金融数学习题

第一章 简单市场模型

考虑单时段情形。假设股票、债券在期初的价格分别为S(0)和A(0)，在期末的价格分别为S(1)和A(1)，资产组合在期初和期末的价值分别为V(0)和V(1)。 1.股票在该时段的收益率为S K = ，债券在该时段的收益率为

A K = ，若采用对数收益率表示，则相应的股票和债券的对数收益率

分别为S k = 和A k = 。（列式即可）

2. 设资产组合在该时段的股数和债券份数分别为x,y ，则V(0)= ，V(1)= ，组合的收益率为

V K = 。（列式即可）

3．假设A(0)=90元，A(1)=100元，S(0)=25元，且假设{

3020(1)S =

，概率为p

，概率为1-p

，

式中0

试给出一个没有任何初始投资的投资者获取无风险利润的机会。

第二章无风险资产

2.1.某人在未来15 年中每年年初存入银行20 000 元。前 5 年的年利率为

5.2%，中间5 年的年利率下调至3.3%，后 5 年由于通货膨胀率的提高，年利率上调至8.3%。则第15 年年末时这笔存款的积累值为（）元。

(A)496 786 (B) 497 923 (C) 500 010 (D) 501 036 (E) 502 109

2.2已知在未来三年中，银行第一年按计息两次的名义年利率10%计息，第二年按计息四次的名义年利率12%计息，第三年的实际年利率为6.5%。某人为了在第三年末得到一笔10 000元的款项，第一年年初需要存入银行（）元。

(A) 7 356 (B) 7 367 (C) 7 567 (D) 7 576 (E) 7 657

2.3.将9000元存入银行账户2个月(61天)，按单利计算，期末终值9020元。计算利率r和这个投资的收益率。

2.4.如果存款按年复合计息，10年以后可以翻翻，则利率是多少？

2.5.假设存在一个承诺一年以后支付110元的凭证，现在可以买入或卖出该凭

证，也可以在本年期间任意时间以100元买卖，在按年复合之下，与常数利率

10%一致。如果一个投资者决定买入该凭证，半年以后卖出，卖出的合理价格是

多少？

2.6.投资者支付95元买入面值100元、6个月到期的债券，如果利率保持不变，问何时债券的价值达到99元？

2.7.假设债券的面值F=100元，年息票C=8元，期限T=4年，按面值交易，计算隐含连续复合利率。

2.8.已知0时刻在基金A中投资1元到2t时的积累值为(3t+1)元，在基金B

中投资1元到3t时的积累值为( )元。假设在T时基金B的利息强度为基金A 的利息强度的两倍，则 0时刻在基金B中投资1000元在5T时的积累值达到多少？

第三章风险资产

1.考虑以下资产的期望收益率和标准差：

市场条件收益% 概率

好16 1/4

一般12 1/2

差8 1/4

2.假设时段取值为3个月，即收益率K(1), K(2), K(3), K(4)独立同分布。当前3个季度的期望收益率E(K(0,3))为12%时，计算季度期望收益率E(K(1))和年期望收益率E(K(0,4))。

3．假设在连续复合之下，无风险年收益率为14%,时段为一个月，S(0)=22元，d=-0.01,如无风险单期收益率r满足d

4.假设r=0.05,给定S(2)=110元，则 S(3)的风险中性条件期望是多少？

证券A 证券B

时间价格股利价格股利

1 333

2 368

3 1.35

4

5 386

6 59 0.725 1.35

7 392

1）计算每个公司每月的收益率。

2）计算每个公司的平均收益率。

3）计算每个公司收益率的标准差。

4）计算两证券之间的相关系数。

第四章离散时间市场模型

4.1.考虑一种具有无风险资产和一种风险资产的市场，无风险资产的价格为

A(0)=100元，A(1)=110元，A(2)=121元,风险资产的价格有以下三种可能的状况：

下述情况是否存在套利机会？(a) 不存在卖空限制；(b) 风险资产不允许卖空。

4.2.假设股票和债券的价格与练习4.1相同，允许卖空，但组合中每种资产的数量必须是整数，是否存在套利策略？

4.3.假设股票和债券的价格与练习4.1相同，允许卖空，但在交易时交易成本是交易额的5%,是否存在套利策略？

4.4解释股票的买空卖空含义，并简单解释其原理。

4.5证明下面结论：当且仅当d

第五章资产组合管理

5.1.假设给定的资产组合的收益率和市场资产组合的收益率在不同状况下的取值如下：

计算回归线(特征线)的斜率和截距。

5.2.证明权重为的n个证券构成的资产组合的贝塔因子为，，其中为n个证券的贝塔因子。

5.3.资本市场线和证券市场线的方程分别是什么？体在坐标平面上的意义如何？两者的区别有哪些？

5.4.证明在资本资产定价模型中，所有证券的特征线交予一个公共点。并求出改点的坐标。

5.5.一投资者拥有资金10万元。

(1) 用4万元购买A股票，5万元买B股票，其余全部购买C股票，求在切点处的投资组合。

(2) 如果该投资者抽取5万元作无风险投资，其余仍用于购买A、B、C股票，求此时购买A、B、C股票的资金。

5.6.设风险证券A的期望收益为0.12，方差为10，风险证券B的期望收益为0.08，

方差为4，A、B之间的协方差为2。又假设无风险利率为0.06。求切点投资组合权重。

5.7.已知：(1) 市场期望收益率为6%，市场无风险收益率为4%；