最新数学建模之图论模型讲解

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数学建模-图论模型

思路分析
• 每学期任课老师都有一定工作量的要求往往可能要上不止一门课程。
• 每位同学需要在学期内完成若干门课程的学习。 • 某些对上课设施有特殊要求的课程，也不可以安排在同一时间。 • 为了方便开展一些全校性的活动，有些时段不安排课程。 • 受到教室数量的限制，在同一时段无法安排太多的课程。
模型建立
• 以每个课程为顶点，任何两个顶点之间连一条边当且仅当两门课程的任课老师为同一人，或有学生同时选了这两门课或上课教室冲突。
• 那么一个合理的课程安排就是将图中的点进行分化，使得每一个部分里的点为一个独立集。
• 通过极小覆盖找出图中的极大独立集，然后删去该极大独立集，在剩下的图中找出极大独立集，直到剩下的图为一个独立集。
匈牙利算法
• 饱和点：Ｍ是图Ｇ的一个匹配，若Ｇ中顶点ｖ是Ｍ中某条边的端点，则称Ｍ饱和ｖ,否则称ｖ是Ｍ的非饱和点。
• 可扩路：一条连接两个非饱和点x和y的由Ｍ外的边和Ｍ的边交错组成的路称为Ｍ的(x,y)可扩路。
• 算法基本步骤：
Kuhn-Munkres算法
1.2 图的独立集应用
• 问题描述：各大学学期临近结束时，需要根据老师任课计划和学生选课情况，再结合教室资源情况安排下一学期的课程及上课时间和地点。下表所示是某大学电信学院的大三各专业部分课程情况。该学院每届学生按专业分班，统一选课。另外，学院只有一间普通机房和一间高级机房。那么应该如何合理地排这些课程呢?
则称其是双连通或强连通的。对于不是双连通的图，都可以分解成若干个极大的双连通分支，且任意两分支之间的边是同向的。
举例：
• 右图所示竞赛图不是双连通的
•
为一条有向
的D哈密尔A顿路B。 C E

数学建模-图论模型及算法

问题一：如何在组数一定(3组)的情况下，使走遍乡村的总路线最短且三组的路程尽可能均衡。
问题二：若巡视人员要在乡停留T=2小时，村停留t=1小时，汽车时速V=35公里/小时，那么至少分几组能在24小时内走完？并找出最佳巡视路线。
乡镇、村的公路网示意图
问题分析
根据53组数据我们得到它的邻接矩阵，利用Kruskal算法用Matlab编程处理后得到加权网络图的最小生成树。
例1 最短路问题（SPP－shortest path problem）
一名货车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。
例2 公路连接问题
最小生成树的Kruskal算法： function [T c]=krusf(d,flag) if nargin==1
n=size(d,2); m=sum(sum(d~=0))/2; b=zeros(3,m); k=1; for i=1:n
for j=(i+1):n if d(i,j)~=0 b(1,k)=i;b(2,k)=j; b(3,k)=d(i,j); k=k+1; end
求最小生成树问题有很广泛的实际应用. 例如, 把n个乡镇用高压电缆连接起来建立一个电网, 使所用的电缆长度之和最短, 即费用最小, 就是一个求最小生成树问题.
最小生成树算法—Kruskal算法
• 思想：将图中所有边按权值从大到小排列，依次选所剩最小的边加入边集T，只要不和前面加入的边构成回路，直到 T中有n-1条边，则T是最小生成树。
A
0 1 1
0 0 0

