小学六年级奥数 第5讲计数原理之容斥原理
六年级数学专题详解 容斥原理
容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素的个数。
在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。
我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。
包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来。
即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。
例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设I={1、2、3、…、19、20}，A={I中2的倍数}，B={I中3的倍数}。
显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数，即求|A∪B|。
我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。
A ∩B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3，根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。
此题可以直观地用图表示如下：例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}，由题意知|A |=25，|B |=21。
A ∪B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。
A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}，由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |，所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。
小学奥数教程之容斥原理
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
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容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。
1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A 的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
用法：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1.容斥原理的基本概念2.与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
小学五六年级奥数学竞赛第5讲计数原理之容斥原理
计数原理之容斥原理【加油站】计数问题的最高原则是什么？不重不漏A B1．先包含——重叠部分计算了2次，A B多加了1次；2．再排除——A B A BA∩B1．先包含：A＋B＋C2．再排除：A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C，重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩BC∩A B∩CA∩B∩C－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。
3．再包含：A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C。
A B减去。
【例1】(★★) 【例3】(★★★)在一群小朋友中，有12人看过动画片《樱桃小丸子》，有21人看过动画片《喜羊羊与灰太狼》，并且有8人两部动画片都看过。
请问：只看过其中一部动画片的小朋友有多少人？一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出______段.【例2】(★★★)【例4】(★★★★)某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，3人既会英语又会俄语，2人既会俄语又会日语，2人既会英语又会日语，1人三种语言全会.只会1种外语的人比1种外语也不会的人多______ 个. 2016盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1、2、……2016.将编号为2的倍数的灯各拉一下，再将编号为3的倍数的灯各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯各拉一下，最后亮着的灯有______盏.1【例5】(★★★)【例6】(★★★★★)森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种.爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜.如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了40盆，丙浇了50盆，丁浇了70盆，①恰好被4个人浇过的花最多是多少？最少是多少？②恰好被3个人浇过的花最多是多少？最少是多少？③恰好被2个人浇过的花最多是多少？最少是多少？④恰好被1个人浇过的花最多是多少？最少是多少？【例7】(★★★★)已知三角形ABC是直角三角形，AC＝4厘米，BC＝2厘米，求阴影部分的面积．(π取3.14)B 本讲总结必会工具：韦恩图，线段图，方程，高斯记号重要应用：数论，几何C重点例题：例2，例3，例5，例6 A2。
