最新数学建模之图论模型讲解
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地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，有 多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设 车的运行速度是恒定的。
这一问题相当于找到一条从甲地到乙地的最短路。
甲地 v1
v2 3
1 5
v4
6
v3
3
3
3 6 v6 乙地
1
v5
例4 中国邮递员问题（chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何
(2)问题分析与模型假设
问题的本质是能否从一地无重复地一次走 遍七桥, 与所走过的桥的大小、形状、长短、 曲直等均无关，因此不妨将其视为一条弧线；
四块陆地可重复经历,至于陆地的大小、形 状、质地等也与问题的无关，因而可视四块陆 地为四个点 A、B、C、D。
对四个陆地 A、B、C、D，若其间有桥，则用 一条弧线连接起来，有两座桥，则连两条不重合 的弧线，便得到一个图，并称代表陆地的四个点 为顶点 ，代表桥的弧线为 边 。
例5 旅行商问题（TSP－traveling salesman problem） 一名推销员准备前往若干城镇推销产品。如何
为他（她）设计一条最短的旅行路线（从驻地出发， 经过每个城镇恰好一次，最后返回驻地）？
这一问题的研究历史十分悠久，通常称之为旅 行商问题。
若用顶点表示城镇，边表示连接两城镇的路， 边上的权表示距离（或时间、或费用），于是旅 行商问题就成为在加权图中寻找一条经过每个顶 点至少一次的最短闭通路问题-Hamilton圈问题。
问题变成了：能否从这个图上任一顶点出发，
经过每条边一次且仅一次而回到出发顶点。
--Euler-回路(圈)问题。
A
A
B
D
B
D
C
C
例2 药品存储问题
▪ 有8种化学药品A、B、C、D、P、R、S和T要放 进贮藏室保管,出于安全原因,下列各组药品不能 贮在同一室内:A—R，A—C，A—T，R—P， P—S，S—T，T—B，B—D，D—C，R—S， R—B，P—D，S—C，S—D，试为这8种药品设 计一个使用房间数最少的贮藏方案。
V (G ) { v 1 ,v 2 , ,v n } 是非空有限集，称为顶点集， V(G)中的元素称为图G的顶点；E(G)是V(G)中的无序 或有序的元素对 (vi,vj ) 组成的集合，称为边集, E(G) 中的元素称为边.
|V(G)|：图的顶点数； |E(G)|：图的边的数。 用 G (V (G )E ,(G )表)示图，简记 G(V,E). v i v j 表示边 (vi,vj ).
零图:仅由一些孤立结点构成的图.
为他（她）设计一条最短的投递路线（从邮局出 发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回 邮局）？
这 一 问 题 是 我 国 管 梅 谷 教 授 1960 年 首 先 提 出
的，所以国际上称之为中国邮递员问题。
若将投递区的街道用边表示，街道的长度为边 的权，邮局街道交叉口用点表示，则一个投递区构 成一个赋权连通无向图．中国邮递员问题转化为： 在一个非负加权连通图中，寻求一个权最小的 Euler回路.
x1
x2 x3
x4
x5
y1 y2
y3
y4
y5
例7 最小费用最大流
一批货物要从工厂运至车站，可以有多条线 路进行选择，在不同的线路上每吨货物的运费不 同，且每条线路的运输能力有限。怎样运输才能 使费用最少?
用结点s代表工厂，t代表车站，线路为边，线 路的交点为网络的结点，每条边都有两个权：容 量c和单位费用a，于是构成网络流图N，问题变 成求N的最小费用流。
数学建模之图论模型讲解
主要内容
➢ 图模型 ➢ 图论的基本概念 ➢ 最短路问题 ➢ 最小生成树问题 ➢ 旅行售货员问题 ➢ 最大流问题 ➢ 匹配问题
一、图模型
▪ 例1. 哥尼斯堡七桥问题(18世纪，1736年) (1) 问题 能否从一块陆地出发,走遍每座桥一次且仅一次然 后回到出发地?
A
B
D
C
普瑞格尔河
A—R，A—C，A—T，
R—P，P—S，S—T，
T—B，B—D，D—C，
A
R—S，R—B，P—D，
S—C，S—D.
