高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数的基本关系

高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数

的基本关系

集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-

同角三角函数的基本关系

【知识梳理】

同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2

α＋cos 2

α＝1.

(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即

sin α

cos α＝tan_α

⎝ ⎛⎭

⎪⎫其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】

题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值

【例1】 (1)已知sin α＝12

13

，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.

(2)已知cos α＝－4

5

，求sin α和tan α.

[解] (1)cos 2

α＝1－sin 2

α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫5132

，又α是第二象限角，

所以cos α<0，cos α＝－

513，tan α＝sin αcos α＝－125

. (2)sin 2

α＝1－cos 2

α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫352

，

因为cos α＝－4

5

<0，所以α是第二或第三象限角，

当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3

4；当α是第

三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝3

4

.

【类题通法】

已知三角函数值求其他三角函数值的方法

(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α，求得

cos α的值，再由公式tan α＝sin α

cos α

求得tan α的值．

(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α，求得

sin α的值，再由公式tan α＝sin α

cos α

求得tan α的值．

(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝sin α

cos α

＝m?sin α＝

m cos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±

1

1＋m2

，sin α＝

±

m

1＋m2

的值．

【对点训练】

已知tan α＝

4

3

，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝

sin α

cos α

＝

4

3

，得sin α＝

4

3

cos α，①

又sin2α＋cos2α＝1，②

由①②得

16

9

cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝

9

25

.

又α是第三象限角，故cos α＝－

3

5

，sin α＝

4

3

cos α＝－

4

5

.

题型二、化切求值

【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．

(2)sin2α－2sin α·cos α－cos2α

4cos2α－3sin2α

；

(3)3

4

sin2α＋

1

2

cos2α.

[解] (1)原式＝4tan α－1

3tan α＋5

＝

4×3－1

3×3＋5

＝

11

14

；

(2)原式＝tan2α－2tan α－1

4－3tan2α

＝

9－2×3－1

4－3×32

＝－

2

23

；

(3)原式＝3

4

sin2α＋

1

2

cos2α

sin2α＋cos2α

＝

3

4

tan2α＋

1

2

tan2α＋1

＝3

4

×9＋

1

2

9＋1

＝

29

40

.

【类题通法】

化切求值的方法技巧

(1)已知tan α＝m，可以求a sin α＋b cos α

c sin α＋

d cos α

或

a sin2α＋

b sin αcos α＋

c cos2α

d sin2α＋

e sin αcos α＋

f cos2α

的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．

(2)对于a sin2α＋b sin αcos α＋c cos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．

【对点训练】

已知tan α＝2，求下列各式的值：