小学奥数容斥原理
小学奥数容斥原理
小学奥数中的容斥原理是一种经典的数学方法，它常常用于解决有关组合计数的问题。
容斥原理可以帮助我们计算两个集合的交集、并集以及差集的元素个数。
具体来说，容斥原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素个数，我们可以先计算每个集合的元素个数，然后减去这两个集合的交集的元素个数。
这样可以避免重复计算。
例如，假设我们有两个集合A和B，集合A中有3个元素，集合B中有4个元素。
如果我们想计算这两个集合的并集的元素个数，根据容斥原理，我们应该先计算集合A的元素个数，再计算集合B的元素个数，然后减去集合A和集合B的交集的元素个数。
另外，容斥原理也可以用于计算三个集合的并集、四个集合的并集，以及更多集合的并集，只需要依次计算每个集合的元素个数，并根据公式依次加减交集的元素个数。
需要注意的是，在应用容斥原理时，我们需要确保计算交集和并集时没有重复计算的情况发生。
这需要我们对问题进行仔细分析和思考，以保证计算结果的正确性。
总之，容斥原理是一种解决组合计数问题的有力工具，在小学奥数中有着重要的应用，通过灵活运用容斥原理，我们可以更快、更准确地解决各类问题。
小学容斥原理的解释
小学容斥原理的解释小学容斥原理，又称为容斥原理、包容原理，是组合数学中的一种重要原理。
它是解决计数问题的一种方法，通过将问题划分为不相交的子集，然后逐个计算每个子集的元素个数，并利用集合的容量大小来计算最终的结果。
容斥原理在解决小学数学题目中的应用相当广泛，如排列组合、概率论等等。
小学生在学习容斥原理之前，首先需要了解集合的概念。
集合就是由一些个体组成的整体，比如我们可以用集合{1, 2, 3}来表示三个小朋友的编号。
在容斥原理中，我们主要使用交集和并集这两个概念。
交集就是把两个或多个集合里共有的个体选出来组成一个新的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集是{2, 3}。
并集就是把两个或多个集合里所有的个体选出来组成一个新的集合。
例如，集合A和集合B的并集是{1, 2, 3, 4}。
容斥原理的核心思想是通过计算交集和并集的关系来求解问题。
首先，我们考虑简单的情况，假设有两个集合A和B，我们要求这两个集合的元素个数之和。
根据容斥原理，我们可以通过计算A和B的并集来获得结果。
但是由于并集中包含了A和B的交集，为了避免重复计算，我们需要减去A和B 的交集的元素个数，也就是用并集的元素个数减去交集的元素个数。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，它们的并集为{1, 2, 3, 4}，交集为{2, 3}。
根据容斥原理，集合A和集合B的元素个数之和等于并集的元素个数减去交集的元素个数，即4-2=2+2=4。
这个结果表示集合A和集合B中一共有4个元素。
在解决实际问题时，容斥原理的应用更为复杂，涉及到多个集合的情况。
我们可以通过逐个考虑不同的情况，然后用加减的方式求得最终的结果。
例如，假设有三个集合A、B和C，我们要求这三个集合的元素个数之和。
根据容斥原理，我们可以先计算每两个集合的交集的元素个数之和，然后再减去所有三个集合的交集的元素个数，最后加上三个集合的并集的元素个数。
实用的计数原理之容斥原理(内含大量实例和详细分析)
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1 、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。
）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。
我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。
小学奥数之容斥原理知识点
小学奥数之容斥原理知识点容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
六年级上册奥数试题-第5讲：容斥原理_全国通用(含答案)
第5讲容斥原理知识网络我们经常会遇到这样一类问题，题目中涉及到包含与排除，也就是说有重叠部分。
解答此类问题的主要依据是容斥原理。
容斥原理一：设A、B是两类有重叠部分的量（如图1所示），若A对应的量为a，B对应的量为b，A与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b-ab容斥原理二：设A、B、C是三类有重叠部分的量（如图2所示），若A对应的量为a，B 对应的量为b，C以应的量为c，A与B重叠部分以应的量为ab，B与C重叠部分对应的量为bc，C与A重叠部分对应的量为ca，A、B、C三部分重叠部分对应的量为abc，则这三类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b+c-ab-bc-ca+abc重点·难点容斥原理的表述虽然简单，但涉及容斥原理的题型很多，范围很广。
