学而思 二次根式(知识点精讲+例题解析)
二次根式知识点及典型例题(含答案)
4、不会比较根式的大小5、不会利用二次根式的非负性6、对最简二次根式的条件掌握不牢八、经典例题例1、求下列各数的平方根与算术平方根（ ）A.36B.81121 C.2-（5） D.41【答案】A.2=36±（6）∴36的平方根为6±，即6± ∴36的算术平方根为6，即B.2981=11121±（）∴81121的平方根为911±，即911±∴81121的算术平方根为911，即911 C.25=25±（）∴2-（5）的平方根为5±，即5± ∴2-（5）的算术平方根为5，即D.()241=41±∴41的平方根为 ∴41【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示．练习1、计算：（1 （2）【答案】（1）211=121（2）20.9=0.810.9±表示121的算术平方根，表示0.81的平方根，、的意义是解答本题的关键例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3∴3a-5=4∴这个数为24=16【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。
练习1、x为何值时，下列各式有意义。
【答案】解：A.10x-≥，即1x≥有意义B.10x-≥且0x≥，即01x≤≤有意义C.10x+>，即1x>-D.230x+≥，即x都有意义【解析】a≥例3、【答案】解252736<<<<即56<<的整数部分是5【解析】处在哪两个完全平方数之间.例4、:x y【答案】解：33y-1和互为相反数3y-1∴和1-2x互为相反数3y-1+1-2x=0∴:=3:2x y∴互为相反数，则a和b互为相反数，所以本题中3y-1与1-2x 互为相反数例5、实数0.5的算术平方根等于（）.D.1 2【答案】C【解析】理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.例6、的算术平方根是（）A. 4±B. 4C. 2±D. 2【答案】D【解析】4的算术平方根，4的算术平方根为2.例7、根据下列运算正确的是（）3=2 C. (x+2y)2=x2+2xy+4y2 D. A.x6+x2=x3 B.√−8√18−√8=√2【答案】解：A、本选项不能合并，错误；3=-2，本选项错误；B、√-8C、（(x+2y)2=x2+2xy+4y2，本选项错误；D、√18-√8=3√2-2√2=√2，本选项正确．故选D【解析】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．例8、）【答案】B综合练习简单1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．<1 B．≥1 C．≤－1 D．<－1【答案】B【解析】由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.2.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1【答案】D解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选D．【解析】代数式√x有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．x-13.要使式子2-x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2【答案】D解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．4. 下列计算正确的是（）=√2 D.3+2√2=5√2 A.4√3-3√3=1 B.√2+√3=√5 C.2√12【答案】C【解析】 A、4√3-3√3=√3，原式计算错误，故本选项错误；B、√2与√3不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；=√2，计算正确，故本选项正确；C、2√12D、3+2√2≠5√2，原式计算错误，故本选项错误；根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．5. 若，则＝【答案】6【解析】原方程变为：，所以，，由得：＝3，两边平方，得：＝7，所以，原式＝7－1＝6中等题1.结果是。
《二次根式》期末复习知识清单及典型例题
二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1：二次根式的定义：形如()0≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a 才有意义．【例1】下列各式()511，()52-，()232+-x ，()44，()2315⎪⎭⎫ ⎝⎛-，()a -16，()1272+-a a 其中是，二次根式的是_________（填序号）．变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、a B 、10-C 、1a +D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是． 变式：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式：1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 2、当a 取什么值时，代数式112++a 取值最小，并求出这个最小值。
【例4】已知a 是5整数部分，b 是5的小数部分，求12a b ++的值。
变式：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。
2、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求yx 12+的值. 知识点2：2、双重非负性：a a ()≥0是一个非负数．即①0≥a；②0≥a3、平方的形式（双胞胎公式）：（1）()()a aa 20=≥；（2）a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()．公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系：（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 【例5】若()04322=-+-+-c b a 则c b a +-=．变式:若1+-b a 与42++b a 互为相反数，则()2017b a -=。
二次根式知识点及例题
二次根式知识点及例题(总19页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第十六章二次根式知识点一、二次根式1.定义0)a≥a叫做被开方数．注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号．(2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0．(3)根指数是2，这里的2可以省略不写．(4)形如0)a≥的式子也是二次根式，它表示b例题：1.下列各式中，一定是二次根式的是．12x⎫<⎪⎭练习：1.下列各式中，一定是二次根式的是．0,0)x y≥≥知识点二、二次根式有意义的条件1.a≥a<2.从具体的情况总结，如下：(1)0A≥；(2)⋅⋅⋅有意义的条件：ABN≥⎧⎪≥⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪≥⎩；(3)0A>；(4)二次根式作为分式的分子如B A有意义的条件：00A B ≥⎧⎨≠⎩．例题：1.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义．11x ++练习：知识点三、二次根式的性质（重点，难点）性质10)a ≥具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a 的算式平方根，具体描述为：0；a 是非负数． 注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0． 例题：练习：则2015)(yx 的值为________．3.已知a ,b 4b +，求a ，b的值．2210b b -+=，求221a ba +-的值．性质2：2(0)a a=≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身． 注意：不能忽略0a ≥这一限制条件，导致类似24=-的错误．性质3(0)(0)a a aa a ≥⎧=⎨-<⎩，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为(0)a a =≥(0)a a -<．注意：不要认为a2-的错误． 2的区别与联系：联系 2a 与2()a 均为非负数，且当0a ≥时，22()a a =例题： 1.计算： (1) 23()5 (2)22(10)- (3) 22(3)3- (4)21(14)22.计算：(1)23()5(2)23()5- (3) 2(6)- (4)2(3.14)π-3.当m <3时，2(3)m -=_______．4.设三角形的三边长为a ，b ，c ，试化简：2222()()()()a b c a b c b a c c b a +++--+-----． 练习： 1.计算：(1) 2( 3.4) (2) 2( 3.4)- (3) 2(3)π- (4) 2(4)π-2.若23a <<，则22(2)(3)a a ---等于（ ） A . 52a - B . 12a - C . 25a - D . 21a -3.已知实数a b 、在数轴上的位置如图所示，化简：222+()a b a b +-．4.已知a 2224a a a +--的值．知识点四、二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则0,0)ab ab a b =≥≥．提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；(2),a b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的． 推广a bcd abcd =()0,0,0,0a b c d ≥≥≥≥．ab ab =a b （0,0a b ≥≥）．例题： 1.计算：(1)62⨯ (2) )32(276-⨯ (3))196()121(-⨯-(4))33)(31(+-38xy y (6)8y y2.化简：(1)1259⨯ (2) 24323.(1)比较的大小__________， (2)比较3655与的大小__________． 练习：1.计算： (1) )196()121(-⨯- (2) )33)(31(+-329y (4) 9y xy2.化简：(1)12116⨯ (2) 96323.比较6456与的大小__________，(2)比较8338与的大小__________．3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
专题05 二次根式(归纳与讲解)(解析版)
专题05 二次根式【专题目录】技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧【题型】一、二次根式有意义的条件【题型】二、利用二次根式的性质化简【题型】三、二次根式的乘除运算【题型】四、最简二次根式【题型】五、同类二次根式【题型】六、二次根式的加减【题型】七、二次根式乘除混合运算【考纲要求】1、掌握二次根式有意义的条件和基本性质(a)2＝a(a≥0)，能用二次根式的性质a2＝|a|来化简根式．2、能识别最简二次根式、同类二次根式．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.【考点总结】一、二次根式【考点总结】二、二次根式的运算【注意】1、化简二次根式的步骤（易错点）（1）把被开方数分解因式(或因数) ；（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a)2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
2、二次根式运算中的注意事项（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。
（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