数学建模图论模型

若将图G的每一条边e都对应一个实数Fe，则称 F(e)为该边的权，并称图G为赋权图(网络), 记为 G = <V, E , F>。
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树，常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图，且G’又是一棵树，则称G’是图G 的生成树。
例 Ramsey问题
图1
图2
并且常记: V = v1, v2, … , vn, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}ek=vivj , |E | = m
称点vi , vj为边vivj的端点在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的始点和终点. 该图称为n,m图
8
对于一个图G = V, E , 人们常用图形来表示它, 称其为图解凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
4、P'代替P,T'代替T,重复步骤2,3
定理2 设 T为V的子集，P=V-T，设 (1)对P中的任一点p,存在一条从a到p的最短路径,这条路径仅有P中的
点构成, (2)对于每一点t,它关于P的指标为l(t),令x为最小指标所在的点, 即:
l(x)mli(tn )} t{ ,T
(3)令P’=P Ux,T’=T-{x},l’(t)表示T'中结点t关于P'的指标,则
解：用四维01向量表示人,狼,羊,菜例在过河西河岸问的题状态(在
岸则分量取1;否则取0)，共有24 =16 种状态; 在河东岸态类似记作。
由题设，状态(0,1,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)是不允许的
其对应状态：(1,0,0,1)， (1,1,0,0)，(1,0,0,0)也是不允许

图论模型及其解答

各种图论模型及其解答摘要：本文用另一种思路重新组织《图论及其应用》相关知识。

首先，用通俗化语言阐述了如何对事物间联系的问题进行图论建模；接着从现实例子出发，给出各种典型图论模型，每种图论模型对应于图论一个重要内容；再者，介绍相关知识对上述提到的图论模型涉及的问题进行解答；最后，补充一些图论其他知识，包括图论分支、易混概念。

符号约定：Q(Question)表示对问题描述，M(Modeling)表示数学建模过程，A(Answer)表示原问题转化为何种图论问题。

一、引言图论是研究点、线间关系的一门学科，属于应用数学的一部分。

现实生活中，凡是涉及到事物间的关系，都可以抽象为图论模型。

点表示事物，连线表示事物间的联系。

整个求解过程如下：原问题——>图论建模——>运用图论相关理论求解——>转化为原问题的解整个过程关键在于图论建模，所谓图论建模，就是明确点表示什么，连线表示什么，原问题转化为图论中的什么问题。

存在以下两种情况：①若事物间联系是可逆的(比如双行道，朋友)，则抽象成无向图②若事物间联系是不可逆的(比如单行道，状态转化不可逆)，则抽象成有向图如果需要进一步刻画事物间的联系（比如城市间的距离），就给连线赋一个权值，从而抽象成赋值图。

综上，根据实际问题，可建模成下列图论模型的一种：无向赋权图、有向赋权图、无向非赋权图、有向非赋权图。

例1.宴会定理：任何一宴会中，一定存在两个人有相同的数量朋友M：点表示人，连线表示当且仅当该两个人是朋友A：问题转化为任何一个图一定存在两个顶点的度相等二、图论模型接下来介绍若干典型的图论模型，每种模型几乎对应于图论的一个重要内容，这些内容将在第三章进行讨论，也就给出了这些模型的解答思路。

2.1 偶图模型凡涉及两类事物间的联系（即只考虑两类事物间的联系，而不考虑同类事物间的联系），均可抽象成偶图模型。

作图时，将两类事物分成两行或者两列。

这类模型通常被包含在后续的模型中，但因许多现实问题可抽象成该模型，所以单列出来讨论。

数学建模图论

. 图论一．最短路问题问题描绘：找寻最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。

最短路不只是指一般地理意义上的距离最短,还能够引申到其他的胸怀,如时间、花费、线路容量等。

将问题抽象为赋权有向图或无向图 G ，边上的权均非负对每个极点定义两个标记（l(v)，z(v)），此中：l(v)：表示从极点到v 的一条路的权 z(v)：v 的父亲点，用以确立最短路的路线：拥有永远标号的极点集算法：即在每一步改良这两个标记，使最后 l(v)为最短路的权输入：G 的带权毗邻矩阵w(u,v) 步骤：（1）赋初值：令l(u 0) 0，对v u 0，令 l(v) ，S={u 0}，i 0。

