2011四川成都中考数学

成都市二○一一年高中阶段教育学校统一招生考试试卷
（含成都市初三毕业会考）
数 学
注意事项：
1. 全卷分A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50分；考试时间120分钟．
2. 五城区及高新区的考生使用答题卡作答，郊区(市)县的考生使用机读卡加答题卷作答．
3. 在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡(机读卡加答题卷)上。

考试结束，监考人员将试卷和答题卡(机读卡加答题卷) 一并收回．
4．选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5．请按照题号在答题卡(机读卡加答题卷)上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
6．保持答题卡面(机读卡加答题卷)清洁，不得折叠、污染、破损等．
A 卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题：（每小题3分，共3 0分)每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求。

1. 4的平方根是 C
(A)±16 (B)16 (C )±2 (D)2
【答案】C
2．如图所示的几何体的俯视图是 D
【答案】D
3. 在函数x y 21-=自变量x 的取值范围是 A (A)21≤
x (B)21<x (C)21≥x (D)2
1>x 【答案】A
4. 近年来，随着交通网络的不断完善，我市近郊游持续升温。

据统计，在今年“五一”期间，某
风景区接待游览的人数约为20.3万人，这一数据用科学记数法表示为 B
(A)4
103.20⨯人 (B)5
1003.2⨯人 (C) 4
1003.2⨯人 (D)3
1003.2⨯人 【答案】B
5．下列计算正确的是 D
（A ）2x x x =+ (B)x x x 2=⋅ (C)5
32)(x x =
(D)2
3x x x =÷
【答案】D
6．已知关于
x 的一元二次方程)0(02≠=++m k nx mx 有两个实数根，则下列关于判别式
mk x 42-的判断正确的是 C
(A) 042<-mk n (B) 042=-mk n
(C) 042>-mk n (D) 042≥-mk n 【答案】C
7．如图，若AB 是⊙0的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°， 则∠BCD =（ B ）
(A)116° (B)32° (C)58° （D)64°
【答案】B
8．已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 C (A)0>m (B)0<n (C)0<mn (D)0>-n m
【答案】C
9. 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体
育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中提供的信息，这50人一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是 A (A)6小时、6小时 (B) 6小时、4小时 (C) 4小时、4小时 (D)4小时、6小时
5101520253
4
6
8
10
时间
【答案】A
10． 已知⊙O 的面积为29cm π，若点0到直线l 的距离为cm π，则直线l 与⊙O 的位置关系是C (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定 【答案】C
第Ⅱ卷《非选择题，共7()分)
二、填空题：(每小题4分，共l 6分) 11. 分解因式：122++x x = . 【答案】2)1(+x .
12. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 的中点，若DE =4, 则AB = .
【答案】8.
13. 已知1=x 是分式方程x
k
x 311=+的根，则实数k =___________. 【答案】
6
1. 14. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1，将Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到R
t △ADE ，点B 经过的路径为BD ，则图中阴影部分的面积是___________.
【答案】π6
1.
三、解答题：(本大题共6个小题，共54分) 1 5. (本小题满分12分，每题6分)
(1)计算：30cos 2°20110)1()2010(33-+---+π.
【答案】原式=11332
3
2-⨯-+⨯ =2.
（2）解不等式组：⎪⎩⎪
⎨⎧+<-≥+31221302x x x ，并写出该不等式组的最小整数解.
【答案】解：设02≥+x 为①，
3
1
2213+<
-x x 为②， 解不等式①得：2-≥x ，解不等式②得：1<x ， ∴不等式组的解集为12<≤-x ，
∴该不等式组的最小整数解是-2.
16．（本小题满分6分）
如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B 处时，发现灯塔A 在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B 处向正西方向行驶至达C 处时，发现灯塔A 在我军舰的北偏东60°的方向.求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值)
北
东
【答案】解：由题意可知，在Rt △ABC 中，AB=500m ，∠ACB=90°－60°=30°，
∵tan ∠ACB =BC
AB
, ∴BC=
350030
tan 500
tan 0
==∠ACB AB （m ）， ∴该军舰行驶的路程为3500米.
17.(本小题满分8分) 先化简，再求值：12)113(
2
--÷--+x x x x x x ，其中2
3
=x . 【答案】解：原式=21
1)1()1(322
--⋅-+--x x x x x x x =2
422--x x x =2)
2(2--x x x =x 2.
当2
3
=x 时，x 2=232⨯=3.
18．(本小题满分8分)
某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容。

