(完整版)等比数列的概念与性质练习题

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(完整版)等比数列的性质练习题

考点1等比数列的通项与前n 项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 题型3 求等比数列前n 项和【例3】等比数列Λ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a Λ，求n S【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(⋅-=，求n S .【新题导练】1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .3.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ； 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，0>n a ，80=n S ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.【新题导练】6.已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；考点3 等比数列的性质【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 【新题导练】7.已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .考点4 等比数列与其它知识的综合【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=- ⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式【新题导练】8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N .⑴ 设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；⑵ 若)(1++∈≥N n a a n n ，求a 的取值范围．7.等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1(1)3n n S a n N *=-∈； ⑴求1a ，2a 的值；⑵证明数列{}n a 是等比数列，并求n S ．。

等比数列的计算与性质综合练习题

等比数列的计算与性质综合练习题在数学中，等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。

等比数列的性质和计算是数学中基础而重要的内容之一。

下面我们将通过综合练习题来巩固等比数列的计算方法和性质。

Ⅰ. 基础计算1. 计算下列等比数列的第n项：(1) 2, 4, 8, 16, ...(2) 1, -2, 4, -8, ...2. 计算下列等比数列的前n项和：(1) 3, 6, 12, 24, ...(2) -2, 4, -8, 16, ...Ⅱ. 性质综合1. 若等比数列的首项为a，公比为r，判断下列说法是否正确并给出理由：(1) 等比数列中的任意一项都大于0。

(2) 若r>1，那么等比数列的通项递增。

(3) 若r=1，那么等比数列的通项为常数。

(4) 若r<0，那么等比数列的通项存在无穷个符号变化。

2. 若等比数列的前n项和为Sn，首项为a，公比为r，判断下列说法是否正确并给出理由：(1) 当r>1时，Sn为无穷大。

(2) 当-1<r<1时，Sn存在有限值。

(3) 当r>1时，随着n的增大，Sn递增。

(4) 当r<0时，Sn的值与首项a无关。

Ⅲ. 综合练习1. 求等比数列1, 2, 4, 8, ...的第10项和前10项和。

2. 若等比数列的第6项为8，公比为-2，求该等比数列的通项表达式并计算该等比数列的第12项。

3. 若等比数列的前n项和为300，公比为0.5，求首项和第n项。

4. 若等比数列的前n项和为125，公比为0.8，求首项和第n项。

5. 若等比数列的第3项为4，第6项为256，求这个等比数列的公比。

通过以上的综合练习题，我们可以巩固等比数列的计算方法和性质。

希望以上练习对你的数学学习有所帮助，加油！。

高中数学选择性必修二 4 3 1第2课时等比数列的性质及应用-练习

第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用课后篇巩固提升基础达标练1.在等比数列{a n}中,a2=27,q=-1,则a5=()3A.-3B.3C.-1D.1,{a n}中,a2=27,q=-13则a5=a2·q3=-1,故选C.2.已知等比数列{a n}中,a3=4,a7=9,则a5=()A.6B.-6C.6.5D.±6:奇数项的符号相同,∴a5=√a3a7=√4×9=6.3.已知公比不为1的等比数列{a n}满足a15a5+a14a6=20,若a m2=10,则m=()A.9B.10C.11D.12,数列{a n}是等比数列,且a15a5+a14a6=2a102=20,所以a102=10,所以m=10.故选B.4.已知等比数列{a n}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=()A.12B.10C.1+log35D.2+log35{a n}是等比数列,所以a5a6=a4a7=9,于是log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=log395=10.5.在等比数列{a n}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于()A.-213B.213C.26D.-26{a n}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=a72,于是该数列的前13项的乘积为a1a2…a13=a713=(-2)13=-213.6.(多选)已知数列{a n}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为()A.-36B.36C.-36√2D.36√2{a n}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6=a9+a11a3+a5=14418=8,因此q3=±2√2,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±36√2.故选CD.7.在正项等比数列{a n}中,a1a3=9,a5=24,则公比q=.{a n}中,a1a3=9,a5=24,可得a22=9,a2=3,得q3=a5a2=8,解得q=2.8.在《九章算术》中,“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为.q ,则甲、乙、丙各分得28q 石,28石,28q 石,∴28q +28+28q=98,∴q=2或12.又0<q<1,∴q=12.9.等比数列{a n }同时满足下列三个条件:①a 1+a 6=11,②a 3·a 4=329,③三个数23a 2,a 32,a 4+49依次成等差数列.试求数列{a n }的通项公式.a 1a 6=a 3a 4=329,所以{a 1+a 6=11,a 1·a 6=329,解得{a 1=13,a 6=323或{a 1=323,a 6=13.当{a 1=13,a 6=323时,q=2,所以a n =13·2n-1,这时23a 2+a 4+49=329,2a 32=329,所以23a 2,a 32,a 4+49成等差数列,故a n =13·2n-1.当{a 1=323,a 6=13时,q=12,a n =13·26-n ,23a 2+a 4+49≠2a 32,不符合题意.故通项公式a n =13·2n-1. 10.设{a n }是各项均为正数的等比数列,b n =log 2a n ,b 1+b 2+b 3=3,b 1b 2b 3=-3,求a n .{a n }的首项为a 1,公比为q ,∵b 1+b 2+b 3=3,∴log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3=3, ∴log 2(a 1a 2a 3)=3,∴a 1a 2a 3=8,∴a 2=2. ∵b 1b 2b 3=-3,∴log 2a 1·log 2a 2·log 2a 3=-3, ∴log 2a 1·log 2a 3=-3,∴log 2a2q ·log 2a 2q=-3,即(log 2a 2-log 2q )·(log 2a 2+log 2q )=-3, 即(1-log 2q )·(1+log 2q )=-3, 解得log 2q=±2.当log 2q=2时,q=4,a 1=a 2q=12,所以a n =12×4n-1=22n-3;当log 2q=-2时,q=14,a 1=a 2q=8,所以a n =8×(14)n -1=25-2n .能力提升练1.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1(n ∈N *),且a 2+a 4+a 6=9,则lo g 13(a 5+a 7+a 9)的值为( )A .-5B .-15C .5D .15log 3a n +1=log 3a n+1,∴a n+1a n=3, ∴数列{a n }是等比数列,公比q=3,∴lo g 13(a 5+a 7+a 9)=lo g 13(a 2q 3+a 4q 3+a 6q 3)=lo g 13[(a 2+a 4+a 6)q 3]=lo g 13(9×33)=-5.2.某工厂去年产值为a ,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a ( )A.6B.7C.8D.9n 年这个工厂的产值为a n ,则a 1=1.1a ,a 2=1.12a ,…,a n =1.1n a.依题意,得1.1n a>2a ,即1.1n >2,解得n ≥8.3.在正项等比数列{a n }中,a 3=2,16a 52=a 2a 6,则数列{a n }的前n 项积T n 中最大的值是( )A.T 3B.T 4C.T 5D.T 6,数列{a n }是等比数列,所以16a 52=a 2a 6=a 42,所以q 2=116.又因为数列{a n }为正项等比数列,所以q=14,所以a n =a 3·q n-3=2·43-n =27-2n ,令a n >1,即27-2n >1,得n<72,因为n ∈N *,所以n ≤3,数列{a n }的前n 项积T n 中T 3最大,故选A .4.等比数列{a n }中,若a 12=4,a 18=8,则a 36的值为 .,a 12,a 18,a 24,a 30,a 36成等比数列,且a 18a 12=2,故a 36=4×24=64.5.在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n-1a n a n+1=324,则n= .{a n }的公比为q ,由a 1a 2a 3=a 23=4与a 4a 5a 6=a 53=12可得a 53a 23=(q 3)3,q 9=3.又a n-1a n a n+1=a n 3=(a 2q n-2)3=324,因此q 3n-6=81=34=q 36,所以n=14.6.在公差不为零的等差数列{a n }中,2a 3-a 72+2a 11=0,数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则a 7= ,b 6b 8= .2a 3-a 72+2a 11=2(a 3+a 11)-a 72=4a 7-a 72=0,又b 7=a 7≠0,∴b 7=a 7=4.∴b 6b 8=b 72=16.167.等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d (d ≠1),且a 1=b 1,a 4=b 4,a 10=b 10. (1)求实数a 1和d 的值.(2)b 16是不是{a n }中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.设数列{a n },{b n }的通项公式分别为a n =a 1+(n-1)d ,b n =b 1q n-1=a 1d n-1.由{a 4=b 4,a 10=b 10,得{a 1+3d =a 1d 3,a 1+9d =a 1d 9. 即3d=a 1(d 3-1),9d=a 1(d 9-1). 以上两式相除,整理得d 6+d 3-2=0. 解得d 3=1或d 3=-2.∵d ≠1,∴d 3=-2. ∴d=-√23.代入原方程中,解得a 1=√23.故a 1=√23,d=-√23.(2)由(1)得,数列{a n },{b n }的通项公式分别为a n =(2-n )·√23,b n =-(-√23)n . 故b 16=-(-√23)16=-32√23. 由(2-n )√23=-32√23,解得n=34. 故b 16为a n 的第34项.素养培优练某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上20时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少? (2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由.设人第n 次服药后,药在体内的残留量为a n 毫克,则a 1=220,a 2=220+a 1×(1-60%)=220×1.4=308, a 3=220+a 2×(1-60%)=343.2,即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.(2)由题意,得a n+1=220+25a n,∴a n+1-11003=25(a n-11003),∴{a n-11003}是以a1-11003=-4403为首项,25为公比的等比数列,∴a n-11003=-4403(25)n-1,∵-4403(25)n-1<0,∴a n<11003=36623,∴a n<380.故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.。

