七年级数学思维探究(24)认识三角形(含答案)

1893年，在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像，这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫斯基（17921856-），他发现了一个逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美的新的几何世界——非欧几何．他为非欧几何的存在和发展奋斗了30多年，被誉为“几何学中的哥白尼”． 24．认识三角形 解读课标

从房屋的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形，生活中处处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用．

认识三角形，就是认识三角形的概念及基本要素——边与角，与边与角相关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算，图形的计数等方面有广泛的应用．

代数化及分类讨论法是解与三角形基本要素相关问题的重要方法．代数化即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，分类讨论即按边或角对三角形进行分类． 问题解决

例1 在ABC △中，高BD 和CE 所在直线想交于O 点，若ABC △不是直角三角形，且60A ∠=︒，则BOC ∠=_________度．

试一试 因三角形的高不一定在三角形内部，这样ABC △形状应分两种情况讨论． 例2 如图，将纸片ABC △沿着DE 折叠压平，则（ ）．

A ．12A ∠=∠+∠

B ．()122A ∠=∠1+∠

C ．()113A ∠=∠+∠2

D ．()1

124

A ∠=∠+∠

试一试 在折叠动态变化中，不变关系是B C AED ADE ∠+∠=∠+∠，这是解本例的关键．

例3 （1）如图①，AD BC ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，试探寻DAE ∠与C ∠、B ∠的关系．

（2）如图②，若将点A 在AE 上移动到F ，FD BC ⊥于D ，其他条件不变，那么EFD ∠与C ∠、D ∠是否还有（1）中的关系？说明理由． （3）请你提出一个类似的问题．

试一试 对于（2），通过作辅助线，将问题转化为（1）．

例4 如图①，已知A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，()0,2C -，()3,2D --． （1）求BCD △的面积；

（2）如图②，若AC BC ⊥，作CBA ∠的平分线交CO 于P ，交CA 于Q ，判断CPQ ∠与CQP ∠的大小关系，并证明你的结论； （3）如图③，若ADC DAC ∠=∠，点B 在x 轴正半轴上运动，ACB ∠的平分线CE 交DA 的延长线于点E ，

在B 点的运动过程中，E

ABC

∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

2

1

D

A

B C

E

A

B

C

图①

D

A

B

C

F 图②

试一试 对于（3），ABC ∠能否用E ∠的式子表示？由数到形，分解出基本图形是解题的关键．

例5 在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上．问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？

两个点、三个点…的简单情形，有下表所示的关系： 3个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点时，连接可得到小三角形的个数为：()32200814017+⨯-=（个）．

解法二 整体核算法．设连线后把原三角形分割成n 个小三角形，则它们的内角和为180n ︒⋅，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360︒的内角，2008个点共提供内角2008360⨯︒，于是得方程1803602008180n =⨯+，解得4017n =，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形． 角平分线

角平分线是联系角与角之间关系的纽带，当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通性的组图．

例6 （1）如图①，已知ABC △中的两内角平分线交于P 点，两外角平分线交于M 点，一内角平分线与一外角平分线交于N 点．试分别探究BPC ∠、M ∠、N ∠与A ∠关系；

（2）如图②，在凹四边形ABCD 中，已知ABD ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，求证：2

A D

E ∠+∠∠=．

分析与解 （1）1902BPC A ∠=︒+∠，1902M A ∠=︒-∠，1

2

N A ∠=∠．

（2）凹四边形

ABCD 形似“规形”，易证BDC A B C ∠=∠+∠+∠． 图②可分解为两个“规形”，

BE ∵、CE 分别平分ABD

∠、ACD ∠，

∴可设ABE DBE x ∠=∠=，ACE DCE y ∠=∠=． 由（

1）得E A x y ∠=∠++，① D E x y ∠=∠++，②

图①

图②

图③

N

P

A

B

C

图①

x y y

x

D A B

C

E 图②

②-①得D E E A ∠-∠=∠-∠，

2

A D

E ∠+∠∠=∴．

数学冲浪 知识技能广场

1．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若100ADF ∠=︒，则BM D ∠=_________度．

2．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中1∠的度数为_______．

3．如图，ABC △中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠=_______．

4．如图，在ABC △中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠的平分线与1

ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；…，2008A BC ∠的平分线与2008A CD ∠的平分线相交于点2009A ，得2009A ∠，则2009A ∠=________．

5．如图，ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠的外角分别记为α、β、γ．若::3:4:5αβγ=，则::A B C ∠∠∠=（ ）．

A ．3:2:1

B ．1:2:3

C ．3:4:5

D ．5:4:3

6．如图，BP 是ABC △中ABC ∠的平分线，CP 是ACB ∠的邻补角的平分线．若20ABP ∠=︒，50ACP ∠=︒，则A P ∠+∠=（ ）．

A ．70︒

B ．80︒

C ．90︒

D ．100︒

D

M

A

B

C

E

F 1

E

C

B

A D

D

A

B

C A 1

A 2

C

B

A γα

β