（2）面S 会合的点），用min{l(v),l(u)uS i极点u 和v 之间边的权值。

计算极点记为u i1，令S i1S i（3）w(uv)} 取代l(v)，这里w(uv)表示 l(v)}，把达到这个最小值的一个V1，则停止；若i V1，则用i 1取代i ，转（2）算法结束时，从 u 0到各极点v 的距离由v 的最后一次编号 l(v)给出。

在v 进入S i 以前的编号l(v)叫T 标号，v 进入S i 以后的编号l(v)叫P 标号。

算法就是不停改正各极点的T 标号，直至获取P 标号。

若在算法运转过程中，将每一极点获取P 标号所由来的边在图上注明，则算法结束时，u 0至各极点的最短路也在图上标示出来了。

理解：贪婪算法。

选定初始点放在一个会合里，此时权值为0初始点搜寻下一个相连结点，将所有相连结的点中离初始点近来的点归入初始点所在的会合，并更新权值。

而后以新归入的点为起点持续搜寻，直到所有的点遍历。

..{u i1}。

若iu Si m in{.Matlab代码：function[mydistance,mypath]=Dijk(a,sb,db);%sb为起点，db为终点n=size(a,1);visited(1:n)=0;%n为结点数visited为结点标号distance(1:n)=inf;distance(sb)=0;%起点到各终点距离的初始化visited(sb)=1;u=sb;%u为新的P标号极点（初始点）parent(1:n)=0;%父节点的初始化%经过以下一个for..end便能够找到最短路径及该最短路径对应的最短行程fori=1:n-1%(找所有未标号的点)id=find(visited==0);%查找未标号的极点forv=id%找到一个未标号的点vifa(u,v)+distance(u)<distance(v)%uv之间的距离+起点到u的距离小于v到起点的距离（第一次是无量大的，所以第一次必定知足，下一次则找比这个点到u距离小的v）distance(v)=distance(u)+a(u,v);%改正标号值则v到原点的距离（权）改正。

数学建模中的图论方法

数学建模中的图论方法一、前言我们知道，数学建模比赛中有问题A和问题B。

一般而言，问题A是连续系统中的问题，问题B是失散系统中的问题。

因为我们在大学数学教育内容中，连续系统方面的知识的比率较大，而离散数学比率较小。

所以好多人有这样的感觉，A题下手快，而B题不好下手。

其他，在有限元素的失散系统中，相应的数学模型又可以区分为两类，一类是存在有效算法的所谓P类问题，即多项式时间内可以解决的问题。

但是这种问题在MCM中特别少见，事实上，由于比赛是开卷的，参照有关文件，使用现成的算法解决一个P类问题，不可以显示参赛者的建模及解决实诘问题能力之大小；还有一类所谓的NP问题，这种问题每一个都还没有成立有效的算法，或许真的就不行能有有效算法来解决。

命题经常以这种NPC问题为数学背景，找一个详细的实质模型来考验参赛者。

这样增添了成立数学模型的难度。

但是这也其实不是说没法求解。

一般来说，因为问题是详细的实例，我们可以找到特其他解法，或许可以给出一个近似解。

图论作为失散数学的一个重要分支，在工程技术、自然科学和经济管理中的好多方面都能供给有力的数学模型来解决实诘问题，所以吸引了好多研究人员去研究图论中的方法和算法。

应当说，我们对图论中的经典例子或多或少仍是有一些认识的，比方，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、四色定理等等。

图论方法已经成为数学模型中的重要方法。

好多灾题因为归纳为图论问题被奇妙地解决。

并且，从历年的数学建模比赛看，出现图论模型的频次极大，比方：AMCM90B－扫雪问题；AMCM91B－找寻最优Steiner树；AMCM92B－紧迫修复系统的研制(最小生成树)AMCM94B－计算机传输数据的最小时间(边染色问题)CMCM93B－足球队排名(特点向量法)CMCM94B－锁具装箱问题(最大独立极点集、最小覆盖等用来证明最优性)CMCM98B－灾情巡视路线(最优回路)等等。

