高观点下中学数学教学与高考备考若干问题的研究
高观点下的的中学数学
高观点下的中学数学高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．（一）高观点下研究中学数学的必要性新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为（１） 教学过程中，创设问题情境的需要． ◆例１：等差数列求和10012310010150S =++++=⨯L(1)(1)2123112(1)22n n n n n n S n n n n n ⎧+⎪+⎪=++++==⎨-+⎪++⎪⎩L 为奇数为奇数2(1)n S n n =+从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。
把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣． 例２ 数列的递推公式 ◆河内塔问题相传在越南的某寺庙中有一个用n 个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）AB C1231,3,7,.a a a ===L 121,21n n n n a a a +=+=-教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力． ◆例 平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可把平面分成几部分？11(1)2,1,12n n n n n a a a n a ++==++=+◆例 （Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？12(3)n n n a a a n --=+≥( 2 ) 高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景 ◆例１ 用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？ 这是著名的四色问题解法Ⅰ加法原理和乘法原理4312124321214321111120⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=分１、4同色与1、4不同色（2、4同色与2、4不同色）解法Ⅱ 本例也可以利用递推方法， 当4n ≥时，113432,4n n n a a a --+=⨯⨯=！教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识，抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性同法．( 3 ) 学生的求知欲对教师提出了更高的要求 当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水． ◆例 四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高考题）分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小，可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提出１００人的错排，应如何解决呢？一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有多少个？解 1 （容斥原理） 用i A 表示i 在第i 位的全排列（n i ,,2,1Λ=），则nn A A A D I ΛI I 21==∑∑∑-+++-n n j i i A A A A A A S I ΛI I ΛI 21)1(=!0)1()!2()!1(!21nn n n nC n C n C n -++-+--Λ=)!1)1(!31!2111(!n n n -++-+-Λ解2 （递推公式）设n a a a Λ,,21为n Λ,2,1的一个错排，显然i a a i≠≠,11，分两类（1） 第1a 位是1，共2-n D 种方法；（2）第1a 位不是1，有1-n D 种方法.又1a 有（1-n ）种取法，故))(1(21--+-=n n nD D n D 其中1,021==D D)!2(1)!1(1!21-+--=--n D n n D n n n D n n n 令!n D E nn=，则2111--+-=n n nE nE n n E !1)1()(1211n E E n E E n n n n n -==--=----Λ,又01=E!1)1(!31!21n E n n -++-=Λ，因此)!1)1(!31!21!111(!n n D n n -++-+-=Λ．◆例 2 过:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 交点),(00y x P 的直线系0)()(22221111=+++++c y b x a c y b x a λλ),(),,(222111b a n b a n ==，1n 与2n 线性无关，可作为二维空间的一组基底，由平面向量基本定理可知该直线包含过),(00y x P 的任何直线．而0)()(222111=+++++c y b x a c y b x a λ表示的直线系不含2l ，原因是21n n λ+与2n 不共线． （二）排列组合的有关问题（1）多重复的排列和组合◆例1，一排七盏路灯，关掉其中互不相邻的三盏，且不关两端的路灯，有多少种方法？分析：4个a ，3个b 的全排列，要求b 互不相邻且不在两端的方法有34C◆例2：100=++z y x 的正整数解的个数？方法Ⅰ：98+97+…+1=299C方法Ⅱ：对应于97///=++z y x 非负整数解个数，又可转化为97个球与两个竖线的全排列方法数299C(也可理解为{a,b,c}的一个97可重组合，97个相同的球放入三个不同的盒子中的方法数).古典组合数学的主要原理有： ①两个基本原理 ②容斥原理③一一对应，和中学要求一致.（2）分配问题（k n ≥）◆例：4人分配到3个工厂，每个工厂至少1人的方法数为 3324A C .一般地，n 个人分配到k 个工厂，（n ≥k ）,每个工厂至少1人的方法数？解：用i A 表示第i 个工厂空的方法数，（i =1,2…k ）kk n A A A S k ⋅⋅⋅=⋅I I 21!=n k k k n k n k n k k C k C k C k )()1()2()1(21--+⋅⋅⋅--+--现代组合数学工具还有母函数和Fevver 图，在数学竞赛中经常看到，例如解决整数的分拆. （三）有关根据递推公式，求通项公式 （1）)(1n f a a n n =-+型与)(1n f a a n n •=+型.利用累加法与累乘法. （2）q pa a n n +=+1型.◆例：,1,1211=+=+a a a n n 求?=na解：)1(211+=++n n a a ，令}{,1n n n b a b +=是等比数列，n n b 2= 12-=n n a（3）)(1n f pa a n n +=+◆例：,1,3211=+=+a a a n n n 求n a解：)3(2311n n n n a a -=-++ 令}{,3n n n n b a b -=是等比数列，n n b 2-= 所以n n n a 23-=.也可化为(1)型(2)型 ◆例: ,1,211=+=+a n a a n n 求n a 解: ),1(21)1(1++=++++n a n a n n 1231--⨯=-n a n n(4) 11-++=n n n qa pa a 型解:特征方程:02=--q px x ,若有两个不相等实根βα,,则n n n a βλαλ21+=, 若有两个相等实根βα=,则n n n a αλλ)(21+=,若无实根,周期数列. ◆例: F 数列,)3(,1,12121≥+===--n a a a a a n n n ,求 n a解:特征方程: 251,012±==--x x x , nn n a )251()251(21-++=λλ 21,λλ 由21,a a 确定. (注:也可以化为一阶递推公式,再求通项公式) (5)分数型递推公式)(,)(1n n a f a dcx bax x f =++=+构造数列}{n a 当x x f =)(有两个不等实根βα,时,(即)(x f 有两个不动点),则k a a k a a n n n n (11βαβα--⋅=--++为常数). 当x x f =)(有两个相等实根0x 时,(即)(x f 有唯一不动点),则存在常数k 使得k x a x a n n +-=-+00111.当x x f =)(无不动点时,往往是周期数列. 此种形式的数列,有时也可采用倒数法或三角换元. ◆例: 2,1111=-+=+a a a a nnn 求 n a解: x xx f -+=11)(, 方程x xx =-+11无实根,则数列{n a }是一周期数列,(周期是4).+===θθtan(,tan 221a a л/4)…,)1(tan[-+=n a n θ л/4](6)生成函数,例F 函数由递推公式求通项公式,往往是通过构造新数列,把递推公式变形成等差或等比数列,通过求新数列通项公式,再求原数列通项,差分方程中有太多这样的例子.以上只是我对这两部分的一些简单认识,其余章节也有一些类似的问题.。
高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学
高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学摘要：本文用高等数学观点审视高中数学难题的解题思路教学过程，并应用多元函数极值、拉格朗日中值定理、极点极线等高数观点作为主线，注重研究高等数学观点如何有助挖掘题目本质，有助于形成中学数学的解题思路，从而达到深入浅出，提升尖子生的解题能力与数学素养。
关键词：解题思路形成；高等数学观点；多元函数极值；拉格朗日中值定理；极点极线一、论证高等数学观点在高中数学难题的解题思路点拨中的必要性首先，高中数学难题的解题思路与能力提升离不开学生的主动参与和建构。
教育心理学家布鲁纳认为：“知识的获得过程是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动的接受者，而应是知识获取的主动参与者。
”如果教师在高考数学难题解题的教学过程中，只注重把题型归类，解题步骤灌输给学生，然后让学生针对这些题型的大量刷题就以为万事大吉，那么在实践中往往事与愿违，因为高考中往往会出现教师没归纳到的新类型，所以学生又不会做了。
所以，我们在高中数学难题教学中需要重视帮助学生挖掘题目的本质以及让学生知道解题思路的形成过程是怎样的，体验到解题的思维痕迹生成过程，从中真正提高解题思维与数学核心素养。
其次，要把握高中数学难题的本质与思维突破口，往往需要站在更高角度上去思考问题，比如从高等数学的层面思考。
罗增儒[1]在《高考数学压轴题的认识研究（续）》文章中指出，高考数学压轴难题都有背景特征。
因此，如果我们把尖子的思维与目光只局限于现有的中学阶段，这其实不利于培养尖子继续深造的潜力的，没有培养出尖子洞察到难题的思维本质，只是依靠题山题海的刷题模式打造出来的尖子是“只见树木不见森林”，其解题思维认知是孤立零散的，与当前倡导考查数学素养的高考趋势相背离。
我们用高等数学的观点去审视高中数学难题的教学，但并不是用高等数学方法代替中学数学的解题方法。
我们的难题教学模式应该是不管题目再难，在高等数学观点下，题目的本质一览无遗，找到解题的思维痕迹，再从容的用高中数学知识解出来，达到深入浅出的一个效果，这对提升尖子生的解题思维与能力是有必要的。
“高观点”视角下的初中数学教学
“高观点”视角下的初中数学教学作者：杭静来源：《数学教学通讯·初中版》2019年第09期[摘 ;要] “高观点”视角下的初中数学教学，不是将高等数学知识教学下移，而是用高观点思想、方法、知识、思维统领、驾驭、关联学生的初中数学学习. 只有从高观点视角来理解、认识初中数学教学，教学才能居高临下、深入浅出. “高观点”视角下的初中数学教学，能让学生的数学学习呈现出勃勃生机和新的景象.[关键词] 初中数学;高观点;数学教学所谓“高观点”是指用高等数学、现代数学的知识、思想和方法来分析、解决初等数学（中小学数学）知识. “高观点”视角下的初中数学教学，不是将高等数学知识教学下移，而重点是“用通俗易懂的语言向学生介绍或适当补充一些与高等数学相关的思想、方法等” . 只有从较高视角来理解、认识初中数学教学，教学才能居高临下、深入浅出. 这其中，最为常用的教学方法就是渗透、植入、嵌入和融入.渗透“高观点”思想，改变初中数学教学观念德国著名数学家、数学教育家克莱因深刻地指出，许多初等数学知识，只有放置到高等数学视角下，才能得到较为合理、较为科学的理解. 渗透高观点思想，是高观点视角下初中数学教学的基本内涵.比如，化归思想是初中数学的一种高阶思想. 在化归思想下，解决初中数学问题有许多具体的方法. 这些方法，一般都能将未知化为已知、将陌生化为熟悉，因而都受化归思想的统摄. 比如教学函数y=ax2+bx+c的图像这一部分内容，教师可以从学生已有知识经验出发，切入学生数学认知的“最近发展区”. 针对学生已学的三个简单的二次函数——“y=ax2”“y=ax2+c”“y=a （x-b）2”入手，通过类比法、数形结合法等，引导学生自主探究，逐步推出函数“y=a（x-b）2+c”这一新教学内容. 可以将“y=ax2”的函数图像沿着y轴向上或者向下平移若干个单位，再向左或向右平移若干个单位，得到“y=a（x-b）2+c”图像. 如此，教师运用学生所熟悉的知识，构建新的数学知识. 这个过程，教师要充分发挥学生的主观能动性，既让学生理解了数学知识的来龙去脉，更让学生洞察了数学知识的内在关联. 在具体的数学知识实践过程中，学生自己展开严谨的推导，自己进行理性的计算. 在这个过程中，数学的转化思想牵引学生的数学学习，学生主动地类比、将数与形结合思考. 用数学的思想牵引、指导数学教学，让数学课堂教学焕发出生命的活力，学生能深刻理解、把握数学知识的实质.植入“高观点”方法，丰富初中数学教学形式“高观点”思想下的方法，是具有统摄作用的方法，其运用性强、组织性高，具有再生性、生长性等特性. 从学生学习视角看，“高观点”视角下的数学方法，具有一种活性以及知识的繁殖性. 换言之，数学方法是贯穿于学生数学学习始终的，是贯穿于不同的数学知识学习之中的.以类比方法为例，所谓“类比”，是指根据两个或者两类对象之间某些相同或相似属性，推导、推演出它们在其他方面也存在着某些相同或相似属性. 类比，是一种重要的数学思考方法，它是合情推理的一种. 比如学生学习“一元一次不等式的解法”可以类比“一元一次方程的解法”，因为它们都要经过“去分母、去括号、移项、合并同类项”等过程，都是将未知项的系数化为1;比如分数加减法可以类比分式加减法，因为数与式具有一种通性，都是借助于基本性质、通分、约分、四则运算等展开;再比如，学生学习“圆与圆的位置关系”可以类比“直线与圆的位置关系”，学习反比例函数、二次函数可以类比一次函数，等等. 