高微一Ch5习题参考答案(1-39)

5.12 (1) 假设
p
2
=1
消费者 1 对商品 1 的马歇尔需求为： 消费者 2 对商品 1 的马歇尔需求为：
x1 ( p, y ) =
1
30 p y 1 = p +1 p +1
1 1
x1 ( p, y) =
2
∂v ( p, y ) / ∂ p 1
2
∂ v ( p , y ) / ∂y
30 p
1
2
m
∑e
i
0，
所以 p
∑e
i
> 0 。考虑与 { p m } 对应的消费者 i 的需求 x m ，假设当 p m → p 时， x m → x* 。
*
ˆ = x + (0, 设x
*
, 0,1, 0,
*
ˆ = px* = pei ， , 0) 其中第 k 个分量为 1，因为 pk = 0 ，有 px
m m
∂u / ∂x1 x −s = ( 1 1 ) α −1 ∂u / ∂x 2 x2 − s2
1 成立；
p ⋅ z ( p ) = ( p1 , p 2 ) ⋅ (−1, p1 / p 2 ) = 0, 条件 2 成立；
p m → p , p ≠ 0, 设 p = (0, p 2 ) , z ( p) → z ( p) = (−1,0) ，条件 3 不成立。
(b) 对于一切 ( p1 , p 2 ) >> 0, 超额需求 z ( p ) = ( −1, p1 / p 2 ) ≠ (0,0) 。
因为该消费者对物品 i 有超额需求，所以 xi (p , p ie) > 0 ，当物品 i 的价格上升时，该
0 0
消费者的新间接效用为 v(p , p ie) ，有 v(p , p ie) < v(p , p ie)
1 1 1 1 0 0
即当物品 i 的价格上升时，如果该消费者对物品 i 有超额需求，则消费者福利降低。 5.3
=
y
2p
=
1
10
p
1
商品 1 的市场出清条件是：
p +1 p
1
+
10
1
= 30 ⇒
p
1
= 0.5
所以， （0.5,1）是一个瓦尔拉均衡。 此时：
x1 ( p, y) = 10, x1 ( p, y) = 20; x 2 ( p, y) = 10, x 2 ( p, y) = 10 。
1h ∂e1 20 ，得 x1 ( p, u ) = ; ∂p1 3 2h ∂e 2 10 p2 ，得 x1 ( p, u ) = ∂p1 3p1
m
p2 − p 2 < ε
−
p m e = p1 e1 + p 2 e2 p m e − p e = p1 e1 + p 2 e2 − p 1 e1 − p 2 e2 < p1 e1 − p 1 e1 + p 2 e2 − p 2 e2 = e1 p1 − p 1 + e2 p 2 − p 2
< e1ε + e2ε ， m > N
i i i i
Lemma5.2 （1）反证法，设
⎛
⎞
i
i
p x ≤ p x ， u i 严格递增，所以 u
i i i i i
i
⎞ ⎜x ⎟ (x )≤ u ⎛ ⎟ ，矛盾。 ⎜ ⎝ ⎠
i i i i i
（2）反证法，设
i i
⎟ ⎟ 且p x < p x u (x )≥ u ⎜ ⎜ ⎝x ⎠
i
⎛
⎞
取
x ≡ x + εII 其中ε > 0 且充分小， II 是 n 维单位向量，
所以
P i Z ( P) = p1 i z ( p1 ) + p2 i z ( p2 )
=
r −1 r −1 p1r −1 i p1 p1r −1 i p2 p2 i p1 p2 i p2 i p + i p − p + i p + i p2 − p2 1 1 1 2 r r r r r r r r p1 + p2 p1 + p2 p1 + p2 p1 + p2
(1 − α ) x1α x2−α − λ p2 = 0
可得:
α x2 p1 = 1 − α x1 p2
p1 α = p2 1 − α
当 x1 = x2 时,
5
5.18 (a)
max x11 ( x21 ) 2
s.t.(10 − x11 ) 2 (20 − x21 ) = 8000 / 27
故
x1 = 10 / 3 x 2 = 40 / 3
x 2 = x3 x1 = 0 x1 = x3 x2 = 0
