用matlab模拟渗碳过程溶质浓度分布

用matlab模拟渗碳过程溶质浓度分布
摘要：本文将就影响渗碳过程中溶质原子的分布的因素进行讨论，并且用matlab画出渗碳过程中碳浓度随着时间和空间变化的方程，并以此为依据，对不同种类的渗碳过程进行对比和讨论。

关键词：matlab 模拟渗碳
一、气体渗碳过程碳浓度分布数值模拟
1.气体渗碳的数学模型
由∂C
∂τ=∂
∂x
(D x∂C
∂x
)+∂
∂y
(D x∂C
∂y
)+∂
∂z
(D z∂C
∂z
)
可知，三维条件下的方程为：
∂C ∂τ=D(∂2C
∂x2
+∂2C
∂y2
+∂2C
∂z2
)，
进而简化到一维条件下可以得到：
∂C ∂τ=D
∂2C
∂x2
初始条件为C（x，0）=C0
边界条件为：−D∂C
∂x
|x=0=β(C p−C)
2.方程的解
由于上述方程为线性方程，且边界条件非齐次，可以经过傅里叶变换，求得解析解：
C(x,τ)=C0+(C p−C0)[erfc(
2√Dτ)−exp(βx+β
2
τ
D
)erfc(
2√Dτ
β√τ
D
)]
3.Matlab程序及图像为
x = 0:0.01:1;
T= 1203;
D = 0.162 * exp(-137800/(8.314*T));
b= 0.00001;
t1= 3600;t2=3600*4;t3=3600*8;
y1=0.20+(1.2-0.2)*(erfc(x/(2*sqrt(D*t1)))-exp((b*x+b*b*t1)/D).
*erfc(x/(2*sqrt(D*t1))+b*sqrt(t1/D))) ;
y2=0.20+(1.2-0.2)*(erfc(x/(2*sqrt(D*t2)))-exp((b*x+b*b*t2)/D).
*erfc(x/(2*sqrt(D*t2))+b*sqrt(t2/D))) ;
y3=0.20+(1.2-0.2)*(erfc(x/(2*sqrt(D*t3)))-exp((b*x+b*b*t3)/D).
*erfc(x/(2*sqrt(D*t3))+b*sqrt(t3/D))) ;
plot(x,y1,'-o',x,y2,'-x',x,y3,'-+');
grid;
4. 对图像的分析
C p 取1.2%，C 0取0.2%，β区0.00001，时间分别取1h ，4h ，8h ，对应图像中的蓝（圆圈）、绿（X ）、红（+）三种颜色。

经过分析可以发现，渗碳时间越长，平衡时渗碳的距离越大，边界的渗碳浓度越接近于C p 。

二、离子渗碳模型的物理描述
1. 离子渗碳的数学模型
离子渗碳可以看做是β趋近于无穷大时的渗碳过程，其解析解为：
C(x,τ)=C 0+(C p −C 0)[erfc (
2√
D τ)
] 2. Matlab 程序及其图像为
x = 0:0.01:1; T= 1203;
D = 0.162 * exp(-137800/(8.314*T)); b= 0.00001;
t1= 3600;t2=3600*4;t3=3600*8;t4=3600*12;t5=3600*50; y1= 0.20+(1.2-0.2)*erfc(x/(2*sqrt(D*t1))) ; y2= 0.20+(1.2-0.2)*erfc(x/(2*sqrt(D*t2))) ; y3= 0.20+(1.2-0.2)*erfc(x/(2*sqrt(D*t3))) ; y4= 0.20+(1.2-0.2)*erfc(x/(2*sqrt(D*t4))) ; y5= 0.20+(1.2-0.2)*erfc(x/(2*sqrt(D*t5))) ;
plot(x,y1,'-o',x,y2,'-x',x,y3,
'-^',x,y4,'-p',x,y5,'-s'); grid;
3.对图像进行分析
C p取1.2%，C0取0.2%，β区0.00001，时间分别取1h，4h，8h，12h，50h，对应图像
中的蓝（圆圈）、绿（X）、红（三角）、天蓝（五角星）、紫（方块）五种颜色。

经过分析可以发现，渗碳时间越长，平衡时渗碳的距离越大，但是边界的渗碳浓度均为C p，此处与气体渗碳不同。

三、离子渗碳的深度与时间的关系
1.数学方程
δ=k√Dτ
其中k是一个常数，取1.9。

2.Matlab程序及图像
x = 0:0.01:10;
T= 1203;
D = 0.162 * exp(-137800/(8.314*T));
b= 0.00001;
t1= 3600;
y1= 1.9*sqrt(D*x) ;
plot(x,y1,'-o');
grid;
3.对图像的分析
由图像可知，渗碳层厚度和时间和时间成抛物线关系。

四、离子渗碳的深度与温度的关系
1.数学方程
)，综合可知δ=由三可知，δ=k√Dτ，而且D与温度的关系为D=D0exp⁡(−Q
RT
)τ
k√D0exp⁡(−Q
RT
2.Matlab程序及图像
x = 0:50:1203;
T= 1203;
D = 0.162 * exp(-137800/(8.314*T));
b= 0.00001;
t1= 3600;t2=2*t1;t3=3*t1;
D1= 0.162*exp(-137800./(8.314*x));
y1= 1.9*sqrt(D1*t1) ;
y2= 1.9*sqrt(D1*t2) ;
y3= 1.9*sqrt(D1*t3) ;
plot(x,y1,'-o',x,y2,'-x',x,y3,'-s');
grid;
3.对图像的分析
时间分别取1h，2h，3h，对应图像中的蓝（圆圈）、绿（X）、红（方块）三种颜色。

经过分析可以发现，渗碳层厚度在时间一定的条件下，与温度呈指数关系。

温度一定条件下，时间越长，渗碳层厚度越高。

五、渗入碳量与时间关系
1.数学方程
渗入的碳的质量M和时间的关系为：
M=2A(C p−C0)√Dτ/π
2.Matlab程序及图像
x = 0:0.01:10;
T= 1203;
D = 0.162 * exp(-137800/(8.314*T));
b= 0.00001;
t1= 3600;
y1= 1.9*sqrt(D*x) ;
plot(x,y1);
grid;
3.对图像的分析
由图像可以看出，渗碳的质量和时间呈抛物线关系。

六、扩散物质集中于宽度为2d区域内的无限系统中的扩散
1.数学方程
C(x,τ)=0
2√Dτπ(−
x2
4Dτ
)
2.Matlab 程序及图像
x = -1:0.01:1;
T= 1203;
D = 0.162 * exp(-137800/(8.314*T));
b= 0.00001;
t1= 3600;t2=3600*4;t3=3600*8;
y1=1*0.2/sqrt(D*t1*pi)*exp(-x.*x/(4*D*t1));
y2=1*0.2/sqrt(D*t2*pi)*exp(-x.*x/(4*D*t2));
y3=1*0.2/sqrt(D*t3*pi)*exp(-x.*x/(4*D*t3));
plot(x,y1,'-o',x,y2,'-x',x,y3,'-+');
grid;
axis(-1,1);
3.对图像分析
C p取1.2%，C0取0.2%，β区0.00001，时间分别取1h，4h，8h，对应图像中的蓝
（圆圈）、绿（X）、红（+）三种颜色。

经过分析可以发现，时间越长，x=0处的浓度越接近于C0，图像也越尖锐。