在数学教学中，植入数学方法，能够丰富初中数学教学形式. 从学生学习数学视角来看，方法犹如一个纲，纲举目张;方法犹如一个支点，抓住方法，所有的数学知识都可以被撬动;方法是一个连心锁，能够赋予学生数学活动的力量.作为数学教师，只有站在高观点视角下运用数学方法来组织数学课堂教学，才能将复杂的、抽象的数学教学内容以一种生动的、直观的形象呈现在学生面前. 只有站在方法的制高点上，才能有效地驾驭数学教学，从而达到举一反三的高效教学目的.嵌入“高观点”知识，丰盈初中数学教学内容初中数学教材中的几何、函数、概率等内容在高中数学乃至于高等数学教学中同样会出现. 当然，其中知识的深浅、难易、抽象度、概括性等是不同的. 作為教师，在初中数学教学中，可以相机嵌入一些“高观点”数学知识，丰盈初中数学教学内容. 高观点知识，能够统领初等数学知识，能激发学生的好奇心、求知欲，从而能够改变学生被动学习、机械模仿的学习样态.比如教学“一次函数”“反比例函数”“二次函数”等知识内容时，教师可以渗透函数发展史的知识. 通过函数发展史，让学生明晰函数概念诞生的来龙去脉，从而洞察函数的本质. 应该说，函数思想史是一种高观点知识，因为其中涉及学生还没有学习的导数、微积分等知识. 但对函数发展史、函数知识背景的认知，能让学生体认到函数知识的文化价值. 函数源于力学的应用诉求，其中涉及了行星运行轨道的原理等知识. 当微积分建立的时候，还没有采用函数的概念，牛顿运用的是“流量”，莱布尼兹首次使用“函数”的概念表示幂. 在微积分经历了两百多年的锤炼、变革后，逐步形成了函数的概念. 这样的高观点知识的嵌入，不仅让学生了解了函数的发展史，还让学生认识到，初中函数的学习是非常重要的，许多高等数学知识的学习都必须运用函数知识，从而增强了学生学习函数的自觉性、能动性. 这种嵌入高观点知识的教学，改变了教师以往仅限于初等知识层面实施教学的机械模式，彰显了数学知识的连续性、学生数学学习的连续性的法则. 当然，在这个过程中，教师不能揠苗助长，拔高知识教学要求，而是可以通过适当的方式让学生了解，从而起到开阔学生数学视野的作用. 高观点知识的适度嵌入，提高了数学课堂教学效率.融入“高观点”思维，简化初中数学解题思路“高”者，超出常态也. “高观点”视角下的数学教学，比如融入高观点思维，能简化初中数学问题解决思路. 高观点思维，能让初中数学教学深入浅出，将最为复杂的知识用浅显的、明白的方式表征出来.比如对于这样的问题——“满足‘SSA’的两个钝角三角形全等吗”，有教师认为，这个判断需要具体地分清楚这个三角形是怎样的三角形，如果两个三角形都是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，那么就可以判定两个三角形全等. 其实，如果我们从高观点思维看，通过正弦定理就会发现，当两个三角形都是钝角三角形，并且只有当“两个钝角三角形中的两个钝角相等，并且两个钝角所对边以及另一个对边也相等时，这两个钝角三角形才会全等”. 而更一般的表述是：三角形中的两组边以及两组边中的较大的边所对的角相等，这两个三角形才会全等. 作为教师，可以通过高中数学知识，将这一过程详细地证明. 在初中数学教学中，教师可以通过引导学生画图探究的方式，催生学生的数学思考，提升学生的数学认知. 正如德国著名数学教育家克莱因所说：“理解初等数学知识，只有采用高观点思维，事情才会变得简单而明了. ”“高观点”视角下的初中数学教学，要站在学科知识结构与学生认知结构相关联的视角，渗透思想、植入方法、嵌入知识、融入思维. 从而能够让初中数学教学实现知识与思想的统一，文化与精神的和谐. 如此，学生的数学学习一定会呈现出勃勃生机和新的景象.。
高观点下的中学数学课程的主要任务和指导意义
高观点下的中学数学课程的主要任务和指导意义篇一：高观点下的中学数学课程是指在现代数学的高度基础上，重新审视中学数学的教学内容，旨在帮助学生更好地理解数学的本质和意义，提高学生的数学素养。
在中学数学课程中，主要任务包括以下几个方面:1. 培养学生的数学思维能力。
中学数学是数学的基础，对学生的数学思维能力有重要的培养作用。
通过高观点下的中学数学课程，可以帮助学生更好地理解数学的概念、方法和技巧，提高学生的数学思维能力。
2. 提高学生的数学素养。
数学素养是数学教育的核心，通过高观点下的中学数学课程，可以帮助学生更好地理解数学的意义和价值，提高学生的数学素养。
这不仅有利于学生在未来的学习和工作中更好地运用数学，也有利于培养学生的逻辑思维能力和科学素养。
3. 帮助学生更好地理解数学。
高观点下的中学数学课程旨在在现代数学的高度上重新审视中学数学的教学内容，帮助学生更好地理解数学的本质和意义。
通过课程的深入学习，学生可以更好地理解数学的概念、方法和技巧，提高学生对数学的认识和理解。
高观点下的中学数学课程具有重要的指导和借鉴意义。
通过课程的深入学习，学生可以更好地理解数学的本质和意义，提高学生的数学素养和思维能力，为学生在未来的学习和工作中更好地运用数学打下坚实的基础。
同时，高观点下的中学数学课程也具有重要的启示作用，为数学教育的改革和发展提供了重要的参考和借鉴。
篇二：高观点下的中学数学课程是指采用数学史和数学哲学的高度来重新审视中学数学课程，旨在帮助学生建立全面的数学素养，为其未来数学和科学领域的学习打下坚实的基础。
在这篇文章中，我们将探讨中学数学课程的主要任务和指导意义。
中学数学课程的主要任务是培养学生的数学思维能力和创新意识。
数学是一门抽象的学科，需要学生具备一定的思维能力才能更好地理解和掌握。
高观点下的中学数学课程通过引入数学史和数学哲学的概念，帮助学生理解数学的本质和内在联系，从而培养学生的数学思维能力和创新意识。
“高观点”下的中学数学的实践与认识
“高观点”下的中学数学的实践与认识一、概述“高观点”下的中学数学，是指站在更高层次的理论和知识视角，重新审视和教授中学数学内容的一种教学理念。
它不仅仅关注中学阶段的具体数学知识和技能，而是将中学数学置于更广阔的数学科学体系中，引导学生更早地接触和了解高层次的数学概念和思想。
这种教学方式有助于培养学生的数学素养，加深他们对数学本质的理解，激发他们的创新思维和解决问题的能力。
在实践中，“高观点”下的中学数学需要教师具备深厚的数学基础和广博的知识视野，能够灵活地将高层次数学知识和思想融入中学数学教学中。
同时，也需要教师不断更新教学理念，积极探索适合学生认知发展的教学方法和手段。
通过“高观点”下的中学数学的教学实践，学生可以更早地接触到一些高层次的数学概念和思想，从而更深入地理解数学的本质和精髓。
这种教学方式不仅可以提高学生的数学素养和思维能力，还可以为他们未来的学习和研究打下坚实的基础。
“高观点”下的中学数学也面临一些挑战和困难。
如何根据学生的认知特点和实际情况，合理地选择和运用高层次数学知识和思想，使其与中学数学教学有机结合，是教师需要思考和解决的问题。
同时，如何激发学生的学习兴趣和积极性，使他们在学习过程中保持持久的动力和热情，也是教师需要关注的重要方面。
1. 阐述“高观点”在中学数学教学中的重要性。
“高观点”在中学数学教学中具有至关重要的地位。
所谓“高观点”，是指在教学过程中，教师不仅关注具体的数学知识点和解题技巧，更重视从更高层次、更广阔的视角来引导学生理解数学的本质和内在逻辑。
这种教学方法能够帮助学生跳出繁琐的公式和计算，深入理解数学的内在美感和应用价值，从而培养他们的数学素养和创新能力。
“高观点”有助于提升学生的数学思维能力。
通过从高层次审视数学问题，学生能够更好地理解数学概念和原理之间的内在联系，形成系统的数学知识体系。
这种思维方式不仅有助于学生在解题时灵活运用所学知识，还能够培养他们的逻辑思维能力和抽象思维能力，为未来的学习和工作打下坚实基础。
高观点指导下的中学数学教学
2021年第5期中学数学月刊•1•!观#指导下的中学*学+学郑毓信（南京大学哲学系210093）1“小数”的启示何谓“高观点指导下的数学教学”（包括小学与中学阶段）？由于相对于中学而言，这一论题应当说在小学获得了更多关注，因此，我们就可通过对于后一方面工作的综合考察引出关于如何做好“高观点指导下的中学数学教学”的直接启示.主要包括这样几点：第一,“高观点指导下的数学教学”不应仅仅被理解成将更高层面的一些内容“下放”到较低层次,如将方程、负数等原先属于中学的内容提前到小学进行教学.当然，我们不应完全排斥后一方面的工作,而应进行积极、慎重的探索与试点，但这又不应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，因为,后者应当集中于观念的问题，也即相应的指导思想,包括后者对于具体内容教学的指导与渗透$第二，这是小学层面在论及数学教育改革时经常提到的一个话题，即是“代数思维的渗透”,后者并被看成为小学教师更好从事算术内容的教学指明了努力方向,特别是，我们应当切实做好由“程序性（操作性）观念”向“结构性（关系性）观念”的转变，这也就是指，教学中我们不应唯一关注如何能够通过正确的计算去求得所需的结果，而应更加注重数量关系、特别是等量关系的分析.以下就是这方面的一段相关论述:小学低年级的教学中需要特别强调对等式的理解……在小学一年级时经常会让学生口算，比如3十4,这里值得注意的是我们要强调3+4“等于"7,而不要说“得到"7.因为这里的等号有两个层面的意义：一是计算结果,就是我们经常说的“得到“；二是表示“相等关系".我们在学生刚接触等号时就要帮助他们建立起对等号的这种相等关系的理解.因O,有时候让一年级的学生接触7=3+4这样的算式是有必要的，因为在这样的算式中，你就没法将等号说成“得到'"当然，这里也要尝试让学生理解7同样也等于4+33+4=4+3……在这之后，可以让学生尝试看两边都不止一个数的等式，如17+29& 16+30O外，还可以给学生利用相等关系判断正误的式子，比如，199+59=200+58,148+68=149+70—2,149+68=150+70—3.1*第三，尽管强调“代数思维的渗透”有一定道理，但这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的一个实例:尽管由此我们也可获得关于后一方面工作的重要启示，但仍然不应以特殊代替一般,这也就指）就学数学教学而言）我们“数思维的渗透”看成“高观点指导下的数学教学”的）而更高面做出的析对中学数学教学当的）包括我们当对中学教学的内容做出相关究,如初中数学教学是否应当特别强调“变量思想的”第四,与各种具体数学思想的分析相对照，所谓“高观点指导下的数学教学”应当更加重视围绕数学教的行析思考）当这面的指导的教学工下就是这方面工作特别重要的两个环节：（1）关于数学教育基本目标的认识应当切实可行，而不应停留于“大而空”的论述.例如，关于“深度学习”的以下论述就可被看成后一方面的一个典型例子:“深度学习'深'在哪里？首先'深'在人的心灵里，'深'在人的精神境界上，还'深'在系统结构中，'深'在教学规律中2更一般地说，我们既应明确肯定一般性教育理论的指导作用，但又应当从专业的角度做出进一步的分析思考.例如，这显然也是我们面对“努力提升学生的核心素养”这一总体性教育思想应当采取的立场,特别是,我们不应满足于能够正确地去复述“核心素养”的“3个方面、6大要素、18个基本要点”，并能通过逐条对照去发现每一堂课的不足之处与努力方向;恰恰相反,作为数学教育工作者，我们应当进一步去思考数学作为一门基础学科对于提升个人与社会的整体性素养究竟有哪些特别重要、甚至是不可取代的作用,并能通过“理论的实践性解读”很好落实于自己的每一天工作、每一堂课！以下就是笔者在这一方面的具体思考:数学教育的主要目标应是促进学生思维的发展,特别是，能帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能由理性思维逐步走向理性精神.3进而，这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，即我们应当通过自己的教学很好落实上述的主张，而不应满足于数学基础知识与基本技能•2•中学数学月刊2021年第5期的教学.简言之,数学教学应当努力实现的这样一个境界，即是“用深刻的思想启迪学生”.在此我们并应对“帮助学生学会思维”与“帮助学生学会数学地思维”做出明确的区分.相信读者由以下分析即可清楚地认识到这样一点,包括我们为什么不应将所谓的“三会”（会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界看成数学教育的主要目标：大多数学生将来未必会从事数学或其他与数学直接相关的工作,“数学思维”也不是唯一合理的思维形式（对于“数学语言”和“数学眼光”我们显然也可引出同样的结论）,从而,与后一主张相对照,我们就应更加注重著名数学家波利亚的以下论述:“一个教师,他若要同样地去教他所有的学生一一未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识.对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩,那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事.能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情.”5进而,依据上面分析相信读者也可更好理解笔者为什么又要提出努力做好“数学深度教学”这样一个主张,后者即是指,数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学思维方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学之间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人.简言之，这就是对于这里所说的“高观点”的进一步解读.（2）尽管相关论述提到了三个“深化”或“提升”，但我们并不应将其中的对立双方,如“具体知识和技能的学习”与“思维的学习”等,看成绝对地相互排斥、互不兼容的，我们更不应脱离数学知识、技与数学思的学习性思的教学和努力提升学生的思维品质，而应更加注重后者的渗透与指导,从而使我们的教学达到更大的深度.再者，由于中小学教学内容不同，从而在这方面也应有不同的要求,特别是,我们应根据学生的认知水平很好地去把握相应的“度”，而不应好高x远，脱离实际;但就总体而言,我们又应始终坚持促进学生的思维发展这样一个总方向,特别是，努力做好以下一些方面的工作:联系的观点与思维的深刻性，变化的思想与思的活性）结、思和再与思的性$第五,我们应清楚地看到切实做好“高观点指导下的数学教学”的现实意义：当前的中学数学教学在很大程度上被看成完全集中于“习题教学”，现实中更可看到“题海战术”泛滥这样一个现象;但是，即使我们暂时不去论及如何才能很好地落实“立德”这）依相关做真提升学生解决问题的能力，而只是使我们的学生和教师始终处于巨大的压力之下.因为，正如人们普遍地认识到，学生解题过程中思维策略的产生往往具有以下几个特征［7］：1）非逻辑性,2）快速性,3）个体性，,）或性，而就与教学工的论特与规范性质构成了直接冲突.