等比数列基本概念和性质

等比数列基本概念和性质1、等比数列的判断方法：()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比。

2、等比数列的通项：11n n a a q -= 或者n m n m a a q -= 。

3、等比数列的前n 和：(1) 当1q =时， 1n S na =；(2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --==-- 4、等比中项：若,,a A b 成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2A ab =。

性质：1、等比数列公比：1,(2)n n a q n a -=≥或n m n ma q a -= 2、通项的关系：当m n p q +=+时,则有m n p q a a a a =；当2m n p +=时，则有2m n p a a a =，其中*),,,(N q p n m ∈3、常见等比数列：{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n k a ,{}n k a ⋅,{}k n a ,{}n n k a b ⋅⋅{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列. 4、若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列.5、 1）若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+⋅ 2）项数为偶数2n 的等比数列有：1S S q=奇偶。

1.已知}{n a 是首项为1的等比数列，公比2=q ，若前n 项和为127=n S ，则=n2. 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为3. 已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，5321=a a a ，10987=a a a ，则=654a a a ，=876a a a4. 设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则=34a S5．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 .6. 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= .7．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a = .8. 已知数列{}n a 是等比数列，若210,30m m S S ==，则3m S =9. 在等比数列{}n a 中，若394,1a a ==，则6a = ；若3114,1a a ==，则7a =10. 在等比数列{}n a 中，()5615160,a a a a a a b +=≠+=，则2526a a += ；105106a a += ；11. 在等比数列{}n a 中，公比2q =，前99项的和9956S =，则36999a a a a +++⋅⋅⋅+= ；12. 设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则96S S = ；13．已知实数列是}{n a 等比数列,其中5547,14,,1a a a +=且成等差数列.求数列}{n a 的通项公式与前n 项和记为n S14. 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+．（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S 。

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项（1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项（3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列）（1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数）（3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

等比数列性质练习题

等比数列性质练习题
在学习等比数列的性质时，我们需要通过一些具体的练习题来巩固和应用所学知识。

下面是一些等比数列性质练习题，帮助大家更好地理解和掌握等比数列的特点和性质。

练习题1：
已知等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn。

求证等比数列的前n项和的通项公式为：
Sn = (a * (q^n - 1)) / (q - 1)
练习题2：
已知等比数列的首项为3，公比为0.5，求证等比数列的第n项为：an = 3 * (0.5)^(n-1)
练习题3：
已知等比数列的首项为2，公比为1/3，前n项和为10。

求证等比数列的第n项为：
an = 2 * (1/3)^(n-1)
练习题4：
已知等比数列的首项为2，公比为3，第n项为162。

求证等比数列的前n项和为：
Sn = (2 * (3^n - 1)) / 2
练习题5：
已知等比数列的首项为10，公比为2，前n项和大于1000。

求证等比数列的第n项为：
an = 10 * (2^n - 1)
练习题6：
已知等比数列的前三项为2，6，18，求证等比数列的第n项为：an = 2 * (3^(n-1))
以上是一些关于等比数列性质的练习题，通过这些题目的解答和证明，可以更加全面地了解等比数列的性质和规律。

在解答过程中，注意使用等比数列的定义和性质，合理运用相关公式和推导方法。

通过大量的练习，相信大家能够熟练掌握等比数列的特点和运算，提高解题能力。

等比数列基础习题(含解析)