T
每种药品作为一个顶 点，不能放在一起的 S 连边。相邻顶点用不 同颜色着色。
R P
这一问题就是图论中的顶点着色问题。
至少需用3个房间：A,S,B/D,T,R/C,P
B C
D
例3 最短路问题（SPP－shortest path problem） 一名司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲
A
无 e1 e2源自文库e5
向 B e6 D
图 e3
C
e4
e7
V={A,B,C,D}，
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
v0
e1
e4
有
v1 e2 e3 v2
向
e5
e6
图
v3
V={v1,v2,v3,v4}，
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
图：无向图，有向图和混合图。
孤立结点:不与任何边关联的顶点.
指派问题（assignment problem） 一家公司经理准备安排名员工去完成项任务，每
人一项。由于各员工的特点不同，不同的员工去完 成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配 工作方案可以使总回报最大？
…………
二、 图论的基本概念（略）
1. 图的概念 一个图G 是指一个二元组 (V(G), E(G))， 其中
例6 人员分派问题
某公司准备分派n个工人X1,X2,…,Xn做n件工 作 Y1,Y2,…,Yn ， 已 知 这 些 工 人 中 每 个 人 都 能 胜 任 一件或几件工作。试问能否把所有的工人都分派 做一件他所胜任的工作？
构造一个具有二分类(X,Y)的偶图G， 这里
X={x1,x2,…,xn}，Y={y1,y2,…,yn} ，且xi与yj相连当 且仅当工人Xi胜任工作Yj.于是问题转化为G是否 存在完美匹配的问题。
过河问题：摆渡人Ferryman,狼wolf,羊sheep,卷 心菜cabbage过河问题 . 如何摆渡使得它们不能互 相伤害.
考试安排问题：学校期末考试安排n门课的考 试时间时，不能把同一位学生选修的两门课安排在 同一时间考试，问学校考试最少要进行多长时间？
信道分配问题：发射台所用频率从小到大编号 为1,2, …称为信道。用同一信道的两个台站相距得 少于一个常数d，问各台至少需同时使用几个不同 的信道？
这一问题相当于找到一条从甲地到乙地的最短路。
甲地 v1
v2 3
1 5
v4
6
v3
3
3
3 6 v6 乙地
1
v5
例4 中国邮递员问题（chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何
(2)问题分析与模型假设
问题的本质是能否从一地无重复地一次走 遍七桥, 与所走过的桥的大小、形状、长短、 曲直等均无关，因此不妨将其视为一条弧线；
四块陆地可重复经历,至于陆地的大小、形 状、质地等也与问题的无关，因而可视四块陆 地为四个点 A、B、C、D。
对四个陆地 A、B、C、D，若其间有桥，则用 一条弧线连接起来，有两座桥，则连两条不重合 的弧线，便得到一个图，并称代表陆地的四个点 为顶点 ，代表桥的弧线为 边 。
例5 旅行商问题（TSP－traveling salesman problem） 一名推销员准备前往若干城镇推销产品。如何
为他（她）设计一条最短的旅行路线（从驻地出发， 经过每个城镇恰好一次，最后返回驻地）？
这一问题的研究历史十分悠久，通常称之为旅 行商问题。
若用顶点表示城镇，边表示连接两城镇的路， 边上的权表示距离（或时间、或费用），于是旅 行商问题就成为在加权图中寻找一条经过每个顶 点至少一次的最短闭通路问题-Hamilton圈问题。
问题变成了：能否从这个图上任一顶点出发，
经过每条边一次且仅一次而回到出发顶点。
--Euler-回路(圈)问题。
A
A
B
D
B
D
C
C
例2 药品存储问题
▪ 有8种化学药品A、B、C、D、P、R、S和T要放 进贮藏室保管,出于安全原因,下列各组药品不能 贮在同一室内:A—R，A—C，A—T，R—P， P—S，S—T，T—B，B—D，D—C，R—S， R—B，P—D，S—C，S—D，试为这8种药品设 计一个使用房间数最少的贮藏方案。
V (G ) { v 1 ,v 2 , ,v n } 是非空有限集，称为顶点集， V(G)中的元素称为图G的顶点；E(G)是V(G)中的无序 或有序的元素对 (vi,vj ) 组成的集合，称为边集, E(G) 中的元素称为边.
|V(G)|：图的顶点数； |E(G)|：图的边的数。 用 G (V (G )E ,(G )表)示图，简记 G(V,E). v i v j 表示边 (vi,vj ).