【技巧归纳】技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值【类型】一、利用二次根式的定义判定二次根式1．下列式子中为二次根式的是()A.38 B.－1 C. 2 D.x(x＜0)【类型】二、利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围2．无论x取何实数，代数式x2－4x＋m都有意义，化简式子（m－3）2＋（4－m）2. 【类型】三、利用最简二次根式的定义识别最简二次根式3．把下列各式化成最简二次根式．(1) 1.25；(2)4a3b＋8a2b(a≥0，b≥0)；(3)－nm2(mn＞0)；(4)x－yx＋y(x≠y)．【类型】四、利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值4．如果最简根式b－a3b和2b－a＋2是被开方数相同的最简二次根式，那么()A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－25．如果最简二次根式3a －8与17－2a 在二次根式加减运算中可以合并，求使4a －2x 有意义的x 的取值范围． 参考答案 1．C2．解：∵x 2－4x ＋m ＝（x －2）2＋m －4，且无论x 取何实数，代数式x 2－4x ＋m 都有意义， ∴m －4≥0，∴m≥4.当m≥4时，（m －3）2＋（4－m ）2＝(m －3)＋(m －4)＝2m －7. 3．解：(1) 1.25＝54＝52. (2)4a 3b ＋8a 2b ＝4a 2（ab ＋2b ）＝2a ab ＋2b (a≥0，b≥0)．(3)由－nm2≥0，mn ＞0知：m ＜0，n ＜0，∴－nm 2＝－n m 2＝－n －m＝－－n m . (4)x －y x ＋y ＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －2xy ＋y x －y (x≠y)．4．A 点拨：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝2，3b ＝2b －a ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2.故选A .5．解：由题意得3a －8＝17－2a.∴a ＝5.∴4a －2x ＝20－2x.要使4a －2x 有意义，只需20－2x 有意义即可． ∴20－2x≥0，∴x≤10.技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧 【类型】一、估算法1．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．【类型】二、公式法2．计算：(5＋6)×(52－23)． 【类型】三、拆项法3．计算：6＋43＋32（6＋3）（3＋2）.[提示：6＋43＋32＝(6＋3)＋3(3＋2)]【类型】四、换元法4．已知n ＝2＋1，求n ＋2＋n 2－4n ＋2－n 2－4＋n ＋2－n 2－4n ＋2＋n 2－4的值．【类型】五、整体代入法5．已知x ＝13－22，y ＝13＋22，求x y ＋yx －4的值．【类型】六、因式分解法 6．计算：2＋32＋6＋10＋15.【类型】七、配方法7．若a ，b 为实数，且b ＝3－5a ＋5a －3＋15，试求b a ＋ab＋2－b a ＋ab－2的值． 【类型】八、辅元法8．已知x①y①z ＝1①2①3(x>0，y>0，z>0)，求x ＋yx ＋z ＋x ＋2y的值．【类型】九、先判后算法 9．已知a ＋b ＝－6，ab ＝5，求b ba＋a ab的值． 参考答案1.7 点拨：因为－3＜0，2＜7＜3，3＜11＜4，所以被墨汁覆盖的数为7. 2．解：原式＝(5＋6)×[52－(2)2×3]＝(5＋6)×[2×(5－6)] ＝2×(5＋6)×(5－6) ＝2×(25－6)＝19 2.3．解：原式＝（6＋3）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2）[来源:学科网]＝6＋3（6＋3）（3＋2）＋ 3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝13＋2＋36＋3＝3－2＋6－ 3 ＝6－ 2.4．解：设x ＝n ＋2＋n 2－4，y ＝n ＋2－n 2－4， 则x ＋y ＝2n ＋4，xy ＝4n ＋8.原式＝x y ＋y x ＝x 2＋y 2xy ＝（x ＋y ）2－2xy xy ＝（x ＋y ）2xy －2＝（2n ＋4）24n ＋8－2＝n.当n ＝2＋1时，原式＝2＋1.5．解：由已知得：x ＝3＋22，y ＝3－22，所以x ＋y ＝6，xy ＝1，所以原式＝x 2＋y 2－4xy xy ＝（x ＋y ）2－6xy xy ＝30.6．解：2＋32＋6＋10＋15＝2＋32（2＋3）＋5（2＋3）＝[来源:Z*xx*]2＋3（2＋3）（2＋5）＝12＋5＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－25－2＝5－23.7．解：由二次根式的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧3－5a≥0，5a －3≥0，∴3－5a ＝0，∴a ＝35.∴b ＝15，∴a ＋b ＞0，a －b ＜0. ∴b a ＋ab＋2－b a ＋ab－2＝（a ＋b ）2ab－（a －b ）2ab ＝a ＋b ab ab －b －a ab ab ＝(a ＋bab－b －a ab )ab ＝2bab. 当a ＝35，b ＝15时，原式＝215×35×15＝25. 方法点拨：对于形如b a ＋a b ＋2或b a ＋ab －2的代数式一般要变为（a ＋b ）2ab 或（a －b ）2ab 的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意a ＋b 和a －b 以及ab 的符号． 8．解：设x ＝k(k ＞0)，则y ＝2k ，z ＝3k ，∴原式＝3k 4k ＋5k ＝32＋5＝15－2 3.9．解：∵a ＋b ＝－6，ab ＝5，∴a ＜0，b ＜0. ∴b b a＋a a b ＝－b a ab －a b ab ＝－ab·⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＝－（a ＋b ）2－2ab ab ＝－36－105＝－265＝－2655. 点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解． 【题型讲解】【题型】一、二次根式有意义的条件例1、函数y =x 的取值范围是（ ）A ．0x ≤B ．0x ≠C ．0x ≥D ．12x ≥【答案】C【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案． 【详解】解：由题意得：20,x ≥0,x ∴≥ 故选：.C【题型】二、利用二次根式的性质化简例2 A ．－2 B ．2C ．2±D ．4【答案】B【分析】先将括号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案． 【详解】=2，故选：B ．【题型】三、二次根式的乘除运算例3÷ ）． A ．1 B ．53C ．5D ．9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．÷=÷==，1故选：A．【题型】四、最简二次根式例4、下列各式是最简二次根式的是（）A B C D【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】解：AB=C a，不是最简二次根式，故选项错误；D=，不是最简二次根式，故选项错误；3故选A.【题型】五、同类二次根式例5A B C D【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.【详解】解：A A选项错误；B3=，3不是二次根式，故B选项错误；C=的被开方数相同，故C选项正确；D=，D选项错误；故选：C.【题型】六、二次根式的加减例6=（）A B．C．3D．【答案】A【分析】根据二次根式的加减法法则进行运算即可【详解】=＝故选A【题型】七、二次根式乘除混合运算例7、下列各式不成立的是（）A=B=C5==D=【答案】C【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．==，A选项成立，不符合题意；33==B选项成立，不符合题意；==，C选项不成立，符合题意；==D选项成立，不符合题意；故选C．二次根式（达标训练）一、单选题1．（2021·黑龙江·逊克县教师进修学校一模）下列各式中与是同类二次根式的是()A B C D【答案】B【详解】解：A=A不符合题意；BB 符合题意；CC 不符合题意；D=D 不符合题意； 故选：B ．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 2．（2022·上海金山·二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）AB C D【答案】C【详解】解：AB ==CD == 故答案选C ．【点睛】本题主要考查了，最简二次根式的定义．即：被开方数中不含可开方的因数且分母中不含根式的二次根式，称为最简二次根式．掌握最简二次根式的定义，是解决本题的关键． 3．（2022·黑龙江绥化·三模）函数y =的自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠ B ．3x >-C ．3x ≥-且1x ≠D ．1≥x 且3x ≠-【答案】B【分析】根据二次根式的性质及分式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：由题意得， +30x >，解得-3x >，故选：B ．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质及分式的意义求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的性质及分式有意义的条件是解题的关键．4．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）下列各式正确的是（ ）A±4B 3C 8D ．4【答案】B【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法分别化简计算并判断．【详解】解：A，故该项不正确；B，故该项正确；CD、4，故该项不正确；故选：B．【点睛】此题考查了二次根式的化简，二次根式的加减法，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．5．（2022·重庆·）．A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】先化简二次根式得1.414≈，即可求出 4.242，从而得出答案．4=1.414≈，① 4.242≈，①4．故选B．【点睛】本题主要考查化最简二次根式和二次根式的减法运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．二、填空题6．（2022·m的取值范围是_____________．【答案】12m≥##0.5m≥【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得：210m-≥，解得：0.5m．故答案为：0.5m【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．7．（2022·重庆·二模）计算：（3.14﹣π）0﹣4|＝_____．【答案】3-+3【分析】首先计算零指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】解：（3.14-π）0-4|=1-（4-=1-=-故答案为：-【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．三、解答题8．（2022·山东临沂·模拟预测）计算：2|-．【答案】0【分析】直接利用绝对值的性质以及结合积的乘方运算法则、平方差公式计算、二次根式的混合运算，进而得出答案．＝0．【点睛】本题主要考查看去绝对值、积的乘方运算法则、平方差公式、二次根式混合运算，注意运算法则以及运算顺序是解题的关键．9．（2021·山东青岛·二模）若矩形的周长是(30+cm，一边长是2)cm，求它的面积．【答案】（cm2【分析】先由已知条件求出另一边的长，再利用面积公式可得．【详解】解：①矩形的周长是(30+cm，一边长是2)cm，①2）＝（cm．①矩形的面积为：（2）＝（cm2．【点睛】本题考查了二次根式的应用，矩形的周长和面积，利用周长求出矩形的边长是解题的关键．二次根式（提升测评）一、单选题1．（2022·上海崇明·二模）是同类二次根式，那么x的值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【详解】①①353-=+，x x①4x=，故选：D．【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．2．（2022·上海普陀·）A B C．D【答案】A【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．【详解】解：A.原式B.不是同类二次根式，不符合题意；C.不是同类二次根式，不符合题意；D.原式=故选：A．【点睛】本题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的概念．3．（2022·广东番禺中学三模）若3y =，则2022()x y +等于（ ） A ．1 B ．5C ．5-D ．1-【答案】A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x 的值，进而得出y 的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．【详解】解：由题意可得：20420x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：x ＝2， 故y ＝-3，①20222022()(213)=x y +=-． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．4．（2022·河北·一模）已知18y = ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】根据二次根式的非负性可知8x =，从而得到y ，代值求解即可．【详解】解：对于18y =，80x -≥≥，8080x x -≥⎧∴⎨-≥⎩，解得8x =，则18y =，==故选：A ．