数值分析小论文 董安

数值分析作业

课题名称代数插值法-拉格朗日插值法班级Y110201

研究生姓名董安

学号S2*******

学科、专业机械制造及其自动化

所在院、系机械工程及自动化学院2011 年12 月26日

代数插值法---拉格朗日插值法

数值分析中的插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。利用计算机解决工程问题与常规手工计算的差异就在于它特别的计算方法.电机设计中常常需要通过查曲线、表格或通过作图来确定某一参量,如查磁化曲线、查异步电动机饱和系数曲线等.手工设计时,设计者是通过寻找坐标的方法来实现.用计算机来完成上述工作时,采用数值插值法来完成。因此学好数值分析的插值法很重要。

插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数 (x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值.本文着重介绍拉格朗日(Lagrange)插值法。

1.一元函数插值概念

定义 设有m+1个互异的实数1x ，2x ，···，m x 和n+1 个实值函数

x ，

1

x ，···n

x ，其中n m 。若向量组

k

=（

0k

x ，

1k

x ，

···，k

m x ）T （k=0,1，

，n ）

线性无关，则称函数组{k

x （k=0,1，

，n ）}在点集{i x (i=0,1,

,m)}上线性无关；否

则称为线性相关。

例如，函数组{2+x ，1-x ，x+2

x }在点集{1,2,3,4}上线性无关。 又如，函数组{sin x ，n2x ，sin3x }在点集{0，

3

，

2

3

，}上线性相关。 给点n+1个互异的实数0x ，1x ，···，n x ，实值函数f x 在包含0x ，1x ，···，n x 的某个区间,a b 内有定义。设函数组

{

k

x （k=0,1，

，n ）}

是次数不高于n 的多项式组，且在点集{0x ，1x ，···，n x }上线性无关。

现在提出如下的问题：在次数不高于n 的多项式集合 n D =Span{0，

1，

···，n

}

中寻求多项式

n p x =0

n k

k

k c

x （1.1）

使其满足条件

n i p x =i f x (i=0，1，

，n) （1.2）

此问题称为一元函数的代数插值问题。0x ，1x ，···，n x 称为插值节点；f x 称为被插值函数；

k

x （k=0,1，

，n ）称为插值基函数；条件（1.1）称为插值条件；满足插

值条件（1.2）的多项式（1.1）称为插值多项式。

由于插值基函数组{

k

x （k=0,1，

，n ）}在点集{i x (i=0,1,

,n)}上线性无关，所

以满足插值条件（1.2）的n 次插值多项式n p x 是存在且唯一的。

又由于插值基函数组限定为次数不高于n 的多项式组，所以对于不同的插值基函数组，只要满足同一插值条件（1.2），则所得的n 次插值多项式也是唯一的。

2. Lagrange 插值方法

2.1. Lagrange 插值基函数

∏≠=--=

n

k

j j j

k

j

k x x

x x x l 0

)( 0,1,,k

n

称为Lagrange 插值基函数。

显然，k l x

0,1,,k n 都是n 次多项式，且具有下列性质

k i l x = ⎩

⎨⎧≠=)(0)

(1k i k i

因此，函数组k l x

0,1,

,k n 必在点集{0x ，1x ，

···，n x }上线性无关，并且 n p x =0

n k k k l x f

x

或

n p x =

0n n j k k j k

j

j k

x x f x x x

就是满足插值条件（1.2）的n 次插值多项式。 2.2. Lagrange 插值多项式

设给定n+1个互异点(,())k k x f x ，0,1,

,k

n ，i j x x ，i

j ，满足插值条件

)

()(k k n x f x L =，n k ,,1,0 =

的n 次多项式

∏∏

∏=≠==--==n

k n

k

j j j

k j k k n

k k n x x x x x f x l x f x L 0

00

)

)(()()()(

为Lagrange 插值多项式，称

∏=+-+=-=n

j j x n n x x n f x L x f x E 0

)1()()!1()()()()(ξ

为插值余项，其中x

x

（a ，b ）。

3. 例题分析

例1．设0x ，1x ，···，n x 为n+1个互异的插值节点，0l x

，1l x ，…，n l x 为

Lagrange 插值基函数，证明：

()

1n

j j l x

证 考虑 ()1f x ，利用Lagrange 插值余项定理

)

())(()!1()()()(101n n n x x x x x x n f x L x f ---+=-+ ξ

显然

1

)()(≡=x f x L n 。

利用Lagrange 基函数插值公式，有

k

j n

j k j j n

j j n x

x l x x l x f x L =⋅==∏∏==)()()()(0