《电磁学》第8章 第8.3 能流密度矢量(3学时)

∂W = ∂t ∂w 2 dV = − E × H ⋅ d Σ − ∫∫∫ ρ j0 dV + ∫∫∫ K ⋅ j0dV ∫∫∫ ∫∫ ∂t (V ) (Σ) (V ) (V )
(
)
(3)
因此，左边这一项的意义是体积V内单位时间增加的电磁能。
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
光子的静止质量为m0=0，所以
E hν = p = c c
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
1 2
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8.3.2 电磁场的动量 、光压
电磁场的能量密度为： w = ( E • D + H • B) 真空中有，
1 B2 2 = w (ε 0 E + = ) ε0E 2 µ0 2
S = E × H = wc
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电磁场的能量原理和能流密度矢量
= E × H 是沿着电磁波传播方 对于平面电磁波的讨论可知， S 向，即能量总是向前传播的。电磁波中E和H都随时间迅速变化。在实 际中重要的是它在一个周期内的平均值，即平均能流密度：
对于简谐波来说，如同计算交流电的平均功率那样容易得出：
1 S = E0 H 0 2
分别利用H和E点乘以上两式，并将所得两式相减，得：
∂B ∂D H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H ) = −H ⋅ − E ⋅ j0 − E ⋅ ∂t ∂t
(1)
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D = ε 0ε E 考虑到关系式： B = µ0 µ H ∂B ∂ D ∂ 1 ∂ 1 ( D ⋅ E) H⋅ = ( B⋅H) E⋅ = ∂t ∂t 2 ∂t ∂t 2
《电磁学》第八章
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本节作业：p. 583 8.3-3, 8.3-4
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8.3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量
为了弄清楚式子(3)中右端第二、第三项的物理意义，我门不妨先考虑一小的 电流管的情况，在V内取一小电流管，其截面积为△∑，长为△l，则：
( 小流管 )
∫∫∫
= ρ j0 ∆Σ∆ = ρ j0 dV l ( jo ∆Σ) (
2 2 2
ρ∆l
2 = = Q R ) I0 ∆Σ
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8.3.2 电磁场的动量 、光压
根据狭义相对论，能量和动量是密切联系的，能量 和动量的定义式为：
2 E h= = ν mc =
m0c
2
1 − v 2 / c2
p mv = =
m0v
1 − v 2 / c2
由此容易得到，相对论动量和能量之间的关系：
2 4 = E 2 p 2 c 2 + m0 c
1 S ∝ (3) 从上式还可以看出 r2
，这说明通过任何一个以振子 为中心的球面的能量都是相等的。
2 S ∝ sin θ 因此偶极振子辐射电磁能量并不是各向 (4) 由于 同性的，沿着赤道面S最大，r靠近极轴，S越小，到了极轴， 没有能量沿着该方向发出。
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8.3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量
再应用矢量分析中的恒等式：
H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H ) = ∇ ⋅ ( E × H )
式子(1)可以写成：
∂ 1 1 ∇ ⋅ ( E × H ) = − ( B ⋅ H + D ⋅ E ) − E ⋅ j0 ∂t 2 2
所以与真空中的平面电磁波相联系的单位面积的电磁波动量密度为：
w S 1 g = = = E×H 2 2 c c c
矢量形式为：
g=
1 S E × H = c2 c2
即电磁波的动量密度大小正比于能量或能流密度，方向沿电磁波传播 方向，即能流密度方向。
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
பைடு நூலகம்
因此，这一项的意义是体积V内单位时间内的焦耳损耗。
( 小流管 )
∫∫∫
K ⋅ j0dV= jo K ∆Σ∆l= jo ∆ΣK ∆l= I 0 ∆ε= A
因此这一项的意义应该是体积V内单位时间电源所做的功。
到此，(3)式可写为：
∂W = − E × H ⋅ dΣ − Q + A ∫∫ ∂t (Σ)
《电磁学》第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波（8学时） 林志立
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《电磁学》第八章
内容概要
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第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波（8学时） • §8.1 麦克斯韦电磁理论（2学时） • §8.2 电磁波（3学时） • §8.3 电磁场的能流密度与动量（3学时） • §8.4 似稳电路和迅变电磁场（自学）