【点睛】本题考查利用二次根式非负性求值，涉及到二次根式的运算，熟练掌握二次根式非负性是解决问题的关键．5．（2022·重庆南开中学三模）估计 ）A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】D【分析】利用二次根式的混合运算法则将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：2①25<30<36，，2<8，即7和8之间， 故选：D ．次根式的混合运算法则是解题关键．6．（2022·贵州遵义·二模）已知a ，b 的三边的长，则这个三角形的面积是（ ） A ．32ab B ．abC ．12abD ．2ab【答案】A【分析】构造矩形ABCD ， E 、F 分别为AD 、AB 的中点，设2AD b =， 2AB a =，将所求三角形面积转化为△△△△矩形=---CEF AEF BCF CDE ABCD S S S S S 即可求解．【详解】解：如图，在矩形ABCD 中， E 、F 分别为AD 、AB 的中点， 设2AD b =， 2AB a =， ①AF BF a ==，==AE DE b ，①在Rt AEF 、Rt BCF 、Rt CDE △中，依次可得到：==EF=CFCE①△△△△矩形=---CEF AEF BCF CDE ABCD S S S S S 1112222222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯a b a b a b a b142=---ab ab ab ab32ab =． 故选：A【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键．二、填空题7．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）当1a =时，代数式()2122a a --+的值为_______．【答案】3-3-【分析】把1a =代入代数式()2122a a --+，求出其值即可．【详解】解：把1a =代入代数式()2122a a --+得：原式=))211212--+222=-+322=-+3=-故答案为：3-【点睛】本题主要考查了代数式的求值，二次根式的混合运算，运用完全平方公式计算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．8．（2022·四川广安·的结果是___________．【答案】-2【分析】根据数轴即可判断a 和b 的取值范围，即可判断(1)(1)()a b a b +--，，的符号，最后利用二次根式的性质去根号即可化简．【详解】解：由数轴可知21a -<<-，1b > ①(1)0a ，(1)0b ->，()0a b -< ①原式(1)(1)()a b a b =--+---+ 11a b a b =--+-+-2=-．故答案为：-2．【点睛】本题考查数轴、二次根式的化简，利用数轴判断出(1)(1)()a b a b +--，，的符号是解题关键．三、解答题9．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：22()(2)()x y x y x y x -----，其中1x =，1y =．【答案】xy -，2022-【分析】根据多项式乘以多项式运算法则、完全平方公式将原式进行化简，然后将1x =，1y =代入，再利用平方差公式进行计算即可．【详解】解：原式＝2222222(2)x xy xy y x xy y x --+--+- ＝22222222x xy xy y x xy y x --+-+-- ＝xy -，当1x =，1y =时，原式＝1)1)-⨯＝221⎡⎤--⎣⎦＝(20231)-- ＝2022-．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式加减乘除混合运算法则以及完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．10．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x ，y ，z 满足0xyz ≠，且0x y z ++=，则有：111x y z=++（结论不需要证明）1111923(5)30==++=- 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】(1) 【能力提升】(2)设12019=++S S 的整数部分． 【拓展升华】(3)已知0(0,0)x y z xyz x ++=≠>，其中，且3y z yz +=．111x y z--取得最小值时，求x 的取值范围．【答案】76= (2)S 的整数部分2019(3)代数式取得最小值时，x 的取值范围是103x <≤【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为1133x x ++-，再根据1133x x++-||取最小值时，确定x 的取值范围． (1)11171236==+-= (2)S ==111111111111112123134120192020=+++++++++⋯+++---- 1111111111112233420192020=+-++-++-+⋯++-12019112020=⨯+-，①S 的整数部分2019； (3)由已知得：y z x +=-，且3y z yz +=，111x y z-- 111111x y z x y z =+++-- 11z y z y x yz yz x yz yz=+++-- 11++=++-y z y z x yz x yz 1313yz yz x yz x yz =++- 1133x x =++- 1313x xx x+-=+， ①0x >， ①原式1313|31||31|+-++-=+=x x x x x x x， 当031x <≤时，|31||31|31132++-=++-=x x x x ；当31x >时，|31||31|313162++-=++-=>x x x x x ；①当031x <≤，即103x <≤时，|31||31|++-x x 取得最小值为2，①代数式取得最小值时，x 的取值范围是：103x <≤．【点睛】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点．。
二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析
【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的乘除
1. 计算：（1）（2014 秋•闵行区校级期中） ×（﹣2 ）÷
．
（2）（2014 春·高安市期中） a 8a 2 a 2 1 2a 2a a
【答案与解析】 解：（1） ×（﹣2 ）÷
举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1）
1 ；（2） 3
3 ；（3）
x2 1 ；（4）3 8 ；（5）
( 1)2 ；（6） 1 x（ x 1 ） 3
A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
2. （2016•贵港）式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
= ×（﹣2 ）×
=﹣
=﹣
=﹣ ．
(2)原式= a 8a2 a2 1 2a 2a a
2 2a2 a2 2 2a 2a 2a a
2
2a2
2a a2
2a a
4 2.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三：
【变式】 2
a2 b2 6x2
即原式= a b c a c b b c a = a b c
【总结升华】重点考查二次根式的性质：
的同时，复习了
三角形三边的性质.
二、二次根式的乘除基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的 乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
．
第一节 二次根式的相关概念-学而思培优
第一节二次根式的相关概念-学而思培优第一节二次根式的相关概念二、核心纲要1.二次根式是形如a（a≥0）的式子，称为二次根式或二次根号。
注：（1）在二次根式中，被开方数a可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。
2）a≥0为二次根式a的前提条件。
3）形如mn（m，n≥0）的式子也是二次根式，它表示m 与n的乘积。
2.二次根式的性质1）a（a≥0）具有双重非负性。
2）（a）²=a（a≥0）。
3）a²=|a|，即a²的值为a的绝对值，当a≥0时，a²=a；当a<0时，a²=|a|= -a。
注：（1）化简a²时，一般先将它化成|a|，再根据绝对值的意义进行化简。
2）*a²和（a）²的区别和联系。
区别：a²中的a可以取任意实数，而（a）²中的a必须是非负数，当a<0时，（a）²无意义。
联系：当a≥0时，（a）²=a²=a。
3.非负数的三种常见形式1）绝对值：|a|≥0.2）偶次幂：a²n（n为正整数）。
3）二次根式：a（a≥0）。
若|a|+b²+c=0，则a=b=c=0.4.积、商的算术平方根的性质1）积的算术平方根的性质：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）。
2）商的算术平方根的性质：√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）。
5.确定二次根式所含字母的取值范围若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可。
即当a≥0时，a有意义。
6.最简二次根式1）被开方数中不含分母。
即根号内无分母，分母内无根号。
2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
即开方开得尽。
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
7.同类二次根式如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
注：（1）前提条件：二次根式是最简二次根式。
(完整版)二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
〕1.〕。
A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。
〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。
x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。
8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。
m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。
二次根式知识点及典型例题
第17章:二次根式第一课时:二次根式的概念与性质知识点1:二次根式的定义:（1）(a ≥0)的式子叫做二次根式。
（2）(a ≥0)表示非负数a 的算术平方根 （3） 二次根式的要求① 根指数为2② 被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数类型一：二次根式的识别例1：已知式子 其中一定是二次根式的是 ①②④ 。
知识点2:二次根式中字母的取值范围：（1） 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。
（2） 二次根式无意义的条件：被开方数小于0 （3） 二次根式做分母时: 被开方数大于0.类型一：求字母的取值范围例1：x 取何值时，下列各式有意义？11(62501 6.6016630122102201122x x x x x x x x x x x x x ----⎧⎨-⎩+-⎧-⎪-⎨⎪-⎩--≥解：（）由题意知解得≥5且≠≠ 所以当≥5且≠有意义≥ （）由题意知＞解得＜x ≤3且x ≠2≠ 所以当＜x ≤3且x ≠2有意义类型二：根据字母隐含的的取值范围，求代数式的值（较难） 例2：x y y =若、为实数，且222224040, 14,20,2,4x x x x x x x y --=+==≥，即≥4, ≥即≤4, 所以又因为≠所以22240404,120,2432x x xx x y--∴=+∴=∴====解:由题意知:≥且≥又≠知识点3：二次根式的性质：（1）双重非负性：①被开方数为非负数，即a≥0；②二次根式的值为非负数，即a≥0（2）两个性质：性质1：（a）2= a（a≥0）语言叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
或叙述为：一个非负数先开平方再平方等于这个数本身。
性质2(0)(0)a aaa a⎧==⎨-⎩≥＜语言叙述：一个数先平方再开平方等于这个数的绝对值。
22222221==2(0),(0)1a(0)(0)(0)(0)x a x xx ax ax x xa ax x x aa aa aaa a=======⎧===⎨-⎩⎧==⎨-⎩证明：性质：设①则把把性质≥两边平方得：≥由性质得：≥所以＜≥＜类型一：简单的计算与化简例1：计算与化简2222;4=243=12.8881113(0)433(0)x xxx x⨯=⨯=-====-===-⎧-=⎨-⎩（解:(1)（≥（＜类型二：在实数范围内因式分解例2：在实数范围内因式分解。
二次根式典型例题讲解
二次根式典型例题讲解【知识要点】1的式子叫做二次根式。
注意：这里被开方数可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式，其中为二次根式的前提条件。
