动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)页PPT文档
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(2)应用动能定理的积分形式，如果末位置的速度或 角速度是任意位置的函数，则可求时间导数来得到 加速度或角加速度。仅求加速度(角加速度)的问题, 应用动能定理的微分形式也很方便。
(3)对既要求运动又要求约束力的问题，因为应用动 能定理不能求出无功约束力，此时往往先求运动， 然后再用质心运动定理或动量矩定理来求约束力。
在运动过程中，系统所受外力对z轴之矩为零，故系统对z轴 的动量矩守恒。
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B
J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
分别沿光滑的铅直墙壁和光滑水平地面滑动。设杆的初始位置与
墙成0，求杆沿铅直墙壁下滑的角速度和角加速度。
y A
[解]：杆AB受力图如图
NA
C
根据刚体平面运动微分方程
MxC NA MyC NB G
JCLNB sinLNAcos
G
o
补充两个运动学关系
B x
(4)当系统由作平动、定轴转动、平面运动的刚体组 合而成时,一种比较直观的求解办法就是将系统拆开 成单个刚体,分别列出相应的动力学微分方程,然后 联立求解。
(5)注意动量、动量矩守恒问题,特别是仅在某一方向 上的守恒。
综合1：均质杆长l，质量为m，刚性地面光滑，φ=45°，求绳断
瞬间地面的反力。
×
A
环的速度是Vr，方向竖直向下。牵连速 度Ve垂直于铅垂平面。
V
e
T1
1 2
J 2
r
B
T2
12JB2
1m 2
VB2
Vr
1 2JB 21 2m(Vr2B 2r2)
C
Wmgr
由动能定理的积分形式 T2T1 W
1 2JB 21 2m (V r2B 2r2)1 2J2mgr
4r n 3π
根据质心运动定理 NDGmaCn
NDmC naG[13π9(6π41)6]mg
综合6：半径为R的滚轮A，质量为mA，对质心A的转动惯量为 JA=0.5mAR2。轴半径为r=0.5R，滚轮在=30的足够粗糙的斜面 上纯滚动，细绳绕过无重量的定滑轮B后，挂一质量为mC的物块。 不计B轮系摩擦。求：(1)A轮轮心的加速度aA和C的加速度aC；(2) 当mA=4.5mC时候，斜面给A轮的摩擦力。
动力学普遍定理的优越性主要体现在研究比较复 杂的系统动力学问题。
在求解比较复杂的动力学问题时，往往不可能仅用 一个定理解决全部问题，需要综合应用几个定理来求解。 而且这种应用，并不存在一个固定的模式，必须具体问 题具体分析，综合考虑，灵活应用。但是一般说来，下 列原则仍有一定的参考价值。
(1)求解速度、角速度问题往往首先考虑应用动能定 理的积分形式, 且尽可能以整个系统为研究对象, 避免拆开系统。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A
0
mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC
2 l 4C
×
B
根据刚体平面运动微分方程
maC mgN
3gsin
4L
d d d1d2 dt d dt 2 d
3g 4L
sin
d2 3gsind
2L
2 32gL(co0scos)
综合4：偏心轮O质量为m，偏心距为e。轮对wenku.baidu.com心C的回转半径
为C，置于光滑水平地面上。初始时OC水平，质心有一水平初
速度V，轮的角速度为零。求当C点运动至最低位置时，水平地 面对轮的约束反力。
O CV
O
CV
解：质心C在水平运动守恒。若OC铅垂，设轮O角速度为。
初动能
T1
1 2
mV2
动能定理 T2 T1 mge
末动能 T2 12mV212mC 22
2 2 ge 2
C
以O为基点研究C点加速度
3π 62
1π 82
由动能定理的积分形式 T2T1 W
4
g
(9π 16)r
以圆心为基点研究质心加速度，其加速度矢量图如图。同时
画出其在竖直方向的受力状态
B
O aO
A
a
n CO
C
a
τ CO
G
D
ND
aCaC naC τaOaC n OaC τ O
aCn
aCnO2
NB
xCL sinyCLco s
xCL co sL2sin
yCL sinL2co s
1M (2L)2 LM (gsinL si2n L2sinco )s
12
LM (L co2sL2sinco )s
A4 r 3π
[解]：半圆盘对质心C的转动惯量
JCJOm (3 4π r)21 2m2 rm 1 9π r6 2 2
O C B B
O V C A直径水平时，半圆盘的角速度为
C
D
W 4 mgr 3π T1 0
T2 12JC212mVC2
9π232 m2 r2(3π4)2m2 r2
JC 0.5lNcos45
A mg
N
N 2 mg 5
综合2：半径是r的铅直空圆环，对圆环直径的转动惯量是J，以
角速度绕定轴z转动。在管子内最高点A放一质量为m的小球，
