高等数学同济件 绪论

n
n
n
lim(1 2)lim(2 3 )
n
n n
n
(lim1 lim 2)(lim 2 lim 3 )
n
n n n
n n
12 2
2n2 3
(2) lim n
3n2
n
5
lim
n
3
2
1 n
3
1 n2
5
1 n2
lim(2
n
lim(3
n
1 n
3
1 n2
)
5
1 n2
)
lim 2
n
lim 3 lim
变量数学和近代数学时期：
法国数学家Descartes引进了直角坐标系。 伟大功绩：实现了几何与代数间的一一对应。 1. 点(几何基本元素)与有序数组(代数基本元素)
的一一对应。 （静态对应） 2. 动点的轨迹(几何基本元素)与二元方程(代数基本元素) 的一一对应。 （动态对应）
Newton和Leibniz各自独立的创造了微积分
定理
若极限lim n
xn
与
lim
n
yn
都存在，
则
(1)
lim(
n
xn
yn )
lim
n
xn
lim
n
yn
(2)
lim(
n
xn
yn
)
lim
n
xn
lim
n
yn
(3)当C为常数时，lnim(C
xn
)
C
lim
n
xn
(4)当
lim
n
yn
0
时，lim n
xn yn
lim
n
xn
lim
n
yn
求下列数列的极限
(1)lim(1 2)(2 3 )
y
悬链线
o
-0.5
0
0.5
x
1
1.5
因为只有这样才能使绳子的总位能最小， 从而使绳子最稳定！
光的传播：
反射定律：
折射定律： v1 v2
sin sin
为什么？ 因为光懂得:只有这样才能使传播 时的用时最少！
数学是什么？
（1）上帝是按数学的法则创造世界的， 数学的规律是宇宙格局的精髓， 数学是开启宇宙奥妙之门的钥匙。
1 (n 1) n (2n 1) 1 (1 1)(2 1 ),
n3
6
6n n
S曲边
limS n
n
lim 1 (1 n 6
1 )(2 n
1) n
1. 3
在小范围内
曲 边 问 题 缩小范围直至0
取极限
直边问题
初数 等学
近似解
极限概念是微积分的“源”，先直观上认识一下极 限：
数列极限的直观定义
绪论
一、数学是什么？ 蜂巢：由一个个正六边形组成。为什么？
因为蜜蜂懂得:只有这 样才能用最少的建筑 材料营造最大的居住 空间。
一条柔软的绳子两端固
4 3.5
定，使其自然下垂，这 3
条绳子形成什么样的曲 2.5
2
线？
1.5
y
a
x
(e a
e
x a
)
1 0.5
2来自百度文库
h0
(a ) -0.5
g -1 -1
为什么？
Newton应用微积分的方法证明了
Kepler行星运动三定律： 1.行星以椭圆轨道绕太阳旋转，太阳在椭圆的一个焦点上。 2.在相同的时间里，行星的向径扫过相同的面积. 3.行星公转周期的平方与椭圆轨道长半轴的立方比是常数. Newton进一步指出：这些定律是能量守恒、角动能守恒 的具体表现形式。 Leibniz德国数学家,实现了微积分内容与形式的完美统一。 微积分的方法迅速的在天文学、力学、物理学和工程技术 中被广泛应用。
问：在时刻 t 时，落体的速度v(t)是什么？
时间： t t t 路程：s s(t t) s(t)
1 g(t t)2 1 gt 2
2
2
gtt 1 g(t )2 2
平均速度： V s gt 1 gt
t
2
速度： v(t) limV lim s
t 0
t0 t
lim ( gt 1 gt) gt
高等数学 以微积分为主要内容的学科
同
高等数学
济
版 的
微分学
积分学
空无 微
教
间穷 分
材
解级 方
的 基 本
一多 元元
一多 元元
结 函函 函 函
析数 程 几
何
构 数数 数 数
与
微微 积 积
向
分分 分 分
量
学学 学 学
代
数
三、微积分的基本思想和方法
微积分的基本方法：微元分析法
例1 Galileo通过实验 确立了 自由落体运动规律：s(t ) 1 gt 2 2
二、什么是高等数学？
从公元前3世纪Euclid的《几何原本》起到17世纪， 称为初等数学时期。又称常量数学时期。 主要研究对象： 1.匀速的运动（速度不变）； 2.匀加速的运动（速度均匀变化） ； 3.直边图形（不弯曲）； 4.圆弧边图形（均匀弯曲）； 5.有限次四则运算。 两大分支： 1.几何学； 2.代数学。
（3）数学是一种工具、一种思维的工具
诺贝尔化学奖获得者哈特曼的晶体结构研究：… 哈特曼在获得诺贝尔奖后说过：“其实我这一生只学过一门 化学，那就是大学一年级时所学的的化学。” 然而哈特曼却用数学解决了困扰许多化学家40多年的难题！ 诺贝尔经济学奖获得者阿洛的一般均衡模型：… 哈佛大学的一位数学教授看了阿洛的论文后说：“他用的数 学很基本，我们哈佛一年级的学生就能完成…”。 然而阿洛用的是什么样的数学这一点并不重要，重要的是他 将数学与经济学成功的相结合，用数学建立了重要的经济学模型！
t 0
2
非 在小范围内
匀
速
问 缩小范围直至0
题
取极限
匀速问题
初数 等学
近似解
例2 计算由 y=0 , x=1 , y x2
y
所围成的曲边形的面积。
将区间[0,1] n 等分，
o
x
用小矩形面积之和代替曲边形的面积
S曲边
Sn
( 1 )2 n
1 n
( 2)2 n
1 n
(n n
1)2
1 n
[12 22 (n 1)2 ] 1 n3
若当n无限增大时,数列xn对应的项无限接近于 常数a,则称常数a为数列 xn的极限,
记为:
lim
n
xn
a
lim C C （其中C为常数）
n
lim 1 0
n n
lim
n
1 np
0
（其中p为大于零的常数）
lim (1)n 0 n 2
lim qn 0 （其中q为常数, |q|<1）
n
数列极限的四则运算法则
（2）数学是一种语言，是一切科学的共同语言 伽利略：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学
语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在 黑暗的迷宫里游荡，什么也看不清。”
爱因斯坦在研究广义相对论时遇到了难题，他求 助于研究数学的朋友格洛斯曼，后者将黎曼关于弯 曲空间的研究工作告诉了他，才使广义相对论的研 究得以继续。
n
n
3 lim n
1 5 n
1 n2
lim
n
1 n2
2 3
1
(
3)
lim (
n
n2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim 1 (1 1) 1 . n 2 n 2