2、二次根式的性质：（1（2）（3（4）（53、二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。
即。
4、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。
5、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）根号下不含分母，分母中不含根号。
6、分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。
分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式。
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。
一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：①④都是最简二次根式）7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
8、二次根式的加减法二次根式的加减，就是合并同类二次根式。
二次根式加减法运算的一般步骤：（1）将每一个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。
【典型例题】例1、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（1（2（3 （4（5 （60)a ≥a 0a ≥0(0)a ≥2(0)a a =≥a )0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=0,0)a b =≥>)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅0,0)a b =≥>2(0)a a =≥a a例2、是怎样的实数时，下列各式有意义。
（1（2（3（4例3、（1；（2（3）设为的三边，化简例4、化简：（1（2（3（4）例5、把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内。
（1）（2）（3）（4）例6、计算：（1）（2）（3）（4）（5）x2,,a b c ABC∆0,0,0)x y z>>>)56(1031-⋅-(x-(1x-)484(456-⋅-)1021(32531-⋅⋅648545)321(÷-12531110845-++【模拟试题】一、填空题：1、计算：=________；=________；=________；=________。
考点04 二次根式(精讲)(解析版)
考点04.二次根式（精讲）【命题趋势】二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。
此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
【知识清单】1：二次根式的相关概念（☆☆）（1）二次根式的概念：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。
其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。
注意：被开方数a 只能是非负数。
即要使二次根式a 有意义，则a ≥0。
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）（1）二次根式的性质：1）双重非负性：a ≥0（a ≥0）；2）)0()(2≥=a a a ；32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（2）二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
3：二次根式的的运算（☆☆☆）（1）加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并。
口诀：一化、二找、三合并。
（2）乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。
二次根式的运算知识点及经典试题讲义
二次根式的运算知识点及经典试题知识点一：二次根式的乘法法则：ab b a =⋅（0≥a ，0≥b ），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；（2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如416=. 知识点二、积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=（0≥a ，0≥b ），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：（1）在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足0≥a ，0≥b 才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； （2） 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有2a 形式的a 移到根号外面. （3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：()()⨯2②利用积的算术平方根的性质b a ab ⋅=（0≥a ，0≥b ）；③利用⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a （一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外；（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简知识点三、二次根式的除法法则：baba =（0≥a ，0>b ），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质bab a =（0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0. （2）步骤：①利用商的算术平方根的性质：bab a =（0≥a ，0>b ） ② 分别对a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化，即a a =2)(（0≥a ） （3） 被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式. 要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的带分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数； (2)被开方数是多项式的要进行因式分解； (3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外； (5)化去分母中的根号； (6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.知识点与讲义3二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； (3)合并同类二次根式. 知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次 式之和或差，或是有理 式. 规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减. (1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算 (1)×； (2)×； (3)×； (4)×.解：(1)×=； (2)×==；(3)×==9； (4)×==.2、计算：(1)； (2)； (3)； (4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2； (2)==×2=2；(3)===2； (4)===2.3、化简(1)； (2)； (3)； (4)； (5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12； (2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy (5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)； (2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确改正：×=×===＝4.4、化简：(1)； (2)； (3)； (4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=(2)=(3)=；(4)=.举一反三知识点与讲义5【变式1】已知，且x 为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x ≤9，∵x 为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m ＞0，n ＞0)； (2)-3÷()× (a ＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)； (2)； (3)； (4)； (5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( ) A. B. C.D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.知识点与讲义7总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a 、b 的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；• 事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b ．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算 9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三 【变式1】计算(1)3-9+3； (2)(+)+(-)；(3)； (4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15； (2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01)解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)× (2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).（3）()()200020013232______________-+=思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.（3）略类型六、化简求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y2-6y+9=0∴(2x-1)2+(y-3)2=0∴x=，y=3知识点与讲义9原式=+y2-x 2+5x=2x +-x +5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x +)-(4y +)，其中x=，y=27．解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】.已知x=2+1，求（22121x x x x x x +---+）÷1x 的值．类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？ 解：设底面正方形铁桶的底面边长为x ，则x 2×10=30×30×20，x 2=30×30×2， x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出： a=_______(a＞0)，并验证你的结论．解：a=验证：a====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.【变式1】对于题目“化简求值：1a+2212aa+-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同．甲的解答是：1a+2212aa+-=1a+21()aa-=1a+1a－a=2495aa-=知识点与讲义11乙的解答是：1a +2212a a+-=1a +21()a a -=1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？跟踪练习21.1 二次根式： 1. 使式子4x -有意义的条件是 。
第二节 二次根式的运算(含答案)...八年级数学 学而思
