七年级数学思维探究(24)认识三角形(含答案)

1893年，在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像，这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫斯基（17921856-），他发现了一个逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美的新的几何世界——非欧几何．他为非欧几何的存在和发展奋斗了30多年，被誉为“几何学中的哥白尼”． 24．认识三角形 解读课标从房屋的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形，生活中处处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用．认识三角形，就是认识三角形的概念及基本要素——边与角，与边与角相关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算，图形的计数等方面有广泛的应用．代数化及分类讨论法是解与三角形基本要素相关问题的重要方法．代数化即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，分类讨论即按边或角对三角形进行分类． 问题解决例1 在ABC △中，高BD 和CE 所在直线想交于O 点，若ABC △不是直角三角形，且60A ∠=︒，则BOC ∠=_________度．试一试 因三角形的高不一定在三角形内部，这样ABC △形状应分两种情况讨论． 例2 如图，将纸片ABC △沿着DE 折叠压平，则（ ）．A ．12A ∠=∠+∠B ．()122A ∠=∠1+∠C ．()113A ∠=∠+∠2D ．()1124A ∠=∠+∠试一试 在折叠动态变化中，不变关系是B C AED ADE ∠+∠=∠+∠，这是解本例的关键．例3 （1）如图①，AD BC ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，试探寻DAE ∠与C ∠、B ∠的关系．（2）如图②，若将点A 在AE 上移动到F ，FD BC ⊥于D ，其他条件不变，那么EFD ∠与C ∠、D ∠是否还有（1）中的关系？说明理由． （3）请你提出一个类似的问题．试一试 对于（2），通过作辅助线，将问题转化为（1）．例4 如图①，已知A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，()0,2C -，()3,2D --． （1）求BCD △的面积；（2）如图②，若AC BC ⊥，作CBA ∠的平分线交CO 于P ，交CA 于Q ，判断CPQ ∠与CQP ∠的大小关系，并证明你的结论； （3）如图③，若ADC DAC ∠=∠，点B 在x 轴正半轴上运动，ACB ∠的平分线CE 交DA 的延长线于点E ，在B 点的运动过程中，EABC∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．21DAB CEABC图①DABCF 图②试一试 对于（3），ABC ∠能否用E ∠的式子表示？由数到形，分解出基本图形是解题的关键．例5 在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上．问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？两个点、三个点…的简单情形，有下表所示的关系： 3个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点时，连接可得到小三角形的个数为：()32200814017+⨯-=（个）．解法二 整体核算法．设连线后把原三角形分割成n 个小三角形，则它们的内角和为180n ︒⋅，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360︒的内角，2008个点共提供内角2008360⨯︒，于是得方程1803602008180n =⨯+，解得4017n =，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形． 角平分线角平分线是联系角与角之间关系的纽带，当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通性的组图．例6 （1）如图①，已知ABC △中的两内角平分线交于P 点，两外角平分线交于M 点，一内角平分线与一外角平分线交于N 点．试分别探究BPC ∠、M ∠、N ∠与A ∠关系；（2）如图②，在凹四边形ABCD 中，已知ABD ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，求证：2A DE ∠+∠∠=．分析与解 （1）1902BPC A ∠=︒+∠，1902M A ∠=︒-∠，12N A ∠=∠．（2）凹四边形ABCD 形似“规形”，易证BDC A B C ∠=∠+∠+∠． 图②可分解为两个“规形”，BE ∵、CE 分别平分ABD∠、ACD ∠，∴可设ABE DBE x ∠=∠=，ACE DCE y ∠=∠=． 由（1）得E A x y ∠=∠++，① D E x y ∠=∠++，②图①图②图③NPABC图①x y yxD A BCE 图②②-①得D E E A ∠-∠=∠-∠，2A DE ∠+∠∠=∴．数学冲浪 知识技能广场1．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若100ADF ∠=︒，则BM D ∠=_________度．2．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中1∠的度数为_______．3．如图，ABC △中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠=_______．4．如图，在ABC △中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；…，2008A BC ∠的平分线与2008A CD ∠的平分线相交于点2009A ，得2009A ∠，则2009A ∠=________．5．如图，ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠的外角分别记为α、β、γ．若::3:4:5αβγ=，则::A B C ∠∠∠=（ ）．A ．3:2:1B ．1:2:3C ．3:4:5D ．5:4:36．如图，BP 是ABC △中ABC ∠的平分线，CP 是ACB ∠的邻补角的平分线．若20ABP ∠=︒，50ACP ∠=︒，则A P ∠+∠=（ ）．A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒DMABCEF 1ECBA DDABC A 1A 2CBA γαβ7．在等腰ABC △中，AB AC =，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）．A ．7B ．11C ．7或11D ．7或108．如图，ABC △中，ABD DBE EBC ∠=∠=∠，ACD DCE ECB ∠=∠=∠，若145BEC ∠=︒，则BDC ∠等于（ ）．A ．100︒B ．105︒C ．110︒D ．115︒9．如图，已知射线OM 与射线ON 互相垂直，B 、A 分别为OM 、ON 上一动点，ABM ∠、BAN ∠的平分线交于C ．问：B 、A 在OM 、ON 上运动过程中，C ∠的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由．10．如图①，已知ABC △中，ABC ACB ∠=∠，D 为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且ADE AED ∠=∠． （1）求证：2BAD CDE ∠=∠，（2）如图②，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？