高等数学同济件 绪论
高职生高等数学绪论课的教学
浅谈高职生高等数学绪论课的教学摘要:本文从消除高职生的自卑心理及对高等数学的偏见认识着手,帮助学生提高自信心及学习兴趣,并阐述了如何高效地学习高等数学,为高职生铺设一个良好的高等数学学习的开端。
关键词:高等数学绪论课应用方法高等数学是高职高专院校必不可少的一门基础课,也是一门工具课,它为后续课程的学习提供了数学概念、理论方法和运算技能。
刚入校的大部分新生,数学基础相对较差,不仅不了解数学、对数学提不起兴趣,甚至还对数学有惧怕心理,这不但不利于老师开展授课,更不利于学生学习。
针对这种情况,教师一定要充分利用绪论课,消除学生的自卑心理和对数学的偏见——无用论,以及高等数学课的主要内容和如何去学好高等数学课的方法,达到并充分调动学生学习的积极性的目的。
良好的开端,是成功的一半。
实践证明,一堂好的绪论课,会起到“磨刀不误砍柴功”的效果。
下面笔者结合自己的教学经验,谈谈绪论课的教学。
一、消除学生的自卑心理、提高学生的自信心很多学生由于高考分数低而报考了高职院校,和名牌大学的学生相比,他们基础差,有严重的自卑心理,学习的自信心不足,对高等数学更是惶恐,带着这样的心理开始新课程的学习,无疑会是事倍功半的。
因此,帮助他们消除自卑心理,树立学习的信心,是首要的事。
首先,让学生对自己的前途建立起信心。
国家的经济建设需要各种各样的人才,而技术工人尤其是高级技工,是国家紧缺的人才。
经过系统的专业学习,掌握了一门技术,就业率是很高的,这一点是一些本科毕业生都不能比的。
因此,不必自卑,与其时间浪费在自卑上,不如在校期间抓紧时间学习、实践,努力提高自己的技能,三年后给自己交一份满意的答卷。
其次,消除学生对数学的恐惧心理。
一般高职生的初等数学基础知识较差,数学的运算能力、逻辑推理能力都不高。
再加上高等数学更深奥,因此很多学生没开始学,就已经给自己定了位——学不好高等数学,于是放弃了。
对此,可举例消除学生的顾虑:最先接触的数学运算——“1+1=2”,大家现在可以张口就答,可刚开始学习时,不是老师和父母说一遍就都记到了,可能还要通过一个苹果再加一个苹果的例子反复强调才学会的。
高等数学(绪论)
基本原理是高等数学的核心，需要熟 练掌握。在学习过程中，要注重对定 理、公式的推导和证明，理解其逻辑 和证明过程。
多做习题，培养解题能力
做习题
通过大量练习习题，可以加深对知识点 的理解和掌握，培养解题能力和技巧。 在练习过程中，要注重对题目的理解和 分析，掌握解题思路和方法。
VS
解题能力
推理思维的培养需要学生注重观察和实验，从具体问题中寻找规律和线索，通过归纳和总结得出一般 性的结论。同时，学生还需要注重培养自己的创造性思维，能够从不同角度和思路出发进行思考和探 索。
04
高等数学的学习方法
理解概念，掌握基本原理
理解概念
高等数学中的概念通常比较抽象，需 要深入理解。在学习过程中，要注重 对概念的解释和推导，理解其本质含 义和应用场景。
05
高等数学的重要性和意义
对其他学科的影响
物理学
高等数学提供了描述物理现象和规律的数学语言， 如微积分、线性代数和微分方程等。
工程学
高等数学是解决复杂工程问题的关键工具，如流 体力学、结构力学和航空航天工程等。
经济学
高等数学在经济学中广泛应用，如统计分析、计 量经济学和决策理论等。
对个人发展的影响
高等数学是大学理工科、经济学、管 理学等学科的重要基础课程，对于培 养学生的逻辑思维、分析问题和解决 问题的能力具有重要意义。
高等数学的应用领域
物理学 高等数学在物理学中有广泛应用， 如力学、电磁学、光学等领域都 需要用到高等数学的知识。
计算机科学 计算机科学中，高等数学主要用 于算法设计、数据结构、图像处 理等领域，有助于提高计算机科 学和技术的水平。
联系
高等数学与初等数学有着密切的联系，初等数学是高等数学的基础。高等数学中的许多概念和方法都 是在初等数学的基础上发展起来的，同时高等数学也为解决初等数学中的问题提供了更为深入和有效 的方法。
同济大学版本高数精品课件全册
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
高等数学绪论
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
26
3.邻域: 点 x0 的 实 心 邻 域: U ( x0 , )
{x x x0 } ( x0 , x0 ) .