第二节 二次根式的运算1.二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法法则：).0,0(≥≥=⋅b a ab b a(2)二次根式的除法法则：).0,0(>≥=b a bab a 注：①ab b a =⋅是积的算术平方根性质的逆用，此法则可推广到多个二次根式相乘，即).0,0,0(≥≥≥=⋅⋅c b a abc c b abab a =②是商的算术平方根性质的逆用，如果b a ,是负数，那b a ,无意义． 2. 二次根式的加减法(1)法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变，(2)步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简，③合并被开方数相同的二次根式．注：①与整式的加减类似，二次根式的加减，就是化简后合并被开方数相同的二次根式，合并时，只将二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变．②二次根式中的系数不能写成带分数．③二次根式的加减法也满足加法交换律和结合律． 3.分母有理化(1)分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，例如：;111aa a ⨯=①⋅-⨯+-babb a a111②(2)两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个，例如：32-的有理化因式可以是,32+也可以是),32(+a 这里的a 可以是任意不为0的有理数． 注：分母有理化因式不唯一，但运算最简便为宜，二次根式的混合运算 4. 二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，运算结果化为最简二次根式或整式．1.二次根式的乘除法 规律方法总结： 在使用性质)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 时一定要注意0,0≥≥b a 的条件限制，如果,0,0<<b a 使用该性质会使二次根式无意义，如⨯-=/-⨯-4)9()4(⋅-9同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式 的除法运算也是如此， 2. 合并被开方数相同的二次根式的方法二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并，合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 3.二次根式加减的实质(l)化筒（化为最简二次根式）． (2)合并（合并同类二次根式）． 4.二次根式加减的步骤(1)一化：将每一个二次根式化为最简二次根式． (2)二找：找出同类二次根式． (3)三合并：合并同类二次根式， 5.比较二次根式的方法(1)被开方数法，当0,0≥≥b a 时，若要比较ab 与cd 两数的大小，可先将根号外的数平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较． (2)平方法：如果,0>>b a 则.b a >如果,0b a <<则.b a <(3)估算法：若一个非负数a 介于另两个非负数c ，d 之间，则.d a c <<(4)倒数法：将两个正实数取倒数进行比较大小，再确定原来两数的大小． (5)作差法：在两个数比较大小时，经常会用到如下性质：,0≥-b a ①则.b a ≥-a ②,0≤b 则.b a ≤(6)分母有理化法：通过分母有理化，利用分子的大小来比较． 6.二次根式混合运算注意事项(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减， 整式与分式的运算法则根式中仍然适用．(2)二次根式的混合运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式．(3)二次根式混合运算中，每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算．(4)在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用，例1．计算.50511221831332++-- 检测1.（南陵县期末）计算：.27814872a a aa a a +- 例2．（绵阳校级自主招生）已知,0<xy 化简二次根式2x yx -的正确结果为( ) y A . y B -. y C -. y D --.检测2.（柘城县校级一模）把aa 1--中根号外面的因式移到根号内的结果是( ) a A -. a B -. a C --. a D .例3．（祁门县校级模拟）计算=--+-020192018)2()32()32(检测3.（江西模拟）计算：=+--+)123)(123( 例4．比较1213-与1415-的大小．检测4.（周口期末）已知,561,65-=+=b a 则a 与b 的大小关系是a .b第二节 二次根式的运算(建议用时:35分钟)实战演练1．计算5253-的结果是( )5.A 52.B 53.C6.D2．化简24的结果是( ) 2.A 2.B 22.C 24.D3．（镇赉期末）计算)52()52(+⨯-的结果是( )3.-A 3.B 7.C4.D4．与232⨯的值最接近的整数是( )3.A4.B5.C6.D5．（忻州自主招生）计算：32313123-÷的结果为( ) 32.-A 3.B 326.-C 3236.-D6．把aa 1-中根号外面的因式移到根号内的结果是( ) a A -. a B -. a C --. a D .7．下列各式与227-的乘积是有理数的是( )227.+-A 3228.+B 722.+-C 3228.-D8.甲，乙两同学对代数式)0,0(>>+-n m nm nm 分别作了如下变形：甲：;))(())((n m n m n m n m n m n m n m -=-+--=+-乙：.))((n m nm n m n m n m n m -=+-+=+-关于这两种变形过程的说法正确的是( )A ．甲，乙都正确B ．甲，乙都不正确C ．只有甲正确D ．只有乙正确 9．（上海杨浦二模）写出b a -的一个有理化因式：10.（福建洛江模拟）计算：=⨯315511（安徽模拟）8316212+-的结果是 12.计算：=--+)227(32813.（湖北襄城模拟）计算：=÷-6)272483(14.三角形周长为,)6257(cm +已知两边长分别为cm 45和,24cm 则第三边的长是 .cm 15.化简：=⋅÷y x xy x 31243216.对于任意的正数n m ,定义运算*为：⎪⎩⎪⎨⎧<+>-=*)()(m n m n m n m n n m 计算)128()23(*⨯*的结果为17.(河北博野县校级自主招生考题）比较大小：n -+11-n （填“>”或“<”)． 18.（上海虹口月考）化简：=-÷-x x 15212 =--5322;r19.王聪学习了二次根式性质公式b ab a =后，他认为该公式逆过来baba =也应该成立的，于是这样化简下面一题：=--=--327327=-⨯-=-⨯-39339)3(,39= 你认为他的化简过程对吗？请说明理由．20.（湖北黄石中考）观察下列等式：第1个等式：，122111-=+=a第2个等式：;233212-=+=a第3个等式：;322313-=+=a 第4个等式：.255214-=+=a按上述规律，回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：=n a=++++n a a a a Λ321)2(21.比较2和2111+的大小，并写出推理过程．22，计算：;)25()12(525)23()32(62)1(-⨯+--+⨯++ ⋅-++-+--++-+311102115)2(x x x x x x 拓展创新23，比较62与10223的大小． 拓展1．比较215-和0.5的大小． 拓展2．（山东临朐一模）已知：,321,321+=-=b a 则a 与b 的关系是( )1.=ab A 0.=+b a B 0.=-b a C 22.b a D =拓展3．已知a ，b 为正实数，试比较ab b a +与b a +的大小，极限挑战 24.把3333-+化为最简二次根式．答案。
二次根式知识点归纳和题型归类
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识点归纳二次方程，是一种整式方程，其未知项的最高次数是2，且各项未知数的次数只能是自然数。
一个二次方程只含有一个未知数 x，那么就称其为一元二次方程，其主要内容包括方程求解、方程图像、一元二次函数求最值三个方面；如果一个二次方程含有二个未知数x、y，那么就称其为二元二次方程，以此类推。
二次方程是一种整式方程，其未知项的最高次数是2。
根的判定是利用判别式判定。
二次方程中最常见的是一元二次方程。
二次方程根的判定解实系数一元二次方程时，必须关注解是实数还是复数，通过判断判别式的正负可以判断。
对于任意一个一元二次方程：（1）若△<0，方程无实数根，有两个复数根：（2）若△=0，方程有两个相等的实根：（3）若△>0，方程有两个不等实根。
解一元二次方程的基本思想是设法把所有方程变形成和它同解的两个最简单的一元一次方程.该方法主要是通过因式分解，把一个一元二次方程的求解问题转化为一元一次方程的求解问题，通常把这种方法也叫作降次求解方法，这种方法也适用于某些高次方程。
学好一元二次方程的第二个要求就是要会解一元二次方程，一元二次方程属于高次方程；所以我们解题的基本思路就是降次，其主要方法有四种：（1）直接开方法；（2）因式分解法；（3）配方法；（4）公式法。
二、二次方程的求根公式解ax^2+bx+c=0的解。
移项，ax^2+bx=-c两边除a，然后再配方，x^2+(b/a)x+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2[x+b/(2a)]^2=[b^2-4ac]/(2a)^2两边开平方根，解得x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。
二次根式(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题2.17二次根式（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】二次根式相关概念与性质1.二次根式0)a ≥的式子叫做二次根式，如3、7、等式子，都叫做二次根式.要点说明：0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点说明：（1）一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论aa ，再根据绝对值的意义来进行化简.2的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，与=【知识点2】二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =⨯≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点说明：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合(13=+-【考点一】二次根式的概念和性质①二次根式相关概念➽➼二次根式及取值范围【例1】使代数式4x -有意义的x 的取值范围是（）A ．4x ≠B ．3x ≥C ．3x ≥且4x ≠D ．4x ≥【答案】C【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件列不等式组解答即可．解：∵代数式y =有意义，∴3040x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：3x ≥且4x ≠，故选C ．【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【举一反三】【变式1】2得（）A ．2B ．﹣4x+4C ．xD ．5x ﹣2【答案】C【分析】根据二次函数的性质求解可得答案.解： 1-3x≥0,x≤13,∴2x-1≤1-3＜0,∴原式-(1-3x)=1-2x-1+3x=x,故选C.【点拨】主要考查了根据二次根式的意义及化简.:当a ＞0时=a;当a<0时,二次根式2=a,(a≥0).【变式2】下列说法正确的是（）A.BC=D 的化简结果是2-【答案】B【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简逐项分析判断即可．解：=C.在0a ≥，0b >=2，原说法错误；故选：B ．【点拨】本题考查了最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简，熟练掌握基础知识是解题的关键．②二次根式相关概念➽➼复合二次根式的化简【例2】如果a =b =）A ．a b =B ．a b >C ．a b<D ．1ab =【答案】A【分析】先把b 分母有理化，再比较．解：∵b =，a =∴a b =．故选：A ．【点拨】此题考查分母有理化，正确计算是解题关键．【举一反三】【变式1】比较大小错误的是（）A B 21C6D ．|11【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．解：A 、由于5<7B 2<6+2=8，而121，故正确；C 、由于5>-，则775622--->=-，故正确；D 、由于11=，故11>错误．故选：D【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式2】x 3a =没有实数根，那么a 的取值范围是．【答案】3a >．3a -，根据方程没有实数根可得30a -<，解不等式即可．3a =3a -，0，∴3a -没有实数根，即30a -<，3a ∴>，故答案为：3a >．【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a 的取值范围．③二次根式相关概念➽➼最简二次根式★★同类二次根式【例3】阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一==.根据以上材料解决【分析】根据题目所给例子直接利用完全平方公式的逆运算化简即可.