我们往往会遇到一些看似与容斥原理无关的问题，然而通过恰当的转化，便可利用容斥原理顺利求解。
如何分析题目，准确找到重叠部分，将问题转化成可用容斥原理解决的问题是本节的难点。
学法指导解决本节问题的最基本方法是示意图法，即通过示意图来表示题目中的数量关系，使分析、推理与计算结合起来，达到使题目的内容形象化，数量之间关系直观化的目的。
因此，这就要求我们在解题过程中，仔细分析，找出所需量并用示意图表示出来，进而通过观察示意图，确定几类量的重叠部分，然后运用容斥原理解决问题。
经典例题[例1]分母是1001的最简真分数，共有多少个？思路剖析分母是1001的真分数有共1000个，为了方便计算，增加一个分数在1001个分数中考虑问题。
由于1001=7×11×13，所心1~1001的分子里只要含有7、11、13的倍数的就一定能同分母约分，即不是最简真分数，应排除掉。
因此，首先应考虑1~1001中，有多少个7、11或13的倍数。
解答因为1001=7×11×13，所以在1~1001的自然数中，7的倍数共有（11×13）个，11的倍数共有（7×13）个，13的倍数共有（7×11）个；7、11年公倍数有13个，7、13的公倍数有11个，11、13的公倍数有7个；7、11、13的公倍数有1个（即1001）。
6年级 奥数 容斥原理
专题解读：
在数学中，我们经常会碰到重复包含的现象。为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这一原理，我们称之为容斥原理，也称包含排除原理。正确运用这一原理，可以帮助我们解答血多抽象的数学问题。
例1.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑自行车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
5.某班学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试。有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的人数如下表。求这个班的学生数？
短跑
游泳
篮球
短跑、游泳
游泳、篮球
短跑、篮球
短跑、游泳、篮球
17
18
15
6
6
5
2
课堂检测
1六一班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。问两项比赛都参加的有几人？
2.分母是1001的最简真分数有多少个？
3.小明统计了全班56名同学喜欢看的电视节目，其中喜欢看动画片的有52人，喜欢看综艺节目的有38人，喜欢看体育节目的有32人，全班三种节目都喜欢看的至少有几人？
4.五年级有54人参加三项课外活动，每人至少参加一项。有32人参加科技组，27人参加书法组，20人参加体育组，其中参加科技又参加体育的有10人，而参加科技组又参加书法组的有14人，既参加体育组又参加书法组的有4人。问三项都参加的有几人？
5.小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记如下表：
姓名
居室Βιβλιοθήκη 门厅厨房厕所总面积
小明家
14
12
8
4
【精品】通用版2022年六年级奥数精品讲义易错专项高频计算题-容斥原理(含答案)
通用版六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编计数问题:容斥原理【知识点归纳】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C【经典例题】例1：聚会时，有5人喝可乐，有6人喝果汁，有4人喝茶水，其中有3人既喝果汁又喝茶水，有（）人参加聚会．A、18B、12C、10分析：由题意可知，聚会人数=喝可乐的人数+喝果汁的人数+喝茶水的人数-既喝果汁又喝茶水的人数即可．解：5+6+4-3=12（人）答：共有12人参加聚会．故选：B点评：此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题一．选择题1．三（1）班有30人，订阅《少儿书画》的有20人，订阅《少年博览》的有25人，每人至少订阅一种刊物，两种刊物都订阅的有()人．2．某班同学积极参加跳绳比赛，参加集体比赛的有10人、参加个人比赛的有19人，两项都参加的有8人，这个班共有()人参加跳绳比赛．A．21B．27C．29D．373．同学们去秋游，休息时玩了2个游戏．玩贴鼻子的有27人，玩抢椅子的有34人，两个游戏都玩的有11人，参加秋游的同学共()人．A．72B．61C．504．一班进行语文、数学测试，得优的共30人．其中语文得优的有18人，两科全得优的有9人，数学得优的有()人．A．3B．12C．215．某单位职工24人中，有女性11人，已婚的16人．在已婚的16人中有女性6人．问这个单位的未婚男性有多少人？()A．1B．3C．9D．126．小强和小刚经常向王爷爷借书来读．已知王爷爷有100本书，其中小强读过的书有60本，小刚读过的书有50本，两人都读过的书有20本，那么() A．