等比数列概念---习题一．选择题（共9小题）1．已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．3B．6C．12D．14 2．已知等比数列{a n}，若a1＝1，a3＝4，则q＝（）A．0B．2C．﹣2D．﹣2或2 3．在等比数列{a n}中，a2+a4＝32，a6+a8＝16，则a10+a12+a14+a16＝（）A．8B．10C．12D．14 4．已知实数列﹣1、x、y、z、﹣2成等比数列，则xyz＝（）A．B．±4C．D．5．在等比数列{a n}中，a1a3＝16，a2+a4＝12，则公比q＝（）A．B．C．D．6．已知等比数列{a n}满足a1+a2＝4，a3＝9，则{a n}的公比q＝（）A．B．或C．3或D．﹣3或7．已知等比数列{a n}各项均为正数，公比q＝2，且满足a2a6＝16，则a3＝（）A．8B．4C．2D．18．若1，a，b，c，16成等比数列，则abc＝（）A．64B．±64C．16D．±16 9．在等比数列{a n}中，若a3＝1，a11＝25，则a7＝（）A．5B．﹣5C．±5D．252023.05.28等比数列概念---习题参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．3B．6C．12D．14【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1，则，解得，∴a6＝＝96×＝3．故选：A．2．已知等比数列{a n}，若a1＝1，a3＝4，则q＝（）A．0B．2C．﹣2D．﹣2或2【解答】解：由题意，a3＝a1q2，即4＝q2，解得q＝±2．故选：D．3．在等比数列{a n}中，a2+a4＝32，a6+a8＝16，则a10+a12+a14+a16＝（）A．8B．10C．12D．14【解答】解：设公比为q，由a2+a4＝32，a6+a8＝16，可得：a6+a8＝16＝q4（a2+a4），解得q4＝；∴a10+a12+a14+a16＝q8（a2+a4+a6+a8）＝×（32+16）＝12．故选：C．4．已知实数列﹣1、x、y、z、﹣2成等比数列，则xyz＝（）A．B．±4C．D．【解答】解：设等比数列﹣1、x、y、z、﹣2的公比为q（q≠0），则y＝﹣1×q2＜0，由等比中项的性质可得y2＝（﹣1）×（﹣2）＝2，所以，，因此，．故选：C．5．在等比数列{a n}中，a1a3＝16，a2+a4＝12，则公比q＝（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，因为a1a3＝16，a2+a4＝12，所以，由可得a1q＞0，所以a1q＝4，，当时，，当时，．故选：D．6．已知等比数列{a n}满足a1+a2＝4，a3＝9，则{a n}的公比q＝（）A．B．或C．3或D．﹣3或【解答】解：易知q≠0，由a1+a2＝4，a3＝9，可得，解得q＝3或．故选：C．7．已知等比数列{a n}各项均为正数，公比q＝2，且满足a2a6＝16，则a3＝（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：因为a2a6＝16，由等比数列的性质可得：，又因为数列{a n}各项均为正数，所以a4＝4，因为公比q＝2，则．故选：C．8．若1，a，b，c，16成等比数列，则abc＝（）A．64B．±64C．16D．±16【解答】解：根据题意，若1，a，b，c，16成等比数列，设其公比为q，则有q4＝＝16，变形可得q2＝4，则b＝1×q2＝4，又由ac＝b2＝16，则abc＝16×4＝64．故选：A．9．在等比数列{a n}中，若a3＝1，a11＝25，则a7＝（）A．5B．﹣5C．±5D．25【解答】解：在等比数列{a n}中，设它的公比为q，若a3＝1，a11＝25，则＝a3•a11＝25，∴a7＝±5．再根据a11＝a7•q4＝25＞0，∴a7＞0，∴a7＝5．故选：A．。

等比性质练习题(打印版)

等比性质练习题（打印版）### 等比数列练习题题目一：基础概念题已知数列 {a_n} 是等比数列，且 a_2 = 2，a_5 = 16，求该等比数列的首项 a_1 和公比 q。

题目二：求和公式应用数列 {b_n} 是首项为 3，公比为 2 的等比数列。

求前 8 项的和 S_8。

题目三：等比数列的通项公式已知数列 {c_n} 的前 n 项和为 S_n = 36(1 - q^n) / (1 - q)，其中q ≠ 1。

求该数列的通项公式 c_n。

题目四：等比数列的项数确定数列 {d_n} 是首项为 1，公比为 3 的等比数列。

若 a_6 = 729，求数列的项数 n。

题目五：等比数列的项数与和数列 {e_n} 是首项为 2，公比为 -2 的等比数列。

若前 n 项和 S_n= 2^(n+1) - 2，求 n 的值。

题目六：等比数列与等差数列的结合数列 {f_n} 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，数列 {g_n} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列。

若 f_n = g_n，求 n 的值。

题目七：等比数列的项与和已知数列 {h_n} 是首项为 2，公比为 4 的等比数列。

若 a_3 + a_4= 50，求 S_5。

题目八：等比数列的项与项数数列 {i_n} 是首项为 1，公比为 2 的等比数列。

若 a_3 = 8，求 n的值。

题目九：等比数列的应用一个几何级数的首项为 10，公比为 1/2。

如果这个级数的前 10 项的和是 5，求这个级数的第 11 项。

题目十：等比数列的极限数列 {j_n} 是首项为 1，公比为 1/2 的等比数列。

求当 n 趋向无穷大时，j_n 的极限值。

解答提示：- 等比数列的通项公式为：a_n = a_1 * q^(n-1)- 等比数列的前 n 项和公式为：S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中q ≠ 1- 等比数列的项数 n 可以通过 a_n = a_1 * q^(n-1) 来确定- 注意等比数列的公比 q 可以是正数、负数或 0，但q ≠ 1请根据上述提示，自行解答练习题。

(完整版)等比数列测试题含答案

§2.4等比数列练习1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．2、在a 与b 中间插入一个数G ,使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．3、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．4、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=;③11n n a q a -=;④n m n ma q a -=． 5、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =⋅．一。

选择题：1。

下列各组数能组成等比数列的是（）A 。

111,,369B 。

lg3,lg9,lg 27 C. 6,8,10D. 3,- 2.等比数列{}n a 中，32a =,864a =，那么它的公比q =（）A 。

4B 。

2。

123.已知{}n a 是等比数列，n a 〉0，又知243546225a a a a a a ++=，那么35a a +=（） A. 5 B. 10 C 。

15 D 。

204.等比数列{}n a 中,11a =，1q q ≠公比为且，若12345m a a a a a a =，则m 为（）A. 9B. 10C. 11D. 125. “2b ac ="是“a 、b 、c 成等比数列"的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分 C 。

充要 D 。

既不充分也不必要6.若{}n a 是等差数列,公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（）A.1B. 2 C 。