点 x0 为邻域的中心, 0, 为邻域的半径.
(x, y)
x
x
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为 函数y f ( x)的图形.
32
有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 ， 并用约定的符号予以表示:
例1 “x R, 对应的 y 是不超过x 的最大整数”. 称为取整函数
例如：[5.3]= 5， [ - 4.9]= 5 .
《高等数学习题全解指南》（上、下）同济大学数 学系 编
18
附：《高等数学》成绩考核与作业要求：
1、成绩考核:
平时成绩： 20% 期 末考试： 80% 2、作业要求：
总成绩：满分100分
1）独立完成全部作业，及时上交作业。全学期作业次数不 满三分之二，不准参加期末考试。 作业本或作业纸上写上 班级、姓名、学号
x0
x0
x0
x
点 x0 的 空 心 邻 域 ：U O ( x0 , )
{x 0 x x0 } ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) .
x0
x0
x0
x
27
4.常用不等式:
绝对值 :
x R ,
x
x x
, ,
x0, x0.
1o. x R, x 0 .
y M
高等数学教材 同济版
高等数学教材同济版同济版高等数学教材高等数学是大学数学的重要组成部分，是培养学生分析问题和解决实际应用问题能力的基础课程。
同济大学出版社出版的《高等数学》教材，是世界著名数学家吴文俊先生等人合作编写的经典教材之一。
该教材内容全面、符合课程标准，并且结构严谨，适合大学本科高等数学教学使用。
第一章函数与极限函数与极限是高等数学的基础概念和核心内容之一。
本章首先介绍了函数的概念，并从数学模型的角度讲解了实际问题中的函数应用。
接着详细阐述了极限的定义、性质和计算方法，重点讲解了常用的极限公式和极限的四则运算规则。
通过大量的例题和习题，帮助学生理解函数与极限的关系，掌握极限的计算方法。
第二章导数与微分导数与微分是研究函数变化率和函数表达式的最重要的数学工具。
本章从导数的定义入手，介绍了导数的几何意义和物理意义，并给出了常见函数的导数计算方法。
接着讲解了导数的运算法则、高阶导数和隐函数的导数计算方法。
通过大量的例题和应用题，帮助学生巩固导数与微分的概念和计算方法，培养学生的问题解决能力。
第三章微分中值定理与导数的应用微分中值定理和导数的应用是导数理论的重要应用，也是数学与实际问题结合的典型范例。
本章首先介绍了拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并应用到函数的极值点、最值问题和曲线的凸凹性判定中。
接着讲解了导数的应用，如曲线的凹凸性、最大最小问题、求曲线的弧长和曲率等。
通过大量的例题和实际问题的讨论，帮助学生理解微分中值定理和导数应用的思想方法，进一步培养学生的问题分析和解决能力。
第四章不定积分不定积分是导数的逆运算，是微积分的重要内容之一。
本章从不定积分的定义和性质入手，阐述了换元积分法、分部积分法、有理函数的积分等计算方法。
并通过实例讲解了一些特殊函数的积分方法和常用的不定积分公式。
最后介绍了一些常见函数定积分的计算方法。
通过大量的例题和计算题，帮助学生掌握不定积分的基本计算方法和技巧。
第五章定积分的应用定积分是高等数学在实际问题中的重要应用，尤其在物理、经济学、生物学等学科中具有广泛的应用价值。
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
《高等数学》(同济六版)教学★
平行 ? 写出其切线方程.
解:
令
得
相应
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
平行旳切线方程分别为
即
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线
四、 函数旳可导性与连续性旳关系
定理1.
证:
设
在点 x 处可导,
存在 ,
所以必有
其中
故
所以函数
在点 x 连续 .
注意: 函数在点 x 连续，但在该点未必可导.
证明中利用了两个主要极限
初等函数求导问题
本节内容
一、四则运算求导法则
定理1.
旳和、
差、
积、
商 (除分母
为 0旳点外) 都在点 x 可导,
且
下面分三部分加以证明,
并同步给出相应旳推论和
例题 .
此法则可推广到任意有限项旳情形.
