微积分第三章导数与微分
微积分中的导数与微分
微积分中的导数与微分微积分是数学的一个分支，主要研究变化率和累积效应问题。
导数和微分是微积分中最重要的两个概念，它们被广泛用于物理、工程、经济等领域，是现代科学中不可或缺的工具。
本文将会系统探讨导数和微分的定义、性质以及应用。
一、导数的定义和性质导数是一个函数在某一点的斜率，也称为函数的变化率。
它的定义如下：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，如果函数在该点的变化率有有限的极限，那么导数 $f'(x_0)$ 存在，且有：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$ 表示 $x$ 的增量，$\Delta x \rightarrow 0$ 表示$\Delta x$ 趋近于 0。
导数的性质包括：1. 如果函数在 $x_0$ 处可导，那么它在该点必定连续。
2. 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的切线斜率为 $f'(x_0)$。
3. 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内满足局部线性近似。
二、微分的定义和性质微分可以看作是导数的微小增量，是微积分中的另一个重要概念。
它的定义如下：设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，那么函数在该点的微分就是：$$dy=f'(x_0)dx$$其中，$dx$ 表示 $x$ 的微小增量，$dy$ 表示 $y$ 的微小增量。
微分的性质包括：1. 微分具有线性性。
2. 微分运算满足加法和乘法运算的运算律。
3. 微分可以用于计算函数的局部变化量。
三、导数和微分的应用导数和微分在科学和工程领域中有着广泛的应用，以下列举几个典型例子：1. 物理中的加速度和速度在物理学中，物体的加速度等于速度的导数，速度等于路程的导数，因此导数和微分可以用来计算物体的运动状态。
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。
2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。
3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。
4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。
5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。
6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。
7、已知x x y ln =，则)10(y = 。
8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。
9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。
10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。
11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。
二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。
《微积分一》导数的概念
y g(x)
如何精确度量 x0 处利润增加的快慢？
O
x0
x
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§3.1 引出导数概念的例题
一、变速直线运动的速度 二、切线问题
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引出导数概念的例题
一. 变速直线运动的瞬时速度
设作变速直线运动的物体的运动规律为 s s(t),
t
t
v(t0 ) v
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引出导数概念的例题
2. t越小，v越接近于v(t0 )
v(t0 )
_
lim v
t0
= lim s lim s(t0 t) s(t0 )
t t0
t0
t
v(t0
)=
lim
t0
s t
lim
t0
s(t0
t ) t
y
y f (x)
如何精确度量 x0 处利润增加的快慢？
y g(x)
O
x0
x
导数
（函数的瞬时变化率）
第三章 导数与微分
§3.1 引出导数概念的例题 §32 导数概念
导数的概念
§3.3 导数的基本公式与运算法则 导数的计算
§3.4 高阶导数
§3.5 微分
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需要解决的问题
甲、乙两种商品的利润函数分别为y f (x)和y g(x)
y
y f (x)
瞬时速度
函数的改变量
导
自变量的li改m变量0自变量的改变量
微积分-导数(微分)导数法则
x y坡度 = 0y = 3xy坡度 = 2y = 2x 导数法则导数 是在函数上任何一点的坡度。
有很多法则可以帮助我们去求导数。
例子：常数 （像 3）的坡度永远是 0直线 （像 2x 是 2，3x 是 3，以此类推）等等。
以下是一些常用的法用来求函数的导数（例子在下面）。
注意：这个符号 ’ 的意思是 "的导数"。
