等式转化为相应的二次方程；(2) 求出二次方程的解集；(3) 根据二次不等式的性质确定解集。
不等式本章小结 课件
2．不等式、方程、函数的关系十分密切，解决不等式 问题常常利用函数与方程的知识；而解决函数问题则常常 用到方程与不等式知识；解决方程问题常常用到函数与不 等式知识．
[例5]
若关于x的不等式
4x＋m x2－2x＋3
<2对任意的x恒成
立，求实数m的取值范围．
[分析] 分母中x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，运用
[解析] 方法一：设z＝2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，即 2x－3y＝(m＋n)x＋(m－n)y.
所以mm＋－nn＝＝2－，3， 解得mn＝＝52－. 12，
∴2x－3y＝－12(x＋y)＋52(x－y)，
∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，
∴－2<－12(x＋y)<12，5<52(x－y)<125，
5．基本不等式最大(小)值的问题 利用基本不等式求最大(小)值问题要注意“一正二定 三相等”．为了达到使用基本不等式的目的，常常需要对 代数式进行通分、分解等变形，构造和为定值和积为定值 的模型．
6．利用不等式解函数、方程有关问题 利用基本不等式可找到函数的一些极值点，可求出函 数的定义域，值域并能够画出函数的图象．
即x＝87 3500，y＝17 3500时，饲料费用最低． 答：谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合，此时 成本最低．
四、不等式的实际应用
[例4] 某厂家在2008年举行“买产品，看北京奥运”
的促销活动中，经调查该产品的年销售量(即该厂的年产
量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足：x＝3－
k m＋1
3．二元一次不等式的平面区域的判定 在相应直线的一侧任取一个点(x0，y0)，代入Ax＋By＋ C，通过Ax0＋By0＋C的正负，结合原不等号方向判定．
高一数学人必修课件基本不等式
在给定周长的条件下，圆形的面积最大；在给定面积的条件下， 圆形的周长最小。
时间与速度的不等式
在给定距离的条件下，匀速运动所需时间最少；在给定时间的条件 下，匀速运动所走距离最远。
价格与数量的不等式
在购买商品时，常常会遇到“买得越多越便宜”的情况，即总价与 数量之间呈现不等式关系。
利用基本不等式解决实际问题
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$ 。
解一元二次不等式方法
01
02
03
配方法
通过配方将不等式转化为 完全平方的形式，从而更 容易求解。
因式分解法
将不等式左边进行因式分 解，然后利用数轴判断不 等式的解集。
最优化问题
利用基本不等式求最值，如在农业生产中如何使 产量最大、成本最小等。
决策问题
在面临多个选择时，利用基本不等式进行决策分 析，如选择哪种交通方式更经济、更快捷等。
验证问题
利用基本不等式进行验证，如验证某个设计方案 是否符合要求、某个实验结果是否可靠等。
提高对基本不等式的认识
深入理解基本不等式的本质和 内涵，掌握其证明方法和应用 技巧。
个问题。
例如，某种商品的价格为 $p$ 元，如果购买量超过 $q$ 件，则可以享受折扣价 ，这个问题可以用不等式 $p
> q$ 来表示。
例如，某个矩形的长为 $l$， 宽为 $w$，如果其面积要大 于 $A$，则可以用不等式 $l times w > A$ 来表示这个问
题。
03
时间与速度的不等式
在给定距离的条件下，匀速运动所需时间最少；在给定时间的条件 下，匀速运动所走距离最远。
价格与数量的不等式
在购买商品时，常常会遇到“买得越多越便宜”的情况，即总价与 数量之间呈现不等式关系。
利用基本不等式解决实际问题
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$ 。
解一元二次不等式方法
01
02
03
配方法