必修五等比数列的概念与性质练习题

1. 下列命题正确的个数是（）①公比1q >的等比数列的各项均大于1； ②常数列是公比为1的等比数列； ③若,,a b c 成等比数列，则2b ac =； ④ {}lg 2n 是等差数列而不是等比数列.A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 已知{}n a 是公比为q 的等比数列，则这个数列的通项公式为（）A. 23n n a q q -=B. 13n n a q q -=C. 33n n a q q -=D. 43n n a q q -=3. 等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则48a a 与的等比中项是（） A. 4± B. 4 C. 14± D. 144. {}n a , {}n b 是项数相同的等比数列，则下列数列：①{}n n a b +；②{}n n a b ⋅；③ {}(0)n c a c +≠；④{}(0)n n c a b c ⋅⋅≠；⑤n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，等比数列有（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 若实数,,a b c 成等比数列，则函数2()f x ax bx c =++的图象与轴交点的个数（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 6. 如果19a b c ﹣，，，，﹣成等比数列，那么（）A.39b ac ==，B. 39b ac =-=，C. 39b ac ==-，D. 39b ac =-=-， 7. 数列{}n a 的通项公式为*12()()3nn a n =-⋅∈N ，则数列{}n a 是（）A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列8. 等比数列{}n a 中，1990,,n a a a >为方程210160x x -+=的两根，则205080a a a ⋅⋅的值为（）A. 32B. 64C. 256D. 64± 9. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++A．12 B．10 C．8 D．2＋3log5二、填空题10. 已知{}na是等比数列，3612,4a a==，则公比q=.11. 等比数列{}na中，44a=，则26a a⋅=.12. 在等比数列{}na中，1516a a⋅=，48a=，则6a=.13. 在等比数列{}na中，210,=n n n na a a a++>+且，则公比q=.三、解答题14. 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1, 3, 9就成等比数列. 求此三个数.15. 已知数列{}na满足111,2 1.n na a a+==+（1）求证：数列{}1na+是等比数列.（2）求{}na的通项公式.16. 从升满(1)a a>升纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升溶液后又用水填满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？若2a=，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于10%？17. 设数列{}na的前n项和为nS，且对任意的正整数n，4096.n na S+=（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列{}2logna的前n项和为nT，问数列{}2logna前多少项和最大？并求nT的最大值.18. 是否存在一等比数列{}n a ，使其满足下列三个条件：（1）16343211=9a a a a +=⋅且；（2）*1()n n a a n +≥∈N ；（3）至少存在一个*21124,(,4),,,39m m m m m m a a a -+∈>+N 使成等差数列. 若存在满足上述条件的等比数列{}n a ，请写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.19. 若10a >且*1121,().1nn na a a n a +≠=∈+N （1）求证：1;n n a a +≠ （2）令112a =，写出2345,,,a a a a 的值，观察并归纳这个数列的通项公式.。

(完整版)等比数列的性质练习题

等比数列复习(全面知识点+精选例题+习题附答案)精编材料pdf版

四、等比数列1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示（0q ≠）．递推式表示为1n na q a +=或1(2)nn a q n a -=≥．例如：数列{}n a 满足12n n a a +=，则数列{}n a 是公比为2的等比数列．特别注意：等比数列中任何一项都不为0，公比0q ≠，若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，除了0,0,0,这样的常数列之外，其余的也都是等比数列．注：10a >，1q >时，{}n a 是递增的等比数列；10a >，01q <<时，{}n a 是递减的等比数列； 10a <，01q <<时，{}n a 是递增的等比数列； 10a <，1q >时，{}n a 是递减的等比数列；1q =时，{}n a 是非零常数列； 0q <时，{}n a 是摆动数列．2．等比中项若三个数a ，G ，b 成等比数列，则G 叫作a 与b 的等比中项．此时2G ab = 例如：2和8的等比中项为4±．注：①一个等比数列，从第2项起，每一项都是它的前后两项的等比中项，即212n n n a a a ++=，每一项都是前后距离相同两项的等比中项，即2n n m n m a a a -+=．②当三个数成等比数列时，当四个数成等比数列时，常设这解析：由前三项成等比数列，可知2(33)x +3．等比数列的通项公式等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则11n n a a q -=．4．等比数列的性质（1）等比数列{}n a 的第m 项为m a ，则n mn m a a q -=．★例如：7652812310a a q a q a q a q -=====．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，若2m n p +=，则2m n p a a a =．★例如：2192837465a a a a a a a a a ====，12132n n n a a a a a a --===．（3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,组成公比为mq 的等比数列．例如：135721,,,,,,n a a a a a -组成公比为2q 的等比数列； 51015205,,,,,,n a a a a a 组成公比为5q 的等比数列．（4）{}n a 是公比为q 的等比数列，则{}n ka 也是等比数列，公比为q ．（5）{}n a ,{}n b 都是等比数列，则{}n ka ，{||}n a ，2{}n a ，1{}n a ，{}n n a b ，{}n na b 也是等比数列．}a 中，2a =，公差0d ≠，且,a5．判断一个数列是等比数列的方法（1）定义法：1n na q a +=（常数）．★ （2）等比中项法：212+=n n n a a a +或211-+=n n n a a a ．★ （3）通项公式法：11=n n a a q-（公比为q ）．（4）前n 项和公式法：(0,0)nn S Aq A A q =-≠≠．11=知1a +练习题：答案解析：45a a a +=则1ln ln a +5022)22a a a a a a a a =++=++解析：由等比数列性质可知当2q =-时，四个数为1,2,4,8--无论怎样组合，不能同时满足128x x =且348x x =，故舍去综上15m n +=．答案：15数学浪子整理制作，侵权必究。

50 等比数列性质(含等差等比数列综合题)

② 数列
an
（
为常数）为等比数列，特别的，当
1 时，即
1
为等比数列
an
③ 数列anbn 为等比数列
④ 数列 an 为等比数列
6、相邻 k 项和的比值与公比 q 相关：
设 S am1 am2 amk ,T an1 an2 ank ，则有：
S T
am 1 an 1
公差的等差数列。于是 Cn Cn1 en bn ，故数列{Cn Cn1} 也是等差乘等比型数列。
定理 2：若数列{Cn} 的通项公式为 Cn an bn 其中数列{an}是公差为 d 的等差数列，数列{bn}是
公比为 q （ q 1）的等比数列，则存在一等差数列{xn} 使 an bn xnbn xn1bn1 ，其中等差数
N
，均有
a2 n 1
an an 2
-1-
8、非常数等比数列an 的前 n 项和 Sn
与
1 an
前
n
项和
Tn
的关系
Sn
a1
1 qn 1 q
1
1
1
，因为是首项为
，公比为的等比数列，所以有
an
a1
q
Tn
1 a1
1 1 qn1来自1 qqn 1qn
a1
q
1 q
qn 1
a1qn1 q 1
7、等比数列的判定：（假设an 不是常数列）
（1）定义法（递推公式）： an1 q n N an
（2）通项公式： an k qn （指数类函数）
（3）前 n 项和公式： Sn kqn k
注：若 Sn kqn m m k ，则an 是从第二项开始成等比关系
（4）等比中项：对于 n

