存储伦习题

(r −150)2 1 √ e− 1250 25 2π
2
那么应满足
0
Q∗
f (r)dr =
7 7 = 7+3 10
由该式解得Q∗ 即为最佳订货量，使预期利润最大。 二、提高题 1.某公司经理一贯采用不允许缺货的经济订货批量公式确定订货批量，因为他认为缺 货虽然随后补上总不是好事。但由于激烈竞争迫使他不得不考虑采用允许缺货的策略。已 知对该公司所销产品的需求为R = 800件/年，每次的订货费用为C3 = 150元，存储费为C1 = 3元/(件.年),发生缺货时的损失为C2 = 20元/(件.年)，试分析：(a)计算采用允许缺货的 策略较之原先不允许缺货策略带来的费用上的节约；(b)如果该公司为保持一定信誉，自 己规定缺货随后补上的数量不超过总量的15%,任何一名顾客因供应不及时需等下批货到达 补上的时间不得超过3周，问这种情况下，允许缺货的策略能否被采用？ 解： (a)由题可得，在允许缺货的情况下，其平均费用为： C (2) = C1 S 2 C3 R C2 (Q − S )2 + + 2Q Q 2Q
Q ∞
E [C (Q)] =
0 ∞
[kr − h(Q − r)]f (r)dr +
Q Q ∞
[kQ − m(r − Q)]f (r)dr
∞
=k
0
rf (r)dr − h
0
(Q − r)f (r)dr + k
Q
(Q − r)f (r)dr − m
Q
(r − Q)f (r)dr
两边对Q求导可得： dE [C (Q)] = (k + m ) dQ 并且
故可采纳此方案 三、实践能力训练题 1.化肥存储问题某农场对化肥需求的概率：需求量分别为60、70、80、90、100t时， 其对应的概率分别为0.1、0.3、0.3、0.2、0.1，每次订购费为3000元，化肥的价格为2000元/t,化 肥的存储费为50元/t,短缺化肥时，化肥的价格为2500元/t。试问该农场如何指定化肥存储 方案，使化肥能够满足生产需要。 解： 由题可知，单位存储费C1 = 50元/t，单位缺货费C2 =2500元/t，订货单位成本K =2000元/t， 每次订货费C3 =3000元。 那么最佳存储量应满足下式： <
解得Q = 1750，故每天应订购1750个面包，使预计盈利最大。
6
≤ C3 + KS + C1
r ≤S
ห้องสมุดไป่ตู้(S − r)P (r) + C2
r ≥S
(r − S )P (r)
代入计算可得不等式右边等于168050元。将s = 60代入左式，等于167500。故使不等式成 立的最小s为s = 60。 那么该农场的存储策略为：每当存储量I ≤ 60时，应进货补充，使存储量达到70t； 在I ≥ 60时，不必补充化肥。 3.面 包 订 购 问 题 一 个 面 包 门 市 部 每 天 从 面 包 房 进 货 ， 进 价 每 个0.8元 ， 售 价 每 个1.2元 。 如 购 进 的 面 包 当 天 销 售 不 完 ， 则 从 次 日 起 以 每 个0.60元 削 价 出 售 。 不 考 虑 存储费用，但当发生短缺时，给门市部带来的商誉损失为每短缺一个损失0.2元。若每天 需求为1000～2000的均匀分布，问该门市部每天应订购多少面包使预计盈利最大。 解： 由题可知，做出如下假设： (1)订货量为Q，订购费和初始库存量均为零 (2)当 面 包 出 售 时 ， 没 个 盈 利k = 1.2 − 0.8 = 0.4元 ， 没 有 正 常 卖 出 ， 每 个 面 包 损 5
存储论习题
一、基础题 1、在不允许缺货，生产时间很短的确定性存储模型中，计算得到最优订货批量为Q∗ ,若 实际执行时按原0.8Q∗ 的批量订货，则相应的订货费与存储费是最优订货批量时费用C ∗ 的 多少倍。 解：
1 D ∗ 在最优订货量Q∗ 下，最小费用C ∗ = 2 CP Q∗ + CD Q ∗ ，那么当实际执行时按原0.8Q 的批量
∞ Q
f (r)dr − h
Q 0
f (r)dr
d2 E [C (Q)] = −(k + m + h)f (Q) < 0 dQ2
Q Q
因此满足方程
0
f (r)dr =
0
f (r)dr =
k+m k+m+h
的Q一定是使预期利润E[C(Q)]达到最大值的订货量。 代入可得
Q 1000
1 0.4 + 0.2 3 dr = = 1000 0.4 + 0.2 + 0.2 4
r ≤Si−1
C2 − K 10 = ≤ C1 + C2 51 r≤S
i
有
r≤60
= 0.1,
r ≤70
= 0.4,故最佳的存储量为S = 70t。
另一方面，原存储量达到多少时可以不订货，也即s为多少。s应满足下式： Ks +
r ≤s
C1 (s − r)P (r) +
r ≥s
C2 (r − s)P (r)
失h = 0.8 − 0.6 = 0.2元，因货物短缺，每个损失m = 0.2元。 (3)需求量r是一个连续的随机变量，其概率密度为： f (r) =
1 1000
1000 ≤ r ≤ 2000 否则
0
r r≤Q 若订货量为Q，则出售量= 因此产生的利润为 Q r≥Q kr − h(Q − r) r ≤ Q C (Q) = kQ − m(r − Q) r ≥ Q 那么一个周期内，利润的期望为：
订货，那么相应的费用C 与C ∗ 之比为：
