动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)页PPT文档
《理论力学(Ⅰ)》PPT 第10章
设中心O的速度为v。
T1 0
T2
1 2
3PR2 2g
v R
2
1 2
Q g
v2
vO PQ
3P 2Q v2 4g
WiF P Q s sin φ
φ
N1 Fs
T2 T1 WiF
3P 2Q v2 P Q s sin φ
4g
解得：
v2 4 P Qsin φ gs
3P 2Q
求导，得：
例10-5 图示系统，滑块A的质量为m1，与倾 角为φ的斜面间的动滑动摩擦系数为 f ；定滑 轮B的质量为m2且沿轮缘均匀分布；均质圆 柱的质量为m3，沿水平面纯滚动；弹簧的刚 性系数为k 。系统由静止开始运动，求滑块 沿斜面下滑s 时的速度和加速度。初瞬时弹 簧无变形。
D
OB
A
φ
解：以系统为研究对象 F
F Oθ
解1：以系统为研究对象，理想约束。
设中心O有微小位移ds，速度
为v，加速度为a。
T 1 m 2
ρ2 R2
v R
2
m
ρ2 R2 2R2
v2
m ρ2 R2
m ρ2 R2
dT
R2
vdv
R2
vadt
F
O ds θv a mg
Fs N
δWiF
Fds cos θ
Fr
f
cos φ s
k 8
s2
T2 T1 WiF
2m1
2m2 4
3m3
v2
m1g sin φ
f
cos φ s
k 8
s2
解得：略
3. 功率方程
功率：单位时间力所做的功。P δW
动力学普遍定理及综合应用
动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理动 定理动 定理动 定理综合应用定理 定理 应用用 定理合 用动 定理 动 用 动定理 定 动 定理 动 定理 力动动学动[ ]AC BC P l C C hC力 F (e)=0∑x 动 定理 动 定理动 用 动 动学12W =P ⋅h ⨯2=Ph 2∑T 1=022222l ω⨯2=3g l ω1P 23g 11P T =⋅动 定理∴v C =3gh v -0=Ph 1P 3g C 2223g ∴T =1P C C v v =l ω及 A 力 1∑M B (F )=0ωB =ω0=0J B αB =0∴αB =0动[ ] P 1=60N 24cm AB P 2=150N B 用 B 2 用动 定理T 1=0T =1J ω2+1P 2v 22A22gBl ω=v B=1⋅1P 1v 2+1P 2v 2=P 1+3P 2v 223g 2g 6gBBB000P 1∑12122W =P (-cos 60)+P (l -lcos 60)=(+P )(l -l cos 60)222l lT 2-T 1=∑W 122P 1+3P 2P 1B 2v -0=(+P )(l -l 26gv B =1.58m/s 3 用动 定理 α力L =1P 1l 2ω+P 2v l =(1P 1l 2+P 2l 2)ω3g d L A 3g g )=0 α=0 ABg(e)=M (F d t A ∑a =an =l ω2↑(a t=0)BBB ω=v B =1.58=6.58rad/sl0.24=a n=l ω2↑(a t =0)2C C CC a4 动定理 力力 刚 动定理 列 用定理 相 动 定理；动 定理； 动 定理；动定理 注 果用 积 动 定理 导 则必须 ABBv BP 2ωAαC F xF yP1m a =P 1a t +P 2a t =0=F∑i ixCBAxgg=0 F Ay =401Ngg 2gF Ax m a =P 1a n+P 2a n=P 1l ω2+P 2l ω2=F-P 1-P 2∑i iyCBAygv a [ ] m r 2 用 力F 相 动mC 用v 则 v /2 ω=v /2r动T =1mv 2+2[1⋅m (v )2+1(1m r 2)(v )2]=11mv 222222222r 16动力∑P =F ⋅v =Fvd T=∑Pd t d (11mv 2)=Fvd t 16∴a =8F 11mP347.13-171 用动 定理 动动 动 T 1=0定 动 动 动T =1J ω2=1⎡1ml 2+m (l -l )2⎤=1ml 2ω22O 18232⎢⎣122⎥⎦ 力∑W =mgh =1mgl sin ϕ612[ ] m l l /3 O 动 动 及 O 力1ml 2ω2-0=1mgl sin ϕ18T 2-T 