零图:仅由一些孤立结点构成的图.
为他（她）设计一条最短的投递路线（从邮局出 发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回 邮局）？
这 一 问 题 是 我 国 管 梅 谷 教 授 1960 年 首 先 提 出
的，所以国际上称之为中国邮递员问题。
若将投递区的街道用边表示，街道的长度为边 的权，邮局街道交叉口用点表示，则一个投递区构 成一个赋权连通无向图．中国邮递员问题转化为： 在一个非负加权连通图中，寻求一个权最小的 Euler回路.
x1
x2 x3
x4
x5
y1 y2
y3
y4
y5
例7 最小费用最大流
一批货物要从工厂运至车站，可以有多条线 路进行选择，在不同的线路上每吨货物的运费不 同，且每条线路的运输能力有限。怎样运输才能 使费用最少?
用结点s代表工厂，t代表车站，线路为边，线 路的交点为网络的结点，每条边都有两个权：容 量c和单位费用a，于是构成网络流图N，问题变 成求N的最小费用流。
数学建模之图论模型讲解
主要内容
➢ 图模型 ➢ 图论的基本概念 ➢ 最短路问题 ➢ 最小生成树问题 ➢ 旅行售货员问题 ➢ 最大流问题 ➢ 匹配问题
一、图模型
▪ 例1. 哥尼斯堡七桥问题(18世纪，1736年) (1) 问题 能否从一块陆地出发,走遍每座桥一次且仅一次然 后回到出发地?
A
B
D
C
普瑞格尔河
A—R，A—C，A—T，
R—P，P—S，S—T，
T—B，B—D，D—C，
A
R—S，R—B，P—D，
S—C，S—D.
T
每种药品作为一个顶 点，不能放在一起的 S 连边。相邻顶点用不 同颜色着色。
R P
这一问题就是图论中的顶点着色问题。
至少需用3个房间：A,S,B/D,T,R/C,P
B C
D
例3 最短路问题（SPP－shortest path problem） 一名司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲
A
无 e1 e2源自文库e5
向 B e6 D
图 e3
C
e4
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V={A,B,C,D}，
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
v0
e1
e4
有
v1 e2 e3 v2
向
e5
e6
图
v3
V={v1,v2,v3,v4}，
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
图：无向图，有向图和混合图。
孤立结点:不与任何边关联的顶点.
指派问题（assignment problem） 一家公司经理准备安排名员工去完成项任务，每
人一项。由于各员工的特点不同，不同的员工去完 成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配 工作方案可以使总回报最大？
…………
二、 图论的基本概念（略）
1. 图的概念 一个图G 是指一个二元组 (V(G), E(G))， 其中
例6 人员分派问题
某公司准备分派n个工人X1,X2,…,Xn做n件工 作 Y1,Y2,…,Yn ， 已 知 这 些 工 人 中 每 个 人 都 能 胜 任 一件或几件工作。试问能否把所有的工人都分派 做一件他所胜任的工作？
构造一个具有二分类(X,Y)的偶图G， 这里
X={x1,x2,…,xn}，Y={y1,y2,…,yn} ，且xi与yj相连当 且仅当工人Xi胜任工作Yj.于是问题转化为G是否 存在完美匹配的问题。
过河问题：摆渡人Ferryman,狼wolf,羊sheep,卷 心菜cabbage过河问题 . 如何摆渡使得它们不能互 相伤害.
考试安排问题：学校期末考试安排n门课的考 试时间时，不能把同一位学生选修的两门课安排在 同一时间考试，问学校考试最少要进行多长时间？
信道分配问题：发射台所用频率从小到大编号 为1,2, …称为信道。用同一信道的两个台站相距得 少于一个常数d，问各台至少需同时使用几个不同 的信道？