证: 设
则
故结论成立.
例如,
(2)
证: 设
则有
故结论成立.
推论:
( C为常数 )
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
即
在点
旳某个右 邻域内
五、 单侧导数
若极限
则称此极限值为
记作
即
(左)
(左)
例如,
在 x = 0 处有
定义2 . 设函数
有定义,
存在,
定理2. 函数
在点
且
简写为
定理3. 函数
(左)
(左)
若函数
与
都存在 ,
则称
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
可导, 且
则
时, 有
《高数同济》课件
《高数同济》PPT课件
本《高数同济》PPT课件演示文稿旨在向大家介绍高等数学的基本概念和定理， 以及解释常见的数学公式。通过实例和练习题的讲解，帮助学生更好地掌握 课程内容。课件结构概述，总结回顾，还将提醒学生预习下一讲内容。
课件结构概述
第一部分
引言和课件目的
第三部分
基本公式和定理的说明
第五部分
总结与回顾
4 拉普拉斯变换
将函数在时域与频域之间转换
实例和练习题讲解
1
ห้องสมุดไป่ตู้
实例分析
通过实际例子，演示高数解决实际问题的应用
2
练习题展示
挑战学生的数学能力，让他们灵活运用所学知识
3
答疑解惑
为学生解答他们在实例和练习中遇到的问题
总结与回顾
回顾本次课程的重点内容，总结关键知识点，强化学生的记忆和理解。
提醒学生预习下一讲内容
第二部分
基本概念和定义的解释
第四部分
实例和练习题讲解
第六部分
提醒学生预习下一讲内容
基本概念和定义的解释
详细解释高等数学中的基本概念，例如函数、导数、积分等，并介绍相关的 数学定义。
基本公式和定理的说明
1 牛顿-莱布尼茨公式
计算定积分与不定积分的联系
3 泰勒展开式
用多项式逼近函数
2 微分中值定理
描述函数在某区间内任意两点间的关系
《同济版高数》课件
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
多元函数的极限与连续性
总结词
理解多元函数的极限与连续性的 概念和性质，掌握判断多元函数 极限与连续性的方法。
多元函数的极限
理解极限的定义，掌握计算多元 函数极限的方法，如分别求极限 、累次极限等。
多元函数的连续性
理解连续性的概念，掌握判断多 元函数在某点或某区域的连续性 的方法。
极限的概念与性质
总结词
极限是高数的核心概念，理解极限的概念和性质是学习高数的关键。
详细描述
极限是指当自变量趋近某一值时，因变量的变化趋势。极限的性质包括唯一性 、局部有界性、局部保序性等。这些性质在高数的各个章节中都有重要的应用 。
极限的运算规则
总结词
掌握极限的运算规则是解决极限问题的关键。
详细描述
一阶常微分方程的解法
总结词
掌握一阶常微分方程的解法是解决这类问题的关键。
详细描述
一阶常微分方程的一般形式是dy/dx = f(x, y)，可以 通过分离变量法、积分因子法、公式法等求解。
高阶常微分方程的解法
总结词
理解高阶常微分方程的解法一般形式是y''(x) + p1(x)y'(x) + p2(x)y(x) = f(x)，可以通过降 阶法、变量代换法、积分因式分解法等求解
则更加注重应用和与其他学科的交叉融合，不断涌现出新的分支和领域。
高数与其他学科的联系
要点一
总结词
高数与其他学科有着密切的联系，如物理、工程、计算机 科学等。这些学科在高数的理论和方法的基础上不断发展 。
要点二
详细描述
高数与物理学的联系尤为紧密，许多物理问题的解决需要 高数的理论和方法。例如，在力学、电磁学、光学等领域 中，高数的微积分和向量分析被广泛应用。在工程领域中 ，高数的理论和方法也是解决实际问题的关键工具。计算 机科学在高数的基础上发展出了算法设计和数据结构等重 要领域。此外，经济学、统计学等领域也与高数有着密切 的联系。
高等数学——绪论
13
过渡页
TRANSITION PAGE
01 为何要学习高等数学 02 高等数学的学习内容 03 高等数学的教学特点
04 如何学习好高等数学
2.1 数学的发展历程
初等数学时期（公元前3世纪—公元17世纪），又称为常量数学时期。
第四部分
如何学好高等数学
30
4.1 态度决定一切
学习态度要端正。
首先，要有信心，相
信自己通过努力能学
会。其次，要勤奋，
多花时间，多下功夫。
世上无难事，只怕有
心人。
第四部分