由于微小扰动使小球从静止开始沿管下滑。试求当小球达到B和 C时，圆环的角速度和小球的绝对速度。不计摩擦。
z
[解]：小球下滑到B点时，设其相对于圆
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
(3)对既要求运动又要求约束力的问题，因为应用动 能定理不能求出无功约束力，此时往往先求运动， 然后再用质心运动定理或动量矩定理来求约束力。
在运动过程中，系统所受外力对z轴之矩为零，故系统对z轴 的动量矩守恒。
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B
J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
分别沿光滑的铅直墙壁和光滑水平地面滑动。设杆的初始位置与
墙成0，求杆沿铅直墙壁下滑的角速度和角加速度。
y A
[解]：杆AB受力图如图
NA
C
根据刚体平面运动微分方程
MxC NA MyC NB G
JCLNB sinLNAcos
G
o
补充两个运动学关系
B x
(4)当系统由作平动、定轴转动、平面运动的刚体组 合而成时,一种比较直观的求解办法就是将系统拆开 成单个刚体,分别列出相应的动力学微分方程,然后 联立求解。
(5)注意动量、动量矩守恒问题,特别是仅在某一方向 上的守恒。
综合1：均质杆长l，质量为m，刚性地面光滑，φ=45°，求绳断
瞬间地面的反力。
×
A
环的速度是Vr，方向竖直向下。牵连速 度Ve垂直于铅垂平面。
V
e
T1
1 2
J 2
r
B
T2
12JB2
1m 2
VB2
Vr
1 2JB 21 2m(Vr2B 2r2)
C
Wmgr
由动能定理的积分形式 T2T1 W
1 2JB 21 2m (V r2B 2r2)1 2J2mgr
4r n 3π
根据质心运动定理 NDGmaCn
NDmC naG[13π9(6π41)6]mg
综合6：半径为R的滚轮A，质量为mA，对质心A的转动惯量为 JA=0.5mAR2。轴半径为r=0.5R，滚轮在=30的足够粗糙的斜面 上纯滚动，细绳绕过无重量的定滑轮B后，挂一质量为mC的物块。 不计B轮系摩擦。求：(1)A轮轮心的加速度aA和C的加速度aC；(2) 当mA=4.5mC时候，斜面给A轮的摩擦力。
动力学普遍定理的优越性主要体现在研究比较复 杂的系统动力学问题。
在求解比较复杂的动力学问题时，往往不可能仅用 一个定理解决全部问题，需要综合应用几个定理来求解。 而且这种应用，并不存在一个固定的模式，必须具体问 题具体分析，综合考虑，灵活应用。但是一般说来，下 列原则仍有一定的参考价值。
(1)求解速度、角速度问题往往首先考虑应用动能定 理的积分形式, 且尽可能以整个系统为研究对象, 避免拆开系统。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A
0
mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC
2 l 4C
×
B
根据刚体平面运动微分方程
maC mgN
3gsin
4L
d d d1d2 dt d dt 2 d
3g 4L
sin
d2 3gsind
2L
2 32gL(co0scos)
综合4：偏心轮O质量为m，偏心距为e。轮对wenku.baidu.com心C的回转半径
为C，置于光滑水平地面上。初始时OC水平，质心有一水平初
速度V，轮的角速度为零。求当C点运动至最低位置时，水平地 面对轮的约束反力。
O CV
O
CV
解：质心C在水平运动守恒。若OC铅垂，设轮O角速度为。
初动能
T1
1 2
mV2
动能定理 T2 T1 mge
末动能 T2 12mV212mC 22
2 2 ge 2
C
以O为基点研究C点加速度
3π 62
1π 82
由动能定理的积分形式 T2T1 W
4
g
(9π 16)r
以圆心为基点研究质心加速度，其加速度矢量图如图。同时
画出其在竖直方向的受力状态
B
O aO
A
a
n CO
C
a
τ CO
G
D
ND
aCaC naC τaOaC n OaC τ O
aCn
aCnO2
NB
xCL sinyCLco s
xCL co sL2sin
yCL sinL2co s
1M (2L)2 LM (gsinL si2n L2sinco )s
12
LM (L co2sL2sinco )s
A4 r 3π
[解]：半圆盘对质心C的转动惯量
JCJOm (3 4π r)21 2m2 rm 1 9π r6 2 2
O C B B
O V C A直径水平时，半圆盘的角速度为
C
D
W 4 mgr 3π T1 0
T2 12JC212mVC2
9π232 m2 r2(3π4)2m2 r2
JC 0.5lNcos45
A mg
N
N 2 mg 5
综合2：半径是r的铅直空圆环，对圆环直径的转动惯量是J，以
角速度绕定轴z转动。在管子内最高点A放一质量为m的小球，
由于微小扰动使小球从静止开始沿管下滑。试求当小球达到B和 C时，圆环的角速度和小球的绝对速度。不计摩擦。
z
[解]：小球下滑到B点时，设其相对于圆
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。