【点拨】本题主要考查学生对完全平方公式的逆运算掌握运用能力.属于基础性题目.【举一反三】【变式1】a 的值是．【答案】3【分析】根据同类二次根式的定义得到215a -=，据此求解即可．∴215a -=，∴3a =，故答案为：3．【点拨】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出215a -=是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．【变式2】=．【答案】22【分析】分子，分母同时乘以有理化因式2，计算即可．(22222+=2=，故答案为：2【点拨】本题考查了二次根式的分母有理化，准确找出有理化因式是解题的关键．④二次根式相关概念➽➼分母有理化【例4】【答案】>的大小关系．解：220=+220=+>2020∴++∴故答案为：>．【点拨】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0>>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【举一反三】【变式1】若实数a b 、满足2a =，求a b +的平方根．【答案】【分析】根据算术平方根的非负性求出a 、b 的值，根据平方根的概念解答．解：∵4040b b -≥⎧⎨-≥⎩，∴44b b ≥⎧⎨≤⎩，∴4b =，把4b =代入上式得2a =，∴246a b +=+=，∴a b +的平方根为．【点拨】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b 的值是关键．【变式2】先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +=，==（a b >）．．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42，再判断是选择加法还是减法．解： 13,42m n ∴==67=13,67=42+⨯∴原式===【点拨】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．【考点二】二次根式大小比较【例5】n 是同类二次根式．求m 2+n 2的值．【答案】11【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得m 2、n 2，再代入求值即可；解：由题意得：2232410m m -=-，28m =，212n -=，23n =，28m =，23n =∴m 2+n 2＝8+3＝11；【点拨】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，字母因式是整式，被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．【举一反三】【变式1】这样的式子，还需做进一步的化简，这种方法叫分母有理化．=①==②21111-====，③参照③【分析】仿照题意进行分母有理化即可．=22-==．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确理解题意是解题的关键．【变式2】比较大小：①52+【答案】①＜；②＜【分析】①利用作差法比较大小即可；②利用分子有理化即可比较大小．解：①(5－(2=3-∵3<∴3-＜0∴5-2+故答案为：＜；==+<故答案为：＜．【点拨】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键．【考点三】二次根式的的运算【例6】计算：(2)011)(2)+-【答案】(1)4(2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可（1（2）011)(2)+-+-=2113=-+-=53=-4=+2=【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．【举一反三】【变式1】计算：(2)．【答案】(1)0；(2)10【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可；（2）先将二次根式化为最简，然后进行乘除运算即可．（1）解：原式=-（2）解：原式2=⨯0=．3=÷310=⨯【点拨】本题考查了二次根式的加减乘除运算．解题的关键在于正确的化简计算．【变式2】计算：(1)(2))()2111-+-．【答案】(1)2(2)17-【分析】（1）直接利用二次根式的性质及化简，二次根式的乘法及除法，最后算加减法；（2）利用平方差根式求解，平方根、完全平方公式求解，再算加减法．（1）解：（2）解：)()2111+-+-=314181=--+-2=17=-．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【例7】计算题(1)()101 3.1423π-⎛⎫---+-⎪⎝⎭(2)⎛+⨯ ⎝【答案】(1)4-；(2)10【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；（2）根据二次根式的运算求解即可．（1）解：()101 3.1423π-⎛⎫---+-⎪⎝⎭(2231242=--+-(22=-4=-；（2）解：⎛-⨯ ⎝41254=⨯⨯10=+10=【点拨】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．【举一反三】【变式1】计算：（102)；（22【答案】（1）2；（2）【分析】（1）先根据二次根式的基本性质以及二次根式的除法法则、零指数幂法则化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的基本性质化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可．解：（1）原式11=（2）原式=2=；=【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．也考查了零指数幂法则．【变式2】计算：092+【答案】11-【分析】先根据零指数幂的意义，二次根式的乘法和除法法则，以及去括号法则化简，再算加减即可．解：原式=912⨯+92132=++-+-11=-．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【例8】已知2x =，求代数式2(7(2x x +++的值．【答案】2+【分析】根据x 的值，可以求得22(27x ==-解：∵2x =，∴22(27x =-=-∴2(7(2x x ++++(7(2=+-+++222272=-+-+11=++2=【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键．【举一反三】【变式1】已知：y 5【答案】x y -，-4【分析】根据二次根式有意义的条件得到x =4，则y =5，再利用约分得到原式+后通分得到原式x 、y 的值代入计算即可．解：∵x -4≥0且4-x ≥0，∴x =4，∴y =5，=x y -，=45-，=-4．【点拨】本题考查了考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入求值．【变式2】先化简再求值：21b =．【答案】【分析】先将原式中二次根式化为最简二次根式再合并，根据二次根式被开方数为非负数的性质分别求出a 、b ，最后代入计算即可．解：∵1b =+，∴20a -≥，20a -≥，∴2a =，∴11b ==，原式132b a b b a=+ ==当2a =，1b =时，原式2==【点拨】本题考查的是二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式有意义的条件．解题的关键是能熟练把二次根式化为最简二次根式．。
考点02 二次根式(解析版)
考点二二次根式知识点整合1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0．（2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质（1）a ≥0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)ab a b a b =≥≥；（50,0)a a a b b b=≥>．3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除0,0)a b ab a b =≥≥；除法法则：(0,0)a aa b bb=≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一二次根式的概念及性质1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．2．二次根式的性质（1）a ≥0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)ab a b a b =≥≥；（50,0)a a a b b b=≥>．1．在函数12x y x -=-中，自变量x 的取值范围是（）A ．0x ≥且2x ≠B ．2x >C ．1x ≥且2x ≠D ．1x >且2x ≠【答案】C【分析】本题考查了函数的自变量有意义的条件，分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0，被开方数不0即可得．【详解】解：在函数12x y x -=-中，．B．．D．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．考向二二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥；0,0)a b≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．-【答案】2a-【答案】（1）5；（2）2a(1)______的解法是错误的；(2)当2a =时，求26911a a a -++-的值．【答案】(1)小亮OA=__________(1)填空：210(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：(133+(1)求出这个魔方的棱长．(2)图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分正方形(3)把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点的数为______．【答案】(1)4cm(1)则原来大正方形的边长为号）(2)求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少2 1.414,3 1.732,≈≈【答案】(1)42；2A．20cm B．5【答案】A【分析】本题考查二次根式的应用，出关系式，去括号合并即可得到结果．。
二次根式及其运算知识讲义(解析版)
专题01 二次根式及其运算知识讲义【相关概念】二次根式：a≥0）的式子叫做二次根式.a为被开方数，a可以是数字或代数式.代数式：含有字母的数学表达式称为代数式.整式、分式均为代数式.最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.【二次根式运算】乘法=a≥0，b≥0）除法=（a≥0，b ＞0）加（减）法先把各根式化成最简根式，再合并同类根式分母有理化====【二次根式性质】，a≥0非负数：|a|，a 2n()()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2a =【二次根式应用】因式的内移和外移：（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.【题型一】二次根式有意义条件例1. （2020·m 能取的最小整数值是（）A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 3【答案】B.3m －1≥0，解得：m≥13， 所以，m 能取的最小整数值是1．故答案为：B ．例2. （2020·=-，那么x 的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0.【解析】解：∵233x x +-∴x≤0，且x+3≥0，解得：－3≤x≤0，故答案为：－3≤x≤0.例3．（2019·=x 的取值范围是______. 【答案】x≥2.=∴x≥0，x−2≥0，∴x≥2.故答案为：x≥2.【题型二】同类二次根式例4. （2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________．【答案】4.【解析】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意，，即5m+8=28时，m=4，是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，故答案为：4．例5. mn =_________．【答案】10.∴n=2，2m-5=5，∴m=5，n=2∴mn=10故答案为：10．例6. mn＝________．【答案】21.∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴mn=21故答案为：21.【题型三】变式考查例7. （2020·浙江宁波市期中）我们把形如b（a，b为最简二次根式）32是（）A型无理数B C型无理数D型无理数【答案】B.【解析】解：2故答案为：B．例8. （1n所有可能的值；（2是整数，求正整数n的最小值．【答案】（1）自然数n 的值为2、9、14、17、18；（2）正整数n 的最小值为6．