这里面都直接或是间接用到图论方面的知识。

数学建模方法之图论模型

2) 在有向图中，从顶点v引出的边的数目称为顶点 v的出度，记为d+(v)，从顶点v引入的边的数目称为 v的入度，记为d -(v). 称d(v)= d+(v)+d -(v)为顶点v的度或次数．
定理 d (v) 2.
vV
推论任何图中奇点的个数为偶数． d (v1) 4
d (u3) 1
d (u3) 2
一个顶点记为 ui1，置 Si1 Si {ui1}.
3) 若 i 1，则停Hale Waihona Puke ；若 i 1，则用 i+1 代
替i，并转2).
S0 {u0},l(u j ) , j 1,2,...,7.
u1 S0 l(u1) min{,0 1}
Dijkstra算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路.
G[{v1,v2,v3}] G[{e3,e4,e5,e6}]
3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点均在V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称为G的由V 导出的子图，记为 G[V ] .
4) 若E E，且 E ，以 E为边集，以 E 的端点集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由E 导出的
第二讲图论模型
1. 问题引入与分析
2. 图论的基本概念
3. 最短路问题及算法
4. 最小生成树及算法
回
5. 旅行售货员问题
停
6. 模型建立与求解下
1. 问题引入与分析
1) 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的：
今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线.

数模培训图论模型

以可允许的10个状态向量作为顶点,将可能互相转移的状态用线段连接起来构成一个图.
根据此图便可找到渡河方法.
2020/11/21
数模培训图论模型
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
2020/11/21
数模培训图论模型
图的定义
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统.
定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或结点,
例一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过河到河东.由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊, 羊与菜不能独处.给出渡河方法.
解：用四维0-1向量表示(人,狼,羊,菜)在河西岸的状态(在河西岸则分量取1,否则取0),共有24 =16 种状态. 在河东岸的状态类似记作.
由题设,状态(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不允许的, 从而对应状态(1,0,0,1), (1,1,0,0), (1,0,0,0)也是不允许的.
数模培训图论模型
2020/11/21
数模培训图论模型
图论模型
1. 图论基本概念 2. 最短路径算法 3. 最小生成树算法 4. 遍历性问题 5. 二分图与匹配
6. 网络流问题 7. 关键路径问题 8. 系统监控模型 9. 着色模型
2020/11/21
数模培训图论模型
1、图论的基本概念

数学建模图论讲义

（1）邻接矩阵表示法

邻接矩阵表示法是将图以邻接矩阵（adjacency matrix）的形式存储在计算机中。图 G (V , A ) 的邻接矩阵是如下定义的：C是一个n*n的0-1矩阵，即
C ( c ij ) n n { 0 ,1}
nn
1, c ij 0,

(i, j ) A, ( i , j ) A.
n
图与网络的数据结构

网络优化研究的是网络上的各种优化模型与算法．为了在计算机上实现网络优化的算法，首先我们必须有一种方法（即数据结构）在计算机上来描述图与网络。这里我们介绍计算机上用来描述图与网络的5种常用表示方法：邻接矩阵表示法、关联矩阵表示法、邻接表表示法和星形表示法。在下面数据结构的讨论中，我们首先假设 G (V , A ) |V 是一个简单有向图， | n , | A | m ，并假设V中的顶点用自然数1,2,…n表示或编号，A中的弧用自然数1,2,…m表示或编号。

如果一个顶点是一条弧的起点，则关联矩阵中对应的元素为1；如果一个顶点是一条弧的终点，则关联矩阵中对应的元素为-1；如果一个顶点与一条弧不关联，则关联矩阵中对应的元素为0。
例2 对于例1所示的图，如果关联矩阵中每列对应弧的顺序为(1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,2)，(4,3)， (4,5)，(5,3)和(5,4)，则关联矩阵表示为（列单位为弧）
e E ( P )
定义若 P0 ( u , v ) 是G 中连接顶点u, v的一条路, 且对任意在G 中连接u, v的路P (u, v)都有F( P0 ) ) ≤F ( P ), 则称 P0 ( u , v 是G 中连接u, v的最短路.

