高观点下中学数学教学与高考备考若干问题的研究

课题《基于“交汇”的数学试题命制的研究》

子课题:高观点下中学数学教学与高考备考若干问题的研究

厦门双十中学李生华

一、子课题中几个核心概念的界定。

1、什么叫高观点？.

本文所讲的“高观点”狭义是指高等数学和现代数学的思想方法和观点，广义是指一切数学知识、教育学知识、心理学知识、数学教育的基本理论，如弗赖登塔尔的数学教育理论、波利亚的解题理论等等。

2、什么叫高观点下数学问题？

“高观点”下的数学试题,是指与高等数学相联系的中学数学问题或者说含有高等数学背景的中学数学问题.高观点下试题的命制是以现代数学和高等数学的知识背景来命制中学数学题目的一种新的命制模式。

3、什么是高观点下的中学数学教学？

老师们在教学中运用高等数学的理论、思想、方法与观点剖析中学数学相关内容的一种教学方式，这种教学有利于探究高等数学对中学数学教学的指导作用，积极把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来。高观点下的中学数学教学能使我们准确把握中学数学的本质和关键，从而高屋建瓴地处理中学教材，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路，提高解题能力，大有裨益。

二、本课题的意义和探究内容。

2、1、本课题的意义。

（1）引导中学数学教师应当站在更高的视角，从高等数学的角度，以宽泛的视野来诠释初等数学的核心知识及重要的数学思想方法内容来审视和理解初等数学的问题。只有把握并能驾驭数学核心概念，重要的数学思想方法及其发生、发展过程，才能更准确地回答学生提出的“为什么”。

（2）通过高观点下高考题的研究提升含有高等数学背景的高考试题的解题能力，提升编拟该类型试题的水平。

（3）通过本课题的前期和后续研究积极促进2012年福建数学高考的备考。

2.2 本课题主要探究内容

（1）中学数学与高等数学的联系。通过几个高中数学问题的初等数学解法和高等数学解法进行比较分析；

（2）研究这几年全国各地高等数学背景的高考题；

（3）2012年福建高考备考的几个启示。

三、高观点下中学数学教学内容。

3.1中学数学与高等数学的联系。

（1）中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础。现代数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来，如，数集和点集（平面的和空间的）是集合的特例；整数环是可换环的原型，有理数域是域的原型，数的四则运算是二元运算的特例；数值函数是映射的特例，变换又是特殊的函数等。

（2）对于中学数学里某些不能交待清楚的问题，要了解其再数学史上产生和解决的过程，弄清它们在高等数学里的背景。如，新课程教材中为什么把“0”作

为第一个自然数？自然数与有理数、实数相比较，孰多孰少？

（3）高等数学知识在中学数学解题当中的运用一方面能提升中学数学老师高屋建瓴地处理中学教材，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路，提高解题能力，大有裨益；另一方面，随着高考命题改革的逐步深入，结合命题组成员中大多是大学教师，他们在命题时不可能不受自身研究背景的影响，因此高等数学背景下的高考题编拟越来越重视。 3.2 高等数学知识在中学数学中的应用

3.2.1数学分析的有关概念在中学数学中的应用

数学分析的形成是深深扎根于初等数学基础上的,它的一些基本概念,如极限、导数、积分、无穷级数的收敛等,都是在初等数学有关问题的基础上发展而来.比如,初等数学只能求直线形所围成的多边形面积,圆形(包括扇形和弓形)的面积,若要求其他曲线形的面积,初等数学难以解决,就必然要探求新的方法,从而便在初等数学的基础上,形成了以微积分为中心的“数学分析”。

例1：求n

n

n n n nC C C C ++++Λ32132 法一：利用公式 )2(11+

--∈≥=N n n nC kC k n k n 且

法二：求导法

n n n n n n

n x C x C x C C x ++++=+Λ2210)1( 两边对x 求导得：

1

2112)1(--++=+n n n n n n x nC x C C x n Λ

令x=1得：1321232-⋅=++++n n

n n n n

n nC C C C Λ 例2、已知 2

0π

<

法一：单位圆内利用面积的大小比较得到。 法二：设f(x)=sinx,g(x)=tanx 由拉格朗日中值定理及2

0π

<

x x x x

x f x f <⇒<==--sin 1cos sin 0)0()(1ξ

x x x

x

x g x g >⇒>==--tan 1sec tan 0)0()(22ξ

x x x tan sin <<∴

备注：拉格朗日中值定理：函数f(x)在[a ，b] 连续，且在(a ，b)可导，则在(a ，b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)= )(,ξf (b —a)。

3.2.2、高等代数在中学数学中的应用

高等代数不仅是中学数学的延拓,也是现代数学的基础.作为中学数学教师总感觉到大学中学的高等代数在中学教学中用不上,其理由是从初等数学到高等数学,在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别;其实这是一种误解,正

因为有这样的区别,它能使我们从中学的解题思维定势中走出来,用一种更深远的眼光来看中学数学问题.

例3：若 , , a b c R +

∈且1a b c ++=.求证：1119a b c

++≥

法一：利用均值不等式解决即可。

法二：利用柯西不等式。构造设=ξ

,η= 则有：2

2

1

11111()())a b c a b c a b c

ξη=+++

+=++ 2

2

1

11,9a b c a

b c η

⎛⎫=⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭ 由柯西不等式得：1119a b c ++≥成立

备注：柯西—施瓦兹不等式是高等代数的一个重要不等式。设欧式空间n

R ,令

12=,,)n a a a ξL （,12(,,)n n b b b R η=∈L 则有2

22

,η

ξη≤（当且仅当ξ,η线性相关

时等号成立）,在标准内积下,有：

222222*********)()(),n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++L L L （

法三：此题还可以高等数学中函数的凹凸性为背景求解（关于函数的凹凸性质后面会详细

分析）。

证明 结合图像x y 1

=

在第一象限的一支 在上面取111(,) ,(,) ,(,)A a B b C c a b c

三点 此三点的重心G （00,y x ）其中3c

b a x o ++=；3

1

110c b a y +

+=

由x y 1=的下凸性可知,点在曲线上侧,所以001x y >,即3

13

1

11c b a c b a ++>+

+ ,

得到2

11139a b c a b c

++≥

=++ 3.2.3、概率与统计在中学数学中的应用

例4、设1,,0≤≤z y x ，求证：1≤---++zx yz xy z y x

证明：设A 、B 、C 是三个相互独立事件且p(A)=x,p(B)=y,P(C)=z 由概率的性质及加法公式得

zx

yz xy z y x CA p BC p AB p C p B p A p ABC p CA p BC p AB p C P B P A P C B A p ---++=---++≥+---++=++≥)()()()()()()

()()()()()()()(1