理论力学达朗贝尔原理

第十四章 达朗贝尔原理
§14-1 惯性力•质点的达朗贝尔原理 §14-2 质点系的达朗贝尔原理 §14-3 刚体惯性力系的简化 §14-4 绕定轴转动刚体的动约束力 结论与讨论 习题
质点的达朗贝尔原理
第十四章 达朗贝尔原理
ma = F + FN
F + FN − ma = 0
− ma = FI
F + FN + FI = 0
刚体惯性力系的简化
第十四章 达朗贝尔原理
均质圆盘作定轴转动。试对图示四种情形向转轴进行 惯性力系的简化。 n 2 2 F = m ω r FI = mω r I
FIτ = mα r
ω α=0 α≠0 ω α=0 ω α≠0 ω
（a）
3mr 2 MI = α 2
（b）
（c）
mr 2 MI = α 2
mg
m2
m2 g
FI 2
∑ m ar = ar ∑ m
i
m1 − m2 a= g m1 + m2 + m
i
= arm
a
m1 m1 g
刚体惯性力系的简化
第十四章 达朗贝尔原理
一、刚体作平动
平动刚体惯性力系简化为通过质心的合力
FIi = − mi ai = − mi aC FIR = −∑τ ( m1 g − FI 1 − FI 2 − m 2 g ) r − ∑ FIi ⋅r = 0 τ FI 1 = m1a, FI 2 = m2 a, FIi = mi aτ
O
∑M
FN
FIi
τ
(m1 g − m1a − m2 a − m2 g )r − ∑ mi ar = 0
FI 1
v FI = man = m l sin α
n
2
α
l
T n mg b τ
∑F
b
= 0 T cos α = mg
T = 1.96 N , v = 2.1m / s
FI
n
质点系的达朗贝尔原理
第十四章 达朗贝尔原理
Fi + FNi + FIi = 0
Fi
(e)
+ Fi + FIi = 0
(e) i
(i )
12
∫
l 0
m 1 2 dx ⋅ x = m l 2 3 l
2、均质薄圆环对中心轴的转动惯量：
设杆质量为m
J z = ∑ mi R 2 = R 2 ∑ mi = mR2
J z = mR
2
3、均质薄圆板对中心轴的转动惯量： 设圆板半径为R，质量为m， m ρA = 2 单位面积的质量为ρ πR
J z = ∫ r 2 dm
作用在质点上的主动力、约束力和虚 加的惯性力在形式上组成平衡力系。
质点的达朗贝尔原理
第十四章 达朗贝尔原理
小球作匀速圆周运动，质量m=0.1kg，l =0.3m，α=600 。 求:绳的拉力及小球的速度。
解：取小球为研究对象 受力分析、加惯性力列平衡方程
n F = 0 T sin α = FI ∑ n
∫
π
∑F
x
=0
2 0
m Rdθ ⋅ ω 2 R ⋅ cosθ − FA = 0 2πR 用相同方法 2 mRω 计算FB FA = 2π
由于截面对称，任一横截面张力相同。
质点系的达朗贝尔原理
第十四章 达朗贝尔原理
滑轮半径为r，质量m均匀分布在轮缘上，绕水平轴转动。 轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1和m2的重物，且 m1 ＞m2 。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，摩擦不 n 计。求重物的加速度。 Ii 取整个质点系为研究对象：受力分析、加惯性力 例二
二、刚体作定轴转动 一般取定轴O为简化中心
M IO = −∑ M O ( FIi )
τ
FIR = −∑ mi ai τ n + aC ) = − maC = − m(aC
= −∑ miαri ⋅ ri = − J Oα
mr ∑ 刚体作定轴转动时,惯性力系简 r =
i i C
化为通过O点的一力和一力偶。 m
刚体惯性力系的简化
第十四章 达朗贝尔原理
三、刚体作平面运动 一般取质心C为简化中心
FIR = −maC
M IC = −∑ M C (mi ai )
= −∑ M C (mi aiτ ) − ∑ M C (mi ain )
= − J Cα
惯性力系简化为平面内一个力和一个力偶：惯性力通过质心， 大小等于质量与质心加速度的乘积， 方向与质心加速度方向 相反；惯性力偶矩大小等于通过质心且垂直于平面的轴的转动 惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。
∑F ∑M
O
+ ∑ FIi = 0
( Fi ) + ∑ M O ( FIi ) = 0
(e)
质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的外力与虚 加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。
质点系的达朗贝尔原理
第十四章 达朗贝尔原理
例一 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω 转动，轮缘较薄， 质量均匀分布，轮辐质量不计。求轮缘横截面上的张力。 解：取1/4飞轮为研究对象，由对称性可 知受力分析如图。添加惯性力后由 静力平衡方程有：
刚体对轴的转动惯量
J z = ∑ mi ri
2
2
m 在工程中，常将转动惯量表示为
J z = ∫ r dm
J z = mρ
2 z
1、均质细直杆对Z轴的转动惯量 设杆长为l,单位长度的质量为m/l:
Jz =
J z = ∫ r 2 dm
m
J z′
1 J z = ml 2 3 1 2 J z = ml 2 = J zC + md
m
mi = 2πri dr ⋅ ρ A
Jz =
∫
R
0
1 2πr ρ A dr ⋅ r = mR 2 2
2
1 2 J z = mR 2
4、均质薄圆板对直径轴的转动惯量：
1 J z = mR 2 4
试求:各均质物体对其转轴的转动惯量。
1 2 1 1 2 1 2 2 J 0 = ml J0 = ml + m ( l ) = ml 3 6 9 12 5 1 1 2 2 J 0 = m ( 2 a ) + m ( 2 a ) = ma 2 12 3 3 1 3 2 2 J 0 = mR + mR = mR 2 2 2
（d）
两种情形的定滑轮质量均为m，半径均为r。图a中的绳所 受拉力为W；图b中块重力为W。试分析两种情形下定滑轮 的角加速度、绳中拉力和定滑轮轴承处的约束反力是否相 同。 FOy FOy ∑MO = 0 F Ox FOx J Oα a = Wr M I O + FI r − Wr = 0
W W 1 2 mr α a = Wr FI = a = rα b 2 g g 2W 1 αa = M IO = mr 2α b mr 2 2Wg Ta = W α b = r (mg + 2W )