航天器的轨道与轨道力学

矢量 rv 必定为一运动常数，简记为 h ，称作比角动 量。至此已经证明了航天器的比角动量 h 沿着其轨道为 一常数， h 的表达式为
hr v
因为
(2．24)
和 的平面正交。但 h 为一恒定矢量，所以 r 和 必定 总在同一平面内。由此可以证明航天器的运动必定限制 于一个在空间固定的平面内，称为轨道平面。轨道平面 具有定向性。
2.2
二体轨道力学和运动方程
2.2.1 N体问题
为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系， 在该坐标系内，n个质量的位置分别为 r .此系 ,r ,r 1 2, n 统如图2.4所示。
m n 作用在 m 由牛顿万有引力定律得出，
为
i
上的力 F g n
G m im n F ( r g n n i) 3 r n i
r2 G 3 (rj2)
j 1 j2
n
mj
rj2
(2.15)
根据式(2.6)，有
r r r 2 1 1 2
r r r 2 1 1 2
nm
j 3 j 2
(2.16)
于是有
(2.17)
将式(2．14)和(2．15)代人式(2．17)得到
j r G ( r ) G ( r ) 2 1 j 1 j2 3
(2.5) (2.6)
g
式中
r r r n i i n
为
作用在第i个物体上的所有引力的矢量和 F
F G m g i
j 1 j i
n
m j r j i
( r j i)
(2.7)
图2.4中所示的其他外力 F 其 他 ，包括阻力、推力、太阳辐 射压力、由于非球形造成的摄动力等。作用在第i个物体 上的合力称为 F 总 ，其表达式为
考虑质量分别为M和m的两个物体构成的系统，如图 2．5所示。设 OXYZ ' ' ' ' 为惯性坐标系，OXYZ为原点在 ' ' ' ' 平行 质量为M的物体质心上的不转动的，且与OXYZ 的坐标系。物体M和m在坐标系内的位置矢量分别为 r M 和 r m ，并定义
rr r m M
现在，在惯性坐标系 OXYZ 内可以应用牛顿定律， ' ' ' '
牛顿
2.1
航天器轨道的基Baidu Nhomakorabea定律
如果说1642年的圣诞节迎来了理性的时代, 那么完 全是由于有两个人为大约50年后牛顿最伟大的发现奠定 了基础。一个是第谷·布拉赫, 他几十年如一日,极为细 致地收集和记录了行星精确位置的大量数据；另一个是 约翰·开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能， 揭示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是 用肩膀托起牛顿的“巨人”。
为了方便和具有一般性，称M为中心引力体，定义引力参 M 。 于是式(2．20)变为 数 G
r 3 r 0
r

(2．21)
此即为二体运动方程。对不同的中心引力体， 的值不 3 3 2 ； 对于太阳， 同。对于地球， 3 . 9 8 6 0 1 2 1 0 k m / s
1 . 3 2 7 1 5 4 1 0 k m / s
和
d ( ) 2 r dt r r
故
d v2 ( )0 dt 2 r
更具一般性地，上式可以写为 d v2
(
c ) 0 dt 2 r
式中，c为任意常数。由此，下式定义的量必为常数：
2 v ( c ) = 常 数 2 r

称为比机械能。
于是，可以得出结论：当卫星沿着轨道运行时，卫 星的比机械能 ( 即单位质量的动能和单位质量的势能 之和)既不增加，也不减少，而是保持常值。 的表达式 为
开普勒第二定律
开普勒第二定律
式中， dA/dt表示单位时间内矢径扫过的面积，叫 做面积速度。 为了保持面积速度相等，行星在近日点附近运行的 路程 S1S2较长，速度相应地要快些；在远日点附近运行 的路程S5S6较短，因而速度相应地要慢些。这种变化规 律，叫做面积速度守恒。
3．第三定律——周期律
d ( r h ) r h r h r h d t
于是，可以将式(2．26)改写为
两边积分得
d dr ( r h ) () d t d t r
r rh B
r
这里B是积分常矢量。用r点乘该式就得到标量方程
r rr h r rB
r
显然，轨道的几何方程是一个圆锥曲线的极坐标方 程，中心引力体质心即为极坐标的原点，位于一焦点上， 极角v为r 与圆锥曲线上离焦点最近的一点与焦点连线间 的夹角，常数 p 称为“半正焦弦”，常数 e 称为“偏心 率”，它确定了方程式(2．28)表示的圆锥曲线的类型， 如图2．7所示。
万有引力定律：
任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与 它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。 数学上可以用矢量形式把这一定律表示为
G M m r F g 2 r r
式中， Fg为由于质量引起的作用在质量m上的力矢量； r为从到m的距离矢量。万有引力常数G的值为
G =6．670×10-13 N·cm2／g2。
v 2 r
2
(2．23)
2．角动量守恒 用 叉乘式(2．21)，得到
r
r r r 3 r 0
r