2 1 5 D C Q + CD D C Q∗ + 4 CD Q ∗ C 41 2 P Q 5 P = 1 = 1 = D D ∗ ∗ ∗ C 40 C Q + CD Q∗ C Q + CD Q∗ 2 P 2 P
3.某生产线单独生产一种产品时的能力为8000件/年，但对该产品的需求仅为2000件/年， 故在生产线上组织多品种轮番生产。已知该产品的存储费为1.60元/年.件，不允许缺货， 更换生产品种时，需准备结束费300元。目前该生产线上每季度安排生产该产品500件，问 这样安排是否经济合理。如不合理，提出你的建议，并计算你建议实施后可能节约的费 用。 解： 由题意可得，该题为不允许缺货，生产需要一定时间的情形。 可 知 生 产 能 力P = 8000件/年 ， 需 求 量D = 2000件/年 ， 结 束 费CD = 300元 ， 存 储 费CP = 1.6元/年.件。可得总费用为： D CD D 1 C (Q) = CP (1 − )Q + 2 P Q 使用Lingo软件求解，代码如下： model : data : Cp = 1.6; Cd = 300; P = 8000; D = 2000; enddata min = 0.5 ∗ Cp ∗ (1 − D/P ) ∗ Q + (Cd ∗ D)/Q; end 运行程序可得结果为Q∗ = 1000件,C ∗ = 1200元. 在Q = 500件的情况下，C = 1500元。 1
故相比目前的生产计划，能够节省300元。 5.对某产品的需求量为350件/年(设一年以300工作日计)，已知每次订货费为50元，该 产品的存储费为13.75元/(件.年)，缺货时的损失为25元/(件.年)，订货提前期为5天。该种 产品由于结构特殊，需用专门车辆运送，在向订货单位发货期间，每天发货量为10件。试 求：(a)经济订货批量及最大缺货量; (b)年最小费用。 解： 分析可知，该题为允许缺货，生产需要一定时间的情形。 同时进货能力P = 300×10 = 3000件/年，需求量D = 350件/年，存储费CP = 13.75元/(件.年)， 订货费CD = 50元，缺货费CS = 25元/(件.年)。 使用Lingo软件求解，代码如下： model : data : Cp = 13.75; Cd = 50; P = 3000; D = 350; Cs = 25; enddata min = (Cp ∗ P ∗ (Q ∗ (1 − D/P ) − B )2 )/(2 ∗ Q ∗ (P − Q)) + (Cs ∗ B 2 ∗ P )/(2 ∗ Q ∗ (P − D)) + (Cd ∗ D)/(Q); Q = @sqrt(2 ∗ Cd ∗ D/Cp) ∗ @sqrt((Cs + Cp)/Cs) ∗ @sqrt(P/(P − D)); B = @sqrt((2 ∗ Cs ∗ Cd ∗ (P − D))/((Cs + Cp) ∗ Cp ∗ P )); end 运行程序可得结果为:经济订货批量Q∗ = 66.83227件,最大缺货量B ∗ = 2.035847件. 由此可得年最小费用C ∗ = 604.5572元。 7.对 某 产 品 的 需 求 量 服 从 正 态 分 布 ， 已 知µ = 150, σ = 25.又 知 每 个 产 品 的 进 价 为8元，售价为15元，如销售不完按每个5元退回原单位。问该产品的订货量应为多少个， 使预期的利润为最大。 解： 分析可得，该题为单周期随机存储模型。 并且每单位产品的盈利k = 15 − 8 = 7元/件，每单位产品的损失h = 8 − 5 = 3元/件，并且 需求量r服从正态分布，即 f (r) =
21 .两边同乘以R得：0 365
≤Q−S ≤
21 R 365
M inC =
C1 S 2 C3 R C2 (Q − S )2 + + 2Q Q 2Q 0 ≤ S ≤ 0.15Q s.t. = 0 ≤ Q − S ≤ 21 R 365 3
由Lingo计算，程序如下： model : data : C 1 = 3; C 2 = 20; C 3 = 150; R = 800; enddata min = (C 1 ∗ S 2 )/(2 ∗ Q) + (C 3 ∗ R)/Q + (C 2 ∗ (Q − S )2 )/(2 ∗ Q); S >= 0; S <= 0.15 ∗ Q; Q − S >= 0; Q − S <= (21/365) ∗ R; @gin(Q); end 运行该程序可得，最小费用C ∗ = 2614.195 元。 故允许缺货策略在这种情况下得费用大于不允许缺货的策略，故该策略不能被采用。 3.某汽车厂的多品种装配线轮换装配各种牌号汽车。已知某种牌号汽车每天需10台， 装配能力为50台/d。该牌号汽车成本为15万元/台，当更换产品时需准备结束费用200万 元/次。若规定不允许缺货，存储费为50元/(台.d)。试求：(a)该装配线最佳的装配批量; (b)若装配线批量达到每批2000台时，汽车成本可降至14.8万元/台(存储费、准备结束费不 变),问该厂可否采纳此方案。 解： (1)由题意可得，装配能力P = 50台/d，需求量D = 10台/d，生产成本k = 150000元/台， 存储费CP = 50元/(台.d)，结束费用CD = 2000000元。 该题属于不允许缺货，生产需要一定时间的情况。 那么可得最佳装配批量Q∗ 为： Q∗ = 2CD DP = 1000 CP (P − D)