1=∑W 12ω2=3g sin ϕlω=α=3g cos ϕ2l2 用定 动微 动J O α=∑M O (F ) 定 动微003g2l ωd ω=cos ϕd ϕωϕ⎰⎰ϕω=3g sin ϕ2l 1ω22ω=1ml 2α=mg lcos ϕ96α=3g cos ϕ2lα=d ω=d ωd ϕ=ωd ωd t d ϕd t d ϕωd ω=3g cos ϕd ϕ2l力 切a t =OC ⋅α=l ⋅3g cos ϕ=g cos ϕ62l 4C n 2l 3g g a =OC ⋅ω=⋅sin ϕ=sin ϕ6l 2C a =-a t cos ϕ+a nsin ϕ=-3g (1-3sin 2ϕ)4Cy C Ct n cos ϕ=-3gsin ϕcos ϕa =-a sin ϕ-a 4Cx C C-3mg (1-3sin 2ϕ)=F -mg4Oy-3mg sin ϕcos ϕ=F 4Ox F =-3mg8sin 2ϕOx F =(1+9sin 2ϕ)4Oy mg动定理ma Cx =∑F x ma Cy =∑F y F[ ] 物块A B 别 m 1 m 2 m 1＞m 2 别 绳索 绳跨 定 轮 轮 m 并 看成是 r 假 不 绳 绳 轮 间 相 动 试 物块A O 力1 单 物 别 物块A B 轮 力 动定理 定 动 微B 1mr 2⋅α=(F '-F ')r(3)(4)(5)20=F A B2g F B B m 1a =m 1g -F Am 2a =F B -m 2g(1)(2)Ox0=F Oy -F A'-F B '-mga=2(m 1-m 2)m +2(m 1+m 2)g=0F Ox 2(m -m )2F =(m +m +m )g -1 2 gOy 1 2m +2(m 1+m 2)注a =r α 2 用动 定理 动定理 力 动 动 T =1m v 2+1m v 2+1(1mr 2)(v )2=1(m +2m +2m )v 212122222r 412d T =1(m +2m +2m )v d v2力∑δW i =(m 1-m 2)g d s =(m 1-m 2)gv d t12121(m +2m +2m )v d v =(m -m )gv d t 动 定理 2微 是2(m 1-m 2)m +2(m 1+m 2)a =gm m考虑刚 动定理是2(m -m )212m +2(m 1+m 2)F Oy =(m +m 1+m 2)g -m 2a -m 1a =F Oy -(m +m 1+m 2)g=0F Ox (e)∑m i a Cix ∑m i a Ciy =∑F x (e)=∑F y m m3 用动 定理 动定理力 动 定 动L =m vr +m vr +(1mr 2)ωO1 2122=1(m +2m +2m )vr212121(m +2m +2m )r d v =(m -m )gr2d t(F (e))dL =∑M d tO O 2(m 1-m 2)m +2(m 1+m 2)a =d v =d t g m m然后按 2 O 力 [ ] O 铅垂 内 动 m R C 结 刚性 k 弹簧 弹簧 另 固定 A CA =2R 弹簧 原 常力偶 M 用下 O 试 O 力 力-2R )2⎤122⎣=M π-2mgR -0.3431kR 2∑W =M π-2mgR +k⎡0-⎦αC A M Oω45MOC Ay xm g FF OxF OyT 1=022222T 2=1324J O ω=mR ωJ =1mR 2+mR 2=3mR2O3mR 2ω2=M π-2mgR -0.3431kR24ω=T 2-T 1=∑W 123mR 2α=M-k 2-2R )R2(M -0.5859kR 2)3mR 2α=2(M -0.5859kR 2)3mRa Cx =-R α=-a =-R ω2=-4 (M π-2mgR -0.3431kR 2)3mRCyma Cx =F Ox +F cos45ma Cy =F Oy -mg -F sin 45F =-2M -0.1953kR3ROx=3.667mg +1.043kR -4.189F Oy MRAyCxMm gF F Ox45F OyO 动微αy a Ca ωxa n Cat CCx y[ ] 细 l m 微小干 扰 倒下 刚刚 力 沿 不 力 倒下 铅 下落 动 ( 夹)2v CCP l cos θ动 2222 1 )3cos θ(1+J ω=m 211212C CC v mv +T =2θ=0 v C =3gl12动 