.常见函数函数导数常数c 0直线x 1 ax a 平方x 22x 平方根√x (½)x -½指数e x e x a x ln(a) a x 对数ln(x)1/xlog a (x) 1 / (x ln(a))三角 （x 的单位是 弧度）sin(x)cos(x) cos(x)−sin(x) tan(x)sec 2(x)反三角sin -1(x)1/√(1−x 2) cos -1(x)−1/√(1−x 2) tan -1(x)1/(1+x 2)法则函数导数乘以常数cf cf’幂次方法则x n nx n−1加法法则 f + g f’ + g’减法法则 f - g f’ − g’积法则fg f g’ + f’ g 商法则f/g (f’ g − g’ f )/g 2倒数法则1/f −f’/f 2链式法则（为 "复合函数"） f º g (f’ º g) × g’链式法则 （用 ’ ）f(g(x))f’(g(x))g’(x)链式法则 （用 ddx ）dydx= dydududx"的导数" 也可以写成ddx所以 ddx sin(x) 和 sin(x)’ 是 一样的，只不过写法不同举例例子：sin(x) 的导数是什么？从上面的列表我们可以看到答案是 cos(x)可以写为：sin(x) = cos(x)或：sin(x)’ = cos(x)幂次方法则例子：x3 是什么？问题是 "x3 的导数是什么？"我们可以用幂次方法则，以 n=3:x n = nx n−1x3 = 3x3−1 = 3x2例子：(1/x) 是什么？1/x 等于 x-1我们可以用幂次方法则，以 n = −1:x n = nx n−1x−1 = −1x−1−1 = −x−2乘以常数例子：5x3 是什么？cf 的导数 = cf’5f 的导数 = 5f’幂次方法则：x3 = 3x3−1 = 3x2所以：5x3 = 5x3 = 5 × 3x2 = 15x2加法法则例子：x2+x3 的导数是什么？加法法则说：f +g 的导数 = f’ + g’所以我们可以求每项的导数，然后求它们的和。
微积分课件(导数与微分2)资料
设函数 f ( x)在点x0可导,即
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
第一节 导数的概念
例3 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 3
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x h) sin 2
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为
y 2 1 ( x 1), 42
即 2x 8 y 15 0.
第一节 导数的概念
四、函数可导性与连续性的关系
h0
2h
cos x
2
即 (sin x) cos x
(sin x) x cos x x
3
3
1 2
第一节 导数的概念
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
微积分第3章导数与微分
2021/4/21
9
三、左、右导数
定义 设函数 y = f(x) 在某U+(x0) (或 U-(x0))内有定义. 若
(或
)
存在，则称该极限值为 f 在点 x0 处的右 (左) 导数.
记作 f( x0 ) (或 f( x0 )) .
注：1. f 在x0可导 f 在 x0 的左, 右导数存在且相等.
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0 与 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.
0, x 0
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11
例5. 求下列函数的导函数：
(1) c ( 常函数 ) ;
答案：0
记结论
(2) xn , ( n∈N+ ) ; (3) sin x ,
cos x ; (4) log ax ( a > 0, a≠1, x > 0 ) .
方法一：F(x, y) = 0 显化 y = f(x) 已有方法 求 y.
√ 方法二：F(x, y) = 0 两边同时求导 [F(x, y)] 0 求 y.
例6. 已知 y x ln y 确定了函数 y = f(x)，求 y.
（答案：
y
y ln y y x
）
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第三章 导数与微分
22
要牢记！
(1) (c) 0 (c为常数);
(2) ( x ) x1 (为任意实数 );
(3) (a x ) a x ln a, (ex ) ex ;
(4)
(log a
x)
1, x ln a
(ln
x)
1; x
(5) (sin x) cos x,(cos x) sin x ;
微积分中的导数与微分
微积分中的导数与微分微积分是数学的一个重要分支，它涉及到许多重要概念和方法，其中导数和微分是微积分中最基本的概念之一。
在本文中，我们将讨论这两个概念的原理、定义、性质和应用。
导数的原理和定义导数是微积分中最基本的概念之一，它是研究物理和数学问题中变化率的重要工具。
导数的定义是函数在给定点处的斜率，通俗地说，就是函数在某个点处的瞬时变化速率。
导数的原理是在给定点处对函数进行微小改变，时间间隔趋近于0，从而求出函数在该点处的变化率。
具体地，导数可以用以下公式表示：$$f'(x) = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$其中，$f'(x)$表示函数$f(x)$在$x$点处的导数，$h$表示时间间隔。
导数的性质和应用导数具有许多性质和应用。
其中，导数的性质包括：1. 导数存在的条件：函数在给定点上是连续的。
2. 导数的几何意义：导数是函数在给定点处的切线的斜率。
3. 可导和连续的区别：可导函数是连续函数的一种特殊情况。
4. 导数的加减法和乘除法：导数的加减法可以用来求两个函数的导数之和或之差，而导数的乘除法可以用来求两个函数的导数之积或之商。
导数的应用包括：1. 最大值和最小值问题：通过求导数，可以找到函数的最大值和最小值。
2. 曲线拐点：函数的拐点是函数斜率发生变化的点，通过求二阶导数可以判断拐点的位置。
3. 斜率和曲率：导数是刻画函数斜率的重要工具，而曲率是描述函数曲线弯曲程度的概念，二阶导数可以求出函数曲线的曲率。
微分的原理和定义微分是另一个重要概念，它和导数密切相关。
微分可以用来描述函数在给定点处的局部变化，也可以粗略地表示变化的总量。
微分的定义是：$$df(x)=f'(x)dx$$其中，$df(x)$表示函数$f(x)$在$x$点处的微分，$f'(x)$表示该点处的导数，$dx$表示微小偏移量。