两人都没读过的书有20本B．小强读过但小刚没读过的书有30本C．小刚读过但小强没读过的书有40本D．只有一人读过的书有70本7．同学们去动物园游玩，参观猴馆的有31人，参观孔雀馆的有26人，参观两个馆的有20人．每位同学至少参观这两馆中的一个，则去动物园的一共有( )人8．三（1）班喜欢读书的有28人，喜欢运动的有31人，既喜欢读书又喜欢运动的有12人，三（1）班共有()人．（每人至少选一项喜欢的）A．59B．35C．479．三（1）班有学生45人，喜欢喜羊羊的有38人，喜欢美羊羊的有36人，每个学生至少喜欢喜羊羊和美羊羊中的一个，既喜欢喜羊羊又喜欢美羊羊的有( )人．A．12B．29C．3310．下列4句话中正确的说法是哪些？()（1）步测一段距离，每步的平均长度和走的步数成反比例．（2）用4个圆心角是90 的扇形肯定可以拼成一个圆．（3）将形状、大小一样的红、白两种颜色的小球各5个，放在一个不透明的袋子里，任意摸出1个球，摸到红球和白球的可能性相等．（4）一个班有40名学生，其中有18人参加美术组，15人参加数学组，有10人这两个小组都参加，那么这两个小组都没参加的有17人．A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）二．填空题11．三（1）班有32人订阅了《小学科学》，有24人订阅了《纸上天文馆》，有12人两种刊物都订阅了，每人至少订阅了其中的一种刊物，三（1）班共有人。
第五讲 二阶容斥原理
第五节二阶容斥原理【知识要点】在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理．解答这类应用题的关键是：确定分类标准，画出示意图，找出重复部分，搞清楚重复了几次，及题中问题是什么．【典型例题】[#]例1．同学们排成一队做游戏，小鱼的位置从前往后数是第6个，从后往前数是第10个，你知道有多少个小朋友在做游戏吗？[#]例2．詹老师班的学生全都多才多艺，人人都至少会弹钢琴、唱歌中一门才艺表演，其中会弹钢琴的有30人，会唱歌的有50人，两样都会的有25人，詹老师班上一共有多少名学生？[#]例3．边长为3厘米的正方形与边长为5厘米的正方形放在桌面上，如图，它们所盖住的面积有多大？[#]例4．一张纸片面积为7平方厘米的圆形纸片、一张边长为厘米2的正方形纸片，把这两张纸片放在桌面上，覆盖的面积为8平方厘米，问两张纸片重合部分的面积是多少平方厘米？[#]例5．小皮蛋当过一次导游，他带领着的旅行团参观了深圳的青青世界，在这个旅行团中，会中文的有24人，会英文的有18 人，两种都会的有12人，两样都不会的有5人，你知道小皮蛋带领的这个旅行团共有多少人吗？2 2335例6．在国际学校的一个班中有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都会的有14人，两样都不会的有多少人？例7．一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的52人，这两种棋都不会下的有12人．问这两种都会下的有多少人？小试锋芒姓名：成绩：[#]1．鸿鸿排队唱歌，她站的这一排，从左往右数，她是第8个，从右往左数，她是第5个，问这一排共有多少个人？[#]2．邦德第二届圣诞嘉年华要开幕了，芹菜老师班的学生当然是积极参加，他们组成了欢歌笑语队，进行体操表演时，正好排成了6行，队长乐乐站在第一行，从左数，他是第5个，从右数，他是第3个，欢歌笑语队一共有多少位芹菜老师的兵？[#]3．一张正方形的纸片面积是50平方厘米，一张圆形的纸片面积是40平方厘米．两张纸片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米，则这两张纸片重合部分的面积是多少？4．Bond学校M4B17班一共有学生21人，班主任林老师在自习课上问：“谁做完英语作业？请举手！”有15人举手．又问：“谁做完数学作业？请举手！”有20人举手．最后问：“谁英语、数学作业都没有做完？”没有人举手．你知道林老师班英语和数学作业都做完的一共有多少人吗？5．四年级三班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人．这两队都没有参加的有10人．请计算这个班共有多少人？6．50个学生参加期末考试，英语得100分的18人，数学得100分的27人，两门学科都得100分的8人．两门学科都没得满分的有多少人？ABCD7．运动队50名同学中，喜欢打乒乓球的有28人，喜欢打羽 毛球的有16人，两项活动都不喜欢的有12人．两项活动都喜 欢的有多少人？8．在线段AB 上取两个点C 、D ，已知AB=25，AD=19， CB=17，求CD 长．9．1—20中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个？[*]10. 1—50中不是3的倍数或5的倍数的数共有多少个？[*]11．40名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是3的倍数的同学向后转，接着又让报数是5的倍数同学向后转，问此时还有多少名同学面向老师？[*]12．百花小学举办学生书法展览．学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？大显身手姓名：成绩：[#]1．把边长为5厘米和边长为2厘米的两张正方形纸片放在桌面上，覆盖的面积为27平方厘米，问两张纸片重合部分的面积是多少平方厘米？