力T 2-T 1=∑W 121m (1+ 1 )v 2=mg l (1-sin θ)3cos 2θ2Cl 3g ω=ω=v C =A Cθωv CPA a na C CA C 动 A 则Ct n a C =a A CACA+a+a沿铅垂 下a =a t(3)=l α2C CA (1)~(3)14A F =mgαm gF AωαCAA a t CA刚刚 力及 刚 动微a Ca A(1)mg -F A =ma CF l =J α=1ml 2α(2)A 212C[ ] 棱 ABC m 1 动 m 2 O 沿斜 AB 下滚动不 动 斜 倾 棱P326 综-16v D v Dα力 动 棱别 v a是 别 ω α 动 用O棱 D Ov O=v D+v ODv D=v v OD=r ωv =-v +r ωcos θOx 动P x 0=0 P x 1=-m 1v +m 2v Ox =-m 1v +m 2(-v +r ωcos θ)动 定理:P x 1=P x 0=-m 1v +m 2(-v +r ωcos θ)=0θA CBO D a v ωOxv OD OD θF N间t 导(*)-(m 1+m 2)a +m 2r αcos θ=0a α 动微22S 12m r α=F r2a cos θ+2g sin θ3r m 2g sin 2θα=3m +m +2m sin 2θ1 2 2a =m 2(r α-a cos θ)=m 2g sin θ-F SJ O α=∑M O (F )m 2a Ox '=∑F x '(*)=a r -a e cos θ=r α-a cos θa Ox -m 1v +m 2(-v +r ωcos θ)=0 ∑m iaC ix∑(e)ix=F刚OD θαa rx'y'a e F Sm g2[ ] AB 2l m ,A 内 后 力 用 动 A力 P328 综-28 力 力 用 C C 铅 动微A A 0B 0θmaC =mg -F N1m (2l )2α=F l cos θN122 3 必须 动学tCA n CAa C =a +a A +a Cθn a CA铅垂 a =a t cos θ-a nCCACAsin θ=l αcos θ-l ω2sin θmgAv θv A动 定理T 2-T 1=∑W 12v C =v A +v CAv C =v CA cos θ=l ωcos θ2211J ω=mgl sin θ22C C mv +v C 并2l ω=1+3cos 2θ6g sin θF N3cos θl α=m后4+3sin 2θF N =22mg (1+3cos θ)间 导 3cos θ(4+3sin 2θ)(1+3cos 2θ)2l α=g列动。
理论力学动量定理PPT课件
dpx
dt
i
Fixe ,
dpy dt
i
Fiye ,
dpz dt
i
Fize
若作用在质点系上的外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的 投影恒为零，由上式可知，质点系的动量在该坐标轴上守恒。例 如
FRex 0 , px C2
式中C2为常量，由运动初始条件决定。
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第10章 动量定理 质心运动定理
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几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时， 磅秤指示数会 不会发生的变化？
？
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几个有意义的实际问题
？ 台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，
会发生什么现象？
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几个有意义的实际问题
隔板
水池
？ 抽去隔板后，将会
发生什么现象？
水
光滑台面
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v
－ m1cos m2
m1 m2 m3 m4
vr
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动量定理应用举例 例 题 1