如何学好高等数学
31
4.2 科学的学习方法
(1) 课前预习
高等数学的内容多，涉及的知识广而深，理论性强，每次两节 课的教学内容多且难，新生开始时会不适应，要想避免出现这 种局面，就要在课前预习。 预习时不是简单地看一遍课本，而是要细致地看每一个定义、 定理、例题，如果有时间可以做几道课后习题。在看书时要多
（1） 鸡生的蛋才叫鸡蛋； （2） 能孵出鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。
第一部分
为何要学习高等数学
9
1.2 高等数学的思维训练和数学素养培养功能
如果选择定义（1），自然是先有鸡，第一只鸡
是从某种蛋里出来的，只是这种蛋不是鸡生的，按定 义，不叫鸡蛋。 如果选择定义（2），一定是先有蛋。孵出了第 一只鸡的蛋，按定义是鸡蛋，可它并不是鸡生的。 从这个问题中可以得出，没有理性思维、逻辑 思维，很多问题都容易陷入怪圈。拿这种看似高深难 缠的哲学问题来折磨自己，其实就是庸人自扰，根源
主要研究的对象是常量或者均匀变化的问题。 例如：匀速运动问题（速度不变），匀加速运动问题（加速 度不变，速度均匀变化），直边图形（不弯曲），圆弧边图 形（均匀弯曲），有限次四则运算等。
高等数学《极限与连续-绪论》课件
2 x 2
. x0
3.初等函数 由基本初等函数及常数经过有限次四则 运算和有限次复合所构成的可用一个式
子表示的函数,称为初等函数.
4.双曲函数与反双曲函数（自学）
内容小结
1. 预备知识
2. 函数的定义
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 复合函数、初等函数
作业: P1 1.1 课后作业: 书上习题1.1
1 x sin
(1) y e 1x (2) y (arctan sin3 x )3 解 (1)由y eu , u sinv, v w , w 1 x 复合而成
1 x
(2) y u3 , u arctan v, v w , w t 3 , t sin x
复合而成.
例3 设 x2
若M2 , x X , 有 f ( x) M2成立, 则称f ( x)在X上有下界
可以证明（课后完成） f (x) 在 X上有界 f (x) 在 X上既有上界又有下界
如: y sin x 在 ,内有界.
例1: 试证
y 1 在1,2内有界,在0,1内无界.
x
证: (1) x 1, 2, 1 1 y 1 在1, 2内有界.
预习：数列的极限 、函数的极限
U(a, ) a ,a x x a
{x a x a }
a
a
a x
去心邻域: U 0 (a, ) x 0 x a , 0
3. 极坐标系
P
O称为极点, Ox称为极轴,
M
MM点点的的直极角坐坐标标记记为为MM((,x,y)或) (r, )
是射线OP上由O到M的距离
y tan x
余切函数
y cot x
高等数学教材同济第四版
高等数学教材同济第四版同济大学高等数学教材第四版同济大学高等数学教材第四版是一本经典的数学教材，深受广大学生和教师的喜爱。
它是中国高等数学教育领域的瑰宝，为学生提供了系统、完整的数学知识，有助于培养学生的数学思维和解决问题的能力。
本文将对同济大学高等数学教材第四版进行全面评述。
第一部分：导论同济大学高等数学教材第四版的导论部分是整本教材的起点，它对高等数学的基本概念和定义进行了概述，为学生奠定了坚实的数学基础。
在导论中，教材以简明易懂的语言解释了数学的起源、发展和应用领域，引导学生从宏观上认识数学的重要性和普适性。
第二部分：微积分同济大学高等数学教材第四版的微积分部分是整本教材的核心内容之一。
它系统介绍了微积分的基本概念、性质和应用，包括极限、导数、微分、积分等内容。
教材在讲解过程中注重理论与实践的结合，通过大量的例题和习题，帮助学生更好地理解和掌握微积分的原理和方法。
第三部分：数学分析同济大学高等数学教材第四版的数学分析部分是对微积分理论的深入拓展和应用。
它涵盖了一元函数的级数、一元函数的多项式逼近和一元函数的傅里叶级数等内容。
教材以简洁明了的语言，结合具体的例子和图表，帮助学生理解和掌握数学分析的基本概念和方法。
第四部分：高等代数同济大学高等数学教材第四版的高等代数部分是对线性代数的全面介绍和拓展。
它包括矩阵与行列式、线性方程组、向量空间、线性变换等内容。
教材通过丰富的例题和习题，培养学生的抽象思维和分析问题的能力，为学生进一步学习和研究高等代数奠定基础。