但在笔者看来，后者恰又更清楚表明了这点，相对个的解题策略或数学思维方法的学习而言，我们应当更加重视一般性思维策略与学生思维品质的提升.另外,尽管解题策略的发现、包括结果的猜想等常常表现为顿悟，也就是“快思”的结果，但这恰又是数学教当发的个要，帮助学学“间的思考”，因为，有过后的间思考相关发现才得的展和清楚的表，包括必要的检验、理解与改进;更一般地说，我们又应特别重视“结、思与再”的工，当此成“长时间思考”的主要内容.但是，上述目标是否真的可行？以下就以初一数学教学为对此做出析$读联系自己的教学做出进一步的分析，这并可被看成先前所提到的“理论的实践性解读”这一思想的具体运用.2用案例说话:聚焦初一数学教学除去具体内容的教学以外,“习题教学”显然也数学教学要的个面，更与“的思想与思维的灵活性”密切相关.由于笔者对此已专门撰文进行了分析-w,在此就不再赘述.⑴如众所知，研究对象由“数”扩展到了由数和的“式”中学数学的个明区，当，对此我们简解“”的，因为,这也意味着达到了更高的抽象层次，并为学生逐步学会用“联系的观点”进行分析思考、从而达到更大的了很好的入点，当，后为指导教学有益学更好握相关的识和技能.具体地说，尽管我们在此关注的主要是“式”的运算，但又应当将此与学生已学过的数的运算联系起来，更好地发挥“类比”这一方法在认识活动中的2021年第5期中学数学月刊•3•重要作用,特别是，我们应以学生已学过的数的知识为背景帮助他们很好地建立关于新的学习内容的整体性认识，从而就可在学习中获得更大的自觉性.例如，“式的运算”的学习也是按照由“加减”到“乘除”这样一个顺序逐步展开的；我们还可通过“乘法公式”“因式分解”与小学所学的“速算法”和“数的分解”的直接类比帮助学生更好掌握相关的内容.当然，除去所说的“共同点”以外，我们也应十分重视它们的不同点，即如“同类项”概念的引入等.另外，在直接的比关，由“式”与“因式分解”的学习更加集中，从而我们在教学中也就不应唯一关注计算技能的掌握，而应更加突出这样一个思想，即我们应当善于根据需要与情境对“式”做出适当变形，这可以看成“变化的思想与思维的灵活性”的具体应甩当然，从更高的层面看，这一内容的学习也有助于学生很好认识成功应用“类比联想”的这样一个关键:“求同存异”.再者，由于学生在小学阶段往往未能很好建立起关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性和层次性，因此，我们在教学中就学对相关内容做出和“再认识”,从而很好地实现这样一个目标：“以发展代替重复，以深刻达成简约”.①当然,“式”的引入也更清楚地表明了数学结构的层次性质——从认识的角度看，这意味着达到了更高的抽象层次，包括这样一个更深层次的认识:我们应将“优化”看成数学学习的本质.（2）如果说“由少到多，由简单到复杂”即可被看成数学发展的基本形式，那么，数学认识的发展就可被归结为“化多为少，化复杂而简单”，从而也就更清楚地表明了这样一点:数学学习主要是一个不断优化的过程，而不仅仅是指知识和技能以及“数学经验”的简单积累，尽管后者确又可以被看成为认识的发展和深化提供了现实的可能性和必要的途径.特殊地，我们显然也可从上述角度更好认识学习方程的意义，包括通过这一内容的学习帮助学生很好认识“优化”对于数学学习的特殊重要性，从而逐步地学会学习，并能真正成为学习的主人.进而，从上述角度我们显然也可更好理解笔者的这样一个看法:如果说小学阶段教师不允许学生用由各种非正规渠道提前学到的方程方法去求解算术应用题尚有一定道理，因为，这时学生对于方程的掌握往往只是一种机械的运用，而未能达到真正的理解，而且，算术应用题的学习对于学生学会思维也有重要作用;那么，在初中学习方程时再做出类似的规定,也即只允许学生用方程方法、而不准用算术方法去求解问题，就可说完全没有道理.因为,解题教学最重要的目标就是努力提升学生解决问题的能力，而后者主要地又是指我们能否综合地、灵活地应用各种方法去解决问题，而不是指所使用的方法是否符合某种外部的硬性规定一一也正因此,上述规定事实上就只能被看成解题活动“程式化和机械化”的一种表现.™与此相对照，我们应当更加重视如何能够帮助学生很好认识方程方法相对于算术方法的优点,又由于优化的实现主要取决于我们能否使之真正成为学生的自觉选择，而非基于外部压力的被动服从.因此，我们在教学中也就应当特别重视比较与反思的工作,这也就是指,教学中我们不仅不应禁止学生用算术方法求解问题，还应积极鼓励他们用多种不同的解决）特）更有意让学生有更多时间进行比较和体会，包括认真的反思，从而就不仅可以顺利地实现相关的过渡或优化，也可通过这一过程很好地体会到养成长时间思考的习惯和能力、特别是“总结、反思与再认识”的重要性$最后）我们可通过程的教学帮助学数学发展的形式和径）后指）相关内容的学习有定的间）在学握了程的相关后）我们可引导他们对将来的学习做出“预测”，也即研究对象“由多”“由高”“由程式”等发展的合理性,包括这样一个重要的认识:数学认的发展主要表现为“多为）复为简”）我们并应善于通过类比联想、通过化归去实现上述的目标.（3）尽管上述分析集中于“式的运算”与“方程”的教学，我们显然也可从同一角度对初一数学的其他内容做出分析,包括它们各自又有什么特殊之处.例如，除去“数学结构”的丰富性和层次性以外，负数的引入显然也有助于我们更好地认识数学系统的开放性和发展性,特别是,现实需要并非促进数学发展的唯一因素,在很大程度上也是由数学的①也正因此,对于相关内容的教学我们就不应认为只是涉及到了一些具体技能、特别是有很多学生早已通过各种渠道进行了学习就掉以轻心，即如教学中只是一带而过，而没有注意分析学生是否已经达到了真正的理解，更未能认真地思考如何能够通过自己的教学使学生有新的提高.例如，通过“乘法公式”的学习我们即可对学生是否已经达到了更高的抽象层次做出必要的检验;另外，教学中我们显然也应注意避免这样一种倾向，即仅仅从纯形式的角度去理解相应的“变化”，如“计算”与“因式分解”,但却未能很好地指明我们究竟为什么要做出这样的变化，包括我们又如何能够通过相关内容的教学提升学生的思维品质.内在因素决定的,或者说，就是表现出了很强的相对独立性.因为，这正是这方面的一个基本事实:“负数不是测量出来的.凡是能够量出来的都是正数.”进而,由以下论述我们即可更好地认识教学中突出这样一点的重要性:“负数是由具体数学向形式数学的第一次转折.要完全掌握这种转折中出现的问题，需要有高度的抽象能力.”（克莱因语）“我认为超越直观而运用推理方法的首先是负数.”（弗赖登塔尔语）另外，“幕的运算”的学习显然也为我们更好理解“化多为少，化复杂为简单”这样一个思想提供了重要的契机，因为，由高级运算（乘方、乘除）向较低层次运算（乘、加减）的转变正是“幕的运算”的明显特点，从而，我们也就可以以此为背景做出进一步的思考，即我们能否借助“幕的运算”实现运算的简化——如众所知，从历史的角度看，正是后一方面思考直接导致了“对数计算法”的创建，尽管后者的重要性由于计算机的发明已不复存在，但仍可被看成通过适当变化解决问题的又一范例.再则，就几何内容的教学而言，我们则应突出这样一个思想:“数学家有这样的倾向，一旦依赖逻辑的联系能取得更快的进展，他就置实际于不顾.”丄我们更应通过自己的教学帮助学生很好理解采取这一做法的优越性，也即我们应当按照“由简单到复杂”“由一维到高维”这样一个顺序、而不是日常的认识顺序去从事相关的研究，包括逐步形成这样一个更加重要的认识:数学学习的主要功能就是有助于人们思维方式与行为方式的改进.还应强调的是，正如波利亚的上述引言所已表明的，我们不应将“逻辑思维”“数学思维”与“常识（和有益的思维习惯）”绝对地对立起来，而应清楚地看到它们之间的同一性；当然，我们在此所应追求的不是“常识”的简单回归，而是其在更高层面的重构.①（4）通过上述途径我们显然也可帮助学生很好由“数学思”“高数学思”的过渡，而不至于因为中小学数学教学在这方面有不同要求而出现一时无法适应中学数学学习的情况.在此还可特别提及笔者针对小学数学教学提出的这样两个“大道理”（）小学关于“数的认识与运算”的教学不仅应当突出“比较”这一核心概念，从而帮助学生很好掌握“大小”“倍数”“分数”“比”等概念，也应帮助学生逐步建立关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性与层次性、开放性与统一性等,并能真正做好“化多为少”“化复杂为简单”，包括更好认识数学与现实世界之间的关系.2）小学几何教学不仅应当突出“度量”这一核心概念，很好发挥直观认知的作用，也应努力实现对于“度量几何”与“直观几何”的必要超越，即应对图形的特征性质及其相互关系的逻辑分析予以足够的重视.显然，如果小学数学能够按照这样的思想去进行教学，传统上中小学数学教学之间的巨大间距就将不复存在.显然，基于同样的理由，中学（特殊地，初中）数学教师也应认真地去思考什么是中学（初中）数学教学的“大”，而为学来的数学学习做好必要的准备.（5）我们还可从同一角度对其他一些密切相关的问题做出自己的分析，如教学中为什么应给学生更多的表述机会,包括积极提倡“合作学习”这样一种学习方式.因为，这些都十分有益于学生的深入思考,如表述前主体显然必须对自己的想法做出梳理、评价与改进，仔细倾听别人的想法也十分有助于学生通过比较、反思与再认识对自己的已有想法做出改进，等等.当然，教师也应在这些方面给学生必要的指导，而不只是停留于“大声地说、仔细地听”这的性要再者，就当前而言,这应当说又是特别重要的一个认识:数学教育的主要任务应是帮助学生学会思维、乐于思维，而不是学会解题,我们更不应唯一集中于如何能够通过大量练习、机械记忆和简单模仿使学生在各类考试中取得较好成绩.毋宁说，即使在这面我们通过更高面的析做“而精”，包括通过“习题教学”的改进更有效地促进学生思维的发展，从而自然也就能够取得更好的成绩.最后，尽管我们在此是以初一数学教学作为直接对象行析的）相关结论有超出这范围的普遍意义，后者即是指，无论就小学、初中或高中的数学教学,或是课堂教学和习题教学而言，我们都应以“促进学生思维的发展”作为主要的指导思想）“教学”为数学教学的主要笔在这面有这个:有在做出持续努力，也即很好地落实不同阶段数学教学的同一性与连续性,我们才能对于“努力提升学生的核心”这教的性做出己的有贡献,并切实防止与纠正因深深陷入“应试教育”而无法自拔这样一个巨大的危险.愿我们大家都能在上述方向做出切实的努力！（下转第14页）①在笔者看来，我们也可从后一角度去理解弗赖登塔尔的这样一个论述:“数学的本质是人们的常识4''R.绍其引入的必要性来帮助学生自然地内化相关知识.3.2引导学生积极表达数学能力的培养离不开数学思想的交流，观点与观点的碰撞交流往往能够迸发出对数学内容更深层次的理解,而学生是否愿意交流则显得很关键.课堂的数学交流一般是由教师发起并进行引导，教师在数学交流过程中的作用至关重要，在引导的过程中，能否激发学生的表达兴趣与欲望对交流的质量有重要的影响.在交流过程中，教师可以通过将最终的问题分拆为几个难度逐级递增的小问题来培养学生的成就感、激发学生的表达欲望.当学生遇到表达困难时，可以及时对所提问题进行解释或者补充描述，鼓励学生说出哪怕部分观点和想法，也可以在提出问题以后给予学生足够的交流和思考的时间.在交流表达的过程中，鼓励学生及时地对同伴的交流内容进行补充与反馈，培养学生的自我效能和思辨意识. 3.3丰富交流表达方式数学交流与表达的形式比较多样，既可以是生生之间的对话，也可以是师生之间的讨论，甚至可以是与数学书面形式语言的交流.信息传递的方向可以是阐述自我观点的输出，也可以是对对方观点聆听的输入.表达的方式既可以是口头表达，也可以是书面表达，以上种种丰富的表达形式为教师的教学提供了不同的选择.教师可以让学生用自己喜欢的方式进行数学交流.比如将思维过程用语言、算式、图表等记录下来进行展示，或者在教学过程中通过小组合作的形式，选派小组代表进行数学观点的表述和交流，然后同(上接第4页)参考文献-1.章勤琼.小学阶段“早期代数思维”的内涵及教学——默尔本大学教授麦克斯•斯蒂芬斯访谈录［J..小学教学,2016(11).-2.刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养(理论普及读本)［M..北京:教育科学出版社,2018(6-37.-3.郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”［J..数学教育学报,2016(3).-4.史宁中.人是如何认识和表达空间的［J..小学教学，2019(3).-5.波利亚.数学的发现(第二卷)［M..内蒙古：内蒙古人民出版社,1981(82.-6.郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践［J..数学教学2019(5)伴进行补充，还可以通过数学写作的方式与别人交流自己在学习中的收获，或者通过为学生提供表达的逻辑框架,让学生的表达形式更加规范，并在此过程中提高表达的能力.数学交流的目的是为了更好地理解数学，而理解数学的目的又是为了更好地交流，数学理解和数学交流之间是互为因果的关系.教师在教学过程中了可通过高学的表达)可以通过为学生提供规范的表达示范一一教师本身就是数学表达很好的榜样，引导学生关注数学的多重表征以增加表达方式的选择、加强数学阅读指导以丰富和完善数学语言系统、关注学生语言表达过程中的缺陷以及时完善语言表达等方式，对初中生的与表达行参考文献-1.和学新.论数学教学的表达策略［J..数学教育学报，2006(4)(94-96-2.王薇.数学交流表达能力目标：中美两国的比较及启示［J..外国中小学教育,2016(11):59-64.-3.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)-M..北京:北京师范大学出版社2012-4.邓清,夏小刚.数学思维视域下“教表达”的再认识与思考数学教育学报,2019,28(5)：47-50.-5.夏鹏翔，部舒竹.日本小学数学教育改革新动向——培养“表达能力比较教育研究，2011,33(9)：86-90-6.史宁中，林玉慈,陶剑等.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七课程•教材•教法,2017,37(4):8-14.［7.戴再平.数学习题理论［M..上海:上海教育出版社，1991:96-97.-.郑毓信.中学数学解题教学之我见-..中学数学月刊202010-11"4-9.郑毓信.“数学深度教学”十讲-..小学数学教师, 2019(7-8)〜2020(5).-0.郑毓信.高观点指导下的小学数学教学(14)［M..福建教育,2020(11)〜2021(1-3).-11.郑毓信.初中数学教学之忧思与建言［M..数学教学,2020(12).-12.弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M..上海:上海教育出版社,1995：45.-13.唐瑞芬.弗赖登塔尔在中国-..数学教学,2003(5),。
2020年高考数学命题研究《高观点下的高中数学问题——兼谈初等数学与高等数学的联系》
x
3x
证明：（1）当
0
1
时，1
1.