微分的性质和应用微分也具有许多重要性质和应用。
人大四版微积分第3章导数与微分
瞬时速度 切线斜率
两个问题的共性:
o
y
f (t0 )
f (t )
t0
t
s
y f ( x)
N
C
M
T
o x0
x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
即 log a
x
1 x ln a
特别地，当 a e 时，有
微积分 第三章
l n x
1 x
导数与微分
5．指数函数的导数
a
x
a x ln a
a 0, a 1,
特别地，当 a e 时，有
e
x
ex
微积分
第三章
导数与微分
(二)导数的四则运算法则
f ( x0 ) f ( x) x x0
第三章
d f ( x0 ) dx
微积分
导数与微分
导数的定义式: f (x0 x) f (x0 ) y f (x0 ) lim lim x 0 x x 0 x f (x) f (x0 ) f (x0 h) f (x0 ) f (x0 ) lim lim h0 h x x0 x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导. y 若 lim 在 的导数为无穷大 . , 也称 x 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ; f ( x ) ; dx dx 注意:
微积分讲义_第三章-一元函数的导数和微分
3.6 导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到第四章后面讲。
例11.求
的导数
【答疑编号11030311：针对该题提问】
例12.求
的导数
【答疑编号11030312：针对该题提问】
例13.求
的导数
【答疑编号11030313：针对该题提问】
例14.求
的导数
【答疑编号11030314：针对该题提问】
例15.（教材习题3.2，8题）已知 【答疑编号11030315：针对该题提问】
切线方程为 法线方程为
例8、求双曲线
处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
【答疑编号11030108：针对该题提问】
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
六、可导与连续的关系 1.定理 凡可导函数都是连续函数. 注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。 我们有：不连续一定不可导 极限存在、连续、可导之间的关系。
2.连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数
在x=0处的连续性与可导性。
【答疑编号11030109：针对该题提问】
解：
例10、 P115第10题
设
，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导。 【答疑编号11030110：针对该题提问】 解：（1）
（2）
七、小结 1.导数的实质：增量比的极限； 2.导数的几何意义：切线的斜率； 3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；
第三章 一元函数的导数和 微分
一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
3.1 导数概念
如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即
微积分(第三章)
（1） y f (sin2 x) g (cos2 x)
（2） y f n [ g n (sin x n )]
第三章 导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
§3 高阶导数
一般地，设 f ' ( x) 在点 x 的某个领域内有定义，若极
限
f ' ( x x ) f ' ( x ) lim x 0 x
f ' ( x0 ) 都存在，就说函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上可导。
第三章 导数、微分、边际与弹性
§1 导数的概念
三 、 导数的几何意义
函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 的几何意义是曲 线 y f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率。
定理2 如果函数 x f ( y ) 在区间 I y 内单调、可导
I x x x f ( y ), y I y
且 f ' ( y) 0 ，则它的反函数 y f 1 ( x) 在区间
内也可导，且
[f
1
1 dy 1 ( x)]' f ' ( y) 或 d x dx dy
（4）y cos x
1 （ 6） y x 1 （ 8） y 2 x 5x 6
第三章 导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
高阶导数有以下运算法则：
1、[u( x) v( x)]( n) u ( n) ( x) v( n) ( x)
1 ' ( n 1) 2、[u ( x) v( x)]( n ) u ( 0) v ( n ) Cn uv k ( k ) ( nk ) k ( k ) ( nk ) Cn u v u ( n ) v ( 0 ) Cn u v n
第三章 导数与微分 《经济数学》PPT课件
03
第3章 导数与 微分
PART
03
3.1
导数
导数是数学中的一个分支——微积分的两个基本概念之一,它
表示一个函数的因变量相对于自变量的变化的快慢程度,即因变 量关于自变量的变化率.事物总是在不断地运动和变化的,而描述 这种运动和变化离不开变化率,导数就是对现实生活中各种各样 的变化率的一种统一的数学抽象.导数是微积分以及实际生活中 应用极其广泛的概念,其应用范围包括函数性态的描述、曲线的 描绘、最优化问题的讨论以及变化率的分析等.
