电磁学期中考试题答案for

《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。

”2012 学年 2 学期期中《电磁学》 试卷提前交卷5分钟以上加1分，提前10分钟以上加2分，……一些可能要用到的常数：电子电荷C 1910602.1-⨯-，真空介电常数2212/1085.8m N C ⋅⨯-,69.00.2ln =1. 一个无限大平行板电容器两极板的距离为l ，两极板分别带自由电荷面密度±σf .然后在电容器内插入一块厚度为 d (d < l )的无限大电介质平板，设它的极化强度矢量P 处处相同并与电容器的极板垂直. 求两板间介质内外的电场。

（10分）第一题图第五题图答：自由电荷在两板间产生的电场为00εσfE =（2分） 介质板两面的极化电荷面密度分别为P p ±=σ（2分）这些极化电荷在介质板内产生的附加电场00'εεσPE p -=-=，负号表示方向与E 0方向相反；极化电荷在介质外产和的电场为零。

（2分） 所以在介质内的总电场为000'εσεσpf E E E -=+=（2分） 介质外的电场为00εσfE =（2分） 电场的方向是从正极板指向负极板。

2. 半径为R 的球体内电荷体密度为常数ρ，介电常数与真空相同，求静电能。

（15分）。

答： 解法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥==≤=)3(ˆ3ˆ434)3(32032030分分R r r r R r r RE R r r E ερπεπρερ )2(626)(36434)2(34)(020202202020300分分ερερερερερπεπρερπεr R r R R r R R r d r R Q r U R r R r -=-+=+=⋅+=⎰ 示分）分2(15460462642134221)(34)(21052052052402302202επρεπρεπρεπρπερπρRR R drr R R dr r r U W RR e =-=-==⎰⎰解法二：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥==≤=)3(ˆ3ˆ434)3(32032030分分R r r r R r r R E R r r E ερπεπρερ 0520520520625022220300220015492452192592)4(43214321επρεπρεπρεπρεπρπερεπερεR R R r R R dr r r R dr r r W RR Re =+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞∞⎰⎰分3. 空气的介电强度为 3.0×106V/m ，铜的密度为8.9 g/cm 3，铜的原子量为63.75 g/mol ，阿伏伽德罗常量N A =6.022×1023mol -1，金属铜里每个铜原子有一个自由电子。

问半径为2.0cm 的铜球在空气中最多能带多少电量？（10分） 答：()C m V Nm C m E R Q R Q E 7621222020103.1/100.3/1085.8020.014.3444--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===πεπε知道球表面电场要等于空气介电强度，四分。

写出E 与Q 的关系，两分。

4. 一点电荷Q 与无限大、无限厚金属平面距离为d ，求电势分布（10分）真实感应电荷分布（10分）。

答：在Q 关于金属平面对称的地点放一电荷-Q ，则它们产生的总电势与真实电势一样的（3分）。

以点电荷在金属平面垂点为原点，X 轴垂直于金属平面⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22222200)(1)(14)3('114z y d x z y d x Q r r Q πεπεϕ分 金属表面的电场只有沿x 方向的分量（3分）32220032223222002)()(4)2(z y d d Q z y d x d x z y d x d x Q xE x x x ++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++++---=∂∂-===πεπεϕ分22202)2(z y d QdE x ++==πεσ分5. 把带电金属平板A 移近一块长、宽均与A 相等的中性金属平板B ，并使两板互相正对。

设A 板电荷量为q A ，两板面积各为S ，距离为d ，设d 小到各板可视为无限大平板。

求两板的电势差。

（15分）。

答：4321/σσσσ-==+Sq A43214321σσσσσσσσ=++++=S q A 2/3421=-===σσσσ以上每行2分所以两板间电场大小)2(2)3(20002分分Sdq Ed U SqE A A εεεσ====6. 半径为R 的圆盘，均匀带电，面密度为σ，求其轴线上的电场分布（10分），电势分布（10分）。

答：以轴线为X 轴，原点在圆盘上，轴线上任一点p 到圆盘的距离为x ，在圆盘上取半径为r 宽为d r 的圆环，环上所带电荷为dr r dq σπ2=，(2分) 解法一：该圆环在p 点的电势为()()2/12202/1220242x r drr x r dr r dU +=+=εσπεσπ(3分) 整个圆盘在该点的电势为()⎰⎰+==R R xr rdr dU U 02/122002εσ()x x R -+=2202εσ(5分) 由于电荷的轴对称分布，0==z y E E (2分)x>0时xU E E x ∂∂-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22012x R x εσ(4分) x<0时x U E E x ∂∂-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=22012x R x εσ(4分) 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22012x R x E x εσ再指出方向，大小4分，方向4分。

解法二：该圆环在p 点产生的电场，由于电荷的轴对称分布，0==z y E E (2分)322030202'2''4xr xrdrr xrdr r x r dq dE x +===εσεσπε(2分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+===⎰)2(012)2(01222220220022003220分分x x R x x x R xx r xxr xrdrE Rr r Rx εσεσεσεσ或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22012x R x E x εσ再指出方向，大小2分，方向2分。

x>0时(5分)()()2202202202212x R x x R x dx x R x U x x x x +--=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞==∞⎰εσεσεσx<0时(5分)()()2202202202212x R x x R x dx x R x U x x x x +--=+---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=∞==∞-⎰εσεσεσ7. 两平行无限长均匀带电直线，电荷线密度分别为λ±，相距为d ，求电势分布（10分）。

答：以这两条线的中点为电势零点（知道要选择一个电势零点得2分），并以此为坐标原点，X 轴垂直于电线所在平面，Y 轴平行于电线所在平面垂直于电线，并从带负电荷的线指向带正电荷的线。

20102ln 22ln 2),(r dr d y x U πελπελ-=（4分）220220)2/(2ln2)2/(2ln 2d y x dd y x d ++--+=πελπελ（四分）附加题：A1. 三条平行无限长带电直导线，相互间距离为a ，半径为b<<a ，构成一个法拉第笼（用细导线连接这三根导线）。

外加电场E 0沿X 轴。

求X 轴上的电场分布（X 轴与下方的两根导线距离为c ）。

（15分）。

解：由对称性可知，上方导线感应电荷为零。

设右边的导线感应出的电荷线密度为λ，则左边导线感应出的电荷线密度为-λ。

（能分析出感应电荷分布得两分） 以这两根线中间为电势零点（知道要选择一个电势零点得2分），则左边导线表面的电势22ln 22ln 2000a E a a b a U +⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πελπελ(４分) 这三根导线等势，所以U=0（二分），求得ba aE ln ln 00-=πελ（２分）所以X 轴上的电场y E x a c b a acx a c b a ac x E x a c b a a x a x a c b a a x a y x a c cx ac c x x a c a x x a c a x E E ˆ2)ln (ln 22)ln (ln 2ˆ2)ln (ln 222)ln (ln 221ˆ2222ˆ22222202222022222202202202200⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πελπελπελπελ （３分）凡矢量无方向扣两分，有效数字错扣两分，计算错误扣两分。