2020高中数学第2章平面向量章末复习学案苏教版必修4

第2章平面向量

章末复习

学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用．

1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).

向量运算法则(或几何意义)坐标运算

向量的线性运算加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相

同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相

反；当λ＝0时，λa＝0

λa＝(λx1，λy1)

向量的数量积运算a·b＝|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)规

定0·a＝0，

数量积的几何意义是a的模与b在a方向上

的投影的积

a·b＝x1x2＋y1y2

2．两个定理

(1)平面向量基本定理

①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，

有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

②基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (2)向量共线定理

如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 3．向量的平行与垂直

a ，

b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，

a ∥

b 有唯一实数λ使得

b ＝λa (a ≠0) x 1y 2－x 2y 1＝0 a ⊥b

a ·

b ＝0

x 1x 2＋y 1y 2＝0

1．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × ) 提示 平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底．

2．若向量AB →和向量CD →

共线，则A ，B ，C ，D 四点在同一直线上．( × ) 提示 也可能AB ∥CD .

3．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( × )

4．若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 提示 当a ，b 同向共线时，a·b >0，但a 和b 的夹角为0.当a ，b 反向共线时，a·b <0，但a 和b 的夹角为π.

类型一 向量的线性运算

例1 如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →

，则实数m 的

值为________．

答案

3

11

解析 设BP →＝λBN →

，

则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →

＝(m －1)AB →＋211AC →

.

BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14

AC →.

∵BP →与BN →

共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311

.

反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．

跟踪训练1 如图，在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC →＋23

BE →

，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由．

解 假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.

BD →

＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23

(BC →

＋CE →

)＝BC →＋23

CE →

⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →

⇒CD →＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →⇒CD →＝13

CA →

.

所以当点D 为AC 的三等分点⎝

⎛⎭⎪⎫CD →＝13CA →时，

BD →

＝13BC →＋23

BE →

.

类型二 向量的数量积运算

例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)用k 表示数量积a ·b ；

(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小． 解 (1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2

＝3(a －k b )2

，

∴k 2a 2

＋2k a ·b ＋b 2

＝3a 2

－6k a ·b ＋3k 2b 2

. ∴(k 2

－3)a 2

＋8k a ·b ＋(1－3k 2

)b 2

＝0.

∵|a |＝cos 2

α＋sin 2

α＝1，|b |＝cos 2

β＋sin 2

β＝1，

∴k 2

－3＋8k a ·b ＋1－3k 2

＝0， ∴a ·b ＝2k 2

＋28k ＝k 2

＋1

4k

.

(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k ＋1k .

由对勾函数的单调性可知，f (k )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫

k ＋1k 在(0，1]上单调减，在[1，＋∞)上单调增，

∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝1

2

，

此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝1

2

，

又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.

反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，

a ∥

b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.

(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 2

1＋y 2

1. ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)

cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21 x 22＋y 2

2

. 跟踪训练2 已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →

＝(5－m ，－(3＋m ))． (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值． 解 (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →

＝(6，－3)， OC →

＝(5－m ，－(3＋m ))，

∴AB →＝(3，1)，BC →

＝(－m －1，－m )， ∵AB →与BC →

不平行，

∴－3m ≠－m －1，解得m ≠1

2，

∴当实数m ≠1

2

时满足条件．

(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3，1)，AC →

＝(2－m ，1－m )，