,
即函数在点x=0处的右导数不存在,所以函数f(x)在点x=0处的导
数不存在.
3. 1. 5
高阶导数
在本小节中,我们将讨论一个量的变化率的变化率.这样的变化率 有很多种,例如,汽车的加速度是它的速度关于时间的变化率,而 速度本身又是路程关于时间的变化率.如果路程的单位是千米,时 间的单位是小时,那么速度(路程关于时间的变化率)的单位是千 米/小时,而加速度(速度的变化率)的单位则是千米/小时2.
上述有关变化率的变化率的问题,在经济上是常用的.例如,在通 货膨胀时期,你可以听到经济部门的报告指出,“尽管通货膨胀率 在增长,但其增长速度在减缓”,就是指物价在上涨,但已经不比 以前那样增长得快了.
3. 1. 5
高阶导数
1) 高阶导数的概念 ➢ 设函数y=f(x)关于x的变化率由其导函数f '(x)给出.类似地,函数f
3.2 1 微分的定义
关于微分定义的几点说明: ➢ (1)函数的微分dy是Δx的一次函数,它不仅与Δx有关,而且与x也
有关.函数的微分dy与Δy只差一个比Δx高阶的无穷小,它是Δy的 主要部分,所以也称微分dy是函数改变量Δy的线性主部. ➢ (2)若函数y=f(x)在x处的改变量Δy可以表示成Δx的线性函数 k(x)Δx与一个比Δx高阶的无穷小之和Δy=k(x)Δx+o(Δx),则称 函数y=f(x)在点x处可微. ➢ (3)由于自变量x的微分dx=(x)'Δx=Δx,故dx可理解为自变量x的 改变量Δx.于是dy=f '(x)Δx=f '(x)dx,即函数的微分等于函数的 导数乘上自变量的微分.
解析函数中的导数与微分——微积分知识要点
解析函数中的导数与微分——微积分知识要点微积分是数学的一个分支，主要研究函数的变化率、极限、积分等概念与性质。
在微积分的学习过程中，导数与微分是两个重要的概念。
本文将解析函数中的导数与微分进行详细解析，帮助读者理解微积分的基本知识。
一、导数的定义与性质导数是函数在某一点上的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
对于函数f(x)，其在点x=a处的导数可以用以下极限表达式表示：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中，h为自变量x的增量。
根据导数的定义，我们可以得到导数的一些重要性质：1. 导数存在的条件：如果函数f(x)在点x=a处可导，则必须满足以下条件：- f(x)在点x=a的左右极限存在且相等；- f(x)在点x=a的左右极限有限。
2. 导数的几何意义：导数表示函数曲线在某一点处的切线斜率。
当导数为正时，函数曲线在该点上升；当导数为负时，函数曲线在该点下降；当导数为零时，函数曲线在该点达到极值。
3. 导数与函数连续性的关系：如果函数f(x)在区间[a,b]上可导，则在该区间上f(x)连续。
4. 常见函数的导数：- 常数函数的导数为0；- 幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)；- 指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * lna，其中lna为以e为底的对数；- 对数函数f(x) = loga(x)的导数为f'(x) = 1/(x * lna)。
二、微分的定义与性质微分是函数在某一点附近的近似线性变化量。
对于函数f(x)，其在点x=a处的微分可以用以下近似表达式表示：df(a) = f'(a) * dx其中，dx为自变量x的增量。
微分的一些重要性质如下：1. 微分与导数的关系：微分是导数的自然延伸，导数表示函数在某一点的变化率，而微分表示函数在某一点附近的线性变化量。
导数与微分的基本概念
导数与微分的基本概念导数和微分是微积分中的两个核心概念。
它们以不同的方式描述了函数的变化率和近似值。
导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则描述了函数在某一点的近似变化。
了解导数和微分的基本概念对理解微积分的其他内容至关重要。
