电磁学期中考试题答案for

《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。”

2012 学年 2 学期期中《电磁学》 试卷

提前交卷5分钟以上加1分，提前10分钟以上加2分，……

一些可能要用到的常数：电子电荷C 1910602.1-⨯-，真空介电常数2212/1085.8m N C ⋅⨯-,69.00.2ln =

1. 一个无限大平行板电容器两极板的距离为l ，两极板分别带自由电荷面密度±σf .然后在电容器内插入一块厚度为 d (d < l )的无限大电介质平板，设它的极化强度矢量P 处处相同并与电容器的极板垂直. 求两板间介质内外的电场。（10分）

第一题图

第五题图

答：自由电荷在两板间产生的电场为0

0εσf

E =

（2分） 介质板两面的极化电荷面密度分别为P p ±=σ（2分）

这些极化电荷在介质板内产生的附加电场0

0'εεσP

E p -=-=，负号表示方向与E 0方向

相反；极化电荷在介质外产和的电场为零。（2分） 所以在介质内的总电场为0

00'εσεσp

f E E E -

=+=（2分） 介质外的电场为0

0εσf

E =

（2分） 电场的方向是从正极板指向负极板。

2. 半径为R 的球体内电荷体密度为常数ρ，介电常数与真空相同，求静电能。（15分）。 答： 解法一：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

≥==≤=)3(ˆ3ˆ434)3(32

032030

分分R r r r R r r R

E R r r E ερπεπρερ )

2(626)(36434)2(34)(0

2020220202

03

00分分ερερερερερπεπρερπεr R r R R r R R r d r R Q r U R r R r -=-+=+=⋅+=⎰ 示

分）分2(15460462642134221)(34)(210

5

2

05

2

05

2

402302202

επρεπρεπρεπρπερπρR

R R dr

r R R dr r r U W R

R e =-=

-

==⎰

⎰

解法二：

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

≥==≤=)3(ˆ3ˆ434)3(32

03

2030

分分R r r r R r r R E R r r E ερπεπρερ 0520520520

6

25022

2

20300

220015492452192592)4(43214321επρεπρεπρεπρεπρπερεπερεR R R r R R dr r r R dr r r W R

R R

e =

+=⎪⎭⎫

⎝⎛-+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞

∞⎰⎰

分

3. 空气的介电强度为 3.0×106V/m ，铜的密度为8.9 g/cm 3，铜的原子量为63.75 g/mol ，阿伏伽德罗常量N A =6.022×1023mol -1，金属铜里每个铜原子有一个自由电子。问半径为2.0cm 的铜球在空气中最多能带多少电量？（10分） 答：

()C m V Nm C m E R Q R Q E 762122

2020103.1/100.3/1085.8020.014.3444--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===

πεπε

知道球表面电场要等于空气介电强度，四分。 写出E 与Q 的关系，两分。

4. 一点电荷Q 与无限大、无限厚金属平面距离为d ，求电势分布（10分）真实感应电荷分布（10分）。

答：在Q 关于金属平面对称的地点放一电荷-Q ，则它们产生的总电势与真实电势一样的（3分）。以点电荷在金属平面垂点为原点，X 轴垂直于金属平面

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22222200)(1

)(14)3('114z y d x z y d x Q r r Q πεπεϕ分 金属表面的电场只有沿x 方向的分量（3分）

3

2

2200

3

2223222002)()(4)2(z y d d Q z y d x d x z y d x d x Q x

E x x x ++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++++---=∂∂-

===πεπεϕ分2

2202)2(z y d Qd

E x ++=

=πεσ分

5. 把带电金属平板A 移近一块长、宽均与A 相等的中性金属平板B ，并使两板互相正对。设A 板电荷量为q A ，两板面积各为S ，距离为d ，设d 小到各板可视为无限大平板。求两板的电势差。（15分）。 答：

4

321/σσσσ-==+S

q A

4

3214

321σσσσσσσσ=++++=

S q A 2/3421=-===σσσσ以上每行2分

所以两板间电场大小

)

2(2)

3(20002分分S

d

q Ed U S

q

E A A εεεσ====

6. 半径为R 的圆盘，均匀带电，面密度为σ，求其轴线上的电场分布（10分），电势分布（10分）。 答：

以轴线为X 轴，原点在圆盘上，轴线上任一点p 到圆盘的距离为x ，在圆盘上取半径为r 宽为d r 的圆环，环上所带电荷为dr r dq σπ2=，(2分) 解法一：该圆环在p 点的电势为

()()2

/12202/1220242x r dr

r x r dr r dU +=+=εσπεσπ(3分) 整个圆盘在该点的电势为

()

⎰⎰+==R R x

r rdr dU U 02/122002εσ()

x x R -+=2

202εσ(5分) 由于电荷的轴对称分布，0==z y E E (2分)

x>0时x

U E E x ∂∂-

==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=22012x R x εσ

(4分) x<0时x U E E x ∂∂-

==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--=22012x R x εσ(4分) 或⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=

22012x R x E x εσ再指出方向，大小4分，方向4分。 解法二：该圆环在p 点产生的电场，由于电荷的轴对称分布，0==z y E E (2分)

32203

0202'2''4x

r xrdr

r xrdr r x r dq dE x +===

εσεσπε(2分)