x0
根据已知定理可得
(1
1
x)
1
1
x 1 x
再根据幂函数 y x ( 0)在区间 (0,) 上
单调递增的性质，可得 [(1
1
x)
]
(1
x)
即1 x (1 x) ，得证。
1
（2）
(1
1
由高到低、由繁到简、由深到浅。
四、高观点问题及评析
●总括
近几年的高考数学试题、样卷和模拟卷中，有许多背 景新、设问巧的“高观点”问题，合理分析这些试题 的来源，探寻这些试题命题方法，可为高三数学复习 教学提供一些新的生长点。
●命制方法
引用法，初化法，转语法，演变法
（一）引用法
将高等数学中的某些简单的命题、概念、定理移用为 高考数学试题的一种方法。在高等数学中，很多重要 的定义、定理都建立在初等数学知识之上，并且需要 或者能够用初等数学知识来解决的，这些高初知识的 衔接处为引用提供了试题命制的环境和条件。
x1 x2 a且x1x2 2, x1 x2 (x1 x2 )2 4x1x2
a2 8. 当a [1,1]时, a2 8的最大值为9, 即 x1 x2 3. 由题意,不等式 m2 5m 3 x1 x2
对任意实数a [1,1]恒成立的m的解 集等于不等式 m2 5m 3 3的解集,
设 A, B 都为有限集合，给出下列命题： ① A B 的充要条件是 card( A B) card (A) card (B) ； ② A B 的充要条件是 card( A) card(B) ； ③ A Ú B 的充要条件是 card( A) card(B) ； ④ A B 的充要条件是 card( A) card(B) ； 其中真命题的序号是 A．③④ B．①② C．①④ D．②③
数学复习中学生存在的问题及应对策略
高三数学复习中学生存在的困惑及应对方法江苏省镇江第一中学孙宇江高考作为一种教育评价的手段和选拔人才的途径，一直以来受到教师、学生、家长、乃至整个社会的关注。
基于此，高三数学复习，尤其重要。
学生在复习过程中会产生烦躁、无所适从、自卑和好高骛远等毛病，教师如何帮助学生解决这些问题，培养学生的数学素质和创造能力，真正有利于人才选拔，笔者在多届高三数学复习中采用以下的应对策略：一、建构主义教学法的运用学生对一章一节的知识掌握不觉困难，遇到综合问题，则显力不从心，会出现烦躁情绪，不利于知识的掌握，教师不仿溶建构主义教学法于教学中，因为学习并不是简单的信息积累和死记硬背，重要的是新旧知识经验的冲突，以及由此而引发的认知结构的重组，教师要适应角色的变换，从传统的传授知识者，转变为学生学习的辅导者、合作者。
评价一节课的好坏，不是以教师讲多少、语句是否华丽和方法是否体现为标准，而是以学生学了多少、掌握多少、问题解决了多少来衡量，建构主义教学法，作为一种新的教学方法，避免了传统教学中只强调教学的统一性、规范性、模仿继承性，以不变应万变地消极适应高考的缺陷，为学生创造了更多提高自己和展示自己的机会，学生应是建构教学的主动者，而不是被动接受知识，这样最大限度地开发学生的潜能和特长，避免了教师的满堂灌，对教师而言，要求不仅没有降低，而是更高，不仅事先的准备工作，组织工作大大增加，而且要提出有质量的学习任务，利于学生知识的掌握、能力的提高和个性的发展，让学生思考、讨论、发现、联系建构自己熟悉和易懂的数学模型，教师适宜地给予指导，那么，学生在完成学习任务的同时，弄清了相应的数学概念和基本知识，理顺了各个基本概念的联系，不仅有利与提高学生学习数学的能力，也有利于学生建构能力的提高。
二、解题方法的指导到了高三，学生除了要理清基本概念外，关键在于会解题，要能在较短的时间内，判断出题目所考查的知识点，及时选择正确的解题方法。
这对学生来说是最困难的，他们往往会感到无所适从，不知从何入手，甚至害怕。
高观点下的中学数学课程的主要任务和指导意义
高观点下的中学数学课程的主要任务和指导意义
高观点下的中学数学课程是指在数学教育的高层次视角下，强调数学学科的核心素养和数学思维能力的构建，旨在帮助学生更好地理解数学的本质和数学应用的价值。
在中学数学课程中，高观点下的任务主要包括以下几个方面:
1. 培养学生的数学思维能力。
中学数学课程是培养学生数学思维能力的重要途径。
通过数学知识的传授和数学方法的教授，学生可以逐步掌握数学思维的基本方法和技巧，如逻辑思维、分析问题的能力、空间想象力等。
这些能力不仅是中学数学教育的核心，也是后续学习和职业发展的基础。
2. 强调数学学科的核心素养。
数学学科的核心素养包括数学思维能力、数学语言能力、数学应用能力和数学创新意识。
在高观点下，中学数学课程应该注重培养学生的这些核心素养，使学生能够更好地理解数学的本质和价值。
3. 引导学生探究数学问题的本质。
中学数学课程应该注重引导学生探究数学问题的本质，而不是仅仅掌握数学知识的皮毛。
通过探究问题，学生可以更好地理解数学知识的内在联系和使用方法，从而更好地掌握数学知识。
4. 培养学生的数学应用能力。
数学是一门应用广泛的学科，中学数学课程应该注重培养学生的数学应用能力。
通过实际应用，学生可以更好地理解数学知识的意义和价值，同时也能够更好地掌握数学方法和技术。
高观点下的中学数学课程对于数学教育的指导意义在于，它更加注重数学学科的核心素养和数学思维能力的构建，注重引导学生探究数学问题的本质，注重培养学生的数学应用能力。
这些理念对于数学教育的改革和推进具有重要的指导意义，也为学生的未来发展和职业发展打下了坚实的基础。
高观点下的高考数学试题研究
２０２３年７月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀高观点下的高考数学试题研究◉北京师范大学贵阳附属中学㊀张㊀兴㊀㊀摘要:以近几年高考数学中的压轴题为例,从 高观点 的角度分析这类题目命制背景㊁解题思路,以此突出 高观点 的思维在解决高考压轴题中的优势．关键词:高考数学;高观点;解题思路㊀㊀高考作为高等学校选拔人才的主要形式,数学在高考中发挥着基础学科的独特作用,它是衡量一个人思维能力的重要学科．纵观近几年的高考试题,经常从高等数学的背景命题来考查学生的数学知识和思维能力,这类题目往往就成为了压轴题,学生的得分率通常比较低．掌握这类题目的命制背景,对广大高三师生的备考复习显得至关重要．１高观点 的概念界定本文中的 高观点 是指运用高等数学和现代数学的经典知识㊁方法和思想去分析㊁解决初等数学问题的思路和策略,不追求严谨的推理与证明,突出高等数学的思想和方法．２高观点 下的高考试题２．１以洛必达法则为背景例１㊀(２０１８年全国高考数学Ⅱ理科第２１题)已知函数f (x )＝e x－a x ２．(１)若a ＝１,证明:当x ȡ０时,f (x )ȡ１;(２)若f (x )在(０,＋ɕ)只有一个零点,求a ．解析:(１)当a ＝１时,f (x )ȡ１等价于exx ２＋１ȡ１．设g (x )＝e x x ２＋１－１,则g ᶄ(x )＝e x (x －１)２(x ２＋１)２．所以g ᶄ(x )ȡ０,当且仅当x ＝１时等号成立,则g (x )在(０,＋ɕ)单调递增．而g (０)＝０,故当x ȡ０时,g (０)ȡ０,即f (x )ȡ１．(２)f (x )在(０,＋ɕ)只有一个零点,当且仅当f (x )＝０(x ＞０),即e x －a x ２＝０(x ＞０)只有一个实数根．显然x ＝０不是f (x )的零点,故可转化为方程exx ２＝a (x ＞０)只有一个实根．令h (x )＝ex x２,则问题等价于当函数h (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点时,求a 的值．由h ᶄ(x )＝e xx ２－２e x x x ４＝exx３(x －２),可知当x ɪ(０,２)时,h ᶄ(x )＜０;当x ɪ(２,＋ɕ)时,h ᶄ(x )＞０．所以h (x )在(０,２)上单调递减,在(２,＋ɕ)上单调递增．故h (２)＝e２４是h (x )在(０,＋ɕ)的最小值．当x ң０时,x ２ң０,e xң１,则h (x )ң＋ɕ．又l i m x ң＋ɕe xx ２＝l i m x ң＋ɕe x２x ＝l i m x ң＋ɕe x２＝＋ɕ．所以,当a ＜e２４,h (x )与y ＝a 无交点;当a ＝e ２４,h (x )与y ＝a 只有一个交点;当a ＞e ２４,h (x )与y ＝a 有两个交点．综上,f (x )在(０,＋ɕ)只有一个零点时,a ＝e２４．评析:第(２)问的解题思路有好几种,如果运用初等数学的思想和方法,需要对参数a 进行分类讨论,但是分类讨论对大多数高中生来说是一个难点．因此,在 高观点 的角度下只需要学生对洛必达法则有一定认识就可以掌握,整个思路严谨连贯,顺理成章．２．２以拉格朗日中值定理为背景例２㊀(２０１８年全国高考数学Ⅰ理科第２１题)已知函数f (x )＝１x－x ＋a l n x ．(１)讨论f (x )的单调性;(２)若f (x )存在两个极值点x １,x ２,证明:f (x １)－f (x ２)x １－x ２＜a －２．解析:(１)f (x )的定义域为(０,＋ɕ),且fᶄ(x )＝－１x ２－１＋a x ＝－x ２－a x ＋１x ２．(ⅰ)若a ɤ２,则f ᶄ(x )ɤ０,当且仅当a ＝２,x ＝１时f ᶄ(x )＝０,所以f (x )在(０,＋ɕ)单调递减．(ⅱ)若a ＞２,令f ᶄ(x )＝０,得x ＝a ʃa ２－４２．当x ɪ(０,a －a ２－４２)ɣ(a ＋a ２－４２,＋ɕ)９５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年７月上半月㊀㊀㊀时,fᶄ(x )＜０;当x ɪ(a －a ２－４２,a ＋a ２－４２)时,fᶄ(x )＞０．故函数f (x )在(a －a ２－４２,a ＋a ２－４２)上单调递增,在(０,a －a ２－４２)上单调递减．(２)根据拉格朗日中值定理可知,若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,且在开区间(a ,b )内可导,则在(a ,b )内至少存在一点ξ,使得f ᶄ(ξ)＝f (b )－f (a )b －a 成立．由(１)知,f (x )存在两个极值点,当且仅当a ＞２．不妨设f (x )的两个极值点x １,x ２满足x １＜x ２．因为f (x )在区间[x １,x ２]上连续,在区间(x １,x ２)内可导,所以存在ξɪ(x １,x ２),使得f ᶄ(ξ)＝f (x １)－f (x ２)x １－x ２．因此只需证明f ᶄ(ξ)＜a －２．令g (ξ)＝f ᶄ(ξ)＝－１ξ２－１＋aξ,则g ᶄ(ξ)＝２ξ３－a ξ２＝２－a ξξ３．当ξ＜２a 时,g ᶄ(ξ)＞０,函数g (ξ)为增函数;当ξ＞２a 时,g ᶄ(ξ)＜０,函数g (ξ)为减函数．所以g (２a )＝(a ＋２)(a －２)４为函数g (ξ)在区间[x １,x ２]上的最大值．又因为a ＞２,所以a ＋２４＞１．故g (ξ)＜a －２,即f ᶄ(ξ)＜a －２．所以f (x １)－f (x ２)x １－x ２＜a －２．评析:本题第(１)问比较常规,考查运用导数研究函数的单调性,只要合理进行分类讨论就可以解决问题;第(２)问是函数与不等式的有机融合,解答思路比较广阔,可以充分去想象,但是需要打破常规思路,利用化归与转化的思想将不等式的证明转化为单变量函数进行研究,这对很多学生来说很难想到．但是,如果了解拉格朗日中值定理,就可以将不等式的证明转化为拉格朗日中值定理进行求解,思路清晰㊁计算量小,容易理解．２．３以泰勒展开式为背景例３㊀(２０２２年全国高考甲卷数学理科第１２题)已知a ＝３１３２,b ＝c o s １４,c ＝４s i n １４,则(㊀㊀)．A．c ＞b ＞a ㊀㊀㊀㊀㊀B ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞c ㊀㊀D．a ＞c ＞b该题若将目光转向 泰勒公式 c o s x ＝１－x ２２!＋x ４４!－x ６６!＋ ,s i n x ＝x －x ３３!＋x ５５!－x ７７!＋ ,则可以快速判断．解析:由泰勒公式,易知b ＝c o s１４＝１－１４２ˑ２!＋１４４ˑ４!－ ＞１－１３２＝３１３２＝a ,即b ＞a ;c ＝４s i n １４＝４(１４－１４３ˑ６＋１４５ˑ５!－ )＞４(１４－１４３ˑ６)＝１－１６ˑ１６＞１－１２ˑ１６＝a ,即c ＞a ;因为c b ＝４t a n １４＞４ˑ１４＝１,所以c ＞b ．综上c ＞b ＞a ．评析:此题如果运用高中数学知识求解,对学生的综合能力要求比较高,需要具备一定的视野．其实,泰勒公式对学生并不陌生,在人民教育出版社２０１９版普通高中教科书数学必修第一册第２５６页第２６题已经提到英国数学家泰勒发现了公式s i n x ＝x －x ３３!＋x ５５!－x ７７!＋ ,c o s x ＝１－x ２２!＋x ４４!－x ６６!＋ ,其中n !＝１ˑ２ˑ３ˑ４ˑ ˑn ．例４㊀(２０２０年全国高考数学Ⅰ理科第２１题)已知函数f (x )＝e x＋a x ２－x ．(１)当a ＝１时,讨论f (x )的单调性;(２)当x ȡ０时,f (x )ȡ１２x ３＋１,求a 的取值范围．解析:(１)略(２)当x ȡ０时,f (x )ȡ１２x ３＋１等价于㊀㊀㊀㊀㊀e x－１２x ３－x －１ȡ－a x ２．①(ⅰ)当x ＝０时,不等式①恒成立,即a ɪR ;(ⅱ)当x ＞０时,有e xx２－１２x －１x －１x ２ȡ－a ．令g (x )＝e xx ２－１２x －１x －１x ２(x ＞０),则g ᶄ(x )＝２e x (x －２)－x ３＋２x ＋４２x３＝２e x(x －２)－(x －２)(x ２＋２x ＋２)２x ３＝(x －２)(２e x －x ２－２x －２)２x３．由泰勒公式有e x＝１＋x ＋x ２２!＋x ３３!＋ x nn!＋o (x n ),得e x－１－x －x ２２!＝x ３３!＋ x nn!＋o (x n )．０６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀显然e x－１－x －x ２２＞０,则２e x－２－２x －x ２＞０．所以当x ɪ(０,２)时,gᶄ(x )＜０;当x ɪ(２,＋ɕ)时,g ᶄ(x )＞０．故函数g (x )在(０,２)上单调递减,在(２,＋ɕ)上单调递增．所以g (２)＝e ２－７４为函数g (x )在区间(０,＋ɕ)上的最小值．于是－a ɤe ２－７４,即a ȡ７－e２４．综上,实数a 的取值范围为[７－e２４,＋ɕ)．评析:根据泰勒公式e x＝１＋x ＋x ２２!＋x ３３!＋x n n !＋o (x n ),可得e x－１－x ＝x ２２!＋x ３３!＋ ＋x n n!＋o (x n )．当x ＞０时,等式两边同时除以x ２,可得e x－１－x x ２＝１２＋x ６＋ ,令h (x )＝e x－１－xx ２,则函数h (x )在x ＝２处的切线方程为y ＝１２x ＋e ２－７４．通过G e o ge b r a 软件画出函数h (x )的图象和在x ＝２处的切线,发现函数h (x )的图象恒在切线y ＝１２x ＋图１e ２－７４的上方(如图１),也即e x－１－x x２ȡ１２x ＋e ２－７４,变形得e xȡ１２x ３＋e ２－７４x ２＋x ＋１．我们把e ２－７４换为a ,则e xȡ１２x ３＋a x ２＋x ＋１．这就是本题的来源背景．