2013年北京市高考理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一测试

数

学（理）（北京卷）

本试卷共4页，150分。测试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。测试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、

选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B =

（A ）{}0

（B ）{}1,0-

（C ）{}0,1

（D ）{}1,0,1-

（2）在复平面内，复数()2

2i -对应的点位于

（A ）第一象限

（B ）第二象限

（C ）第三象限 （D ）第四象限

（3）“ϕπ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）1 （B ）

2

3

（C ）1321

（D ）610987

（5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象和曲 线x y e =关于y 轴对称，则()f x = （A ）1x e + （B ）1x e -

（C ）1x e -+

（D ）1x e --

（6）若双曲线2

2

221x y a b

-=3 （A ）2y x =±

（B ）2y x =

（C ）1

2

y x =±

（D ）2

y = （7）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且和y 轴垂直，则l 和C 所围成的图形的面积等于

（A ）

43

（B ）2

（C ）83

（D 162

开始

i =0，S =1

21

21

S S S +=

+ i =i +1

i ≥2 是 输出S

结束

否

（8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪

+<⎨⎪->⎩

表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足

0022x y -=，求得m 的取值范围是

（A ）4,3⎛

⎫-∞ ⎪⎝

⎭

（B ）1,3⎛

⎫-∞ ⎪⎝

⎭

（C ）2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ （D ）5,3⎛

⎫-∞- ⎪⎝

⎭

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在极坐标系中，点2,6π⎛⎫

⎪⎝⎭

到直线sin 2ρθ=的距离等于

___________．

（10）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =____；前n 项和n S =____．

（11）如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 和圆O 相交于D ．若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =___________；

AB =___________．

（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________．

（13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c =λa +μb （λ，μ∈R ），则

λ

μ

=___________． （14）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为___________． 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出相应的文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△ABC 中，3a =，26b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值． （16）（本小题共13分）

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

D

O

a b

c

A

B

D

P

E

A 1

B 1

1

D 1

121

37

79

86

158

160

217

160

220

143

57

25

86

空气污染指数2502001501005014日

13日12日11日9日2日1日

日期

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

（17）（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．

（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求证二面角111A BC B --的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求

1

BD

BC 的值． （18）（本小题共13分）

设L 为曲线ln :x C y x =在点()1,0处的切线．

（Ⅰ）求L 的方程；

（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线L 的下方． （19）（本小题共14分）

已知A ，B ，C 是椭圆2

2:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点．

（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． （20）（本小题共13分）

已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列．设数列前n 项的最大值为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-．

（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…是一个周期为4的数列（即对任意n ∈N *，4n n a a +=）

， 写出1d 、2d 、3d 、4d 的值；

（Ⅱ）设d 是非负整数．证明：()1,2,3,

n d d n =-=的充分必要条件是{}n a 是公差为d 的

等差数列；

（Ⅲ）证明：若12a =，()11,2,3,

n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项

为1．

C 1

B 1

A 1

C

B

A