规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用代码123B B B 、、表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码123J J J 、、表示）中抽取一个进行考试.小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机地各抽取一个题签.
（1）用树状图或列表法表示出所有可能的结构；
（2）求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标（例如“1B ”的下表为“1”）均为奇数的概率.
【答案】解：（1）方法一：画树状图
方法二：列表如下
（B 1 ，J 1 ），（B 3，J 1 ），（B 1 ，J 3 ），（B 3，J 3 ），共4种，所以求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标均为奇数的概率为9
4.
19.（本小题满分10分） 如图，已知反比例函数)0(≠=
k x k y 的图象经过点（2
1
，8），直线b x y +-=经过该反比例函数图象上的点Q(4，m )．
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；
(2)设该直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为P ，连结0P 、OQ ，求△OPQ 的面积．
【答案】解：（1）由反比例函数的图象经过点（
21，8），可知482
1=⨯=⋅=y x k ，所以反比例函数解析式为x
y 4=，∵点Q 是反比例函数和直线b x y +-=的交点，∴144
==m ，∴点Q 的
坐标是（4，1），∴514=+=+=y x b ，∴直线的解析式为5+-=x y .
（2）如图所示：由直线的解析式5+-=x y 可知与x 轴和y 轴交点坐标点A 与点B 的坐标分别为（5，0）、（0，5），由反比例函数与直线的解析式可知两图像的交点坐标分别点P （1，4）和点Q
（4，1），过点P 作PC ⊥y 轴，垂足为C ，过点Q 作QD ⊥x 轴，垂足为D ，
∴S △OPQ =S △AOB -S △OAQ -S △OBP =21×OA ×OB -21×OA ×QD -2
1
×OB ×PC =21×25-21×5×1-21×5×1=2
15.
20．(本小题满分10分)
如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点. (1)若BK =
52KC ，求AB
CD 的值； (2)连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE =
1
2
AD 时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE =1
n
AD (2 n )，而其余条件不变时，线
段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
【答案】解：（1）∵AB ∥CD ，BK =
52KC ，∴AB CD =BK CK =5
2
. （2）如图所示，分别过C 、D 作BE ∥CF ∥DG 分别交于AB 的延长线于F 、G 三点，
∵BE ∥DG ，点E 是AD 的点，∴AB=BG ；∵CD ∥FG ，CD ∥AG ，∴四边形CDGF 是平行四边形，
∴CD=FG ；
∵∠ABE =∠EBC ，BE ∥CF ，∴∠EBC =∠BCF ，∠ABE =∠BFC ，∴BC =BF ， ∴AB-CD=BG-FG=BF=BC ，∴AB=BC+CD .
G
当AE =1
n
AD (2>n )时，（1-n ）AB=BC+CD .
B 卷(共50分)
一、填空题：(每小题4分，共20分)
21．在平面直角坐标系xOy 中，点P(2，a )在正比例函数1
2
y x =的图象上，则点Q( 35a a -，
)位于第______象限． 【答案】四．
22．某校在“爱护地球 绿化祖图”的创建活动中，组织学生开展植树造林活动．为了解全校学生
的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如下表：
则这100估计该校学生的植树总数是__________棵． 【答案】5.8，
5800．
23
．设122
11=112S +
+,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 22
11=1(1)n S n n +++ 设...S =，则S=_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．
【答案】122++n n
n ．
22111(1)n S n n =+
++=21111[]2(1)(1)n n n n +-+⨯++=2
111[]2(1)(1)
n n n n ++⨯++
=21
[1](1)
n n +
+
∴S=1(1)12+⨯+1(1)23+⨯+1(1)34+⨯+…+1
(1)(1)
n n ++122++=
n n n . 接下去利用拆项法
111
(1)1
n n n n =-
++即可求和．
24．在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90°，AB =6，BC =8．过点A 作直线l 平行于BC ，折叠
三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的T 处，折痕为MN ．当点T 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动．若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上移动，则线段AT 长度的最大值与最小值之和为_________ (计算结果不取近似值)．
【答案】7214-.
25．在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数2(0)k
y k x
=
≠满足：当0x <时，y 随x 的增
大而减小．若该反比例函数的图象与直线y x =-都经过点P ，且OP =则实数
k=_________. 【答案】
3
7. 二、解答题：(本大题共3个小题，共30分) 26．(本小题满分8分)
某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设A B 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米．
(1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)．当x 为何值时，S 取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值；