事实上,通过分析新课改以来的高考导数解答题,发现大多数题目的命制背景都是泰勒展开式,因此了解泰勒展开式的知识,可以避免转太多的弯路,从而快速找到解题的思路．２．４以极点㊁极线为背景例５㊀(２０２２年全国高考数学乙卷理科第２０题)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴㊁y 轴,且过A (０,－２),B (３２,－１)两点．(１)求E 的方程;(２)设过点P (１,－２)的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段A B 交于点T ,点H 满足M T ң＝TH ң．证明:直线HN 过定点．评析:(１)设出椭圆的一般方程m x ᶄ＋n y ᶄ＝１(m ,n ＞０),再将点A ,B 坐标代入方程,即可求出椭圆的方程．图２(２)本题的背景就是椭圆的极点和极线理论．如图２,因为点P (１,－２)对应的极线为l :x ３＋(－２)y ４＝１,即２x －３y ＝６,即为直线A B ．过点P 的直线与椭圆交于M ,N 两点,则P ,M ,N 以及A B 所在的直线与MN 所在的直线的交点Q 构成一组调和点列,在直线外取一点A ,则直线A P ,AM ,A Q ,A N构成一族调和线束．因为A P //MH ,则MH 与三条直线A M ,A T ,A H 交于三点,且T 为M ,H 中点,因此可以推断A M ,A T ,A H 也为一簇调和线束,则有A N ,A H 共线,所以直线恒过点A ．故直线HN 过点(０,－２)．近年来,高考数学中的很多圆锥曲线的试题的背景可以归结为极点极线理论,因此掌握一些极点极线的知识,可以从 高观点 的角度看待圆锥曲线的有关问题,更容易抓住问题的本质．虽然在书写解答过程时不能直接用相关的结论,但是可以先猜出结果,然后用初等数学的方法书写解答过程,这种先猜再证的想法是比较常见的．３教学建议高中数学承载着立德树人㊁为国育才之责,对很多学生来说,是一门学不懂的科目．作为一线教师,我们有义务反思我们的教学,让每一位学生都获得应有的数学教育．«普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)»强调要教给学生真正的数学[１],题海战术和机械记忆只会加重学生学习数学的负担,对培养数学学科核心素养毫无帮助;只有教师抓住了数学的本质,让学生知道知识点的来龙去脉,编织知识的网络,才能教给学生真正的数学．近几年的高考压轴题呈现出起点高㊁落点低的特征,试题的背景源于高等数学,但运用高中所学的数学知识和方法就可以解决．站在 高观点 的角度去看待高中数学知识和方法,会看得更远更透．一线教师了解一些 高观点 的知识和方法,可以达到登高望远,以较高的观点去看待高考题目的效果,有利于中学数学的教学,并没有任何将高等数学引进高考的误导[２]．学生了解一些 高观点 的知识和方法,可以快速找到题目的证明方向或猜出答案,再运用初等数学的知识和方法完善解答过程,缩短思考时间,提高解题效率．参考文献:[１]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[S ]．北京:人民教育出版社,２０２０．[２]白志锋．评析高考数学试题中的高观点题[J ]．数学通报,２００２(８):３７Ｇ３９．Z １６Copyright ©博看网. 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“高观点”下江苏省初中数学教学与考试的思考
“高观点”下江苏省初中数学教学与考试的思考方 莉（江苏省锡山高级中学，２１４１７４） 数学学科的“高观点”原指从高等数学的视角来审视初等数学问题，这里借用“高观点”一词，狭义地指从高中数学的视角思考初中数学的教学与考试问题．曾经网传这样一个段子：初中的时候，一节课教你和面，作业是和面；一节课教你擀皮，作业是擀皮；直到教会你包饺子，考试就考包饺子．高中了，一节课教你包饺子，作业是蒸包子；考试的时候，考的却是烙馅饼．虽然这个段子有些调侃与偏激，但也说明了初、高中数学教学与考试的一些问题．初中教学往往是对某一个知识点机械地反复程式训练，而高中要求学生综合运用数学的思想、观点、方法，在新情境下解决新问题．初高中不是“一盘棋”，而是“两张皮”．１ 关于新课标《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》（下称“新课标”）是现在及未来一段时间普通高中数学教学与评价的指导性文件．新课标的诞生过程，从初稿———送审稿———讨论稿———出版稿，笔者都有一定的了解和参与，新课标突出的特点就是凝练出数学核心素养，笔者认为，数学核心素养简单地讲就是数学的概念、公式、定理等数学理论都忘掉的情况下，数学还给你留下什么？２０１４年大学毕业二十年聚会，笔者就有很深的感慨，不少数学系的同学不再从事数学专业了，数学理论全忘了，但是理性科学的思维品质、实事求是的态度和锲而不舍的精神使得他们依然在各行各业做得很出色，这也许就是数学留给他们的核心素养吧！归根到底，数学核心素养就是综合运用数学的思想、观点、方法，在新情境下解决新问题的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观．普通高中数学课程标准中的数学核心素养绝不是仅仅在高中学段就能养成的，整个义务教育学段，尤其是初中学段对核心素养的养成起着很重要的作用．事实上，《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》中的“四基”、“四能”就是数学核心素养的一种表达．２ 关于新高考新课标催生新教材与新高考，２０２１年江苏高考将采用全国卷，江苏不再单独命题，高考命题专家包括高中教师、教研人员与大学教授．３ 关于数学中考基于上述新课标数学核心素养以及江苏新高考的“高观点”的思考，我们看一看江苏省的中考．江苏省的中考目前是分设区市单独命题考试，笔者对江苏省各市中考数学试题与外省市中考试题做过比较研究，发现各地区试题质量参差不齐，尤其与外省统考中考试题相比，在综合运用数学的思想、观点、方法，在新情境下解决新问题的思维品质、关键能力的考查方面的还有一定的差距．“高观点”下，对应新高考，笔者预测江苏的中考或将全省命题，而不再是设区市命题，命题人员也不仅仅是初高中教师与教研人员，或许还要邀请大学教授参与．因此数学中考压轴题不应该总是二次抛物线的旋转、平移、不动点等问题，在这些问题上深挖洞，人为设计难度，为压轴而压轴，对这个知识点反复的机械训练，对高中数学的教学与高考意义不大，也无益于数学核心素养的培养．或许初、高中数学衔接问题以及高中数学先修课程的内容可以作为中考压轴综合题的知识背景．４ 关于初中数学教学４．１ 初高中数学的衔接目前，高中数学与大学有了一定的衔接，如导数、矩阵（苏教版、人教版）、积分、（下转第３５页）·２３·理知识点，绘制本章节的思维导图的方式．一方面，激发了学生的复习热情，培养了学生的创新意识；另一方面，有利于提升学生的知识整理的能力．由于受水平所限，学生很难绘制一份完善和全面的思维导图，本课中，师生在解决问题的过程中，对思维导图不断补充完善，共同努力绘制了新的思维导图．从课堂效果看，思维导图给数学课堂带来了新鲜和活力，学生真正主动参与到教学之中．在平等、互动、愉快的课堂教学氛围中，学生进一步地调整和明晰了原有的认知结构，优化了数学知识在头脑里的组织方式，从而清晰地把握了知识间的内在联系，有条理地储存和记忆数学知识，并达到对知识的融会贯通．２．３ 反思感悟中内化活动经验弗赖登塔尔指出，反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力．一方面，反思应关注对数学内容系统方面的建构．本节课，学生在互相交流，不断碰撞的过程中，提炼图形相似的学习经验．具体而言，数学知识上从比例线段到相似图形逐步过渡到相似多边形、相似三角形，数学思想方法上从分类讨论到转化等，学生的学习经验不断条理化、系统化．最终形成数学内容方面的经验．另一方面，反思应关注对数学研究系统的建构．本课的问题呈现并不都是由教师提出，而是教师创造机会，让学生自己提出问题．例如对于问题１的变式，教师引导学生既然能对三角形的“角”作特殊化处理，那么“边”呢？你还能提出什么问题？对于问题２的引入，刚才我们是过三角形的顶点引的直线，你还能过哪里的点引直线呢？学生自然提出问题２．对于问题３，当点Ａ′落在ＢＣ中点时比较特殊，你还能打算研究什么？学生自然提出问题：当Ａ′落在线段ＢＣ上任意位置时，结论还成立吗？通过一系列的启发性的引导语，不仅引领了学生研究几何图形的方法，也是培养了学生发现问题、提出问题的能力．参考文献：［１］杨军，热西达·艾海提．反思型数学教师的教学特质：课例视角［Ｊ］．数学教育学报，２０１９，２８（１）：檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸６９－７３．（上接第３２页）极限与行列式（上海高考）．相比高中数学，初中数学与高中的断层就比较明显．高中数学中经常用的基础知识与基本方法学生知之甚少，为高中数学的学习与教学带来很大的障碍．从七年级到九年级，笔者统揽研读了苏科版初中数学的教材后，结合新课标下高中数学的教学与高考，认为初中数学应在以下方面加强衔接教学（这些内容也可以作为中考压轴综合题的知识背景）：（１）代数部分初等数论（整数的性质、整除、同余），立方和与立方差公式，因式分解，十字相乘法，多项式的乘法与除法，多项式恒等定理，含绝对值的等式、分式不等式与根式不等式的解法，函数视角下的一元二次方程与不等式，数学建模等．（２）几何部分三角形中的若干重要定理：中位线定理、勾股定理、射影定理、中线定理、角平分线定理、张角定理等；与圆有关的重要定理：切线的判定与性质定理、垂径定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理等４．２ 高中先修课程大学先修课程（ＡＰ）在美国实践成功，在我国也取得了一些积极成果．有能力的高中生可以先修大学内容，拔尖的初中生为什么不可以先修高中内容呢？最近几年，江苏省天一中学的少年班取得了辉煌的成绩，少年班的教学实质上就是初中先修与高中先修，是很成功的实例，对于有条件的初中具有积极的借鉴意义．观点高了，事物才能显得明了而简单．江苏的教育水平处于全国前列，高中教育凸显了一定的优势，高中教育普及率高，学生初中毕业后大部分会升入高中学习，所以很有必要把初中教学与中考和高中教学与高考通盘考虑，整合“两张皮”，做好初高中一盘棋工作，助力江苏基础教育的高质量健康发展．参考文献：［１］吴宝莹．数学核心素养———从教学过程的维度［Ｊ］．教育研究与评论，２０１５，（４）：４５．［２］程靖，鲍建生．“四基”：中国特色数学教育体系的核心理念［Ｊ］．数学教育学报，２０１９，２８（３）：２－６．［３］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０１１年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２００２．·５３·。
高观点下的中学数学问题的概念界定
高观点下的中学数学问题的概念界定
高观点下的中学数学问题是指那些考察学生数学思维能力、逻辑思考能力、推理能力、分析能力等高层次思维能力的问题。
这些问题往往不仅仅要求学生能够熟练地运用数学知识和计算技能，更重要的是能够灵活运用这些知识和技能解决实际问题，发现问题的本质、归纳总结规律、提出问题的解决方法等。
因此，高观点下的中学数学问题的概念界定应该包括以下特点：
1.强调数学思想和思维方式的培养，注重培养学生的创造性、
探究性和解决问题的能力;
2.具有多样性和复杂性，追求问题的深度和广度，兼顾知识性、技能性和认知性;
3.关注问题本身及其解决方案和方法的好坏、合理性、清晰度、准确性等;
4.按照数学历程和能力层次进行设计，从求解基础题目逐步转
向解决综合性问题的过程;
5. 超越计算，将数学运用于实际问题，在解决具有普遍意义的问题中寻求更有效的解决方案。
高观点下的中学数学
高观点下的中学数学
数学是一门有趣而遗忘的学科，它以其古老性、灵活性和普遍性给人们留下了深刻的印象。
尽管大多数中学数学课程都在讨论一些基本的概念，但是以一种更高层次的观点来看，我们会发现数学在我们身边充满了有趣的东西。
首先，从更细微的角度来看，中学数学其实是一门充满了思考的学科，它可以帮助学生培养独立思考和分析问题的能力。
由于它允许学生对涉及到的概念进行更深入的思考，因此能够帮助学生认识到解决问题的不同方法，能够加深他们对解决问题的技巧和方法。
同时，在学习过程中运用数学概念，会培养学生的逻辑思维能力，这对他们的学习也是有利的。
此外，当学生以更高层次认识到数学的特性时，他们就会发现，数学是现实生活中有用的技能。
例如，在解决实际问题的过程中，数学可以帮助学生更有效地进行计算，可以帮助学生更好地分析市场趋势，可以帮助学生更好地预测趋势以及更全面地看到社会，经济和政治等方面的问题。
因此，学习数学可以帮助学生从理论中探寻实践，从而做出更明智的决策，充分发挥其价值。
最后，数学可以帮助学生更好地理解世界，从而提高他们的整体思维能力。
研究表明，学习数学可以帮助学生更好地理解抽象概念，更好地提升其分析能力和决策能力，同时也能加强他们的英语写作能力等语言技能。
总而言之，在高观点下看，中学数学有着不容忽视的价值，它不
仅可以帮助学生培养思维能力和技能，而且还能帮助他们更好地理解世界，提高整体思维能力。
因此，我们有必要给学生提供更多的数学课程，以激发他们学习数学的兴趣，让他们更好地掌握数学知识，释放数学的真正价值。
重视高考命题的另一热点 高观点下的中数题
重视高考命题的另一热点 高观点下的中数题福建龙岩市第二中学 邱春来纵观近年来的高考题或省市质检题，我们可以发现另一类题型正悄然欣起，这类题型的特点是：以高数中的知识为背景（信息），而用中数语言来描述，可以用中数方法解决。
我称之为“高观点下的中数题”。
这种试题高考命题的另一热点，我认为原因有三：其一，高考主要目的就是为高校输送人才，注重中数与高数的衔接，这是它成为热点的必然性；其二，教材改革的最大变化之处就在于扩大知识面，降低中数与高数的门槛，重视高数的问题的基础化；其三，命题者大多为高校教师，高观点下的试题能使高校老师对命题的准确性、互斥性、充要性有较高层次的把握。
这类题型，表现主要有：、1、凹（凸）函数的性质。
中数中所出现的函数大部分为凹或凸函数，其图形简明，性质明显。
例1：（1994年高考题）已知函数f(x)=tanx,12(0,),(0,)22x x x ππ∈∈若 且12(0,),(0,)22x x x ππ∈∈若，证明：1212()()()22f x f x x x f ++>点评：这实际上就是证明f(x)=tanx,(0,)2x π∈为凹函数， 例2：（2003北京模拟）若f(x)在区间D 上为凸函数，则对于区间D 内的任意x1,x2……xn 有 12121[()()()]()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤成立，设f(x)=sinx 在[0，π]为凸函数，则在△ABC 中，求sinA+sinB+sinC 最大值。