等比数列（试题）

等比数列（试题）第一篇：等比数列(试题)关于等比数列的试题一、选择题：11，两数的等比中项是（）A．1B．-1C．±1D．12.已知{an}是等比数列，a2=2,a5=,则公比q=（）411(A)-(B)-2(C)2(D)22S43.设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）a21517A.2B.4C.D.224.若数列{an}的前n项的和Sn=3n-2，那么这个数列的通项公式为（）31A.an=()n-1 B.an=3⨯()n-1 22⎧1,n=1C.an=3n-2 D.an=⎨n-1 ⎩2⋅3,n≥25.已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn-2(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}（）A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列 126.已知等差数列｛an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）（A）－4（B）－6（C）－8（D）－107．已知数列｛an｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n项和为（）Ａ．0B．nＣ．n a1Ｄ．a1n8．已知数列｛an｝的前n项和Sn=3an－2,那么下面结论正确的是（）Ａ．此数列为等差数列．此数列为等比数列Ｃ．此数列从第二项起是等比数列9．在等比数列｛an｝中，Sn=48,S2n=60,则S3n等于（）A.26B.27C.62D.6310．已知等比数列｛an｝中，an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为（）Ａ．3－n．3(3－n9n-1Ｃ．4n11．实数等比数列｛an｝，Sn＝a1+a2+Λ+an，则数列｛Sn｝中（）Ａ．任意一项都不为零．必有一项为零Ｃ．至多有有限项为零Ｄ．可以有无数项为零12．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a,b,c成等比数列，c=2a，则cosB＝（）A.14B.34C.24D.2 3二、填空题：13．在等比数列{an}中, 若a3=3,a9=75,则a10=___________.14.已知等比数列｛an｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛an｝的前n项和Sn= __________。

等比数列知识点及练习(含答案)

等比数列1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m n m m ma a a a q q q a a ---=⇔=⇔= 3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A ab =±注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

(完整版)等比数列的概念与性质练习题

等比数列的概念与性质练习题1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =A.21B. 22C. 2D.22. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（）A 、3,9b ac ==B 、3,9b ac =-=C 、3,9b ac ==-D 、3,9b ac =-=-3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),nn a n a a a =--+++=则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-154.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（）A ．2B ．3C ．4D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8D ．166.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－47.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（） A.4 B.5 C.6 D.78.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （） A.32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（）A ．16B ．24C ．48D ．12810.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（）A. －4B.4C. ±4D. 511.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++＝A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 512. 设函数()()()*2,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( )A.公差不为零的等差数列B.公比不为1的等比数列C.常数列D.既不是等差数列也不是等比数列13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0m B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3,m m C . ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0m D. [)⎥⎦⎤⎝⎛⋃-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值为．15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221b a a ______．16．已知 nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=312，把数列}{n a 的各项排成三角形状:987654321,,,,,,a a a a a a a a a记()n m A ,表示第m 行，第n 列的项，则()8,10A =_______.17.设二次方程2110()n n a x a x n N *+-+=∈有两个实根α和β，且满足6263ααββ-+=．（1）试用n a 表示1n a +；（2）求证：2{}3n a -是等比数列；（3）当176a =时，求数列{}n a 的通项公式．18.已知两个等比数列{}n a 、{}n b 满足()01>=a a a ，3,2,1332211=-=-=-a b a b a b . (1)若1=a ，求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 唯一，求a 的值．等比数列的概念与性质练习题参考答案1.B 【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以q故212a a q ===,选B 2.B 3.A 4. A 5。

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（完整版）等比数列性质习题.doc等比数列性质注意事项： 1.本卷共 150 分，考试时间 100 分2.题型难度 : 中等难度3.考察范围：等比数列性质4.试题类型：选择题12 道，填空题 4 道，简答题 6 道。

5.含有详细的参考答案6.试卷类型：高考二轮复习专题训练一、选择题1. 已知数列1, a 1 , a 2 , 4 成等差数列 ,1, b 1 ,b 2 , b 34 成等比数列， a 2a 1 的b 2( )A 、1B、—1C、 1 或—1D、122 242. 等比数列 { a n } 中， a n0, a 1, a 99 方程 x 2 10 x 16 0 的两根， a 20a 50 a 80 的（）A.32B.64C.256D. 643.已知－ 9， a ， a ，－ 1 四个数成等差数列，－ 9， b ，b ，b ，－ 1 五个数成等比数列，b (a121 23－ a ) ＝（）221A ． 8B ．－ 8C． 8．84. 某数列既成等差数列也成等比数列，那么数列一定是（）A ．公差 0 的等差数列B ．公比 1 的等比数列C ．常数数列 1， 1， 1?D ．以上都不5. 等比数列a n的各均正数，且 a 5 a 6a 4a 7 ＝ 18， log 3 a 1log 3 a 2 Llog 3 a 10 ＝()A ． 12B ． 10C ． 8D ． 2＋ log 3 56. 已知 S n 是公差不 0 的等差数列a n 的前 n 和，且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列，a 2a 3等a 1于（A. 4B. 6C.8D.107. 公差不零的等差数列a 的前 n和 S n ，若 a 4 是 a 3 与 a 7 的等比中， S 1060, S 8n等于A 、 28B 、 32C 、 36D 、 408. 等比数列a n 的前 n 和 S n ，若 S 4 2S 2 ，公比（）A.1B.1或－ 1C.1 或1 D.2或－ 2229.已知等比数列 {a n } 的公比为 2，前 4 项的和是 1，则前 8 项的和为A ． 15B ． 17C ． 19D．2110. 设 { a n } 是公比为正数的等比数列，若a 3 4, a 5 16 ，则数列 { a n } 的前 5 项和为A ． 15B ．31C ． 32D ． 4111. 从 2005 年到 2008 年期间，甲每年6 月 1 日都到银行存入 a 元的一年定期储蓄。