解：2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体 相对地面的位移。
v
－ m1
m1cos m2
m2 m3 m4
vr
又因系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分， 得到四棱柱体的位移。
x － m1cos m2 s
m1 m2 m3 m4
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动量定理应用举例 例 题 1
解：3.确定对凸起部分的作用力，可以 采用质心运动定理。
设物块相对四棱柱体的加速度为ar， 由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，
ae a4 0 ar a 故，四棱柱体的加速度a极易由牛顿定律 求出。 根据质心运动定理，并注意到
动力学普遍定理的综合应用
动力学普遍定理在求解具体问题时，同一个问题，有时可以分别用几个定理求解， 有时需要几个定理联合求解。在应用时主要有两个问题应当深入讨论：
（1）如何根据问题的条件恰当地选用定理； （2）如何应用若干个定理联合求解。
每个动力学普遍定理都只建立了某种运动特征量和某种力的作用量之间的关系。例 如，动量定理（质心运动定理）建立了动量和外力之间的关系，动量矩定理建立了动 量矩和外力矩之间的关系，动能定理建立了动能与力的功之间的关系等。
例11-12 质量为 m1和 m2 的两重物 M1 和 M2 ，分别挂在两根绳子上，绳子又分别绕在半径为
r1 和 r2 的两个固连在一起的同轴鼓轮上，如图 11-29（a）所示。已知鼓轮的总转动 惯量为 J，求鼓轮的角加速度。
解 （1）选鼓轮、绳子、两个重物组成的系统为研究对象。
（2）画出外力的受力图，如图11-29（b）所示。
T2 V2 T1 V1 0
设在终了位置时滑块A的速度为vA ，小球B的速度为 vB ，方向如图1130（b）所示，于是有
T2
1 2
P1 g
vA2
1 2
P2 g
vB2
V2 P2l
代入机械能守恒定理得
1 2g
(P1vA2
P2vB2
)
P2l
0
（a）
式（a）中有两个未知量 vA 和 vB ，不可能解出。这表明本题仅用一个定理不能求 解，应当再应用其他定理写出其他方程。从系统外力的受力图可看出一个特点，即 外力在水平轴 Ox 上的投影恒等于零，因此有沿轴 Ox 方向的动量守恒。考虑到初 始时系统处于静止，因此有
对于复杂的动力学问题，或要求未知量个数较多时，只用一个定理不能求得全部结 果，这时必需适当地选用若干个定理，联合求外力在某轴上的投影恒为零 时，可选用动量守恒定理求解；外力对某点或某轴之矩恒等于零时，适合应用动量矩 守恒定理求解；系统上做功的力皆为有势力时，适合用机械能守恒定理求解。下面举 例说明。
理论力学_动力学ppt课件
12 4 3
33
5. 回转半 径
z
Jz m
惯性半径(回转半径)
J z mρ 2
34
例题 3
已知： m ，R 。
求：角加速度
解：取圆轮为研究对象
J mgR O
JO
1 2
mR 2
mR 2
3 2
mR 2
解得： 2g
3R
FOy FOx
C O
mg
35
12.4 刚体的平面运动 微分方程
刚体平面运动 =
a. 常力 b. 变力
I Ft
dI Fdt
I 0t Fdt
冲量为矢量，其单位与动量单位相同为 N·s
15
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
dp d(mv) Fdt
质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
mv mv0 0t Fdt I
质点系的动量 ——质点系中各质点动量的矢量和，称为 质点系的动量，又称为质点系 动量的主矢。
n
p mivi
i 1
13
根据质点系质心的位矢公式
rC
miri mi
miri m
mvC mivi
p mivi mvC
O
vC
O
C
z
mn
m2
m1
C
mi
rC ri
o y
x
vC
C
14
2冲量 力在作用时间上的累积效应——力的冲量
23
[例1] 滑轮A：m1，R1，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ； R1=2R2 物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。