3 3 2
2
3
由消费者 3 的效用函数知： 考虑到初始禀赋已知，
x1 = 1 / 2
得 WEA 为
1
1
x12 = 0来自百度文库x32 = 1/ 2
x13 = 1/ 2 x33 = 1/ 2
x 2 = 1 / 2 ， x2 2 = 1/ 2 ， x23 = 0 x3 = 0
∑ xk ( p , p e ) = ∑ e
i∈ I
又 F (e ) = ⎪ ⎨x 所以在 x
*
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∑x
i∈ I
i
⎫ i⎪ = ∑e ⎪ ⎬ ⎪ i∈ I ⎪ ⎭
*
( p ) 是 WEA 时，有 x ( p ) ∈ F (e) 。
⎟ ⎟且 px ≤ px u (x )> u ⎜ ⎜ ⎝x ⎠
−
−
−
−
−
2
5.8 两种商品情况情况下： p
m
→ p ， p >> 0 ,
−
∀ε > 0, ∃N 1 , p1 − p 1 < ε , m > N1 ，
m −
∃N 2 , p 2 − p 2 < ε , m > N 2
m
−
p1 − p 1 < ε
m
−
令 N = MAX ( N 1 , N 2 ) , m > N 时，
1
2
1
2
所以（ （10,10）,（20,10） ）是 WEA。 5.13
e1 ( p, u ) = 10 p1 , 代入 x1 ( p, u ) =
2h
1h
e 2 ( p, u ) = 10 p2 , 代入 x1 ( p, u ) = 20 10 p2 + = 10 ⇒ p1 = p2 3 3p1
4
5.14 （a）设 x = (0,
1
, 0), x11 = (1, 0,
n , 0), x1 , x11 ∈ R+
x1 < x11 ，但 u i ( x1 ) = u i ( x11 ) = 0 ，Cobb－Douglas 效用函数非严格递增。
（b） （1） z ( p) 连续，参见定理 5.1 （2）瓦尔拉法则成立，参照定理 5.2 （3）反证法。考虑一个严格正的价格序列 { p } ，收敛于 p ≠ 0 且 pk = 0 ，因为
（c）当市场出清时，相对价格为
p1*
* p2
=4
11
，
WEA 为
((5 8 4 , 5 8 1 1 ) , ( 2 6 4 , 5 2 1 1 ))
1 1 x1 x2 =
（d）将（c）的结果代入（b）中检验
58 58 i = 7 6 .4 5 ≥ 7 2 4 11
26 ⎞ ⎛ 52 ⎞ 2 ln ( x12 ) + 2 ln ( x2 ) = ln ⎛ ⎜ ⎟ + 2 ln ⎜ ⎟ = ln (145.26 ) ≥ ln (108 ) ⎝ 4 ⎠ ⎝ 11 ⎠
r ( p1r + p2 )i( p1 + p2 ) = − p1 − p2 = 0 r r p1 + p2
5.5 由例题 5.1 知，在均衡时 p1 = p2 ，因此有 x1 =
* * 1*
*r −1 * p2 i p1 1 1 2* = ， x2 参见图 5.4。 = *r *r 2 2 p1 + p2
⎟ ，且 p x < p x < p x u ( x )>u ( x ) ≥ u ⎜ ⎜ ⎟ ⎝x ⎠
i i i i i
效用函数严格递增，故
⎛
i
⎞
i
i
i
而由结论（1）知， p 5.7 (a)
x > p x ，矛盾。
n + + 上连续，条件
i
i
对于一切 ( p1 , p 2 ) >> 0, z ( p ) = ( −1, p1 / p2 ) 在实数域 R
ˆ ) > u ( x ) ，这与 x 是效用最大化相矛盾，因此 {x } 无界，必存在 k ' ，使得 {x } 发 且 u( x
散，如果对某个非零价格分量 pk ' ，有 lim xk ' = ∞ ，则 lim px = ∞ 。因为 lim px = pe 有
m
*
*
i
m →∞
m →∞
m →∞
限，矛盾，因此 {zk ( p )} 无界。 5.15 图略 5.16 图略 5.17
1
1
，
x1 = 20 / 3 x 2 = 20 / 3
2
2