高中数学专题练习《等比数列的概念》含详细解析

4.3　等比数列4.3.1　等比数列的概念基础过关练题组一　等比数列的概念及其应用1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有( )①数列1,2,6,18,…;②数列{a n }中,已知a 2a 1=2,a 3a 2=2;③常数列a,a,…,a,…;④数列{a n }中,a n +1a n =q(q ≠0),其中n ∈N *.A.1个B.2个C.3个D.4个2.有下列四个说法:①等比数列中的某一项可以为0;②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞);③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;④若b 2=ac,则a,b,c 成等比数列.其中说法正确的个数为( )A.0B.1C.2D.33.(1)已知数列{a n }满足a 1=78,且a n+1=12a n +13.求证:a n -;(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =13(a n -1)(n ∈N *).证明:数列{a n }是等比数列.题组二　等比中项4.2-3与2+3的等比中项是( )A.1B.-1C.2D.-1或15.(2020重庆一中高二上期中)已知等差数列{a n}的公差为2,且a3是a1与a7的等比中项,则a1等于( )A.6B.4C.3D.-16.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于( )A.6B.-6C.±6D.±127.(多选)(2020山东临沂高二期末)已知三个数1,a,4成等比数列,则圆锥曲线x2+y2a=1的离心率为( )A.22B.32C.62D.3题组三　等比数列的通项公式8.在等比数列{a n}中,a1=32,公比q=-12,则a6=( )A.1B.-1C.2D.129.在等比数列{a n}中,a3+a4=4,a2=2,则公比q等于( )A.2B.1或-2C.1D.-1或210.(2020山东济宁实验中学高二上期中)在等比数列{a n}中,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a5=( )A.24B.48C.96D.-4811.(2019陕西西安一中高二上月考)现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用一年期自动转存业务,则第十年末的本利和为( )A.8×1.0258万元B.8×1.0259万元C.8×1.02510万元D.8×1.02511万元12.已知某等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么-27是此数列的2( )A.第2项B.第4项C.第6项D.第8项13.已知等比数列{a n},若a3=2,a2+a4=20,求数列{a n}的通项公式.314.(2020江西九江一中高二上期中)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n+1=4a n+1,设b n=a n+1-2a n.(1)证明数列{b n}是等比数列;(2)数列{c n}满足c n=1(n∈N*),设T n=c1c2+c2c3+c3c4+…+c n c n+1,求log2b n+3T20.题组四　等比数列的性质及其综合运用15.(2019湖南怀化三中高二上期中)等比数列{a n }满足a 1=3,a 3=6,则a 3+a 5+a 7=( )A.21B.42C.63D.8416.在等比数列{a n }中,若a 7+a 8+a 9+a 10=158,a 8a 9=-98,则1a 7+1a 8+1a 9+1a 10=( )A.-56B.-53C.-83D.-10317.已知数列{a n }是等比数列,则下列说法正确的个数是( )①数列{a 2n }是等比数列;②数列{2+a n }是等比数列;③数列{lg a n }是等比数列;④数列{na n }是等比数列;;⑥数列{a n +a n+1}是等比数列.A.2 B.3C.4D.518.(2020福建福州八县一中高二上期中)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 8a 13=64,则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 20=( )A.60B.50C.40D.20+log 2519.(1)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),求a 2的值;(2)已知等比数列{a n }为递增数列.若a 1>0,且2(a 4+a 6)=5a 5,求数列{a n }的公比q.20.在等比数列{a n}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设b n=log2a n,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列{b n}是等差数列;(2)求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项公式.能力提升练题组一　等比数列的概念及其应用1.(2020天津耀华中学高二上期中,)若b≠0,则“a,b,c成等比数列”是“b=ac”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2020陕西西安电子科技大学附属中学高二上期中,)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升,b 升,c 升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )A.a,b,c 成公比为2的等比数列,且a=507B.a,b,c 成公比为2的等比数列,且c=507C.a,b,c 成公比为12的等比数列,且a=507D.a,b,c 成公比为12的等比数列,且c=5073.()已知a,b,c 均为正数,若a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列,且公比为q,则q 3+q 2+q=( )A.0 B.1C.3D.不确定4.(2020江西九江一中高二上期中,)已知三角形的三边构成等比数列,若它们的公比为q,则q 的取值范围是 . 题组二　等比数列的通项公式5.(2020山东济宁实验中学高二上期中,)等比数列{a n }满足a 4+a 7=4,a 5·a 6=3,则a 1+a 10=( )A.-283 B.-13C.13D.2836.()已知数列{an }满足a 1=1,a n+1=a na n +2(n ∈N *).若b n =log +1,则数列{b n }的通项公式b n =( )A.12nB.n-1C.nD.2n7.(2020北京石景山高二上期末,)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且a2=1,a3+a4=6.设数列{a n-n}的前n项和为S n,那么S4 S5(填“>”“<”或“=”).8.()已知数列{an}的前n项和为S n,数列{b n}中,b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),且a n+S n=n.(1)设c n=a n-1,求证:{c n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.9.(2020河南郑州高二期中,)在数列{a n}中,S n为数列{a n}的前n项和,2S n+2n=3a n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=1+a na n·a n+1,数列{b n}的前n项和为T n,证明T n<14.题组三　等比数列的性质及其综合运用10.(2020湖南长沙高二上期中,)在等比数列{a n}中,a2=2,a4=8,a n>0,则数列{log2a n}的前n项和为( )A.n(n+1)2B.(n-1)22C.n(n-1)2D.(n+1)2211.