一、导数的定义在微积分中，函数f(x)的导数可以用下式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h这个式子表示的是当自变量x的增量h趋近于零时，函数f(x)的变化量与自变量变化量的比值的极限。
导数反映了函数在某一点的斜率，也可以理解为函数在这一点的瞬时变化率。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过函数的图像进行理解。
在一个给定点上，函数图像的切线斜率等于该点处的导数值。
当导数大于零时，函数在该点递增；当导数小于零时，函数在该点递减；当导数等于零时，函数在该点取得极值。
三、微分的定义函数f(x)在点x处的微分可以用下式表示：df(x) = f'(x) * dx其中，dx表示自变量x的微小增量。
微分表示了函数在某一点的近似变化量。
通过微分，可以在给定点处用线性函数逼近原函数，进而研究函数的性质。
四、微分的应用微分在实际应用中有着广泛的应用。
例如，微分可以用来确定函数在某一点的近似值，从而进行数值计算。
微分还可以用于求解最优化问题，例如找到函数的最大值或最小值。
微分在物理学、工程学、经济学等领域都有重要作用。
五、导数与微分的关系导数和微分是密切相关的概念。
实际上，导数可以看作是微分的比值近似。
当自变量的增量趋近于零时，微分即为导数的极限。
因此，微分是导数的一个特例，可以通过导数来求解。
综上所述，导数和微分是微积分中的基本概念，它们描述了函数的变化率和近似值。
导数表示了函数在某一点的斜率，而微分表示了函数在某一点的近似变化。
了解导数和微分的基本概念对于深入理解微积分的其他内容至关重要。
在实际应用中，导数和微分有广泛的应用价值。
微积分中的导数与微分应用
微积分中的导数与微分应用在我们探索数学的奇妙世界时，微积分无疑是一座令人瞩目的高峰。
而在微积分中，导数与微分这两个重要概念具有广泛而深刻的应用，它们不仅在数学领域中发挥着关键作用，还在众多科学和工程领域中成为解决实际问题的有力工具。
让我们先来理解一下什么是导数。
简单来说，导数表示的是一个函数在某一点处的变化率。
想象一下，我们有一个函数描述了某个物体的运动轨迹，那么导数就能告诉我们在特定时刻这个物体的速度。
例如，如果函数表示的是物体位置随时间的变化，那么导数就是物体的瞬时速度。
同样，如果函数描述的是经济指标随时间的变化，导数就能反映出其增长或下降的速率。
再来看微分。
微分可以看作是函数在某一点附近的线性近似。
这就好像我们用一根直线来近似地表示一段曲线在某一点附近的情况。
通过微分，我们能够对函数的微小变化进行精确的分析和计算。
导数在物理学中的应用极为广泛。
在力学中，速度是位置函数的导数，加速度则是速度函数的导数。
通过对运动方程求导，我们可以准确地了解物体的运动状态。
比如，一个自由落体运动的物体，其位置随时间的函数为$h ＝＼frac{1}｛2}gt^2$，对其求导就能得到速度函数$v ＝ gt$，再次求导可得加速度函数$a ＝ g$，这里的$g$是重力加速度。
在电学中，电流是电荷随时间的变化率，也就是电荷函数的导数。
通过对电流的分析，我们能够设计更高效的电路，保障电器设备的正常运行。
导数在经济学中也有着重要的地位。
边际成本、边际收益等概念都与导数密切相关。
边际成本表示的是每增加一单位产量所增加的成本，它是总成本函数的导数。
通过研究边际成本和边际收益，企业可以做出更合理的生产决策，以实现利润最大化。
微分在近似计算中发挥着巨大的作用。
当我们需要计算一个复杂函数在某一点的值时，如果直接计算较为困难，就可以利用微分进行近似计算。
比如，对于函数$f(x)＄在点$x_0$处，我们可以将其近似表示为$f(x) ＼approx f(x_0) ＋ f'（x_0)（x x_0)＄。
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同样，也可以定义点 x0处的右导数
f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
函数f (x)在点x0处可导的充分必要条件是： 函数f (x)在点x0处的左右导数存在并相等
例3. 讨论函数 f (x) | x | 在 x 0处的可导性.