第五部分：常微分方程同济大学高等数学教材第四版的常微分方程部分介绍了常微分方程的基本理论和解法，包括一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程等内容。
教材通过具体的应用问题，引导学生理解和掌握常微分方程的求解方法和应用技巧。
总结：同济大学高等数学教材第四版以其系统、完整的内容，深入浅出的讲解方式，成为了广大学生学习高等数学的重要参考资料。
高等数学绪论
在一切理论成就中,未必再有什么像17世
纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神
的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人
类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正在这
里。
恩格斯
国家的繁荣富强，关键在于高新的科技和高 效率的管理。高技术的基础是应用科学，而 应用科学的基础是数学。高技术本质上是一 种数学技术。
常微分方程：是把微积分应用于解决实际问 题的桥梁，讨论常微分方程的可解性及解的 求法。
向量代数与空间解析几何：研究向量的概念 与运算，空间的平面、曲线、曲面的代数描 述及方程和函数的几何表示，是平面解析几 何的自然推广。
无穷级数：是有限和的推广，研究级数的收敛 性及函数的无穷级数展开问题。
高等数学与初等数学的主要区别在于研究的对 象和研究方法的不同：初等数学主要研究规则、 平直的几何图形和均匀、有限过程的常量；高 等数学主要研究不规则、弯曲的几何对象和非 均匀、无限过程的变量。
圆的切线 : 与圆只
有一个交点的直线
y x 3 2x 5在(0,5)
P
的切线是什么？
割线的极限位置
割线斜率：
y x3 2x 5
k PM
f (x) f (0) x0
x2 2
切线斜率k lim f ( x) f (0) 2
x0
x0
M
M
T
例2 曲边形的面积
求由x轴，x 1, y x 2所围图形的面积
微积分的创立者 及其先驱
笛卡尔、巴罗、
牛顿、莱布尼茨
0.1 数学发展概况
数学的萌芽时期：远古时代------公元前6世 纪。这一时期的数学知识是零碎的，没有命题 的证明和演绎推理。
常量数学时期：公元前6世纪------17世纪上 半叶。比较系统的知识体系、比较抽象的并有 独立的演绎体系的学科。中国古代数学名著 《九章算术》和古希腊的《几何原本》是代表 作。现在中学数学课程的主要内容基本上是这 一时期的成果。
同济大学高等数学ppt第一章
contents
目录
• 第一章绪论 • 第一章极限论 • 第一章连续论 • 第一章导数论 • 第一章微分论 • 第一章不定积分论
01
CATALOGUE
第一章绪论
高等数学的研究对象
变量与函数
级数与广义积分 空间解析几何与向量代数
极限理论 微积分学
高等数学的发展历程
线性性质
不定积分具有线性性质，即对于 任意常数C1，C2，有 (C1+C2)*f(x)=C1*f1(x)+C2*f2( x)。
积分常数
不定积分的结果是一个函数，其 常数项为0。
区间可加性
如果在区间(a,b)上有f(x)=f(x)， 则在(a,b)上，f(x)的积分等于f(x) 在(a,b)上定积分的值。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的定义和性质，将 已知函数进行恒等变形，从而得 到其原函数。
换元积分法
通过引入新的变量，将已知函数 进行换元，从而将复杂函数分解 为简单函数的组合，以便于计算 。
分部积分法
通过将两个函数乘积的导数与其 中一个函数求导再与另一个函数 乘积进行交换，从而得到两个函 数的积的不定积分的一种方法。
利用微分的近似性，我们可以对一些复杂的 函数进行近似计算，从而简化计算过程。例 如，当我们需要计算一个复杂函数的值时， 我们可以先找到这个函数在某一点的微分， 然后用这个微分来近似计算函数的值。
微分在近似计算中的应用
在实际的科学研究和工程设计中，经常会遇 到一些复杂的数学问题，如求解方程、优化 问题等。在这些情况下，利用微分进行近似 计算可以提供一种有效的解决问题的方法。
02
微分的近似性
同济高数七版第一章
微分学
一元函数微积分
导数 微分
分析 引论 极限 连续
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学