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量
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8.3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量
电磁场的能量定域于场中的，其能量密度等于电场的 能量密度与磁场的能量密度之和，即：
1 1 w= D⋅E + B⋅H 2 2
由麦克斯韦方程组知
∂B ∇× E = − ∂t
∂D ∇× H = j0 + ∂t
∂t
(2)
容易看出上式右端第一项刚好是电磁场能量密度对时间的变化 率的负值，即 − ∂w 。 应用于右端第二项，可得：
我们再把有非静电力K下欧姆定律的微分形式= j0 σ ( E + K )
j0 E ⋅ j0 = ( − K ) ⋅ j0 =
σ
σ
j0 2
2 − K ⋅ j0 = ρ j0 − K ⋅ j0
S入
F
S反
受到的压强为：
2 EH , 全反射 ∆F 1 c = ( S入 + S反 ) = P= ∆Σ c 1 EH , 全吸收 c
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8.3.3 电磁场是物质的一种形态
• 能量和动量都是物质运动的量度，运动是物质的存在方式，运动 和物质是不可分割的。电磁场具有能量和动量，证明它是与实物 一样的物质的一种存在形态。“场”和“实物”是物质存在的两 种不同的形态。 • 电磁场和实物有很多的相同点和不同点。 相同点：都有能量、动量和质量； 不同点：实物有静止质量光子没有静止质量；实物具有不可入 性，电磁波可以和实物占有同一空间，各自独立。 • 虽然电磁场和实物各自具有一些不同的属性。但随着科学的发展 ，场和实物之间的差异并没有想象中的大。比如光也具有微粒性 ，波粒二象性；微观电子具有波动性。而且在一定条件下可以相 互转化。（一对正、负电子结合后可以转化为伽马射线）
∫∫∫ ∂t
(V )
dV = − ∫∫∫ ∇ ⋅ ( E × H )dV − ∫∫∫ ρ j0 2dV + ∫∫∫ K ⋅ j0dV
(V ) (V ) (V )
由矢量高斯定理可知：
)dV ∫∫∫ ∇ ⋅ ( E × H=
(V )
∫∫ (
(Σ)
E × H ⋅ dΣ
)
则(2)式可变为：
(
)
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量 8.3.1
∂W E × H ⋅ dΣ − Q + A = − ∫∫ ∂t (Σ)
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电磁场的能量原理和能流密度矢量
(
)
引入一个新的矢量 S ，其定义如下：
S 称作电磁能流密度矢量或坡印廷矢量(Poynting vector) 。它的
式中 系：
E0 , H 0 是E和H的振幅，由于
E0
和
H 0 之间存在比例关
ε r ε 0 E0 = µr µ0 H 0
故：
S ∝ E0 2或H 0 2
这说明电磁波的能流密度正比于电场或者磁场振幅的平方。
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例：偶极振子辐射波的能流密度 在偶极振子的辐射区里，S的表达式为：
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8.3.2 电磁场的动量 、光压
由于电磁波具有动量，因此在被物质表面反射或吸收时， 必定产生压强，称为辐射压强。 光是一种电磁波，它所产生的辐射压强称为光压。光压一 般情况下非常小的。 彗星尾巴背着太阳就是太阳的光压造成的。
Δt时间内，入射波和反射波作用于物体上的动量为： S入 1 ∆p入 = g 入 ∆V = g 入 ∆Σc∆ = t ∆Σ c ∆ = t S入 ∆Σ∆t 2 c c S 1 ∆p反 = − g 反 ∆V = − g 反 ∆Σc∆t = − 反 ∆Σ c ∆ t = − S反 ∆Σ∆t 2 c c 则金属物体受到的作用力为： ∆p ∆p入 +∆p反 1 ∆ = F = = ( S入 − S反 ) ∆Σ ∆t ∆t c
《电磁学》第八章
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§8.3 电磁场的能流密度与动量 8.3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量 ∂w 2 = −∇ ⋅ ( E × H ) − ρ j0 + K ⋅ j0 式子(2)可变形为： ∂t
现在我们在空间任取一体积V，表面为∑，将上式两边对体积V积 分： ∂w
方向代表电磁能传递的方向；它的大小表示单位时间内流过与之垂 直的单位面积的电磁能量。 由此，我们得到代表着能量守恒关系的坡印廷定理：
S= E × H
(4)
∂W = − S ⋅ dΣ − Q + A ∫∫ ∂t (Σ)
(4)
《电磁学》第八章 §8.3 电磁场的能流密度与动量 8.3.1
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8.3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量
ˆ ( I 0 ∆l ) 2 β 4 sin 2 θ sin 2 ω (t − r ) ε 0 r ˆ ( , ) ( , ) S (r , t ) E r t H r t S = = θ α 4πε 0ω r v µ0
可以看到: (1) 能量沿着r方向传播，其流动方向即为电磁波的传播方向。 (2) 由于 ，因此，振子的固有频率越高，能量的辐射越 β =ω/v 多；在一般的交流电路中，由于频率很低，电磁波的能量 辐射可以忽略不计。