因为 a 总是成立，故上式左边第二项为零，得 a 0
注意到
d ( r r ) r r rr d t
r r 0
所以有
d (r r) 0 或 dt
d (r v) 0 dt
同时还列出了地球的非球形 ( 偏状)造成的影响，以供比
较。
分析表2．1中的数据容易 看出，围绕地球运行的航天器 受到地球的引力占有主导地位， 因此进一步简化运动方程式 (2．19)，简化N体问题是可能 和合理的。
表2.1
2.2.2 二体问题和运动方程 首先，作两个简化假设： (1)物体为球对称的，这样就可以把物体看作质量集 中在其中心。 (2)除了沿两物体中心连线作用的引力外，没有其他 外力和内力作用。 其次，确定一个惯性坐标系(无加速度的和无转动的 坐标系)以便测量物体的运动状态。牛顿描述惯性坐标系 时说：此坐标系固定在绝对空间内，“按其本质来说， 它与外界无任何关系，永远保持那样并且不动”。
v
h
为
r
和
v
的矢量叉积，因此，它必定与包含 r
v
2.3 航天器轨道的几何特性
2.3.1 轨道的几何方程 将方程式(2．21)两边同时与h叉乘，有
r h rh hr
3 r 3 r
(2．26)
a b ) c b ()() a c a b c 考虑到h守恒和矢量运算规则 ( 及r r r r , 所以
FF g F 总 其 他
(2.8)
F F F F F (2.9) 其 他 阻 力 推 力 太 阳 压 力 干 扰
现在应用牛顿第二运动定律
d (m iv i )F 总 d t
(2.10)
把对时间的导数展开，得到
d v d m i i m v F i i 总 (2.11) d t d t 如前所述，物体可能不断排出某些质量以产生推力。在 这种情况下，式 (2.11)中的第二项就不等于零。某些与 相对论有关的效应也会导致质量 m i 随时间变化。式 m i m i ，就得出第 i 个物体的一般运动方 (2.11) 各项除以 程为 F m (2.12) 总 i r r i i m m i i
得到
G M mr m r m r2 r
即
G M mr M r M r2 r
GM rm 3 r
得
r
rM Gm r 3
r
G ( M m ) r r r r m M 3 r
（2.20）
方程式(2．20)为二体问题相对运动的矢量微分方程。 考虑到实际情况有
G ( Mm ) G M
行星绕太阳公转的周期T的平方与椭圆轨道的长半径a 的立方成正比。即
a3/T2=K
它说明，行星椭圆轨道的长半径越大，周期就越长，而 且周期仅取决于长半径。
图2．3表示3种不同椭圆度的轨道，它们的长半径都 相等，周期也就相同。
图2．3 开普勒第三定律
2.1.2
牛顿定律
第一运动定律 任一物体将保持其静止或是匀速直线运 动的状态，除非有作用在物体上的力强迫其改变这种状 态。 第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作 用力的方向相同。 第三运动定律 反作用。 对每一个作用，总存在一个大小相等的
m 1 为地 不失一般性，假定 m 2 为一个绕地球运行的航天器， 球，而余下的 mm 可以是月球、太阳和其他行 , 4 , m 3 n 星。于是对 i=1 的情况，写出方程式 (2.13) 的具体形式， 得到
r G 3 (r 1 j1)
j 2
n
m j rj1
(2.14)
对i=2的情况，方程式(2.13)变成
第谷．布拉赫
约翰．开普勒
2.1.1 开普勒定律 1．第一定律——椭圆律
每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的 一个焦点上。
因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离 太阳最近的一点为近日点，离太阳最远的一点为远日点， 如图2．1所示。
2．第二定律——面积律 由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫过相等的 面积。 在图所示中，S1,S2,S3,S4,S5,S6,分别表示行星运行到 t1,t2,t3,t4,t5,t6, 时刻的位置。如果从S1到S2的时间间 隔和S3到S4 ， S5到S6的时间间隔相等，则矢径扫过的面 积S1OS2, S3OS4, S5OS6也都相等，可表示为 dA/dt=常量
V 1
航天器的轨道
V 1 第一宇宙速度 V 2 第二宇宙速度
2.3.2 轨道的几何性质 1．圆锥曲线轨道的几何参数 圆锥曲线轨道包括圆、椭圆、抛物线和双曲线4种类型 的轨道。图2．8给出了各种圆锥曲线轨道共同的一些几 何参数和关系。
1 1
3 2
2.2.3 轨道运动常数 1．机械能守恒 用 r 与式(2．21)作点乘，且 vr,v r ,得到
3 3 r r 因为由矢量运算法则 a ，故 a a a
r rr rv v r r 0
vv

r
3
rr 0
并且注意到
d v2 ( ) vv dt 2
nm
j 1r j 2
j 2r j 1
(2.18)
因为
r 12 r 21 ，所以
n r G ( m m ) j 2r j 1 1 2 r ( r ) G m ( ) (2.19) 2 1 2 1 j 3 3 3 r r j 3 2 1 j 2 r j 1
为了进一步简化这一方程，需要确定摄动影响与航 天器和地球间的引力相比有多大。表2．1 列出了一个高 度为370 km的航天器的各相对加速度(不是摄动加速度)，
至此，可以把航天器的轨道运动总结如下： (1) 圆锥曲线族 ( 圆、椭圆、抛物线、双曲线 ) 为二体问 题中的航天器惟一可能的运动轨道。 (2)中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点。 (3)当航天器沿着圆锥曲线轨道运动时，其比机械能(单 位质量的动能和势能之和)保持不变。 (4) 航天器绕中心引力体运动，当 r 和 v 沿轨道变化时， 比角动量h保持不变。 (5)轨道运动总是处在一个固定于惯性空间的平面内。
第二章 航天器的轨道与轨道力学
2.1航天器轨道的基本定律 2.2二体轨道力学和运动方程 2.3航天器轨道的几何特性 2.4航天器的轨道描述 2.5航天器的轨道摄动
第二章
航天器的轨道与轨道力学
“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄 园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来 告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱 的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的 头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 ‘伊 萨克和汉纳·牛顿之子伊萨克 ’。虽然没有什么贤人哲 士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界 的思想和习惯。”
方程式(2.12)是一个二阶非线性矢量微分方程，这种 形式的微分方程是很难求解的。假定第i个物体的质量保 持不变（即无动力飞行，m i =0），同时还假定阻力和其 他外力也不存在。这样，惟一存在的力为引力，于是方 程式(2.12)简化成
ri G
j1 ji
n
mj r
3 ji
(rji )
(2.13)