(2020山东聊城高二上期末,)已知数列{a n}满足a n≠0,则“a1a4=a2a3”是“{a n}为等比数列”的( )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件12.(2019广东湛江一中高二月考,)已知数列{a n}是等比数列,数列{b n}是等差数列,若a1a6a11=-33,b1+b6+b11=7π,则tan b3+b91―a4a8的值是( )A.-3B.22C.-22D.313.(2020山东聊城高二上期末,)各项互不相等的等比数列{a n}满足a5·a7=a m·a n,则1m +4n的最小值为 .14.()已知等差数列{an}的前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,公比是q,且满足a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设c n=3b n-λ·2a n3,若数列{c n}是递增数列,求实数λ的取值范围.15.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)黄河被称为我国的母亲河,它的得名据说来自于河水的颜色,黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色,黄河的水源来自青海高原,从源头开始1000千米的河水是非常清澈的.只是在刘家峡水库附近,清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合,在两条河流的交汇处,水的颜色一清一浊,互不交融,形成了一条奇特的水中分界线,设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000m3/s,黄河水的含沙量为2kg/m3,洮河水的含沙量为20kg/m3,假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1秒内交换1000m3的水量,即从洮河流入黄河1000m3的水混合后,又从黄河流入1000m3的水到洮河再混合.(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;(2)从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3?(不考虑泥沙沉淀)答案全解全析基础过关练1.A ①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A.2.B 对于①,因为等比数列中的各项都不为0,所以①不正确;对于②,因为等比数列的公比不为0,所以②不正确;对于③,若一个常数列是等比数列,则这个常数不为0,根据等比数列的定义知此数列的公比为1,所以③正确;对于④,只有当a,b,c 都不为0时,a,b,c 才成等比数列,所以④不正确.因此,正确的说法只有1个,故选B.3.证明　(1)∵a n+1=12a n +13,∴a n+1-23=12a n +13-23=n -又a 1-23=78-23=524≠0,∴a n -是首项为524,公比为12的等比数列.(2)∵S n =13(a n -1),∴S n+1=13(a n+1-1),两式相减得,a n+1=13a n+1-13a n ,即a n+1=-12a n ,又当n=1时,a 1=S 1=13(a 1-1),∴a 1=-12.∴数列{a n }是首项为-12,公比为-12的等比数列.4.D 由题意可设2-3与2+3的等比中项是m,则m 2=(2-3)(2+3)=1,解得m=-1或m=1.故选D.5.B 依题意得,a 23=a 1a 7,∴(a 1+4)2=a 1(a 1+12),解得a 1=4.故选B.6.C 由题意可得,a=1+22=32,b 2=(-1)×(-16)=16,解得b=±4,∴ab=±6.7.AD 由三个数1,a,4成等比数列,得a=±2.当a=2时,曲线x 2+y22=1为焦点在y 轴上的椭圆,此时离心率e=2―12=22.当a=-2时,曲线x 2-y22=1为焦点在x 轴上的双曲线,此时离心率e=2+11=3.故选AD.8.B 由题知a 6=a 1·q 5=32×-=-1.9.B 设等比数列{a n }的首项为a 1,根据题意,得a 1q 2+a 1q 3=4,a 1q =2,解得a 1=2,q =1或a 1=―1,q =―2.故选B.10.B 设等比数列{a n }的公比为q,依题意得,4a 2=4a 1+a 3,即4a 1q=4a 1+a 1q 2.又a 1=3≠0,∴q 2-4q+4=0,解得q=2,则a 5=a 1q 4=3×24=48,故选B.11.C 由题意得,每年末的本利和依次构成以1+2.50%=1.025为公比,8×1.025为首项的等比数列,所以第十年末的本利和为8×1.025×1.02510-1=8×1.02510万元.故选C.12.B 由题意得,(2x+2)2=x(3x+3),解得x=-1或x=-4.当x=-1时,2x+2=3x+3=0,不符合题意,舍去,∴x=-4.此时2x+2=-6,3x+3=-9,∴该等比数列的首项为-4,公比为32.设-272为此数列的第n 项,则-1=-272,解得n=4.故选B.13.解析　设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则q ≠0.由题意得,a 2=a 3q =2q ,a 4=a 3q=2q,∴2q +2q=203,解得q=13或q=3.当q=13时,a 1=18,∴a n-1=2×33-n .当q=3时,a 1=29,∴a n =29×3n-1=2×3n-3.综上,当q=13时,a n =2×33-n ,n ∈N *;当q=3时,a n =2×3n-3,n ∈N *.14.解析　(1)证明:由S n+1=4a n +1, ①得当n ≥2时,S n =4a n-1+1,②①-②得,a n+1=4a n -4a n-1,所以a n+1-2a n =2(a n -2a n-1),又b n =a n+1-2a n ,所以b n =2b n-1(n ≥2).当n=1时,由S n+1=4a n +1得,a 1+a 2=4a 1+1,又a 1=1,所以a 2=3a 1+1=4.所以b 1=a 2-2a 1=2.所以数列{b n }是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)可知b n =2n ,则c n =1log 2b n +3=1n +3(n ∈N *).所以T n =c 1c 2+c 2c 3+c 3c 4+…+c n c n+1=14×5+15×6+16×7+…+1(n +3)(n +4)--…+1n +3-1n +4=14-1n +4=n 4(n +4).因此,T 20 =204×(20+4)=524.15.B 设等比数列{a n }的公比为q,易知a 1,a 3,a 5,a 7构成等比数列,且a 3=a 1q 2=3q 2=6,得q 2=2.所以a 3+a 5+a 7=a 3+a 3q 2+a 3q 4=6+12+24=42.故选B.16.B ∵数列{a n }是等比数列,∴a 7a 10=a 8a 9.∴1a 7+1a 8+1a 9+1a 10++=a 7+a 10a 7a 10+a 8+a 9a 8a 9=a 7+a 10a 8a 9+a 8+a 9a 8a 9=a 7+a 8+a 9+a 10a 8a 9=158-98=-53.17.A 设等比数列{a n }的公比为q,b n =a 2n ,则b n+1b n =a2n+1a2n==q2,∴{a2n}为等比数列,①正确;当a n=3n时,2+a n+12+a n≠常数,②错误;当a n<0时,lg a n无意义,③错误;设c n=na n,则c n+1c n=(n+1)a n+1na n =(n+1)qn≠常数,④错误是以1a1为首项,1q为公比的等比数列,⑤正确;当数列{a n}的公比为-1时,a n+a n+1=0,而等比数列的各项均不为0,∴⑥错误.故选A.18.B　由等比数列的性质可得,a10a11+a8a13=2a10a11=64,∴a10a11=32,∴a1a20=a2a19=a3a18=…=a10a11=32.结合对数的运算法则可得,log2a1+log2a2+…+log2a20=log2(a1a2…a20)=log23210=50.故选B.19.