[#]2．Q宠宝贝排队做操，从前向后数，Q宝喵喵是第7个，从后向前数，喵喵是第14个．这一队一共有多少位Q宠宝贝？5[#]3．某班级学生家中至少有彩色电视机和电冰箱中一种，其中32人的家中有彩色电视机，40人家中有电冰箱，彩色电视机和电冰箱都有的为24人．这个班学生有多少人？[#]4．园岭小学三年级参加作文和数学竞赛，参加作文竞赛的有26人，参加数学竞赛的有50人，既参加作文竞赛，又参加数学竞赛的有15人，两种竞赛都不参加的有70人．三年级共有学生多少？5．四(2)班有学生46人，其中会打篮球的有18人，会踢足球的有14人，两样都会的有6人，两样都不会的有多少人？6．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75 人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？7．1—30中是3的倍数或5的倍数的数共有多少个？[*]8．科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件．其他年级参展的作品共有多少件？。
6年级 奥数 容斥原理
姓名
居室
门厅
厨房
厕所
总面积
小明家
14
12
8
4
38
小龙家
20
12
8
4
44
他们住的这套房子共有多少平方米？
课后作业
1.100个小朋友做游戏，每人至少拿一面旗，其中56人拿小红旗，52人拿小黄旗。几人既拿小红旗又拿小黄旗？
容斥原理
专题解读：
在数学中，我们经常会碰到重复包含的现象。为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这一原理，我们称之为容斥原理，也称包含排除原理。正确运用这一原理，可以帮助我们解答血多抽象的数学问题。
例1.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑自行车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
5.某班学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试。有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的人数如下表。求这个班的学生数？
短跑
游泳
篮球
短跑、游泳
游泳、篮球
短跑、篮球
短跑、游泳、篮球
17
18
15
6
6
5
2
课堂检测
1六一班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。问两项比赛都参加的有几人？
例5.某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。
短跑
投掷
跳远
短跑、跳远
短跑、投掷
(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。
小学数学容斥原理知识点
小学数学容斥原理知识点在小学数学中，容斥原理是一种非常重要的解题方法，可以帮助我们解决一些复杂的计数问题。
容斥原理通过排除重复计数来解决问题，让我们一起来了解一下容斥原理的具体内容。
容斥原理的基本思想是，对于所给的问题，我们可以从整体的角度来思考，然后通过减去重复计数的部分来得到最终的结果。
下面我们通过一个具体的例子来理解容斥原理。
假设有一个小学学生组成的班级，其中有20个学生，分别擅长数学、英语和音乐。
我们想要知道至少擅长其中一门学科的学生人数。
首先，我们可以分别统计擅长数学、英语和音乐的学生人数，分别记为M、E和M1；然后，我们可以统计同时擅长数学和英语、数学和音乐以及英语和音乐的学生人数，分别记为ME、MM和EM；最后，我们可以统计同时擅长数学、英语和音乐的学生人数，记为MEM。
根据容斥原理，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数为：M + E + M1 - (ME + MM + EM) + MEM在这个例子中，我们通过容斥原理将问题分解成了几个部分，并减去了重复计数的学生人数。
通过这样的计算，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数，而不需要逐个统计每个学生的情况。
容斥原理不仅可以用于解决学生人数的问题，还可以用于解决更复杂的计数问题。
下面我们通过更多的例子来进一步了解容斥原理的应用。
例子一：小明手中有4个红色球、3个蓝色球和2个绿色球，他从中随机取出3个球，问至少有两个球是红色的概率是多少？我们可以使用容斥原理来解决这个问题。
首先，我们可以计算至少取到一个红色球的概率（记为P(至少一个红色球)）；然后，我们可以计算至少取到两个红色球的概率（记为P(至少两个红色球)）；最后，我们可以计算至少取到三个红色球的概率（记为P(至少三个红色球)）。
根据容斥原理，我们可以得到至少有两个球是红色的概率为：P(至少一个红色球) - P(至少两个红色球) + P(至少三个红色球)我们可以具体计算每个部分的概率，然后代入公式进行计算。
小学奥数知识点 —— 容斥原理
容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
荣斥原理公式
荣斥原理公式荣斥原理公式是数学中一个非常有趣且实用的概念。