通过配方将不等式转化为 完全平方的形式，从而更 容易求解。
因式分解法
将不等式左边进行因式分 解，然后利用数轴判断不 等式的解集。
最优化问题
利用基本不等式求最值，如在农业生产中如何使 产量最大、成本最小等。
决策问题
在面临多个选择时，利用基本不等式进行决策分 析，如选择哪种交通方式更经济、更快捷等。
验证问题
利用基本不等式进行验证，如验证某个设计方案 是否符合要求、某个实验结果是否可靠等。
提高对基本不等式的认识
深入理解基本不等式的本质和 内涵，掌握其证明方法和应用 技巧。
个问题。
例如，某种商品的价格为 $p$ 元，如果购买量超过 $q$ 件，则可以享受折扣价 ，这个问题可以用不等式 $p
> q$ 来表示。
例如，某个矩形的长为 $l$， 宽为 $w$，如果其面积要大 于 $A$，则可以用不等式 $l times w > A$ 来表示这个问
题。
03
高一数学不等式知识点总结
•（2）综合法：由因导果 •（3）分析法：执果索因 •（4）反证法：正难则反
•（5）构造法：构造函数或不等式证明不等式 •（6）放缩法：要恰当的放缩以达到证题的目的
（7）判别式法：与一元二次函数有关的或可以转化 为一元二次函数,根据其有无实数解建立不等式关系 求解问题. （8）换元法：三角换元，增量换元 ， 均置换元. （9）数学归纳法：
10.解不等式
(1)一元一次不等式
x ax b(a 0) x b (a 0 ) a b (a 0 ) a
(2)一元二次不等式：
0, x x 1 , x x 2 ( x 1 x 2 ) b 2 ax bx c 0(a 0) 0, x 2a 0, x R
(5)无理不等式
f ( x ) g( x ) g( x ) 0 f ( x ) g ( x ) g( x ) 0 g( x ) 0 或 f ( x ) g( x ) 2 f ( x ) 0 f ( x ) g ( x) g( x ) 0 f ( x ) g ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) g 2 ( x )
不等式知识要点
一.知识网络
不等式性质 不等式的基本性质 绝对值不等式的基本性质
不 等 式
重要不等式：a 2 b 2 2ab a b 2 ab(a 0, b 0) 定理： 证明不等式主要方法
比 综 分 较 合 析 法 法 法 其它重要方法 反 放 证 缩 法 法
判 别 式 法
3. 基 本 不 等 式 定 理
a 2 b 2 2a b a 2 b 1 (a b ) 2 2 2 2 a b 整 式 形 式 ab 2 2 a b2 ab 2 a b ab 2 根 式 形 式 2 2 a b 2 ( a b ) b a 分 式 形 式 2(a , b同 号 ） a b 1 a 0 a 2 a 倒 数 形 式 1 a 0 a 2 a
相关主题
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f
(x
)
g(x)
f(x)
g(x)
g(x)
f
(
x
)
0 0
或
f
(
g x
( )
x)
g2
0 (
x
)
g(x) 0
f (x ) g(x ) f (x) 0
f (x ) g 2 (x )
(6)指数不等式：
af(x)ag(x)
超越不等式
对
数不
等式
三角不等式
不等式知识点
； wrtom 申博创赢会
wrf39xuz
凌娢心里这样想，她还想知道笑点在哪里呢。“你放心的笑，我保证不打死你。”说完这句话，她突然感觉自己好作死。“哈哈哈……谈人生 还是谈理想……亏你想得出来……谁会找你谈那种东西啊……”好想打他啊……真的好想打他……慕容凌娢感觉自己此时已经石化，尴尬癌都 犯了。“那个……”慕容凌娢皱了皱眉，强壮镇定的问道，“你到底想干什么？”“想你了，过来看看。”“装，你继续装！”慕容凌娢轻蔑 的看着韩哲轩。我就不信情节能发展的那么快。“骚年啊～好说咱们认识那么久了，我已经彻底明白你的套路了。”抿了一口茶，慕容凌娢一 副老谋深算的样子，“你看似是为了刷存在感而出现，其实每一次的出现都能引起一系列的连锁反应。比如说我第一次遇到你……”“等等， 这里不需要回忆杀！”韩哲轩急忙拦住了她，“本来每一章的内容已经很短小了，你在这个样子回忆下去，岂不是又要水好几章了吗。我知道