解：LO = LOA + LOB + LOC
理论力学课件 25.1 普遍定理的综合应用举例
普遍定理综合应用举例动量定理普遍定理动量矩定理动能定理质心运动定理 分析质点系受力与质心运动的关系定轴转动刚体 的转动微分方程 相对于定 点和定轴相对于质心和质心轴描述质点系整体运动 如：平面运动刚体的运动微分方程积分形式求速度 或角速度 微分形式功率方程求加速度 或角加速度动量和动量矩动能矢量，有大小方向非负的标量，与方向无关内力不能使之改变外力能使之改变内力可以改变动能约束力是外力时对之有影响理想约束不影响当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力对定点O 或质心的主矩为零时，系统对定点或者质心的动量矩守恒在保守系统中，机械能守恒动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化研究机械运动与其他运动形式有能量转化的问题普遍定理综合应用举例均质圆轮半径为 r ，质量为m ，受到轻微扰动后，在半径为R 的 圆弧上往复滚动。
设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动. 求:轮心Ｃ的运动微分方程.例1例题：利用平面运动刚体 运动微分方程求解功率方程求解普遍定理综合应用举例d d s P mg v mg t τ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭d d s m g t τ=⋅d sin d smg tθ=-222113224C C CT mv J mv ω=+=解: ()d sin d sm g tθ=-d d T P t=d 3d 2sin 4d d C C v s m v mg t t θ⋅=-()032d d 22=-+r R gst s 22d d ts C v θrR s θ-=分析圆轮，受力如图所示。
ωr v C =2Cmr J 21=普遍定理综合应用举例例2物块和两均质轮的质量皆为m ,轮半径皆为R。
滚轮上缘绕一刚度系数为k的无重水平弹簧，轮与地面间无滑动。
现于弹簧的原长处自由释放物块。
求:重物下降h 时,v，a 及滚轮与地面的摩擦力。
可用动能定理求摩擦力可用相对质心的动量矩定理普遍定理综合应用举例1=T 解: 22222222111113222222T mv mR m mR mv ωυω⎛⎫=+⋅++= ⎪⎝⎭()222221khmgh h k mgh W -=-=∑12T T W -=∑（a ）22322mgh kh mv -=()223mg kh h v m -=将式（a ）对t 求导得 khg a 4-=动能定理，分析系统。
理论力学 第9章 动力学普遍定理的综合应用
11
例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) x12 y12 a 2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 b2
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
2 (Rk 2RF M )
3mR2
vB
F B
Fk C vC
M
mg aC
D
FDS FDN
[例9.10] 如图曲柄滑块机构在铅垂面内，均质曲柄OA长度为r，质量为m，
在未知变化的力偶矩M作用下，以匀角速度转动；均质连杆AB长度为2r
，质量为m。已知滑块的工作阻力为F，不计滑块B的质量，忽略所有阻碍
x2 y2 l2
曲柄连杆机构 xA2 yA2 r2
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
3
二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通
常按如下分类： 1、几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约 束条件称为运动约束。
T1 0
T2
1 2
mv 2
1 2
mv 2
1 2
1 2
mr 2 2
运动学关系：v r
T2
5 4
mv 2
由动能定理：5mv2 0mgS(2sin f cos ) 对ｔ求导，得