咱先来说说啥是荣斥原理。
想象一下，学校组织了一场活动，有喜欢画画的同学，有喜欢唱歌的同学，还有喜欢跳舞的同学。
但有些同学既喜欢画画又喜欢唱歌，有些同学既喜欢唱歌又喜欢跳舞，甚至还有些同学三样都喜欢。
那怎么才能准确知道参加活动的同学总数呢？这时候荣斥原理就派上用场啦！荣斥原理的公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开这种复杂的人数谜题。
比如说，假设有 A、B、C 三个集合，分别代表喜欢画画、唱歌、跳舞的同学。
那么，A∪B∪C 的元素个数，也就是参加活动的总人数，就可以用 A 的元素个数加上 B 的元素个数加上 C 的元素个数，然后减去 A 和 B 的交集元素个数，再减去 A 和 C 的交集元素个数，接着减去 B 和 C 的交集元素个数，最后还要加上 A、B、C 的交集元素个数。
用公式表示就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| -|B∩C| + |A∩B∩C| 。
我给您举个具体的例子哈。
有一次，我在课堂上给同学们出了一道这样的题。
咱班有 30 个同学，15 个喜欢数学，18 个喜欢语文，10 个喜欢英语。
其中 8 个同学既喜欢数学又喜欢语文，5 个同学既喜欢数学又喜欢英语，4 个同学既喜欢语文又喜欢英语，还有 2 个同学三门学科都喜欢。
那咱班到底有多少同学至少喜欢一门学科呢？这时候就用上荣斥原理公式啦！先分别算出各门学科喜欢的人数，数学 15 人，语文 18 人，英语 10 人。
然后算交集，数学和语文交集 8 人，数学和英语交集 5 人，语文和英语交集 4 人，三门都喜欢的交集 2 人。
把这些数代入公式：|A∪B∪C| = 15 + 18 + 10 - 8 - 5 - 4 + 2 ，经过计算得出 28 人。
这就说明咱班至少喜欢一门学科的同学有 28 人。
同学们一开始对这个公式还不太理解，觉得有点复杂。
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【例2】(★★★) 某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，3人既会 英语又会俄语，2人既会俄语又会日语，2人既会英语又会日语，1 人三种语言全会.只会1种外语的人比1种外语也不会的人多______ 个.
【例4】(★★★★) 2016盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1、2、 ……2016.将编号为2的倍数的灯各拉一下，再将编号为3的倍数的 灯各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯各拉一下，最后亮着的灯 有______盏.
计数原理之容斥原理
【加油站】 计数问题的最高原则是什么？ 不重不漏 1．先包含—— A B 重叠部分 A B计算了2次， 多加了1次； 2．再排除—— A B A B 把多加了1次的重叠 部分 A B减去。
A∩B
C∩A
Байду номын сангаас
A∩B∩C
1．先包含：A＋B＋C
B∩C
2．再排除：A＋B＋C－A∩B－B∩C－ A∩C ，重叠部分A∩B∩C重叠了 3次，但是在进行A＋B＋C－A∩B －B∩C－A∩C计算时都被减掉了。
1
【例5】(★★★) 森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的 一种或者几种.爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜 的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃 萝卜.如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有 多少只？
【例6】(★★★★★)
3．再包含：A＋B＋C－A∩B－B∩C－ A∩C＋A∩B∩C。
【例1】(★★) 在一群小朋友中，有12人看过动画片《樱桃小丸子》，有21人看 过动画片《喜羊羊与灰太狼》，并且有8人两部动画片都看过。请 问：只看过其中一部动画片的小朋友有多少人？
【例3】(★★★) 一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻 度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度， 如果按刻度把木棒截断，那么可以截出______段.
在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已 知甲浇了30盆，乙浇了40盆，丙浇了50盆，丁浇了70盆， ①恰好被4个人浇过的花最多是多少？最少是多少？ ②恰好被3个人浇过的花最多是多少？最少是多少？ ③恰好被2个人浇过的花最多是多少？最少是多少？ ④恰好被1个人浇过的花最多是多少？最少是多少？
【例7】(★★★★) 已知三角形 ABC是直角三角形，AC＝4厘米 ，BC＝2厘米 ，求阴 影部分的面积．(π取3.14) B
A
C
本讲总结 必会工具：韦恩图，线段图，
方程，高斯记号 重要应用：数论，几何 重点例题：例2，例3，例5，例6
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