点评：主要是应用凸函数的性质，则有1(sin sin sin )sin 333A B C A B C ++++≤= 2、柯西不等式例3 ：已知x>0,y>0, 且191,x y x y +=+求最小值点评：直接利用柯西不等式的变形公式：19()()16x y x y ++≥= 中数解法之一：19()1()()x y x y x y x y +=+⋅=+⋅+展开利用均值不等式即可求出 例4 ：已知椭圆22149x y +=在此椭圆上求一点P,使得P 到直线3x+4y+20=0的距离d 的最值。
刍议“高观点”视角下的初中数学教学措施
刍议“高观点”视角下的初中数学教学措施摘要：早在19世纪末20世纪初，“高观点”这一意识形态逐渐被人们所熟知。
“高观点”视角下的初中数学教学，并不意味着将高等数学迁移至初中数学教学过程当中，而是指运用高等数学的知识和方法来处理初中数学的问题。
只有从高等数学的角度解决初中数学教学过程中的难题，初中数学教学才能更加通俗易懂、易于学生解决。
本文在分析“高观点”视角的基础上，提出一系列“高观点”视角下的初中数学教学措施，以期能够有效简化初中数学难题，提高教学质量。
关键词：高观点；初中数学；教学措施在“高观点”视角下的初中数学教学中，要求教师站在高等数学的角度审视、处理初中数学问题，只有这样才能使初中数学问题变得简单、明了。
作为一位初中数学教师，应当充分掌握数学的各种概念和方法。
同时，还应当了解数学教育发展的全过程。
在初中数学教学过程中，教师应当具备极强的语言表达能力，运用通俗易懂的语言向学生传授一些高等数学的解题思路和方法，从而有效加快学生的学习效率，提高教学质量。
一、运用“高观点”的思想，转变初中数学教学理念“高观点”这一概念是由19世纪末20世纪初世界上最具有影响力的哥廷根学派的创始人克莱因提出的。
“高观点”视角下初中数学教学工作中，教师应当运用“高观点”的思想，转变初中数学教学理念，加深学生对数学知识的理解。
在初中数学中的化归思想，顾名思义就是将教学过程中遇到的不易解决的问题转化为易于解决的问题。
例如，教师在教学初中数学中的《二次函数》一课时，对于抛物线的图像，教师首先可以将这一数学知识概念分为三个较为简单的二次函数，如、、.其次，教师可以告诉学生运用数形结合、类比的方法将这四个二次函数互相转化，如“对于，我们可以先将这个函数的图像画出来，然后将这个图像通过上下平移或左右平移得到”，从而进一步引出本节课的教学重点.在这一教学过程中，教师结合旧知识引进新知识，将晦涩难懂的问题转化为简单易懂的问题，可以使学生轻松接受新概念。
“高观点”下一道高考模拟题的解法赏析
数学学习与研究2016.104.“1”在高等代数中的巧用在高等代数中,在求解相应的问题时,如果通过添加“1”,而这里的“1”是指单位矩阵,然后通过一系列运算,可以使得问题变得简单.下面主要介绍下,高等代数中求标准型、矩阵求逆以及求特征值的问题.例10[2]用非退化线性替换化下列二次型为标准型x 12+2x 1x 2+2x 22+4x 2x 3+4x 32.解对A E []=110122024100010001⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥1000120241-10010001⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥1000100001-1201-2001⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=A′T [],通过这个变换,将变为变为T ,T 即为可逆初等变换的系数矩阵,而A 变成的对角矩阵A′即为新二次型(即标准形)的矩阵.例11[2]A =2231-10-121[],求A -1.解[A E ]=2231001-10010-121001[]→1001-4-30101-5-3001-164[]=[E A -1],其中的过程主要是对单位矩阵进行变化得到矩阵,故A -1=1-4-31-5-3-164[].5.总结本文归纳并给出了“1”在数学学习中巧用例题,而对数字“1”的理解程度是随着数学学习程度单调上升的,而它的变形方式在不同方面也各不相同,而这正是它之所以被广泛运用的原因之一.巧妙地转化并灵活运用这些等价关系,达到解决问题,优化问题的目的,是研究“1”在数学中的妙用的根本目的.【参考文献】[1]华东师范大学数学系.数学分析[M ].北京:高等教育出版社.[2]王萼芳,石生明.高等代数[M ].北京:高等教育出版社.【摘要】对于高考数学题或相应的模拟题,教师们往往习惯用初等数学知识进行求解,实际上,能够运用高等数学的思想方法求解,无疑对提高教师的解题能力,拓展教师的数学素养,转变教师认识视角,深刻理解新课改理念,把握高等数学与初等数学关系有非常显著的促进作用.作为中学数学教师,不仅要学会用初等数学方法解决问题,而且要不断深入的研究《数学分析》、《高等代数》、《高等数学》等课程,对中学数学的指导作用.因此、本文就以一道模拟题为例,简要阐述拉格朗日常数法,在解决中学数学中条件最值问题时带来的巨大方便.以便老师能够体会高等数学方法的作用及意义.【关键词】拉格朗日常数法;高等数学;中学数学;新课标本文选自一道模拟题,该题涉及的知识主要有圆锥曲线、圆、线性规划、切线等,这些知识在中学数学中占有及其重要的地位,是新课标下必须要理解掌握的模块,也是高考考察的重点,这部分内容对于提高学生解题能力,促进学生理解能力,掌握数形结合等方法,都有极大的帮助.例题:在平面直角坐标系中,已知A ,B 两点的坐标分别为:A (1,0),B (-1,0),且圆C 的一般式方程为:x 2+y 2-6x -8y +21=0,点P 为圆C 上的动点.(1)求过点A 的圆的切线方程;(2)求|PA|2+|BP|2的最值.解(1)由题意可得圆的标准方程为:(x -3)2+(y -4)2=4.圆心为:(3,4),半径R =2.1)当切线的斜率不存在时,经验证直线x =1为圆的切线方程;2)当切线的斜率存在时,设过点A 的切线方程为:y =k (x -1).即:kx -y -k =0.∵圆心到切线的距离为半径R ,∴|3k -4-k |1+k 2√=2.整理可得:|k -2|=1+k 2√,即-4k =-3,k =34.∴此时过点A 的切线方程为:y =34(x -1).(2)设点P (x ,y ),由题意|PA |2+|BP |2=(x -1)2+(x -1)2=2(x 2+y 2)+2.由拉格朗日常数法:设L (x ,y ,z )=2(x 2+y 2)+2+λ[(x -3)2+(y -4)2-4].分别对x ,y ,λ求偏导,并令偏导的值为0,可得:L x ′=4x +2λ(x -3)=0①L y ′(x ,y ,λ)=4x +2λ(y -4)=0②L λ′(x -3)2+(y -4)2-4=0③由①,②,③解得x =95,y =125或x =215;带入目标函数2(x 2+y 2)+2,可得|PA |2+|BP|2的最大值为100,最小值为12.由拉格朗日常数法不难看出,该方法对于求条件最值是非常容易且简明扼要的,不仅直接求出最大、最小值,而且轻易求出了在取得最值时对应点的坐标.作为中学老师掌握该方法,对于拓展教师视野,理解新课标理念是有极大帮助的.“高观点”下一道高考模拟题的解法赏析◎肖运彭(贵州师范大学,贵州贵阳550001)r 3-2r 2c -2c r 2-r 1c -c (接上页). All Rights Reserved.。
高观点下中学数学教学与高考备考若干问题的研究
课题《基于“交汇”的数学试题命制的研究》子课题:高观点下中学数学教学与高考备考若干问题的研究厦门双十中学李生华一、子课题中几个核心概念的界定。
1、什么叫高观点？.本文所讲的“高观点”狭义是指高等数学和现代数学的思想方法和观点，广义是指一切数学知识、教育学知识、心理学知识、数学教育的基本理论，如弗赖登塔尔的数学教育理论、波利亚的解题理论等等。
2、什么叫高观点下数学问题？“高观点”下的数学试题,是指与高等数学相联系的中学数学问题或者说含有高等数学背景的中学数学问题.高观点下试题的命制是以现代数学和高等数学的知识背景来命制中学数学题目的一种新的命制模式。
3、什么是高观点下的中学数学教学？老师们在教学中运用高等数学的理论、思想、方法与观点剖析中学数学相关内容的一种教学方式，这种教学有利于探究高等数学对中学数学教学的指导作用，积极把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来。
高观点下的中学数学教学能使我们准确把握中学数学的本质和关键，从而高屋建瓴地处理中学教材，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路，提高解题能力，大有裨益。
二、本课题的意义和探究内容。
2、1、本课题的意义。
（1）引导中学数学教师应当站在更高的视角，从高等数学的角度，以宽泛的视野来诠释初等数学的核心知识及重要的数学思想方法内容来审视和理解初等数学的问题。
只有把握并能驾驭数学核心概念，重要的数学思想方法及其发生、发展过程，才能更准确地回答学生提出的“为什么”。
（2）通过高观点下高考题的研究提升含有高等数学背景的高考试题的解题能力，提升编拟该类型试题的水平。
（3）通过本课题的前期和后续研究积极促进2012年福建数学高考的备考。
2.2 本课题主要探究内容（1）中学数学与高等数学的联系。
通过几个高中数学问题的初等数学解法和高等数学解法进行比较分析；（2）研究这几年全国各地高等数学背景的高考题；（3）2012年福建高考备考的几个启示。
高考观点下的中学数学 教学
变量。x
y
定义2（高中或大学） 设
A和是B两个集合，如果按照某种对
应关系，使 的任何A一个元素在 中都有唯B一的元素和它对应，这
样的对应关系称为从集合 到集合 的A函数。
B
定义 3（高中或大学）从集合 A 到集合B 的映射 f : A B ，称为从集 合 A 到集合 B 的函数，简称为函数 f 。
第二、在我国高等师范院校中，无论是文、史、地，还是理、化、 生等各专业，所开设的专业课程，都是中学相应课程内容的加深、拓 广，螺旋式上升，而数学系的课程设置则是个例外，除了微积分，大 学数学课程所开设的高等数学，与中学数学的研究对象、研究方法都 有较大的不同，中学数学到大学数学，其知识是直线式上升，而非严 格意义上的螺旋式上升。在高师院校数学系的大部分教材中，几乎看 不到与中学数学的直接联系，学生难以获得应用高等数学的观点指导 中学数学的真实体验。
定义4（大学） 从集合 A 到集合B 的函数 f 是满足以下条件的从A 到 B
的一个关系：
1） D( f ) A ；
2）如果(x, y) f ,(x, z) f ，那么 y z 。
例3 古代几何三大问题（尺规作图问题）： 1） 三等分任意角； 2） 化圆为方； 3） 立方倍积；
在原来初中教材中还曾有过的一个尺规作图问题：圆内 接正七边形是尺规作图不能的。
◆中文作者：张奠宙、郑毓信、钟启泉、顾泠沅、王尚志、邵瑞珍、
宋乃庆、罗增儒、杨启亮、史宁中、裴光亚、孙名符、李士琦、徐斌艳、 范良火、蔡金发、曹一鸣、任子朝、吕世虎、鲍建生、孔企平、孔凡哲。
Hale Waihona Puke ◆中文期刊：数学教育学报、数学通报、数学通讯、中学数学教学参考。
高观点下的中学数学
就你认为的某个具有高等数学背景的中学数学问题进行讨论，并写成一篇3000字以上的论文。
高观点下的中学解题策略1 对于解题课教学有关概念的把握1.1数学家对数学“问题”及其解决的论述美国当代数学家哈尔莫斯详细阐述了问题对数学的重要性：“数学家存在的理由，就是解决问题．因此，数学的真正组成部分是问题和解．”“数学的产生及发展都是为了回答人们提出问题的需要，是问题的不断提出与解决在向数学输送着新鲜的血液，促进着数学的生长与发育，所以说，问题是数学的心脏．”数学家波利亚长期致力于“怎样解题”的研究，他指出：“掌握数学就是意味着善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且要善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题．”法国著名数学家阿达玛在其名著《数学领域中的发明心理学》把学生的解题过程与数学家的发明创造相提并论：“一个学生解决某一代数或几何问题的过程与数学家做出发现或创造的过程具有相同的性质，至多只有程度上的差异．”1.2数学问题的意义数学问题是指数学上要求回答或解释的题目，需要研究或解决的矛盾，是为实现教学目标而要求师生解答的问题系统．一个完整的数学题包含条件、结论、解题方法三个要素．从具体范围看，数学问题可以是一个待求解的答案、一个待证明的结论、一个待求作的图形、一个待判断的命题、一个待建立的概念、一个待解决的实际问题、一个待寻求的问题解法等形式；从教学场景看，数学问题有课堂上的提问、范例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的课外作业和测验试题，有师生共同进行的研究性课题等；从问题要素看，可分为标准性题（三个要素都已知）、训练性题（三个要素中有一个未知）、探索性题（三个要素中有两个未知）．传统意义上的数学问题具有接受性、封闭性和确定性的特征．其内容是熟知的，学生通过对教材的模仿操作性练习，就能较好地完成；其结构是常规的，答案基本确定、条件不多不少，可以按照现成的公式或常规的思路获得解决．主要目的在于巩固和变式训练，题目的挑战性不是很强．现代意义上的数学问题具有灵活性、应用性和探究性等特征．包含数学情景题、数学应用题、数学开放题、数学探究题等崭新形式．它们拉近了数学与实际、数学与自然、数学与其它学科的距离，正在改变着传统解题教学的环境、格局和意义．1.3数学解题的认识解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题的解的活动．教学中的解题是一个再创造或再发现的过程，是数学学习的核心内容．解题是真正发生数学教育的关键环节，尚未出现解题的数学学习总给人一种尚未深入到实质或尚未进入到高潮的感觉．解题是掌握数学并学会“数学地思维”的基本途径．概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、素质的提高等都离不开解题实践活动．解题也是评价学生认知水平的重要手段和方式．尽管不能认为是惟一的方式，也是当前用得最多、操作最方便、公众认可度最高的一种方式．可以说解题贯穿了认知主体的整个学习生活乃至整个生命历程．解题教学的基本含义是，通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”．对高中数学教学中的解题课而言，不仅要把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而且要把“题解”也作为对象，把开发智力、促进“人的发展”作为目标．传统意义上的解题，比较注重结果，强调答案的确定性，偏爱形式化的题目．而现代意义上的“问题解决”，则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法，更注重解决问题过程中情感、态度、价值观的培养．作为数学教育口号的“问题解决”，对问题的障碍性和探究性提出了较高的要求．