此时，消费者用水平为：16000/27.既无法在保持消费者 2 效用水平不变的前提下，提高消费 者 1 的效用水平， 也无法在保持消费者 1 效用水平不变的前提下， 提高消费者 2 的效用水平， 因此该解是帕累托有效的。 （b ）
max u1 = x11 ( x21 ) 2
s.t. p1 x11 + p2 x21 = 10 p1
得
得
2
x1 = 10 / 3 x 2 = 20 p1 / 3 p 2
1
1
max u2 = x2 2 ( x12 ) 2
x1 = 40 p 2 / 3 p1 x 2 = 20 / 3
2
s.t. p1 x12 + p2 x2 2 = 20 p2
x1 + x1 = 10
i zk ( p ) = ∑ xk ( p, pei ) − ∑ ek i∈I i∈I
px ≤ pe x中有价格非正，效用函数强递增 这时总超额需求不为0
5.4
2* x2 =
1 2
1 2 2 z2 ( p ) = x1 2 ( p , y ) + x2 ( p , y ) − 1
=
r −1 r −1 p2 i p1 p2 i p2 + −1 r r r r p1 + p2 p1 + p2
故 p e → p e, p e 收敛，因而有界。
m m − m − m − − m m − − m − m −
m
m
5.9
ˆ p 是 WEA， 可用反证法证，设 x p 是帕累托有效配置， x p 不是 WEA，存在 x
ˆ = x。 证x
5.10 由埃奇渥斯盒分析。 5.11 （a）帕累托有效配置处于 Edgeworth 盒中无差异曲线相切位置，因此 然满足可行条件和相切条件，即： 可行条件： x1 + x1 = 18 + 3 = 21
且 x 2 + x 2 = 20
1 2
1
2
p1 / p 2 = 2
令 p 2 = 1 ，得瓦尔拉斯均衡 p = ( 2,1) ，WEA
*
x1 = (10 / 3,40 / 3) x 2 = (20 / 3,20 / 3)
5.19 由消费者 1 的效用函数知：
x1 = x 2 x3 = 0
1 2
1
1
由消费者 2 的效用函数知：
高微一 Ch5 习题参考答案(1-39) 5.1 图略 5.2 在消费者禀赋为 e ，面对价格 p ，间接效用函数为 v(p, pie) 情况下，设初始价格向量为
p 0 ，某种物品 i 初始价格为 pi0 ，该物品价格以一个充分小的量上升为 pi1 ，新的价格向量为 p1 。由间接效用函数的性质， v(p, pie) 关于 p 递减，
1
根据预算平衡条件：
1 / 2 P1 + 1 / 2 P2 = P1 1 / 2 P2 + 1 / 2 P3 = P2 1 / 2 P1 + 1 / 2 P3 = P3 ∴ P1 = P2 = P3
6
5.20
u = ( x1 − s1 ) α + ( x 2 − s 2 ) α ∂u ∂u = α ( x1 − s1 ) α −1 ， = α ( x 2 − s 2 ) α −1 ∂x1 ∂x 2
1 2 2 x1 2 + x2 = 4 + 6 = 10
( )
( )
( )
(( x , x ) , ( x , x )) 必
1 1 1 2 2 1 2 2
相切条件：
x x
1 2 1 1
=
x
2 2 2 1
2 x
3
（b）核配置满足上述条件，且满足个人理性，因此满足
1 x1 x1 2 ≥ 7 2
2 ln ( x12 ) + 2 ln ( x2 ) ≥ ln (108)
α 1−α u1 ( x1 , x2 ) = u 2 ( x1 , x2 ) = x1 x2
1 2 x1 + x12 = 10; x1 2 + x2 = 10
m
max u ( x1 , x2 )
s.tp1 x1 + p2 x2 ≤ y
一阶条件得:
α −1 1−α α x1 x2 − λ p1 = 0
*r −1 * p1 i p1 1 1 = ， x12* = *r *r p1 + p2 2 2
x1* 2 =
1
5.6 Lemma5.1
∵
p
*
是一个瓦尔拉均衡，
所以 Z
( p ) = 0 ， Z ( p ) = ∑ x k ( p , p e )− ∑ e = 0
*
* i * * i i k i∈ I i∈ I i * * i i i∈ I