多元函数微积分
偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积、体积、 质心…
多元函数 积分学
切线、法平面、 应用 梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
投影到x轴的区间 3. 设 对每个 上
例2 设有映射 映射
对每个 对每个
求复合映射
概念
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
逆映射
函 数
构造 复合映射
函数的概念
定义 设数集 D R , 则称映射 为定义在D 上的
定义域
函数 , 通常简记为
y f ( x) , x D
因变量 自变量
f(D)
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K 1 对任一 x X 都成立 y 那么称函数f (x)在X上有上界
K 1 称为函数f (x)在X上的一个上界
大学高等数学同济版教材
大学高等数学同济版教材大学高等数学是一门重要的学科，为大学生培养数理思维、提高分析问题和解决问题的能力提供了基础。
同济大学出版社的高等数学教材在国内享有盛誉，被广大学子广泛使用。
本文将以大学高等数学同济版教材为话题，分为以下几个方面进行论述。
一、教材全面覆盖数学基础知识大学高等数学同济版教材全面覆盖了数学基础知识，包括数列与极限、连续与导数、积分与微分方程等重要内容。
教材内容丰富，理论与实践相结合，深入浅出地讲解了各个章节的知识点，帮助学生全面理解数学的基本原理和应用。
通过学习这些基础知识，学生可以建立起扎实的数学基础，为进一步学习和研究数学打下坚实的基础。
二、注重数学思维培养大学高等数学同济版教材注重培养学生的数学思维能力。
在讲解过程中，教材引入了大量的例题和习题，帮助学生理解数学问题的本质，抽象思维与具体问题的联系。
同时，教材也注重培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力，通过多种问题的求解和思维训练，提高学生的数学思维水平和应用能力。
三、强调数学与实际应用结合大学高等数学同济版教材强调数学与实际应用的结合，通过丰富的实例和案例分析将数学理论与实际问题相联系。
教材中的数学模型和实例引导学生将数学方法应用于具体实际问题的解决过程中，加深对数学理论的理解，并培养学生的实际问题解决能力。
这种思维方式的培养对学生未来的工程实践和科学研究具有重要的意义。
四、开创思维空间，引导自主学习大学高等数学同济版教材在教学设计上注重开创学生的思维空间，引导学生进行自主学习和思考。
教材中设置了大量的思考题和拓展问题，鼓励学生积极思考、勇于探索，培养学生的主动学习和自主思考的能力。
同时，教材还提供了详细的解析和答案，方便学生进行自我检测和巩固知识。
五、辅助资源丰富，学习过程更加高效大学高等数学同济版教材提供了丰富的辅助学习资源，包括课后习题答案、教学视频和在线学习平台等。
学生可以通过这些资源进行自主学习和巩固复习，提高学习效率。
大二高等数学教材同济
大二高等数学教材同济大学的数学课程是对中学数学知识的深入延伸与扩展。
而大二高等数学是大学数学课程中的一门重要课程，它包含了微积分、线性代数、概率统计等内容，是培养学生数学思维能力的关键环节。
而同济大学的高等数学教材是大二学习者的良师益友，本文将通过几个不同的章节介绍教材的一些特点和学习方法，并分享一些自己的心得体会。
第一章微积分基础微积分是数学中的一门重要分支，也是大二高等数学教材的核心内容之一。
同济大学的高等数学教材在微积分基础部分给学习者提供了全面的知识体系和深入浅出的讲解方式。
通过学习这一章节，我们可以对微积分的概念、基本原理和推导方法有一个清晰的认识。
同时，为了更好地掌握微积分的技巧，我们需要进行大量的练习。
可以选取一些经典的习题进行练习，并结合教材中的例题进行分析和思考。
此外，还可以参考一些辅助的学习资料和视频教程，进一步加深对微积分知识的理解和应用能力的培养。
第二章线性代数线性代数是大二高等数学教材中另一个重要的部分。
同济大学的教材在线性代数的讲解中，采用了简练明了的语言和实例分析的方式，帮助学生更好地理解和应用这一部分的知识。
在学习线性代数的过程中，我们可以通过构建矩阵模型、进行线性方程组的求解和矩阵的运算，加深对线性代数概念的理解。