数学建模图论讲

如果任两顶点间最多有一条边，且每条边的两个端点皆不重合的图，则称为简单图。
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2024年8月3日
数学建模-图论
一、图的基本概念
如果图的二顶点间有边相连，则称此顶点相邻，每一对顶点
都相邻的图称为完全图，否则称为非完全图，完全图记为 K V 。
若V (G) X Y, X Y , X Y 0 ，且 X 中无相邻的顶点对，Y 中亦然，则称图 G 为二分图.
第1行 1 A1i 第i行 1
11，A1i 2
2 2
22，A1i3
4 4
4 4
其中i=2,3,4,5,显然y1=1+(4+4+4+4-1) 4=61. 同理，计算y2时应考虑槽高只有2,21,23,24,25,
26时的情形，类似计算可得 y2=1+(4+4+4+4-1)×5=76．
于是，s=61×2+76×4=426，x=6306426=5880.
计算y1可分别考虑槽高只有1，12，13，14，15的情形．若只有1，这样的锁具效只有1个，若只有1和i(i=2,3,4,5)，这样的锁具数=G中以1和i为顶点，长度为3的道路数，此数可通过A的子矩阵A1i计算得到．
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数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例解法分析）
事实上，因为
间最短的路线。定义T*T=(t(2)ij),
3
4
t(2)ij=min{min1<=k<=5{tik+tkj},tij}, t(2)ij表示从站点i到站点j的至多换乘一次的最短时间。
5
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数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析）

数学建模之图论模型讲解

过河问题：摆渡人Ferryman,狼wolf,羊sheep,卷心菜cabbage过河问题 . 如何摆渡使得它们不能互相伤害.
考试安排问题：学校期末考试安排n门课的考试时间时，不能把同一位学生选修的两门课安排在同一时间考试，问学校考试最少要进行多长时间？
信道分配问题：发射台所用频率从小到大编号为1,2, …称为信道。用同一信道的两个台站相距得少于一个常数d，问各台至少需同时使用几个不同的信道？
A—R，A—C，A—T，
R—P，P—S，S—T，
T—B，B—D，D—C，
A
R—S，R—B，P—D，
S—C，S—D.
T
每种药品作为一个顶点，不能放在一起的 S 连边。相邻顶点用不同颜色着色。
R P
这一问题就是图论中的顶点着色问题。
至少需用3个房间：A,S,B/D,T,R/C,P
B C
D
例3 最短路问题（SPP－shortest path problem）一名司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲
问题变成了：能否从这个图上任一顶点出发，
经过每条边一次且仅一次而回到出发顶点。
--Euler-回路(圈)问题。
A
A
B
D
B
D
C
C
例2 药品存储问题
▪ 有8种化学药品A、B、C、D、P、R、S和T要放进贮藏室保管,出于安全原因,下列各组药品不能贮在同一室内:A—R，A—C，A—T，R—P， P—S，S—T，T—B，B—D，D—C，R—S， R—B，P—D，S—C，S—D，试为这8种药品设计一个使用房间数最少的贮藏方案。
G[{v1,v2,v3}] G[{e3,e4,e5,e6}]
3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点均在V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称为G的由V 导出的子图，记为 G[V ] .