当时间由t0改变到t0 t时，物体t这段时间内所 经过的距离为
S f (t0 t) f (t0 )
（1）当物体作匀速运动时
v0
s t
f (t0 t) t
f (t0 )
（2）当物体作变速运动时
s t
表示从t0到t0
t这一段时间的平均速度v
t很小时，v0 v
且t越小，近似程度越好
当t 0时，如果 lim s 存在
即y 12x 16
法线方程为：
y 8 1 (x 2) f (2)
即y 1 x 49 12 6
四、左、右导数
定义3：设函数y f (x)在点x0的某左邻域(x0 x， x0（) x 0）内有定义，如果函数的改变量y f (x0 x) f (x0 )与自变量的改变量（x x 0） 的比值当x 0的极限
f (x0 );
y |xx0 ;
df (x) dx |xx0 ;
dy dx |xx0
即 f (x0)
lim y x0 x
lim
x0
f
(x0
x) x
f
( x0 )
x0定点
如果函数（f x）在点x0处可导，也称点x0为函数 （f x）的可导点，否则称x0为函数（f x）的不可导点.
v0 s tt0 f (t0 )
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
存在，则称f (x)在点x0处左可导，而上述极限就 称为函数f (x)在点x0处的左导数,记为f(x0 ).
即：f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
x
x
当x0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线MN也将
随之变动而趋向于切线MT
即割线 MN 的极限位置就是
曲线 L 在点 M 处的切线MT .
当 x 0时,
tan lim tan
切线 MT 的斜率为：
k tan lim tan来自lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
解
f (x) | x |
x, x,
x0 x0
f(0)
f (x) f (0)
lim
x0
x0
x 0
lim
1
x x0
f(0)
lim f (x) f (0) lim x 0 1
x0
x0
x x0
f(0) f(0)
t0 t
则v0
lim
t 0
s t
lim f (t0 t) f (t0 )
t 0
t
引例2 —— 平面曲线的切线斜率
求曲线L：y f ( x)在点 M( x0 , y0 ) 处切线的斜率.
已知定点M（x0, y0 ),
切线 MT
倾角
作动点N（x0 x，y0 y） 割线 MN 倾角
割线 MN 的斜率为： tan y f (x0 x) f (x0 )
第三章 导数与微分
§3.1 导数的概念 §3.2 导数基本公式和求导运算法则 §3.3 链法则与隐函数的导数 §3.4 高阶导数 §3.5 微分 §3.6 边际与弹性
§3.1 导数的概念
一、引例
引例1、变速直线运动的瞬时速度
设S表示一物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动 所经过的路程，则S是时刻t的函数S=f (t).求t t0时 的瞬时速度.
x0
x
lim (x x)3 x3
x0
x
lim 3x2x 3（x x）2 （x）3
x0
x
lim[3x2 3xx （x）2 ] 3x2 x0
f (2) 3x2 x2 12
三、导数的几何意义
若函数f (x)在点x0处有导数f (x0 )， 则曲线y f (x)在对应点M (x0 , y0 )处 有唯一的一条不垂直于x轴的切线，
且切线的斜率为f (x0 ). 曲线在点M (x0, y0 )处切线方程为：
y y0 f (x0 )(x x0 )
曲线在点M (x0, y0 )处法线方程为：
y
y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
例2：求曲线y x3在点(2,8)处的切线方程 和法线方程.
解：由前例知f (2) 12
点(2，,8)处切线方程为： y 8 f (2)(x 2)
x0 x x0
x
二、导数的定义
定义1：设函数y f (x)在点x0处的某邻域内有定义， 如果函数的改变量y f (x0 x) f (x0 )与自变量 的改变量x的比值当x 0的极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称f (x)在点x0处可导，而上述极限值称为 函数f (x)在点x0处的导数，也叫微商，有四种等价 的表达方式
k y xx0 f (x0 )
我们把终值x0 x记为x 即x x0 +x，有x x x0 则x 0就是x x0，故定义的式子可写为：
f
(
x0
)
lim
x0
y x
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
定义2：如果函数f (x)在区间(a,b)内的每一点x 处都可导，即对(a, b)内的每一点x，都对应着 一个确定的导数值
f (x) lim f (x x) f (x) x (a,b)
x0
x
则称f (x)在区间(a,b)内可导，上述极限为函数 f (x)在区间(a,b)内的导函数，简称导数
记为f (x); y; df (x) ; dy dx dx
我们用 d [ f (x)] 或 [ f (x)]表示f (x)的导数运算 dx
即 f (x) d [ f (x)] 或 f (x) [ f (x)] dx
注意
f (x0 ), f (x)的区别与联系：
区别： f (x0 )是一个数 , f (x)是一个函数；
联系： f (x0 ) f (x) xx0
例1.已知y x3,求f (x)，f (2).
解: f (x) lim f (x x) f (x)