同时，还可以通过实际问题的应用，如图像处理和信号处理等，将线性代数的知识与实际生活相结合，提升自己的应用能力。
第三章概率统计概率统计是大二高等数学教材的又一重要内容。
同济大学的教材在概率统计的讲解中，注重理论知识与实际应用的结合，帮助学习者理解概率和统计的概念，掌握概率计算和统计分析的方法。
在学习概率统计的过程中，我们可以通过构建实际问题的概率模型，进行概率计算和统计分析。
同时，可以参考一些实际研究中的案例，探索概率统计在不同领域的应用，如金融、医学等。
这样做可以帮助学生更好地理解概率统计的重要性和实际应用的价值。
总结大二高等数学教材同济是一本优秀的教材，它以简练明了的语言、丰富多样的例题和应用问题，帮助学习者理解和应用数学知识。
高等数学同济件 绪论
语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在 黑暗的迷宫里游荡，什么也看不清。”
爱因斯坦在研究广义相对论时遇到了难题，他求 助于研究数学的朋友格洛斯曼，后者将黎曼关于弯 曲空间的研究工作告诉了他，才使广义相对论的研 究得以继续。
高等数学 以微积分为主要内容的学科
同
高等数学
济
版 的
微分学
积分学
空无 微
教
间穷 分
材
解级 方
的 基 本
一多 元元
一多 元元
结 函函 函 函
析数 程 几
何
构 数数 数 数
与
微微 积 积
向
分分 分 分
量
学学 学 学
代
数
三、微积分的基本思想和方法
微积分的基本方法：微元分析法
例1 Galileo通过实验 确立了 自由落体运动规律：s(t ) 1 gt 2 2
变量数学和近代数学时期：
法国数学家Descartes引进了直角坐标系。 伟大功绩：实现了几何与代数间的一一对应。 1. 点(几何基本元素)与有序数组(代数基本元素)
的一一对应。 （静态对应） 2. 动点的轨迹(几何基本元素)与二元方程(代数基本元素) 的一一对应。 （动态对应）
Newton和Leibniz各自独立的创造了微积分
n
n
n
lim(1 2)lim(2 3 )
n
n n
n
(lim1 lim 2)(lim 2 lim 3 )
n
n n n
n n
12 2
2n2 3
(2) lim n
3n2
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二、什么是高等数学？
从公元前3世纪Euclid的《几何原本》起到17世纪， 称为初等数学时期。又称常量数学时期。 主要研究对象： 1.匀速的运动（速度不变）； 2.匀加速的运动（速度均匀变化） ； 3.直边图形（不弯曲）； 4.圆弧边图形（均匀弯曲）； 5.有限次四则运算。 两大分支： 1.几何学； 2.代数学。
（3）数学是一种工具、一种思维的工具
诺贝尔化学奖获得者哈特曼的晶体结构研究：… 哈特曼在获得诺贝尔奖后说过：“其实我这一生只学过一门 化学，那就是大学一年级时所学的的化学。” 然而哈特曼却用数学解决了困扰许多化学家40多年的难题！ 诺贝尔经济学奖获得者阿洛的一般均衡模型：… 哈佛大学的一位数学教授看了阿洛的论文后说：“他用的数 学很基本，我们哈佛一年级的学生就能完成…”。 然而阿洛用的是什么样的数学这一点并不重要，重要的是他 将数学与经济学成功的相结合，用数学建立了重要的经济学模型！
变量数学和近代数学时期：
法国数学家Descartes引进了直角坐标系。 伟大功绩：实现了几何与代数间的一一对应。 1. 点(几何基本元素)与有序数组(代数基本元素)
的一一对应。 （静态对应） 2. 动点的轨迹(几何基本元素)与二元方程(代数基本元素) 的一一对应。 （动态对应）
Newton和Leibniz各自独立的创造了微积分
定理
若极限lim n
xn
与
lim
n
yn
都存在，
则
(1)
lim(
n
xn
yn )
lim
n
xn
lim
n
yn
(2)
lim(
n
xn
yn
)
lim
n
xn
lim
n
yn
(3)当C为常数时，lnim(C
xn
)
C
lim
n
xn
(4)当
lim
n
yn
0
时，lim n
xn yn
lim
n
xn
lim
n
yn
求下列数列的极限
(1)lim(1 2)(2 3 )
高等数学 以微积分为主要内容的学科
同
高等数学
济
版 的
微分学
积分学
空无 微
教
间穷 分
材
解级 方
的 基 本
一多 元元
一多 元元
结 函函 函 函
析数 程 几
何
