第七章离散时间信号与系统的Z域分析总结

当 z > a 时，这是无穷递缩等比级数。
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
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3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
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M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
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因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
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(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2
0
−n
+ ∑ x ( n) z
n =1
n2
−n
z的正幂级数： 正有限长序列： 0 ≤ z < Rx +
0< z
综合： 0 < z < Rx +
a
b Re[ z ]
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5.阶跃序列
x ( n) = u ( n)
n
x ( n) = u ( n) = a u ( n)
a =1
1 z = X ( z) = −1 z −1 1− z
收敛域为
z >1
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又 z > 2, 序列为右边序列 4 n 1 n x( n) = ⋅ 2 − ⋅ (0.5) u (n) 3 3
当 z < 0.5, 序列为左边序列 4 n 1 x(n) = − ⋅ 2 + ⋅ (0.5) n u (− n − 1) 3 3
当0.5 < z < 2, 序列为双边序列 4 n 1 x(n) = − ⋅ 2 u (−n − 1) − ⋅ (0.5) n u (n) 3 3
X ( z) =
n = n1
∑
∞
x ( n) z − n =
n = n1
∑
−1
x ( n) z − n +
∑
n =0
∞
x ( n) z − n
负有限长序列: z <∞
z的负幂级数： Rx − < z ≤ ∞
综合：Rx − < z < ∞
因果序列 Rx − < z ≤ ∞
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6.斜变序列
x( n) = nu ( n)
X ( z ) = ∑ nz
n =0 ∞ −n
∑z
n =0
∞
−n
1 = 1 − z −1
z >1
∞
− ( n −1) 将上式两边对 z −1 求导得， nz = ∑ n =0
1 (1 − z −1 ) 2
两边同乘以 z
−1得，
z z >1 X ( z) = 2 收敛域 ( z − 1)
因此，X ( z ) 可以展成以下部分分式形式 M −N N −r r A Ck −n k + X ( z ) = ∑ Bn z + ∑ −1 ∑ −1 k − − z z z z 1 ( 1 ) n =0 k =1 k =1 k 0 其中，M≥N时，才存在Bn；zk为 X ( z ) 的各单极点， z0为 X ( z ) 的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：
z <b
Re[ z ]
*收敛域一定在模最小的极 点所在的圆内。
b
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4.双边指数序列
x(n) = a n u (n) − b n u (− n − 1)
z z X = ( z) + z −a z −b
(b > a > 0)
a< z <b
j Im[ z ]
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7.2 z反变换
已知 X ( z ) 及其收敛域,反过来求序列 x(n)的 变换称作z反变换。记作： x(n) = Z−1[ X ( z )]
解法：
1、部分分式展开法 2、幂级数展开法（幂级数展开法） 3、围线积分法（留数法）
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7.1.3 常用序列的z变换
1.单位抽样序列
x ( n) = δ ( n)
∞
Z [δ (n)] =
n = −∞
∑ δ (n)z =
−n
z= 1
0
其收敛域应包括 z = 0, z = ∞, 即 0 ≤ z ≤ ∞, 充满整个z平面。
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7.1.2 z变换的收敛域
1.定义
使序列 x(n) 的z变换 X ( z ) 收敛的所有z值 的集合称作 X ( z ) 的收敛域。 X ( z )收敛的充要条件是绝对可和，即
n = −∞
∑
∞
x(n) z − n= M < ∞
收敛域为一圆环状区域，即
R− < z < R+
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2.序列形式与收敛域的关系
(1)有限长序列
x(n), n1 ≤ n ≤ n 2 x ( n) = 其他n 0,
X ( z)
n = n1
∑ x ( n) z
n2
−n
,∴ 若， x ( n) z
−n
< ∞ n1 ≤ n ≤ n2 ;
考虑到是有界的，必有， x ( n)
z =0,
•n1 < n2 ≤ 0 0 ≤ z < ∞ •0 ≤ n1 < n2 0 < z ≤ ∞ •n1 < 0 < n2 0 < z < ∞ •n1 = n2 = 0 0≤ z ≤∞
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(2)右边序列
x(n), n ≥ n1 x ( n) = n < n1 0,
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2.右边指数序列
X ( z) =
∞ n = −∞
x ( n) = a n u ( n)
∞ ∞ n =0 n =0
n n −n −n −1 n a u ( n ) z a z ( az = = ∑ ∑ ∑ )
= 1 + az −1 + (az −1 ) 2 + + (az −1 ) n
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7.2.2 围线积分法
= z变换： X ( z )
z反变换： x(n) =
n = −∞
∑
1
∞
x ( n) z − n ,
Rx − < z < Rx +
2π j ∫
c
X ( z ) z n −1dz , c ∈ ( Rx − , Rx + )
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7.2.1 部分分式展开法
有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式
a ax + b 的和，使各分式具有 ( x + A) k 或 2 ( x + Ax + B ) k
1 jω0 n cos(ω0 n )u ( n) [e = + e − jω0 n ]u ( n) 2 1 n ,z > a = Z [a u (n)] −1 1 − az 1 jω0 n jω0 , 1 ∴ Z [e = = > u (n)] z e jω0 −1 1− e z 1 − jω0 n − jω0 , 1 > = Z [e = u (n)] z e − jω0 −1 1− e z
j Im[ z ]
c为环形解析域内环 绕原点的一条逆时 针闭合单围线. 利用留数定理求解
Rx+
0
Rx−
c
Re[ z ]
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7.3
1.线性
z变换的基本性质和定理
,则有：
[ x(n)] X ( z ) , Rx − < z < Rx + 如果 Z= Z [= y (n)] Y ( z ) , Ry − < z < Ry +