解析　(1)设等比数列{a n}的公比为q,由a3a5=4(a4-1),得a24=4(a4-1),解得a4=2,∴q3=a4a1=8,∴q=2,∴a2=a1q=12.(2)由2(a4+a6)=5a5,得2(a4+a4q2)=5a4q,易知a4≠0,所以2+2q2=5q,即(2q-1)(q-2)=0,解得q=2或q=12.因为等比数列{a n}为递增数列,且a1>0,所以q>1,所以q=2.20.解析　(1)证明:因为b n=log2a n,所以b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2a n+1a n=log2q(q>0)为常数,所以数列{b n}是公差为log2q的等差数列.(2)设等差数列{b n}的公差为d,因为b1+b3+b5=6,所以(b1+b5)+b3=2b3+b3=3b3=6,所以b3=2.因为a1>1,所以b1=log2a1>0,又因为b1b3b5=0,所以b5=0,即b3=2,b5=0,即b1+2d=2,b1+4d=0,解得b1=4,d=―1,因此S n =4n+n (n -1)2×(-1)=9n -n 22,所以d=log 2q=-1,解得q=12,b 1=log 2a 1=4,解得a 1=16,所以a n =a 1q n-1=25―n (n ∈N *).能力提升练1.B ∵b ≠0,且b=ac ,∴b 2=ac,且a,b,c 均不为0,∴a,b,c 成等比数列,因此必要性成立;由a,b,c 成等比数列得,b 2=ac,从而b=±ac ,因此充分性不成立.故选B.2.D 依题意得,a,b,c 成等比数列,且公比为12,∴b=12a,c=12b=14a,∴a+12a+14a=5×10,解得a=2007,∴c=14a=507,故选D.3.B 依题意,有q 3+q 2+q=a +b -ca +b +c +c +a -ba +b +c +b +c -aa +b +c =1.4.答案,解析　由题意可设三角形的三边分别为aq ,a,aq,a>0,q>0,因为三角形中任意两边之和大于第三边,+a >aq,+aq >a,+aq >aq,解得-1+52<q<1+52.5.D ∵{a n }是等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=3,又a 4+a 7=4,∴a 4,a 7是一元二次方程x 2-4x+3=0的两根,解此方程得x=1或x=3.当a 4=1,a 7=3时,a 1=a 24a 7=13,a 10=a 27a 4=9,∴a 1+a 10=283.当a 4=3,a 7=1时,同理可得a 1=9,a 10=13,∴a 1+a 10=283.故选D.6.C 由a n+1=a n a n +2,得1a n +1=1+2a n ,所以1a n +1+1=2+1,又1a 1+1=2,+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以1a n+1=2·2n-1=2n ,所以b n =log+1=log 22n =n.故选C.7.答案　<解析　设正项等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则q>0,所以a 2=a 1q =1,a 3+a 4=a 1q 2+a 1q 3=6,解得a 1=12,q =2或a 1=―13,q =―3(舍去).所以a n =a 1q n-1=2n-2,所以S 5-S 4=a 5-5=23-5=3>0,故S 5>S 4.8.解析　(1)证明:∵a n +S n =n,①∴a n+1+S n+1=n+1,②②-①得a n+1-a n +a n+1=1.∴2a n+1=a n +1,∴2(a n+1-1)=a n -1,∴a n+1-1=12(a n -1),即c n+1=12c n .又a 1+a 1=1,∴a 1=12,∴c 1=a 1-1=-12≠0,∴{c n }是以-12为首项,12为公比的等比数列.(2)由(1)可知,c n=--1,∴a n =c n.当n ≥2时,b n =a n -a n-1-1―-1-1.又当n=1时,b1=a1=12,符合上式,∴b n(n∈N*).9.解析　(1)∵2S n+2n=3a n,∴2S n+1+2(n+1)=3a n+1,两式相减得a n+1=3a n+2,∴a n+1+1=3(a n+1).又2S1+2=3a1,∴2a1+2=3a1,∴a1=2.∴a1+1=3≠0,∴数列{a n+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴a n+1=3n,∴a n=3n-1.(2)证明:由(1)可得,b n=1+a na n·a n+1=3n(3n-1)(3n+1-1)-∴T n=1213―1-132-1+132-1-133-1+…+13n-1-13n+1-1 -=14-12·13n+1-1<14.10.C　设等比数列{a n}的公比为q,则a1>0,q>0.∵a4=a2q2,即8=2q2,∴q=±2.又q>0,∴q=2.∴a n=a2·q n-2=2×2n-2=2n-1,∴log 2a n =log 22n-1=n-1.∴数列{log 2a n }的前n 项和为0+1+2+…+(n-1)=n (n -1)2.故选C.11.C 如果a 1=1,a 2=2,a 3=8,a 4=16,满足a 1a 4=a 2a 3,但{a n }不是等比数列;反之,若{a n }为等比数列,则根据等比数列的性质可知a 1a 4=a 2a 3,所以“a 1a 4=a 2a 3”是“{a n }为等比数列”的必要不充分条件,故选C.12.A 因为{a n }是等比数列,所以a 1a 6a 11=a 36=-33,所以a 6=-3,所以a 4a 8=a 26=3.因为{b n }是等差数列,所以b 1+b 6+b 11=3b 6=7π,所以b 6=7π3,所以b 3+b 9=2b 6=14π3.所以b 3+b 91―a 4a 8=-7π3,所以tan b 3+b 91―a 4a 8=tan-=-tan π3=-3.13.答案　34解析　由题意知m+n=5+7=12,即m 12+n12=1(m,n ∈N *),则1m +4n =++=512+n 12m +m 3n ≥512+2n 12m ·m 3n =34,当且仅当4m 2=n 2时等号成立,此时m=4,n=8,所以1m +4n 的最小值为34.14.解析　(1)由已知得,b 2=b 1q=q(q>0),S 2=a 1+a 2=3+a 2,∴b 2+S 2=q +3+a 2=12,S 2=3+a 2=q 2,解得q =3,a 2=6或q =―4,a 2=13(舍去),∴a 2-a 1=3,a n =3+(n-1)×3=3n,b n =b 1q n-1=3n-1.(2)由(1)知,c n =3b n -λ·2a n3=3n -λ·2n .由题意知c n+1>c n 对任意n ∈N *恒成立,即3n+1-λ·2n+1>3n -λ·2n 恒成立,即λ·2n <2·3n 恒成立,即λ<2恒成立,只需λ<2·n min即可.∵函数是增函数,∴2·n min=2×32=3,∴λ<3,∴实数λ的取值范围为(-∞,3).15.解析　(1)在第二个观测点时,洮河流入黄河1 000 m 3的水混合后,黄河的含沙量为2×2 000+20×1 0003 000=8 kg/m 3,又从黄河流入1 000 m 3的水到洮河再混合后,洮河的含沙量为8×1 000+20×1 0002 000=14 kg/m 3.(2)设在第n 个观测点时黄河的含沙量为a n kg/m 3,洮河的含沙量为b n kg/m 3,由题意有a 1=2,b 1=20,且a n+1=1 000b n +2 000a n 3 000=2a n +b n3,b n+1=1 000b n +1 000a n +12 000=a n +1+b n 2=a n +2b n3,所以b n+1-a n+1=13(b n -a n ),又b 1-a 1=18≠0,所以{b n -a n }是首项为18,公比为13的等比数列,∴b n -a n-1.根据题意,有-1<0.01,即3n-1>1800,n ∈N *,解得n>7,所以从第8个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m 3.。

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