(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为1O 和
2O ，且1O 到AB 、BC 、AD 的距离与2O 到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植
区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S 取得最大值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．
【答案】（1）1800)30(2)2120(2+--=-=x x x S ，当30=x 时，S 取最大值为1800．
（2）如图所示，过1O 、2O 分别作到AB 、BC 、AD 和
CD 、BC 、AD 的垂直，垂足如图，根据题意可知，I O H O G O J O F O E O 222111=====；当S 取最大值时，AB =CD =30，BC =60， 所以152
1
O O O O 2211=====AB I G J F ， ∴15O O 21==H E ，
∴301515602121=--=--=H O E O EH O O ，
∴两个等圆的半径为15，左右能够留0.5米的平直路面，而AD 和BC 与两圆相切，不能留0.5米的平直路面.
27．(本小题满分10分)
已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心，OA 长为半径作⊙0，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥AC ，垂足为K ．过D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．
(1)求证：AE =CK ；
(2)如果AB =a ，AD =
1
3
a (a 为大于零的常数)，求BK 的长；
(3)若F 是EG 的中点，且DE =6，求⊙O 的半径和GH 的长． 【答案】
解：（1）∵DH ∥KB ，BK ⊥AC ，∴DE ⊥AC ，
∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠EAD =∠KCB ， ∴Rt △ADE ≌Rt △CBK ，∴AE =CK . （2）在Rt △ABC 中，AB =a ，AD =BC =
13a ，∴22BC AB AC +==22)31(a a +=3
10a
， ∵S △ABC =21AB ×BC =21AC ×BK ，∴BK =AC BC AB ⨯=3
1031
a a
a ⨯=a 10
10. （3）连线OG ，∵AC ⊥DG ，AC 是⊙O 的直接，DE =6，∴DE =EG =6，又∵EF =FG ，∴EF =3；∵Rt △ADE ≌Rt △CBK ，∴DE =BK =6，AE =CK ， 在△ABK 中，EF =3，BK =6，EF ∥BK ，∴EF 是△ABK 的中位线，∴AF =BF ，AE =EK =KC ；在Rt △OEG 中，设OG =r ，则OE =
r r AC 3
1
26161=⨯=，EG =6，222OG EG OE =+，∴2226)31(r r =+，∴2
29=r . 在Rt △ADF ≌Rt △BHF 中，AF =BF ， ∵AD =BC ，BF ∥CD ，∴HF =DF ，
∵FG =EF ，∴HF -FG =DF -EF ，∴HG =DE =6.
28．(本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知:1:5OA OB =，OB OC =，△ABC 的面积15ABC S ∆=，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠ 经过A 、B 、C 三点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；
(3)在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC
边上的高为点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：（1）设x OA =，则x OC OB 5==，
S △ABC =
21（OB OA +）×OC =x x 5621⨯⨯=2
15x =15， ∴1=x （负值不合题意，已经舍去），根据抛物线与坐标轴交
点的位置，可知A 、B 、C 三点的坐标分别是（-1，0）、（5，0）、（0，-5），代入抛物线c bx ax y ++=2，列方程组为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==++=+-505250c c b a c b a ，解得：1=a ，4-=b ，5-=c ，∴抛物线的解析式为：542--=x x y ．
（2）如图所示：E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，设该点的横坐标是m ，抛物线的对称轴为2=x ，根据轴对称图形的性质可知，对应点F 的横坐标是m -4，EF =42)4(-=--m m m ，若E 在x 轴上面，则对应的函数值是正数，若E 在x 轴下面，则对应的函数值是负数，若矩形EFGH 为正方形时，则EF =GH =FG =EH ，∴
54422--=-m m m ，当 54422--=-m m m 时，解得：
103+=m （其中103-不合题意，已经舍去），则
EF =4)103(2-+=102+，正方形的边长为102+；当
)54(422---=-m m m ，解得：101+=m （其中101-不合题意，已经舍去），则EF=4)101(2-+=2102-，正方形的边长为2102-.
（3）如图所示，根据已经容易求出BC =25，若要使△MBC 中BC 边上
的高为S △MBC =
27252
1
⨯⨯=35. 设点M 的横坐标为n ，那么根据抛物线的解析式542--=x x y ，可知M 的坐标为)54,(2--n n n ，若点M 在x 轴的上面，则0542>--n n ，过M 作MN ⊥y 轴，垂足为N ，那么S △MBC =S
梯形MNOB
+S △OBC -S △MNC ，∴
35)554(2
1225)54)(5(2122=+---+--+n n n n n n ， 化简得：01452=--n n ，解得2-=n 或7=n ，所以若M 在x 轴上面，满足题意的有两点，分别为（-2，7）、（7，16）；
若M 在x 轴下面，则0542
<--n n ，过M 作MN ⊥y 轴，那么垂足为N ，那么S △MBC =S
梯形MNOB
-S △OBC -S △MNC ，∴
35)554(2
1225)54)(5(2122=-++---++-+n n n n n n ， 化简得：01442
=+-n n ，△=040<-，∴所以方程在实数范围无根，所以在x 轴下面没有满足
题意的M 点.。