构 数数 数 数
与
微微 积 积
向
分分 分 分
量
学学 学 学
代
数
三、微积分的基本思想和方法
微积分的基本方法：微元分析法
例1 Galileo通过实验 确立了 自由落体运动规律：s(t ) 1 gt 2 2
（2）数学是一种语言，是一切科学的共同语言 伽利略：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学
语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在 黑暗的迷宫里游荡，什么也看不清。”
爱因斯坦在研究广义相对论时遇到了难题，他求 助于研究数学的朋友格洛斯曼，后者将黎曼关于弯 曲空间的研究工作告诉了他，才使广义相对论的研 究得以继续。
问：在时刻 t 时，落体的速度v(t)是什么？
时间： t t t 路程：s s(t t) s(t)
1 g(t t)2 1 gt 2
2
2
gtt 1 g(t )2 2
平均速度： V s gt 1 gt
t
2
速度： v(t) limV lim s
t 0
t0 t
lim ( gt 1 gt) gt
n
n
n
lim(1 2)lim(2 3 )
n
n n
n
(lim1 lim 2)(lim 2 lim 3 )
n
n n n
n n
12 2
2n2 3
(2) lim n
3n2
n
5
lim
n
3
2
1 n
3
1 n2
5
1 n2
lim(2
n
lim(3
n
1 n
3
1 n2
)
5
1 n2
)
lim 2
n
lim 3 lim
绪论
一、数学是什么？ 蜂巢：由一个个正六边形组成。为什么？
因为蜜蜂懂得:只有这 样才能用最少的建筑 材料营造最大的居住 空间。
一条柔软的绳子两端固
4 3.5
定，使其自然下垂，这 3
条绳子形成什么样的曲 2.5
2
线？
1.5
y
a
x
(e a
e
x a
)
1 0.5
2
h0
(a ) -0.5
g -1 -1
为什么？
1 (n 1) n (2n 1) 1 (1 1)(2 1 ),
n3
6
6n n
S曲边
limS n
n
lim 1 (1 n 6
1 )(2 n
1) n
1. 3
在小范围内
曲 边 问 题 缩小范围直至0
取极限
直边问题
初数 等学
近似解
极限概念是微积分的“源”，先直观上认识一下极 限：
数列极限的直观定义
Newton应用微积分的方法证明了
Kepler行星运动三定律： 1.行星以椭圆轨道绕太阳旋转，太阳在椭圆的一个焦点上。 2.在相同的时间里，行星的向径扫过相同的面积. 3.行星公转周期的平方与椭圆轨道长半轴的立方比是常数. Newton进一步指出：这些定律是能量守恒、角动能守恒 的具体表现形式。 Leibniz德国数学家,实现了微积分内容与形式的完美统一。 微积分的方法迅速的在天文学、力学、物理学和工程技术 中被广泛应用。
t 0
2
非 在小范围内
匀
速
问 缩小范围直至0
题
取极限
匀速问题
初数 等学
近似解
例2 计算由 y=0 , x=1 , y x2
y
所围成的曲边形的面积。
将区间[0,1] n 等分，
o
x
用小矩形面积之和代替曲边形的面积
S曲边
Sn
( 1 )2 n
1 n
( 2)2 n
1 n
(n n
1)2
1 n
[12 22 (n 1)2 ] 1 n3
y
悬链线
o
-0.5
0
0.5
x
1
1.5
因为只有这样才能使绳子的总位能最小， 从而使绳子最稳定！
光的传播：
反射定律：
折射定律： v1 v2
sin sin
为什么？ 因为光懂得:只有这样才能使传播 时的用时最少！
数学是什么？
（1）上帝是按数学的法则创造世界的， 数学的规律是宇宙格局的精髓， 数学是开启宇宙奥妙之门的钥匙。
若当n无限增大时,数列xn对应的项无限接近于 常数a,则称常数a为数列 xn的极限,
记为:
lim
n
xn
a
lim C C （其中C为常数）
n
lim 1 0
n n
lim
n
1 np
0
（其中p为大于零的常数）
lim (1)n 0 n 2
lim qn 0 （其中q为常数, |q|<1）
n
数列极限的四则运算法则
n
n
3 lim n
1 5 n
1 n2
limnΒιβλιοθήκη 1 n22 31
(
3)
lim (
n
n2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim 1 (1 1) 1 . n 2 n 2