证明你的结论．思维方法天地11．在ABC △中，50A ∠=︒，高BE 、CF 交于O ，且O 不与B 、C 重合，则BOC ∠的度数为_______． 12．如图，已知C ∠=45︒，452B α∠=︒+，453BAC α∠=︒+，AE 平分BAD ∠，则CAE ∠=_______．13．如图，BP 平分ABC ∠交CD 于F ，DP 平分ADC ∠交AB 于E ，AB 与CD 相交于G ，如果42A ∠=︒，MPABECBA D OMNA C图①ABCE图②EC BADDABCE38C ∠=︒，那么P ∠的度数为________．14．如图，已知ABC △中，A ACB ∠=∠，CP 平分ACB ∠，BD 、CD 分别为ABC △的两外角的平分线，给出下列结论：①CP CD ⊥；②1902D A ∠=︒-∠；③PD AC ∥．其中正确结论的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．315．如图，31ABC ∠=︒，又BAC ∠的平分线AE 与FCB ∠的平分线CE 相交于E 点，则AEC ∠为（ ）． A ．14.5︒ B ．15.5︒ C ．16.5︒ D ．20︒16．如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②AEF AFE ∠=∠；③EBC C ∠=∠；④AG EF ∠⊥．其中正确的结论是（ ）．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③17．平面内的四条线段AB 、BC 、CD 、DA 首尾顺次连接，已知24ABC ∠=︒，42ADC ∠=︒． （1）如图①，若BAD ∠与BCD ∠的平分线交于点M ，求AMC ∠的值；（2）如图②，点E 在BA 的延长线上，DAE ∠的平分线和BCD ∠的平分线交于点N ，求ANC ∠的值．DGPABCEF PAB C EFDABCFDGABCEF18．如图，在BCD △中，BE 平分DBC ∠交CD 于F ，延长BC 至G ，CE 平分DCG ∠，且EC 、DB 的延长线交于A 点，若30A ∠=︒，75DFE ∠=︒． （1）求证：DFE A D E ∠=∠+∠+∠； （2）求E ∠的度数；（3）若在图中作CBE ∠与GCE ∠的平分线交于1E ，作1CBE ∠与1GCE ∠的平分线交于2E ，作2CBE ∠与2GCE ∠的平分线交于3E ，依此类推，n CBE ∠与n GCE ∠的平分线交于1n E +，请用含有n 的式子表示1n E +∠的度数．应用探究乐园19．把一副学生用三角板（30︒、60︒、90︒和45︒、45︒、90︒）如图①放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合，直角边AE 交x 轴于F ，斜边AB 交x 轴于G ，O 是AC 中点，8AC =． （1）把图①中的Rt AED △绕A 点顺时针旋转α度得图②，此时AGH △的面积是10，AHF △的面积是8，分别求F 、H 、B 三点的坐标；（2）如图③，设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当AED △绕A 点转动时，N M ∠+∠的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值．CBAD图①DNABCE图②DGABCF图①图②20．问题提出 以n 边形的他个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个点作为顶点，可把原n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究 为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一：以ABC △的三个顶点和它内部的1个点P ，共4个点为顶点，可把ABC △分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把ABC △分割成3个互不重叠的小三角形．探究二：以ABC △的三个顶点和它内部的2个点P ，Q ，共5个点为顶点，可把ABC △分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①ABC △的内部，再添加1个点Q ，那么点Q 的位置会有两种情况：一种情况，点Q 在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q 在PAC △内部，如图②； 另一种情况，点Q 在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q 在PA 上，如图③． 显然，不管哪种情况，都可把ABC △分割成5个互不重叠的小三角形．探究三：以ABC △的三个顶点和它内部的3个点P ，Q ，R 共6个点为顶点，可把ABC △分割成______个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．探究四：以ABC △的三个顶点和它内部的m 个点，共()3m +个顶点，可把ABC △分割成______个互不重叠的小三角形．探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共()4m +个顶点，可把四边形分割成_____个互不重叠的小三角形，问题解决 以n 边形的挖个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个顶点，可把ABC △分割成____个互不重叠的小三角形．实际应用 以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）图③图①图②图③ABC图④24．认识三角形 问题解决例l 当ABC △为锐角三角形时，120BOC ∠=︒；当ABC △为钝角三角形时，60BOC ∠=︒．例2 B 180B C AED ADE A ∠+∠=∠+∠=︒-∠，又12360B C AED ADE ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，得()218012360A ︒-∠+∠+∠=︒，化简得()1122A ∠=∠+∠．例3 （1）()12DAE C B ∠=∠-∠；（2）过A 作AG BC ⊥于G ，则()12EFD EAG C B ∠=∠=∠-∠；（3）略例4 （1）3BCD S =△（2）可证明CPQ CQP ∠=∠．（3）CD AB ∥，可证明1122ABCE ABC ABC ∠∠==∠∠为定值．数学冲浪1．85 2．75︒ 3．260︒ 4．20092α5．A 6．C 7．C 8．C9．190452C AOB ∠=︒-∠=︒，为一定值．10．（1）证明略；（2）（1）中的结论仍然成立 11．50︒或130︒ 12．126︒13．40︒ 如图，由对顶三角形性质得122122A P A C ∠+∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠+∠⎩，解得40P ∠=︒．14． D 15． B 16．C17．（1）可证明()1332AMC ABC ADC ∠=∠+∠=︒．（2）可证明()11801232ANC B D ∠=︒+∠+∠=︒．18．（1）略；（2）2D E ∠=∠，代入（1）得15E ∠=︒；（3）122113022n n n E D +++∠=∠=⋅︒．19．（1）()5,0F -，()1,0H -，()8,4B -． （2）22.52M α∠=︒+，752N α∠=︒-，97.5M N ∠+∠=︒，故M N ∠+∠的值不会改变．20．探究三：7 分割示意图：（答案不唯一）． 探究四：()321m +-或21m + 探究拓展：()421m +-或22m + 问题解决：()21n m +-或22m n +-21PGFEDCBA实际应用：把8n =，2012m =代入上述代数式，得2222012824024824030m n +-=⨯+-=+-=．CBA。