【解析】解：（1是整数，∴18-n=0或1或4或9或16，解得：n=18或17或14或9或2，则自然数n 的值为2，9，14，17，18；（2=是整数，n 为正整数，∴正整数n 的最小值为6．例9．（2020·21x =-，则x=__________． 【答案】12或1.21x =-，∴2x-1=0或2x-1=1，解得：x=12或x=1． 故答案为12或1． 【题型四】二次根式运算例10．（2020·周长为( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A.若，，则周长为若，∴，此三角形不存在，∴个三角形的周长为故答案为：A ．例11)2211-．)2211--1313=--+-=例12．（2020·福建省泉州月考）已知1x =，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求a b的值．.【解析】解：∵3，∴+1<4，故a=3，－2，∴)3232274a b ====-. 例13．（2020·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由222=-= 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是；(2)= ．（直接写结果）>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+【答案】（1+1；（2）；（3）<；（4）2017.【解析】解：（1+1；（2333==+；（3=>（4）原式=)120181+=)11=2018-1=2017．例14. 若a，b都是正整数，且a＜b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，＝a，b的值；若不存在，请说明理由．【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.，m、n为正整数，m＜n，∴m=1，n=4或m=2，n=3故a=3，b=48或a=12，b=27．例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：11112=+-=；11123=+-=；11134=+-=；……[发现]根据你的阅读回答下列问题：（1）请根据上面式子的规律填空：=（n为正整数）；（2）请证明(1) 中你所发现的规律．[应用]请直接写出下面式子的结果：11n++=．【答案】[观察]32，76，1312；[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++；（2）证明见解析；[应用]221n nn++．【解析】[观察]32，76，1312，[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++（2）左边=====∵n 为正整数，∴()11111011n n n n +-=+>++ ∴左边=右边[应用11n +++111111111111223341n n =+-++-++-+++-+…… 1111n n =⨯+-+ 1n n n =++ 22=1n n n ++. 【题型五】化简求值例16. （2021·江苏南通市期末）化简2+的结果是（ ） A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1 【答案】A.【解析】解：∵二次根式被开方数为非负数，∴7-x≥0，则x≤7∴x-8＜0，原式=7-x+8-x=15-2x故答案为：A ．例17．（2020·浙江杭州期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图，||a b -的结果为（ ）A ．2aB ．2a -C ．2bD ．2b -【答案】B.【解析】解：由题意得：a ＞b ，|a |＜|b |，a ＞0，b ＜0，∴a -b ＞0，a +b ＜0，∴原式＝-a -b -a +b ＝-2a ，故答案为：B ．例18．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简3x + ） A ．4x - B ．4x C ．2x - D ．2x【答案】C.【解析】解：∵数x 的点在原点的左边，∴x ＜0，∴原式＝|3x +|x ||＝|3x -x |＝|2x |＝-2x ．故答案为：C ．例19．（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a -的值相等的是（） AB ．CD ．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a>0，得：a<2021，∴a-2021<0，∴原式=(2021a --== 故答案为：D ． 例20．下列给出的四个命题：①若a b = ，则a a b b =；②若a 2﹣5a+5=01a =- ；③(1a -=其中是真命题是【答案】②.【解析】解：①当a=-1，b=1时，命题不成立，是假命题，②a 2=5a-5，∴5a-5≥0，即a≥1，，是真命题；③(a -==，是假命题， 故答案为：②．【题型六】阅读材料例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a ，b ）表示一对数对．给出如下定义：记m=，n = a ＞ 0，b ＞ 0），将（m ，n ）与（n ，m ）称为数对（a ，b ）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）和（1，12）； （1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；（2）若数对（3，y ）的一对“对称数对”相同，则y 的值为 ；（3）若数对（x ，2）的一个“对称数对”，1），则x 的值为 ；（4）若数对（a ，b ）的一个“对称数对”，，求ab 的值．【答案】（1）1(3与1)3， ；（2）13；（3）1 ；（4）16或6.【解析】解：（1）由题意得13=，∴数对(9，3)的一对“对称数对”是1(3与1)3，；（2）由题意得，∴数对(3，y ）的一对“对称数对”为⎝与⎭， ∵数对(3，y ）的一对“对称数对”相同，= ∴y=13；（3）∵数对(x ，2)的一对“对称数对”是与而数对(x ，2)的一个“对称数对”，1）， 1=， ∴x=1；（4）∵数对(a ，b)的一对“对称数对”是与，而数对(a ，b)的一个“对称数对”是，==1,183a b == ∴11863ab =⨯=；==1,318a b ==， ∴113186ab =⨯=，综上所述，16ab =或6ab =． 例22. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．．11==． 类比应用：（1= ； （29++=+ ． 拓展延伸：的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽AB =1． （1）黄金矩形ABCD 的长BC = ；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE ，则点D 到线段AE 的距离为 ．【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）12；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3【解析】解：类比应用：（1）根据题意可得：== （2）根据题意可得：9++(9+++19-+-1=2；拓展延伸：（1的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD 的宽AB =1，则黄金矩形ABCD 的长BC； （2）矩形DCEF 为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=1=∴FD=EC=AD-AF=112-=12，∴DF EF =11122÷=，故矩形DCEF 为黄金矩形；（3）连接AE ，DE ，过D 作DG ⊥AE 于点G ，∵AB=EF=1，，∴=在△AED 中，S △AED =1122AD EF AE DG ⨯⨯=⨯⨯，即AD EF AE DG ⨯=⨯1DG =，解得∴点D 到线段AE 的距离为4+. 例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：====1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1...+（2）已知 m 是正整数， ab且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ． （31=【答案】（1）12；（2）2；（3）9. 【解析】解：（1）原式12019+2222=+++2019++== （2）∵ab∴=2（2m+1），=1∵2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴2（a 2+b 2）+1823=2019∴a 2+b 2=98∴4（2m+1）2=100∴m=2或m=-3∵m是正整数∴m=2．（31=，得：21=20=2281=-+=0≥≥．例24.（2020·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如23=，25=，下面我们观察：)2221211213=-⨯=-=-23211)-=-=，∴231)-=1= 求：（1；（2（3=，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．【答案】（11；（21；（3）m+n=a ，mn=b ，理由见解析.【解析】解：（11；（21==；（3）m+n ＝a ，mn ＝b.=∴2a =+，∴，∴m+n ＝a ，mn ＝b.例25．（2020·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1= 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3．【答案】（1）2(1+；（21；（3【解析】解：（1）22231(1+=+=+（21==（3==。
专题12 二次根式(知识点串讲)(解析版)
专题12 二次根式知识网络重难突破知识点一二次根式的定义与性质1、二次根式的定义a）叫做二次根式，“a”叫做被开方数．2、二次根式有意义的条件a（1）有意义：由二次根式的定义可知，当0（2）无意义：因为负数没有算术平方根，所以当0a <时，没有意义．3、二次根式的性质（10a ）的非负性（0a ）表示a （0a 0（0a ）．（2）二次根式2的性质：2a =（0a ）（3()()00a a a a ⎧⎪=⎨-<⎪⎩典例1（2019x 的取值范围是 6x ． 【解答】解：由题意得，60x -， 解得，6x ， 故答案为：6x ． 典例2（2019秋•松桃县期末）计算2的结果是( ) A ．2-B ．2C ．2±D ．4【解答】解：22=，故选：B ． 典例3（2019春•徐州期末）如图所示，数轴上点A 所表示的数是a 的结果为 1a -- ．【解答】解：由数轴知1a <-， 则10a +<，∴原式|1|(1)1a a a =+=-+=--，故答案为：1a --．知识点二 二次根式的运算1、最简二次根式一般地，化简二次根式就是使二次根式： （1）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含分母； （3）分母中不含根号．这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式．注：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 2、二次根式的乘除二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=0b>）．a，0b）=0a，03、二次根式的加减二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式．典例1（2019是同类二次根式的是()A B C D【解答】解：A不是同类二次根式；B不是同类二次根式；C=D=不是同类二次根式；故选：C．典例2（20190,0)x y>的结果是．x y>0,0)==．．典例3（2019春•徐州期末）计算：（1|1-（2）(3+【解答】解：（1）原式1=1=-；（2）原式97=-23=+5=．巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2019()A．32B．32-C．32±D．8116【解答】解：原式32 ==，故选：A ．2．（2019春•南京期末）下列运算中错误的是( )A B ．=C2=D 4=【解答】解：A 、原式A 选项的计算正确；B 、B 选项的计算错误；C 、原式2=，所以C 选项的计算正确； D 、原式4=，所以D 选项的计算正确．故选：B ．3．（2019春•惠山区期末）下列运算正确的是( )A B 123=C =D 2【解答】解：AB =C ，故本选项错误；D 2=，故本选项正确．故选：D ．4．（2019春•常熟市期末）下列二次根式是最简二次根式的是( )AB C D【解答】解：（A ）原式=，故A 错误；（C ）原式C 错误；（D）原式=D错误；故选：B．5．（2019春•相城区期末）下列二次根式中与()A B C D【解答】解：A=A不符合题意；B=B符合题意；C=C不符合题意；D3=，与D不符合题意；故选：B．6．（2019春•锡山区校级期末）已知24<<+()aA．25-C．3-D．3a-B．52a【解答】解：24a<<，∴a a=-+-，|1||4|a a=-+-，14=，3故选：D．二、填空题（共5小题）7．（2020x 的取值范围为 2x - ． 【解答】解：根据题意得，20x +， 解得2x -． 故答案为：2x -．8．（2019==故答案为9．（2019春•鼓楼区期末）写一个无理数，使它与2的积是有理数： 2【解答】解：写一个无理数，使它与2+的积是有理数2故答案为：2-10．（20191+．（填“>”“ <”或“=” )【解答】解：25=，21)3=+1>，∴21)5>，∴1．故答案为：<11．（2019春•兰陵县期末）已知2a =2b =22a b ab += 4 ．【解答】解：2a =+2b =-∴原式()ab a b =+(22=+-(43)4=-⨯14=⨯4=，故答案为：4．三、解答题（共2小题）12．（2019春•苏州期末）计算或化简（1+（2）2 (3)+【解答】解：（1）原式==（2）原式11=-=．13．（2019春•盐城期末）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理11等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．==；1==；⋯请仿照上述过程，化去下列各式分母中的根号．（1；（2n为正整数）【解答】解：（1）原式==（2）原式=。