4
14-4动力学普遍定理的综合应用
YB = T1 + T2 sin θ + P 1
4）求滚子A和斜面的摩擦力F和摩擦系数的最小值 fsmin 求滚子A和斜面的摩擦力F 取滚子A 取滚子A为研究对象 受力分析 运动分析
aA αA = r
x' θ P1
αA
A y'
A
T2 F N
建立相对质心的转动微分方程
J Aα A = F • r
1 P 2 aA 1 r = F •r r 2g 1P 1 P sin θ − P2 1 1 F= aA = P 1 2 g 2 2 P + P2 1
如图所示系统中，滚子A和定滑轮B都是半径为r 如图所示系统中，滚子A和定滑轮B都是半径为r的匀 例2： ： 质圆盘，重量均为P 重物C重为P 当滚子沿倾角为θ 质圆盘，重量均为P1 ；重物C重为P2 。当滚子沿倾角为θ 的斜面向下作纯滚动时，试求： 的斜面向下作纯滚动时，试求： 滚子A质心的加速度； （1）滚子A质心的加速度； B r 两段绳子的拉力； （2）两段绳子的拉力； （3）滑轮轴承处的反力； 滑轮轴承处的反力； A C 滚子A和斜面的摩擦力F （4）滚子A和斜面的摩擦力F， 至少为多少？ 静摩擦系数 f s至少为多少？ θ
1 P sin θ − P2 1 F= P 1 2 2 P + P2 1
x' θ P1
由
∑ Fx ' = 0
N = P cos θ 1
得
αA
A y'
A
T2 F N
Ff max = f s N = f s P cos θ 1
Q Ff max ≥ F
1 P sin θ − P2 1 ∴ f s P cos θ ≥ P 1 1 2 2 P + P2 1 P sin θ − P2 P sin θ − P2 1 1 ∴ f s min = fs ≥ 2 ( 2 P + P2 ) cos θ 2 ( 2 P + P2 ) cos θ 1 1
动力学普遍定理的综合应用
A
v
B
C
f
m2 g T m2 a T f m1a
A
T
a
T
C
f
2m 2 g 2m 2 g 2m1 m 2 g T m 2 g, f m2 g 2m 2 3m1 2m 2 3m1
2 2
B
例2.图示机构中，已知：斜面光滑，滑块A和纯滚动 圆盘B质量均为m、圆盘半径为R，弹簧弹性系数为k, 滑块A沿斜面下滑,初始时弹簧为原长, 求滑块A下滑 s长时:(1)滑块A的加速度；(2)绳子的拉力；(3)地 面作用于圆盘B的摩擦力。 B C
1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 T2 ml 2 mv ml 2 mvr 6 2 3 2
Lz1 = Lz2
T1 = T2
由此即可解出
1 2 4 2 ml 1 ml 2 3 3 1 2 2 2 2 2 1 2 ml 1 ml 2 mvr 6 3 2
vr = 2lω2
ve ω2
○
ω1 = 4 ω2
ve 1 tan vr 2
θ = 26.565°
O
○
v
θ A
vr
ve = lω2
由
T2 T1 W
1 1 2 5 2 2 2mgl (sin 60 sin ) k[ l l (1 cos ) ] m 2 l 2 2 4 6
0
2mgl (sin 60 0 sin )
1 1 2 5 k[ l l 2 (1 cos ) 2 ] m 2 l 2 2 4 6
T1 0
1 v B l cos , v A l sin , v c l 2
理论力学课件 动力学普遍定理综合应用PPT61页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
理论力学课件 动力学普遍定理综合应 用
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)页PPT文档PPT文档55页
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
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H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B
J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A
0
mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC
2 l 4C
×
B
根据刚体平面运动微分方程
maC mgN
JC 0.5lNcos45
A mg
N
N 2 mg 5
综合2：半径是r的铅直空圆环，对圆环直径的转动惯量是J，以
角速度绕定轴z转动。在管子内最高点A放一质量为m的小球，
由于微小扰动使小球从静止开始沿管下滑。试求当小球达到B和 C时，圆环的角速度和小球的绝对速度。不计摩擦。
z
[解]：小球下滑到B点时，设其相对于圆
速度V，轮的角速度为零。求当C点运动至最低位置时，水平地 面对轮的约束反力。
O CV
O
CV
解：质心C在水平运动守恒。若OC铅垂，设轮O角速度为。
初动能
T1
1 2
mV2
动能定理 T2 T1 mge
末动能 T2 12mV212mC 22
2 2 ge 2
C
以O为基点研究C点加速度
3π 62
1π 82
由动能定理的积分形式 T2T1 W
4
g
(9π 16)r
以圆心为基点研究质心加速度，其加速度矢量图如图。同时
画出其在竖直方向的受力状态
B
O aO
A
n CO
C
a
τ CO
G
D
ND
aCaC naC τaOaC n OaC τ O
aCn
aCnO2
A4 r 3π
[解]：半圆盘对质心C的转动惯量
JCJOm (3 4π r)21 2m2 rm 1 9π r6 2 2
O C B B
O V C A直径水平时，半圆盘的角速度为
C
D
W 4 mgr 3π T1 0
T2 12JC212mVC2
9π232 m2 r2(3π4)2m2 r2
4r n 3π
根据质心运动定理 NDGmaCn
NDmC naG[13π9(6π41)6]mg
综合6：半径为R的滚轮A，质量为mA，对质心A的转动惯量为 JA=0.5mAR2。轴半径为r=0.5R，滚轮在=30的足够粗糙的斜面 上纯滚动，细绳绕过无重量的定滑轮B后，挂一质量为mC的物块。 不计B轮系摩擦。求：(1)A轮轮心的加速度aA和C的加速度aC；(2) 当mA=4.5mC时候，斜面给A轮的摩擦力。
分别沿光滑的铅直墙壁和光滑水平地面滑动。设杆的初始位置与
墙成0，求杆沿铅直墙壁下滑的角速度和角加速度。
y A
[解]：杆AB受力图如图
NA
C
根据刚体平面运动微分方程
MxC NA MyC NB G
JCLNB sinLNAcos
G
o
补充两个运动学关系
B x
A
环的速度是Vr，方向竖直向下。牵连速 度Ve垂直于铅垂平面。
V
e
T1
1 2
J 2
r
B
T2
12JB2
1m 2
VB2
Vr
1 2JB 21 2m(Vr2B 2r2)
C
Wmgr
由动能定理的积分形式 T2T1 W
1 2JB 21 2m (V r2B 2r2)1 2J2mgr
(4)当系统由作平动、定轴转动、平面运动的刚体组 合而成时,一种比较直观的求解办法就是将系统拆开 成单个刚体,分别列出相应的动力学微分方程,然后 联立求解。
(5)注意动量、动量矩守恒问题,特别是仅在某一方向 上的守恒。
综合1：均质杆长l，质量为m，刚性地面光滑，φ=45°，求绳断
瞬间地面的反力。
×
3gsin
4L
d d d1d2 dt d dt 2 d
3g 4L
sin
d2 3gsind
2L
2 32gL(co0scos)
综合4：偏心轮O质量为m，偏心距为e。轮对质心C的回转半径
为C，置于光滑水平地面上。初始时OC水平，质心有一水平初
(2)应用动能定理的积分形式，如果末位置的速度或 角速度是任意位置的函数，则可求时间导数来得到 加速度或角加速度。仅求加速度(角加速度)的问题, 应用动能定理的微分形式也很方便。
(3)对既要求运动又要求约束力的问题，因为应用动 能定理不能求出无功约束力，此时往往先求运动， 然后再用质心运动定理或动量矩定理来求约束力。
NB
xCL sinyCLco s
xCL co sL2sin
yCL sinL2co s
1M (2L)2 LM (gsinL si2n L2sinco )s
12
LM (L co2sL2sinco )s
动力学普遍定理的优越性主要体现在研究比较复 杂的系统动力学问题。
在求解比较复杂的动力学问题时，往往不可能仅用 一个定理解决全部问题，需要综合应用几个定理来求解。 而且这种应用，并不存在一个固定的模式，必须具体问 题具体分析，综合考虑，灵活应用。但是一般说来，下 列原则仍有一定的参考价值。
(1)求解速度、角速度问题往往首先考虑应用动能定 理的积分形式, 且尽可能以整个系统为研究对象, 避免拆开系统。