波利亚在《数学的发现》中将问题理解为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的．解决问题就是寻找这种活动．”第六届国际数学教育大会报告指出：“一个(数学)问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境．”这类题目可以称为“问题”．“问题解决”是数学学科的一个永恒的课题．从信息论的观点探讨解题的思维过程．数学解题有形象思维、直觉思维和逻辑思维的综合作用．数学解题的过程是两个维度上相关信息的有效组合，即从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆网络中提取有关的信息，并把这两组信息组成一个和谐的逻辑结构．数学解题的思维过程是“有用捕捉”、“有关提取”、“有效组合”三位一体的工作．有用捕捉，即通过观察从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么?结论是什么?各有几个?如何建立条件与结论之间的逻辑联系?有关提取．即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想而从解题者头脑中提取出解题依据与解题方法．良好的认知构结和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础．有效组合．即将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻辑结构．逻辑思维能力是有效组合的基础．1.4高中学生的心理和认知发展规律高中学生处于青少年中期，是个体身心发展的剧变期．青少年的可能性思维使他们能运用假设检验去解决问题，提高了问题解决的速度和效率，能够有计划和预见地解决问题，思维和推理更具抽象性、预测性和灵活性．高中生的思维中虽然仍有形象思维的成分，但抽象逻辑思维已经占主导地位．除把具体情景和环境作为思维对象外，还开始实际思考自己和他人的思维，把抽象的思想意识作为思维对象．高中生的元认知能力大大增强，能够更好地监控自己的思维活动．他们运用更多的时间反思自己将要解决问题的思想观念和表象，具有了自我反省能力．他们的元记忆知识更加丰富，元理解能力已经发展到一个较高水平．根据高中学生的心理和认知发展规律可以看出，高中生已经能够承担较为复杂的学习任务，有能力参与高中数学解题课的教学，并顺利完成相应的教学任务．中学数学解题方法是数学方法论、学习论、思维论研究的重要组成部分．数学解题课具有教学功能、思想教育功能、发展功能和反馈功能．数学解题课的教学，可使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识系统，逐步形成完善合理的认知结构．数学解题课的教学，达到知识的应用，有利于启发学生学习的积极性．它是采用一段原理去解释具体的同类事物，由抽象到具体的过程．数学解题课的教学，也是一种独立的创造性活动．数学问题所提供的问题情境，需要探索思维和整体思维，也需要发散思维和收敛思维．因而可培养学生的观察、归纳、类比、直觉、抽象等合情推理以及寻找论证方法等演绎推理能力，准确、简要、清晰地表述以及判断、决策等一系列数学素养和能力，给学生以施展才华、发展智慧的机会．数学解题课是高中数学重要的基本课型之一．2 高中数学解题课的教学要求2.1课程标准对数学解题课的基本要求高中教育首先是人生发展的一个重要阶段，是学生生活的一部分，而不是服务于某一个既定目标的工具．高中阶段的任务应超越“单一任务”和“双重任务”这种教育工具化的倾向，实现从精英教育到大众教育的转变．定位于奠定高中生进一步学习的基础学力，养成其人生规划能力，培养公民基本素养并形成健全人格上．《数学课程标准》指出：“数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．”《数学课程标准》在界定高中数学课程性质时指出：“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人文社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用．”《数学课程标准》关于高中数学课程性质中专门对数学的应用提出要求：“高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力．”《数学课程标准》在“建立合理、科学的评价体系”中提出，要“关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以及在过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神”．2.2数学解题课的教学目标高中数学解题课的目标是：在数学方法论、学习论、思维论、多元智能、建构主义等教育理论指导下，培养学生形成“提出问题—分析问题—解决问题—反思问题”的良好习惯和品质，形成理性思维，发展智力和创新能力．培养学生实事求是的态度、锲而不舍的精神，学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．培养学生在数学解题过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神，全面提高学生的综合素质．倡导积极主动，创新学习方式；经历思维过程，培养数学素养；开展数学建模，培养应用意识；强调返璞归真，揭示发展规律；体验数学美感，强化文化价值．解题课的教学应突出三个方面：一是使学生准确、灵活地掌握数学知识，扩大知识的联系；二是使学生形成分析和求解数学问题的思路和方法；三是发展学生的思维能力．数学解题教学的根本任务是发展学生的思维潜能，促进学生整体素质的提高，通过素质的全面提高反过来带动学业成绩的提高．2.3数学解题课的特点该课型应体现学生的学习活动是在“解决问题中学习”，也就是把已经掌握的基本概念，基本公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以应用，找出解决问题的方法．解题课的教学过程应着力展现解题思维的全过程，充分发掘数学教材中没有具体表述的能力、智力的教育因素，注意对解题策略、思维方法、解题技巧等进行分类、归纳、评价．根据数学问题的难度、学生的知识基础及思维能力水平，铺设合适的梯度，设计好同类知识的训练题组．解题课的教学，应让师生共同交流解题思维的全过程，引导学生自己动脑、动手、动口，积极参与解题教学活动；引导学生自我评价、优化解题思路，改进解题策略，从而寻求最优的解题方法．解题活动以思维的“动”为最大特点．要提高数学解题能力，就必须拓展学生自由思维和联想的空间，让思维“动”起来．在传统的数学解题课教学中，课堂由老师支配，对课堂问题的思考、回答和讨论都是教师预设的，学生的一切活动都依赖于老师．学生不敢也不愿意突破固有的框架，学生的个性受到压抑，主体性得不到发挥，思维得不到发展．新课程理念要求教师的课堂以学生为主体，创设民主、和谐、宽松、自由的课堂环境，调动一切因素和状态，拓展学生思维活动空间．使学生主动地参与教学．在这样的环境里，师生平等，学生消除了胆怯和依赖心理，他们可以无拘无束地表现自己，表达自己对问题的想法和认识．学生的积极参与和质疑扩大了生生之间的信息交流与师生之间的信息反馈，有利于新思想、新方法的展示，也有利于问题的发现．这样，教师才能沿着学生的思想轨迹，综合学生反映出来的各种问题因势利导，澄清疑点，纠正错误，优化思想品质．2.4数学解题的规范解题是深化知识、发展智力、提高能力的重要手段．规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平．在学习过程中做一定量的练习题是必要的，但并非越多越好，题海战术只能加重学生的负担，弱化解题的作用．要克服题海战术，强化解题的作用，就必须加强解题的规范．做到审题规范、表达规范、答案规范．审题规范是正确解题的关键．审题是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程，包括明确条件与目标、分析条件与目标的联系、确定解题思路与方法三部分．明确条件与目标，一是找出题目中明确告诉的已知条件，发现题目的隐含条件并加以揭示，二是明确要求什么或要证明什么，把复杂目标转化为简单目标；把抽象目标转化为具体目标．一个题目的条件与目标之间存在着一系列必然的联系，这些联系是由条件通向目标的桥梁．数学解题就是根据这些联系所遵循的数学原理确定解题思路．数学解题的实质就是分析这些联系与哪个数学原理相匹配．有些题目，这种联系十分隐蔽，必须经过认真分析才能加以揭示；有些题目的匹配关系有多种，而这正是一个问题有多种解法的原因．叙述规范是数学解题的重要环节．语言（包括数学语言）叙述是表达解题程式的过程，规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当、言必有据．数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云．怎样把数学的解答严谨地叙述出来是一件不容易做到的事，这有着较高的能力要求．总的说来，叙述要正确、合理、严密、简捷和清楚．把运算、推理、作图与所得的结果无误地加以叙述，是解题的一项基本要求．对列式、计算、推理、作图都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，做到言必有据，理由充足，合乎逻辑性．要周密地考虑问题中的全部内容，不能遗漏，也不能重复．任何数学问题的解答都有一定的格式要求，无论哪种格式，叙述都应层次分明，条理清楚，表述规范．这里包含书写时要力求字迹清楚，作图正确，疏密适度，行款得体．所有这些能力的培养有一个渐进的过程．在不同的学习阶段，应提出不同的要求，教师在解题课教学过程中要作出示范，使学生学有榜样，逐步培养严谨的表达能力．答案规范是数学解题的成果体现．答案规范是指答案准确、简洁、全面，既注意结果的验证、取舍，又要注意答案的完整．要做到答案规范，就必须审清题目的目标，按目标作答．在数学解题课上，常常是先把问题转化成一般数学问题，再把一般数学转化为规范数学问题，最后的答案必须进一步转化到原有问题中去，并考虑到原有问题对解的各种限制和要求．2.5数学解题课教学的基本要求培养学生的问题意识．解题活动不仅指解决问题的过程，更重要的是指提出问题的过程，解决问题最困难的部分之一是提出正确的问题．问起于题，疑源于思．数学学习过程是一个复杂的思维过程，也是一个不断地“生题——质疑——释疑”的过程．大胆怀疑，是数学创造活动的特征．质疑，表现了一种求知欲，包含着智慧的火花；质疑，是一种探索精神，孕育着创造．要逐步培养学生敢于提出问题，勇于提出问题，善于提出问题的问题意识．合情推理与问题解决．数学既是严谨的演绎科学,又是实验性的归纳科学．数学的发生、发展过程是观察、实验、归纳、类比、猜想等合情推理与判断、证明等演绎推理的交织互动．数学问题的分析过程就是一种数学发现，观察、联想、类比、猜想、归纳、概括等合情推理是数学问题分析过程的主要形式．在数学问题解决教学过程中，引导学生通过经历可信的、自然的、有一定弯拐歧路的知识生长过程，模拟数学家研究数学的过程．从合情推理发现数学命题及其证明思路，再由演绎推理证明命题的真伪，正是人们发现、发明、创造的一般程序．数学探索、研究中艰难坎坷的体验和成功的喜悦，是人生十分珍贵的经历．只要引导学生勤于思考，他们在日常的阅读中，在听讲中，在解题中，总会有所思考，有所猜想，有所发现．这日常中的点滴发现，与重大的数学发现之间，并没有不可逾越的鸿沟．多元智能与问题解决．数学问题的解决依赖于逻辑/数学智能，又是空间智能、语言智能、自我认识智能、人际交往智能等综合作用的过程．数学解题课中要充分考虑多元智能在问题解决中的重要作用，分析不同个性特征对“问题解决”的影响，发展学生的数学心智．一般解题方法的教学．学习借鉴波利亚《怎样解题表》，逐步培养学生养成“理解题意——拟定方案——执行方案——反思回顾”的科学、规范的一般解题过程．了解波利亚的数学启发法与数学解题的常用模式及其在数学解题教学中的意义．从认知心理学与数学教育学的角度认识数学基础知识、基本技能与数学解题的关系，认识知识的合理组织、调控、信念在分析与解决问题中的意义，将数学解题与思维培养紧密结合起来．要熟悉数学解题的常用策略和方法，理解数学解题策略在数学解题及生活中的意义．熟悉数学解题的一般方法与技巧．重视学生的发散思维．思维是人脑反映事物的一般特性和事物之间规律性的联系，以已有知识为中介进行推断和解决问题的过程．任一思维现象均是多种思维形态的综合．根据思维所承担的任务不同，而对于某种思维形态有所侧重．发散思维是指在思维过程中信息向各种可能的方向扩散，不局限于既定的模式，从不同的角度寻找解决问题的各种途径．具体地说，就是依据定理、公式和已知条件，产生多种想法，广开思路，提出新的设想，发现和解决新的问题．发散思维富于联想，思路宽阔，善于分解、组合、引申、推广，灵活采用各种变通方法，在数学教学中，可以培养学习兴趣，提高解题能力．在解题课教学中，对于数学问题的讲解，要结合对方法的思考及方法的选择过程，应注意“抛砖引玉”，决不“能越俎代庖”．要引导学生“察言观色”，广泛地开展联想，寻找解决问题的多种途径．学会举一反三，重视学生发散思维的培养．重视解题的基本理念．无论解决什么问题，我们都不忘从“知识—方法—观念”的角度去审视题目，做到让学生心里有数，做到知识熟、方法活、观念有．基本知识熟就是熟悉知识的等价表述，熟悉知识的有关范例，做到“一道题就是一个观点，就是一种方法”；基本方法活就是活用“基本的逻辑证法、数形结合法、待定系数法与估算法”，做到用“有限去把握无限”；基本观念有则要求学生心中要有“一与多”、“有限与无限”、“数与形”、“整体与部分”等观念．重视学生的反思能力．在数学解题课教学中，要引导学生摆脱“题海战术”，提高数学素质，培养数学能力．使学生学会“反思”．做完一道题后，要再问几个为什么，并从中获得对下次解题有用的经验和教训．搞清楚“为什么”，才能在以后的解题中知道“做什么”和“如何做”．一道数学题，经过一番艰辛与苦思冥想解出答案后，我们应认真进行如下探索：命题的意图是什么；考核哪些方面的知识和能力；验证解题结论是否合理，命题所提供条件的应用是否完备；求解论证过程是否判断有据，严密完善；本题有无其他解法；众多解法哪一种最简捷；把本题的解法和结论进一步推广，能否得到普遍性结论，解此题的思路方法是什么等．反思的目的在于深化对知识的理解，促进知识结构的不断分解组合，使思维有一个正确可靠的基础．长期进行反思，还可培养学生对试题的鉴赏能力，对那些知识容量大，各知识间结构联系巧妙的试题产生美感，引起兴趣．2.6精心设计数学解题课的问题解题课的问题要处于学生的“最近发展区”．学生的认知系统和教师的认知系统是不一样的，教师在进行问题设计时，必须根据学生的“最近发展区”进行设计．学生的发展必须在现有的基础上发展，而学生课堂上的认知系统，就是他们以后逐步提高的“最近发展区”．要想使设计出的问题能达到预设目的，使学生根据问题进行讨论和学习，教师必须能够设计出切入到学生的认知系统的问题．反之，武断地根据教师自己的认知系统设计，只能使学生产生厌倦和畏难情绪，常有教师抱怨说“在课堂上无论怎样引导，学生总是启而不发”，其实关键是没有找出学生的“最近发展区”．如果问题处于学生的“最近知识区”，在老师的引导下，他们会很快解决这个问题，并能够获得独立完成思考的能力和成就感．解题课问题的设计要多功能化．数学问题应使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识系统，逐步形成和完善合理的认识结构．体现其教学功能、发展功能、检查功能和思想教育功能．解题课问题的选择要有针对性．问题要针对教学目标、针对知识点、针对学生的学习现状．问题选择要注意可行性，不宜过易也不宜过难．问题选择要有典型性，要克服贪多、贪全，既要注意到对知识点的覆盖面，又要能通过训练让学生掌握规律，达到“以一当十”的目的．要注意对课本例题的挖掘，课本例题均是经过专家多次筛选后精品，教师要精心设计和挖掘课本例题，编制一题多解、一题多变、一题多用的例题，提高学生灵活运用知识的能力．解题课的问题要有很强的探索性．一个问题的好坏，不在于它一定有多大的实用价值，而在于在该问题实施的过程中是否具有探索性，能否让学生更深入挖掘问题深处的内涵，能。
