复数与复变函数
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第一章
复数与复变函数
一、 选择题 1．当i
i z
-+=
11时，5075100
z z z ++的值等于（ ）
（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3
)2(π
=
+z
arc ，6
5)2(π=
-z arc ，那么=z （
）
（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2
321+-
（D ）i 2
1
23+-
3．复数)2
(
tan πθπ
θ<<-=i z 的三角表示式是（ ）
（A ）)]2
sin()2[cos(
sec θπ
θπ
θ+++i （B ）)]2
3sin()23[cos(
sec θπ
θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(
sec θπθπθ+++-i （D ）)]2
sin()2[cos(sec θπ
θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2
2z z -与z z 2的关系是（ ）
（A ）z z z z 222≥- （B ）
z z z z 222=-
（C ）
z z z z 222≤-
（D ）不能比较大小
５．设
y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的
轨迹是（ ）
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转
3
π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向
量对应的复数是（ ）
（A ）2 （B ）i 31+
（C ）
i -3
（D ）
i +3
７．使得2
2
z
z
=成立的复数z 是（ ）
（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数
８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（
）
（A ）i +-
4
3 （B ）
i +4
3 （C ）
i -4
3 （D ）i --
4
3 ９．满足不等式
2≤+-i
z i
z 的所有点z 构成的集合是（ ）
（A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程
232=-+i z 所代表的曲线是（
）
（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周
（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为
2的圆周
（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周
11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）
22
1
=+-z z
（B ）
433=--+z z
（C ）
)1(11<=--a az
a
z
（D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z
12．设
,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （
）
（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．
00)
Im()Im(lim
0z z z z x x --→（
）
（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数
),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）
（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续
（C ）),
(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
15．设C z ∈且
1=z ，则函数
z
z z z f 1
)(2+-=的最小值为（
）
（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1
二、填空题
1．设)
2)(3()
3)(2)(1(i i i i i z
++--+=
，则=z
2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg
3．设
4
3)arg(,5π=
-=i z z ，则=z
4．复数
2
2
)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为
5．以方程i z 1576
-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为
６．不等式
522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部
７．方程
1)1(212=----z
i i
z 所表示曲线的直角坐标方程为
８．方程i
z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分
线
９．对于映射z
i =
ω，圆周1)1(2
2=-+y x 的像曲线为
10．
=+++→)21(lim 421z z i
z
三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2
+z 的取值范围．
四、设0≥a
，在复数集C 中解方程a z z =+22.
五、设复数i z ±≠，试证
2
1z z +是实数的充要条件为
1=z 或0)(=z IM .
六、对于映射)1
(21z
z +=
ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.
)0(022
1
≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；