第一节 二次根式的相关概念(含答案)...八年级数学 学而思
第一节 二次根式的相关概念1.二次根式的定义一般地，我们把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式，注：①从形式上看，二次根式必定含有称为二次根号；)0(≥a a ②是一个非负数；③a 可以是一个数，也可以是一个单项式或多项式；0≥a ④是a 为二次根式的前提条件； ⑤形如)0(≥n n m 的式子也是二次根式，它表示m 与n 的乘积．2．二次根式的性质a )1(具有双重非负性：.0;0≥≥a a)0())(2(2≥=a a a （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0(,0,0)0(,||)3(2a a a a a a a 或⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a 或⎩⎨⎧⋅≤->==)0()0(||2a a a a a a 注：①化简2a 时一定要先将它化为|,|a 再根据绝对值的意义进行化简． ②注意2a 与2)(a 的区别与联系．3．积的算术平方根的性质).0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a注：① a ，b 无论是数，还是代数式都要有.0,0≥≥b a②如果被开方数不是积的形式，必须化成积的形式，才能应用上述积的算术平方根的性质，其他情况是不能套用的，如b a b a +=/+等．③公式)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a 可以推广到多个非负因数的情况，如).0,0,0,0(≥≥≥≥⋅⋅⋅=d c b a d c b a abcd4.商的算术平方根的性质).0,0(>≥=b a ba b a 5.最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．1.二次根式有无意义的条件(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．2.二次根式的性质与化简要学会利用二次根式的两个非负性进行解题，注：①利用a a =2)(时，一定要注意0≥a 这一条件．②利用|,|2a a =不要出现a a =2这一错误．它相等的条件是.0≥a3.公式)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a 的主要用途是把被开方数中是完全平方的因式的算术平方根移到根号外边来，如.25525125=⨯=,555=反过来，利用这性质也可以将根号外边的正因数（式）带上平方后移到根号里面去，例如：x xx x x ===⨯=1.1;1232322等． (1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式，如：不合有可化为平方数或平方式的因数或因式的有y x a a +≥),0(,3,2等：含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有22222,)(,,9,4y xy x y x a +++等．5. 同类二次根式的判断(1)同类二次根式类似于整式中的同类项．(2)几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．(3)判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．6.化简二次根式的步骤(1)把被开方数分解因式；(2)利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；(3)化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．7.非负数的常见三种形式(1)绝对值：.0||≥a （n 为正整数）．(2)偶次幂：02≥n a(3)二次根式：).0(0≥≥a a例1.如果x--35是二次根式，那么x 应适合的条件是( ) 3.≥x A 3.≤x B 3.>x C 3.<x D检测1.如果53+-x 是二次根式，则x 的取值范围是( ) 5.-=/x A 5.->x B 5.-<x C 5.-≤x D例2．化简：;500)1( ).0(1249)2(>x xy 检测2.（湖北黄冈期末）把34化为最简二次根式，结果是例3．实数c b a ,,在数轴上的对应点如图6-1-1所示，化简||||2c b c b a a ---++116--检测3.若实数c b a ,,在数轴的位置，如图6—1—2所示，则化简=--+||)(c b c a6-1-2例4．若x ，y 是实数，且,2111+-+-<x x y 求1|1|--y y 的值为检测4. 已知,21121x x y -+-+=则y x 32+的值为倒5．已知：n 是正整数且n 2107是整数．(1)求n 的最小值；(2)试写出满足21072107≤n 的n 的所有可能值，检测5.已知n -13是整数，则正整数n 的最大值和最小值分别是例6．若,2)3()1(=-+-a a 则a 的取值范围是( )3.≥a A 1.≤a B 31.≤≤a C 1.=a D 或3=a检测6.（澄海区校级模拟）化简=--+-22)32(441x x x例7．已知最简二次根式a b -b 3和22+-a b 是同类二次根式．(1)求a ，b 的值； (2)求20203a b +的值，检测7.已知：最简二次根式b a +4与b a -23是同类二次根式，则=+b a第一节 二次根式的相关概念(建议用时:30分钟)实战演练1．二次根式)0(≥a a 是( )A ．正数 B.负数 0.C D.非负数2.下列式子中：,0,5,3s ),0(,35,25>a a 二次根式的个数是( )A ．2个B ．3个 C.4个 D ．5个3．已知,10<<x 那么在2,,1,x x xx 中最大的是( ） x A . x B 1.x C . 2.x D 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是( )3.0.A xy B 52. 1.+a C ab D 7. 5．（江苏淮安二模）下列各式中与12是同类二次根式的是( )6.A 32.B 18.C 75.D6．（湖北咸丰三模）要使式子231+---x x x 有意义，则x 的取值范围是( ) 1.>x A 1.≥x B 1.≥x C 且3=/x 3.≥x D7．（上海杨浦三模）如果,12)21(-=-a a 那么( )21.<a A 21.≤a B 21.>a C 21.≥a D )2(23.8≤--x x 的最大值是( )6.A 5.B 4.C 3.D9．已知46+n 是整数，则正整数n 的最小值为( )2.A3.B4.C5.D10.（山西模拟）若实数α满足,21=-a 则a 的值为11．当a 为任意实数时，下式是二次根式的有,10+a ,a ,2a ,1-a .1+a a 22512+的最小值是 13．已知05z 4)2(2=-+-+-y x 则xyz 的值为14.化简：=>)0(122y x y 15．观察分析下列数据，寻找规律：ΛΛ30,5,52,15,10,5,0---则第100个数据应是16.（江苏上城一模）要使代数式23422++-x x x 的值为0，则x 的值为 17.计算：=-22102618.已知,2,32==b a 且,0<⋅b a 则=++3b a19.已知,42332--+-=x x y 则2y x -的值为20．n -18是整数，则自然数n 的值为21.（浙江宁波中考）已知：,0<a 化简=-+-+-)1(4)1(42a a a a 22.已知：,2188+-+-=x x y 则22-+-++xy y x x y y x 的值为 23.（浙江杭州模拟）阅读材料，解答问题．例：若代数式)4()2(-+-a a 的值是常数2，则a 的取值范围分析：原式=|,4||2|-+-a a 而||a 表示数x 在数轴上的点到原点的距离，|2|-a 表示数a 在数轴上的点到数2的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．解：原式|4||2|-+-=a a在数轴上看，讨论a 在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边，分析可得a 的范围应是.42≤≤a(1)此例题的解答过程了用了哪些数学思想？请列举：(2)化简.)7()3(2-+-a a24.观察下列各式：;52258522==-① ;103310271033r==-② ⋅==-174417641744③ (1)根据你发现的规律填空：=-2655 (2)猜想n n n n n ,212≥+-（为自然数）等于什么，并通过计算证实你的猜想． 拓展创新 25.化简与求值．先化简,21a a a +++然后再求出2-=a 时，原代数式的值．拓展1．先化简,212a a a +++然后再求出3=a 时，原代数式的值，拓展2．先化简221a a a +-+然后再求出3=a 时，原代数式的值．拓展3．已知⎩⎨⎧<->+,0101a a 化简.2121a a a a +-+++极限挑战26.因为,12)12(2121)2(223222-=-=⨯⨯-+=- 即.12223-=- 因为,32)32(3222)3(347223-=-=⨯⨯-+=-即.3237-=- 请你根据以上规律，化简下列各式：;625)1(- .32)2(-答案。
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二次根式
知识点精析
二次根式
1、定义：形如a ）（0≥a 的式子，称为二次根式。
)0(≥a a 12+a
2、最简二次根式：
①被开方数的因数是整数，因式是整式
②被开方数中不能含开得尽方的因数或因式
③分母中不含
如：12 18 4.6
32 32 2a 23a a +
3、二次根式的化简
如： 16 81
1 42b a 24-）（ ② ）（0)(2≥=a a a
（2）乘法法则逆应用 b a b a ⋅=⋅ （0,0≥≥b a ）
如：b a 2（a ＞0） 8 32 512
（3）除法法则逆应用 b
a b a = （0,0≥≥b a ） 如：
a 1 4
3 （4）分母有理化
常用公式： ）（0)(2≥=a a a
22))((b a b a b a -=+-
如：
a 1 3-21 321+ 5323+ 5
-323
4、同类二次根式
①几个根式化成最简二次根式后，被开方数相同
如：812与 4
312与 520与
②同类二次根式的加减
先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并， 合并方法为系数相加减，根式不变．
5、二次根式的运算法则
加减法： m b a m b m a )(±=±
乘法： b a b a ⋅=⋅ （a ≥0，b ≥0）
除法： b
a b a = （0,0＞b a ≥） m m a a =)( （0≥a ）
若0b ＞＞a ，则0b ＞＞a
乘法公式推广：
① n 321321a a a a a a a a n ⋯⋯⋅⋅⋅=⋯⋯⋅⋅
（ 0000n 321≥⋯⋯≥≥≥a a a a ，，，） ②b ab a b a ++=±22）（
③ b a b a b a -=-+))((
例题解析
【例1】判断下列各式是不是最简二次根式 6 8 12 15 18
20 24 48
500 21 81 43
322 2.1
【例2】（1）在二次根式322,,9
,8,5a b a c a a +中最简二次根式有（ ）个。
A.1 B.2 C.3 D.4
（2）下列各种二次根式中，属于同类二次根式的为（ ）
A.122与
B.212与
C.22ab b a 与
D.11-+a a 与
【例3】（1）已知最简二次根式a b b -3和2b 2+-a 是同类二次根式，则 a=______ b=________
(2)若最简二次根式11352103+--+-y x y x x 和是同类二次根式，求x,y 平方和的算术平方根。
【例4】（1）较大小 ①33_____72
②3
121-______41- ③5-71_______3-51
④
2001-2002______2000-2001
(2)把下列各式中根号外的因式移入根号内，然后用“<”连接。
32 23- 1.010- 313 4
112-
【例5】下列计算中，正确的是（ ）。
A.2122423=⋅ B.3
2)3(3232⨯-=- C.259)25()9(-⋅-=-⋅- D.())1213(1213121322-+=-
【例6】计算。
①714⨯ ②10253⨯ ③3
24
④
18123÷ ⑤254322÷⨯ ⑥3
222351345⨯÷
⑦ ）（2-27-328+。