“高观点”视角下的初中数学教学
龙源期刊网
“高观点”视角下的初中数学教学
作者：孙晓芳
来源：《内蒙古教育·综合版》2020年第01期
“高观点”视角是指，用经典的高等数学与现代数学知识、思想与方法研究初等数学的一种方法策略。
“高观点”视角下的初中数学教学是以高等数学知识为研究工具，以初中数学教学内容为研究对象，通过寻找与挖掘初中数学内容与高等数学知识之间的异同点，帮助学生更深层次地理解数学概念、剖析数学问题、掌握数学方法。
数学教学不是简单的、机械的知识传授，而是帮助学生完成知识体系的构建。
因此，“高观点”视角下的初中数学教学更加致力于深入挖掘数学知识的本质，让学生感受与体验数学知识的形成，从而让学生明晰数学知识产生的前因后果，把握知识脉络，最终实现对学生数学核心素养的培养。
一、“高观点”在概念教学中的应用
数学概念是学生进行数学运算、逻辑推理和解决问题的重要依据，也是数学教学中的重难点。
数学概念具有极强的抽象性和逻辑性，需要教师充分调动学生的已有认知结构和经验，促使其思维从具体化向形象化过渡，才能顺利地完成对数学概念的构建。
然而，在初中数学教材。
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课题《基于“交汇”的数学试题命制的研究》子课题:高观点下中学数学教学与高考备考若干问题的研究厦门双十中学李生华一、子课题中几个核心概念的界定。
1、什么叫高观点？.本文所讲的“高观点”狭义是指高等数学和现代数学的思想方法和观点，广义是指一切数学知识、教育学知识、心理学知识、数学教育的基本理论，如弗赖登塔尔的数学教育理论、波利亚的解题理论等等。
2、什么叫高观点下数学问题？“高观点”下的数学试题,是指与高等数学相联系的中学数学问题或者说含有高等数学背景的中学数学问题.高观点下试题的命制是以现代数学和高等数学的知识背景来命制中学数学题目的一种新的命制模式。
3、什么是高观点下的中学数学教学？老师们在教学中运用高等数学的理论、思想、方法与观点剖析中学数学相关内容的一种教学方式，这种教学有利于探究高等数学对中学数学教学的指导作用，积极把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来。
高观点下的中学数学教学能使我们准确把握中学数学的本质和关键，从而高屋建瓴地处理中学教材，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路，提高解题能力，大有裨益。
二、本课题的意义和探究内容。
2、1、本课题的意义。
（1）引导中学数学教师应当站在更高的视角，从高等数学的角度，以宽泛的视野来诠释初等数学的核心知识及重要的数学思想方法内容来审视和理解初等数学的问题。
只有把握并能驾驭数学核心概念，重要的数学思想方法及其发生、发展过程，才能更准确地回答学生提出的“为什么”。
（2）通过高观点下高考题的研究提升含有高等数学背景的高考试题的解题能力，提升编拟该类型试题的水平。
（3）通过本课题的前期和后续研究积极促进2012年福建数学高考的备考。
2.2 本课题主要探究内容（1）中学数学与高等数学的联系。
通过几个高中数学问题的初等数学解法和高等数学解法进行比较分析；（2）研究这几年全国各地高等数学背景的高考题；（3）2012年福建高考备考的几个启示。
三、高观点下中学数学教学内容。
3.1中学数学与高等数学的联系。
（1）中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础。
现代数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来，如，数集和点集（平面的和空间的）是集合的特例；整数环是可换环的原型，有理数域是域的原型，数的四则运算是二元运算的特例；数值函数是映射的特例，变换又是特殊的函数等。
（2）对于中学数学里某些不能交待清楚的问题，要了解其再数学史上产生和解决的过程，弄清它们在高等数学里的背景。
如，新课程教材中为什么把“0”作为第一个自然数？自然数与有理数、实数相比较，孰多孰少？（3）高等数学知识在中学数学解题当中的运用一方面能提升中学数学老师高屋建瓴地处理中学教材，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路，提高解题能力，大有裨益；另一方面，随着高考命题改革的逐步深入，结合命题组成员中大多是大学教师，他们在命题时不可能不受自身研究背景的影响，因此高等数学背景下的高考题编拟越来越重视。
3.2 高等数学知识在中学数学中的应用3.2.1数学分析的有关概念在中学数学中的应用数学分析的形成是深深扎根于初等数学基础上的,它的一些基本概念,如极限、导数、积分、无穷级数的收敛等,都是在初等数学有关问题的基础上发展而来.比如,初等数学只能求直线形所围成的多边形面积,圆形(包括扇形和弓形)的面积,若要求其他曲线形的面积,初等数学难以解决,就必然要探求新的方法,从而便在初等数学的基础上,形成了以微积分为中心的“数学分析”。
例1：求nnn n n nC C C C ++++Λ32132 法一：利用公式 )2(11+--∈≥=N n n nC kC k n k n 且法二：求导法n n n n n nn x C x C x C C x ++++=+Λ2210)1( 两边对x 求导得：12112)1(--++=+n n n n n n x nC x C C x n Λ令x=1得：1321232-⋅=++++n nn n n nn nC C C C Λ 例2、已知 20π<<x ，求证：sinx<x<tanx.法一：单位圆内利用面积的大小比较得到。
法二：设f(x)=sinx,g(x)=tanx 由拉格朗日中值定理及20π<<xx x x xx f x f <⇒<==--sin 1cos sin 0)0()(1ξx x xxx g x g >⇒>==--tan 1sec tan 0)0()(22ξx x x tan sin <<∴备注：拉格朗日中值定理：函数f(x)在[a ，b] 连续，且在(a ，b)可导，则在(a ，b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)= )(,ξf (b —a)。
3.2.2、高等代数在中学数学中的应用高等代数不仅是中学数学的延拓,也是现代数学的基础.作为中学数学教师总感觉到大学中学的高等代数在中学教学中用不上,其理由是从初等数学到高等数学,在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别;其实这是一种误解,正因为有这样的区别,它能使我们从中学的解题思维定势中走出来,用一种更深远的眼光来看中学数学问题.例3：若 , , a b c R +∈且1a b c ++=.求证：1119a b c++≥法一：利用均值不等式解决即可。
法二：利用柯西不等式。
构造设=ξ,η= 则有：22111111()())a b c a b c a b cξη=++++=++ 22111,9a b c ab c η⎛⎫=⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭ 由柯西不等式得：1119a b c ++≥成立备注：柯西—施瓦兹不等式是高等代数的一个重要不等式。
设欧式空间nR ,令12=,,)n a a a ξL （,12(,,)n n b b b R η=∈L 则有222,ηξη≤（当且仅当ξ,η线性相关时等号成立）,在标准内积下,有：222222*********)()(),n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++L L L （法三：此题还可以高等数学中函数的凹凸性为背景求解（关于函数的凹凸性质后面会详细分析）。
证明 结合图像x y 1=在第一象限的一支 在上面取111(,) ,(,) ,(,)A a B b C c a b c三点 此三点的重心G （00,y x ）其中3cb a x o ++=；31110c b a y ++=由x y 1=的下凸性可知,点在曲线上侧,所以001x y >,即313111c b a c b a ++>++ ,得到211139a b c a b c++≥=++ 3.2.3、概率与统计在中学数学中的应用例4、设1,,0≤≤z y x ，求证：1≤---++zx yz xy z y x证明：设A 、B 、C 是三个相互独立事件且p(A)=x,p(B)=y,P(C)=z 由概率的性质及加法公式得zxyz xy z y x CA p BC p AB p C p B p A p ABC p CA p BC p AB p C P B P A P C B A p ---++=---++≥+---++=++≥)()()()()()()()()()()()()()(1xyyzzyx∴zx+-≤1--+例5、（2010年福建省质检卷第15题）编者的意图在于：凸显概率论在生活中的应用，体现“或然”与“必然”的思想。
按编拟此题的高校老师的观点认为：新课程对概率和统计要求是小学开始学，初中要学、高中要学、大学更要从学科角度深入学习，此题要让学生明白概率在多方面的应用。
四、高观点下研究全国各地高考题。
3.1对含有高等数学背景的高考试题研究。
《辞海》中的背景一词有三层含义:第一层为布景；第二层指图画；第三层指对人物或事物起到一定作用的环境和情景。
含有高等数学背景的高考题指高考命题时立足于高等数学相关知识，通过初等化处理（用中学相关知识精心设置和包装），使得编拟的试题直接或间接含有高等数学中的一些基本知识、基本问题、基本思想和方法等等。
本文所探讨的主要以高等数学基本知识为载体呈现的。
3.1.1以矩阵知识为背景例1、（2003北京高考题）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学，都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，3，…k. 规定同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=)(,0)(,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中=i 1，2，3，…k ，且=j 1，2，3，…k. 则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）.(A). k k a a a a a a 2222111211+++++++ΛΛ (B). 2221212111k k a a a a a a +++++++ΛΛ (C). 2122211211k k a a a a a a +++Λ (D). k k a a a a a a 2122122111+++Λ . 3.1.2 以集合和映射为背景。
例2、（2011年福建高考理科卷第15题）设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈以及任意λ∈R ，均有)()1()())1((b f a f b a f λλλλ-+=-+ 则称映射f 具有性质P 。
先给出如下映射：① ;),(,)(,:11V y x m y x m f R V f ∈=-=→ ② ;),(,)(,:222V y x m y x m f R V f ∈=+=→ ③ ;),(,1)(,:33V y x m y x m f R V f ∈=++=→其中，具有性质P 的映射的序号为________。
（写出所有具有性质P 的映射的序号）3.1.3以近世代数群的定义为背景。
例3、（2011年福建高考文科卷第12题）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n ∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2011∈[1] ②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a-b ∈[0]”. 其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 例4、(06四川理第16题)非空集合G 关于运算⊕满足：(1)对任意的,,a b G ∈都有,a b G ⊕∈(2)存在,e G ∈都有,a b b a a ⊕=⊕=则称G 关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算： ① G ＝｛非负整数｝,⊕为整数的加法. ② G ＝｛偶数｝,⊕为整数的乘法.③ G ＝｛平面向量｝,⊕为平面向量的加法. ④ G ＝｛二次三项式｝,⊕为多项式的加法. ⑤ G ＝｛虚数｝,⊕为复数的乘法.其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是__________.(写出所有“融洽集”的序号) 分析：本题其实源自大学数学专业课中的《近世代数》,此题给出了一个新的概念“融洽集”, 考查学生在瞬间理解并且会运用此概念来判断以下给出的条件是否满足成为“融洽集”的能力.①{},G =⊕非负整数为整数的加法,满足任意,a b G ∈,都有a b G ⊕∈,且令0e =,有00a a a ⊕=⊕=,所以①符合要求.②{},G =⊕偶数为整数的乘法,若存在a e a e a ⊕=⨯=,则1e =,矛盾,∴ ②不符合要求.③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法,取0e =r,满足要求,∴ ③符合要求;④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法,两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式,所以④不符合要求.⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法,两个虚数相乘得到的可能是实数,∴ ⑤不符合要求.这样G 关于运算⊕为“融洽集”的有①③. 3.1.4 以函数的性质为背景。