数学建模图论方法01

为顶点的数目．
( 7)若 V=X Y，X Y= ，且 X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶
点不相邻，则称 G 为二元图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点相邻，则 G 称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶点数目．
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顶点的次数
定义（１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次）称为 v 的次数，记为 d (v) ．
权，并称图 G 为赋权图.
规定用记号和分别表示图的顶点数和边数.
常用术语：（１）端点相同的边称为环．（２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边．（３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边
称为相邻的边．（４）边和它的端点称为互相关联的．（５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图．（６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
推论１任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数.
返回
子图
定义设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(1) 若 V1 V，E1 E,且当 e E1 时， 1 ( e )= ( e ),则称 G1 是 G 的子图．
特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
数学建模的图论方法
图论的基本概念
一、图的概念 1．图的定义 2．顶点的次数 3．子图
二、图的矩阵表示 1．关联矩阵
2．邻接矩阵
返回
七桥问题 Seven Bridges Problem
18 世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？

数学建模-图论篇44页PPT

6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
数学建模-图论篇
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍

数学建模中图论方法

的一个完备匹配，此时若 V1 V2 ，则称M为V1到V2的一个完备匹配；若V1 V2 M ，则称M是G的一个完美匹配．
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数学建模中的图论方法----综合例题
3.综合例题例1 证明任意六个人的集会上，总会有三人互相认识或者不认识．证明这是1947年匈牙利数学竞赛出的一道试题，因为它很有趣且很重要，后来曾收录到《美国数学月刊》及其它数学刊物上。这类问题可以转化为图论中的完全图染色问题．
最低。数学模型：在一个连通加权图上求权最小的连通生成
子图，显然，即求权最小的生成树，称最小生成树。
Kruskal算法（避圈法）1956年
设G为由n个顶点、m条边构成的加权连通图。先将G中
所有的边按权的大小次序进行排列，不妨
设e1 e2 em ，
ⅰ k 1, A ；
ⅱ 若Ae 导出的子图不含回路，则A Ae；
从它们所在的结点出发，走过图中的所有边最后到达结
点e处。如果他们的速度相同，问谁先到达目的地？
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数学建模中的图论方法----图论的基础知识
哈密尔顿回路，起源于一个名叫“周游世界”的游戏，它是由英国数学家哈密尔顿（Hamilton）于1859年提出的。他用一个正十二面体的20个顶点代表20个大城市（图 (a)），这个正十二面体同构于一个平面图（图(b)）。要
a
b
f
a
b
e
c
e
d
c
d
（1）
第11页/共39页
（2）
数学建模中的图论方法----图论的基础知识 a
D
E
b
e
C
F
G
A
B
c
d

数学建模——图论篇

软件学院
图论原理
在图G1中, 满足充分条件Δ(G)=4 δ(G)=2任意两个结点度数之和大于等于5,所以是H图.
1
5
4
G1 2 3
a
G2 b c
d
e1 e e5 2 B e6 e3 e 4 C e7
D
V={A,B,C,D} E={e1, e2, e3, e4, e5 e6, e7} 人们茶余饭后经常到桥上散步,从而提出这样问题:是否可以从某地出发，每座桥都走一次,再回到出发点. 很多人试图找出这样的路径, 都没有找到. 后来欧拉证明这样的路径根本不存在. 此图可以抽象为上边右图.
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图论原理一. 图的概念一个图 G=<V(G),E(G)>, 其中结点集V(G):是G的结点的非空集合.(V(G)≠Φ),简记成V;边集E(G):是 G的边的集合. 有时简记成E. 结点: 用表示, 旁边标上该结点的名称. 边:有向边:带箭头的弧线.从u到v的边表示成(u,v) 无向边:不带箭头的弧线.u和v间的边表示成(u,v)
v4 1 v5
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图论原理通路与回路 1.通路的定义:给定图G=<V,E >,v0 ,v1,v2,,…,vn∈V, e1,e2,,…,en∈E，其中ei是关联vi－1,vi的边,则称结点和边的交叉序列为图的通路。如v0 e1v1 e2v2…envn是连接v0到vn的路.v0是此路的起点,vn是此路的终点.路中含有的边数n称之为路的长度. 如果其中每条边的终点总是下一条边的起点，则边的序列可以简写成（v0,v1,v2,…,vn) e v0 1 e4 例如右图中: v1 v2 e2 e3 e5 e6 v0 e2v3 e6v2是一条长度为2的路.