11.不等式的分类（按所连接的解析式类型分类）
一次不等式
整式不等
式
二次
不等
式
不 等 式
代数不等式
有理不等式 无理不等式
分式不等
式
高次不等式
绝对值不等式
指数不等式
法
则a b n N
0
an
bn
开 倒
方 数
法则 n
法 则a
a
b0 N且n 1 b0 1
a
n a 1 ,a
b
n
b
b
0
bd 1
a
0
1 b
3. 整式形式
基
本
不
等
式 根式形式
b a 2 ( a , b 同号）
a
b
a
0
a 0
a 1 2 a
a 1 2 a
4.公式
a2b 2 2
ab 2
ab a 1 2b 1
5.重要结论
a 3 b 3 c 3 3 a( b a ,b ,c c , 0 )
a b c3 3ab (a ,b c ,c ,0 )
移项法则a b c a c b
c同 向 不 等
式
相
加a c
b d
a
c
b
d
乘法单
调
性a c
b
o
ac
bc,
同
向
正
数不等
式
相
乘a c
b d
0 0
ac
乘
方
a1a2 an
表 解 法 数轴标根法
(4)分式不等式：
f (x) g(x)
0
f (x)
g(x)
0
f (x) g(x)
0
f(x) g(x) g(x) 0
0
(5)无理不等式
Байду номын сангаас
g(x) 0
f(x)
g(x)
6.证明不等式的主要方法 •（1）比较法：
作 作商 差 A BA 法 法 1B (B00 ) AA BB
•（2）综合法：由因导果
•（3）分析法：执果索因 •（4）反证法：正难则反 •（5）构造法：构造函数或不等式证明不等式
•（6）放缩法：要恰当的放缩以达到证题的目的
（7）判别式法：与一元二次函数有关的或可以转化 为一元二次函数,根据其有无实数解建立不等式关系 求解问题.
ab
g(x)
a1 a2 an a1 a2 an
平方法f(x) g(x) f 2 (x) g2 (x)
划分区域讨论法：适于 合两个或两个以上绝值 对号的不等式
利用绝对值的几何意义:
10.解不等式 (1)一元一次不等式
ax
二.知识要点
1.两实数大小的比较 2.不等式的性质
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
对称性a b b a
传递性a 加 法 单 调
b,b c a b c 性a b a c b
an
a1
a2
an
9.绝对值的解法
x a,(a 0) a x a
x
a, (a
0)
x
a, 或x
a
公式法
f(x) g(x) f(x) g(x)
a b ab
f(x) g(x),或f(x) g(x) f(x) g(x)
不等式知识要点
一.知识网络
不等式的基本性质
不等式性质
绝对值不等式的基本性质
重要不等式：a2 b2 2ab
定理：ab2a(b a0,b0)
不
等
证明不等式主要方法
其它重要方法
式
比综分 较合析 法法法
反放 判
证缩
别 式
法法 法
数 学
构 造
换
归 函元
纳 法
数 法
法
解不等式 不等式的应用
整式不等式 可化为整式不等式的不等式
定
理
分式形式
倒数形式
a 2 b 2 2 ab
a2 b2
1 (a b ) 2 2
ab
a
b
2
2
a2 b2 ab
2
a b 2
a
b
ab 2 (a 2 b 2 )
（8）换元法：三角换元，增量换元 ， 均置换元.
（9）数学归纳法：
7.绝对值的定义 8.绝对值的性质
a,(a 0)
a
0, (a
0)
a, (a 0)
a 0
a
b
a
b
a
b
a b
a
n
an
a b ab a b
a1
a2
b(a
x 0)
x
b
a b
(a (a
0) 0)
a
(2)一元二次不等式：
0,xx1,xx2(x1x2)
a2xb xc0(a0)
0,xb 2a
0,xR
(3)高次不等式： (x a 1 )x ( a 2 ) (x a n ) 0
f(x)g(x)(,a1) f(x)g(x)(,0a1)
(7)对数不等式
f(x) 0
g(x) 0
(a 1)
lo gaf (x)
logag(x)
fg((fxx())x) 00
g(x) (0
a
1)
f(x) g(x)