第4章 矩阵的广义逆

例题1 设W是C n 的子空间，证明 存在到W的投影 变换， 使R（）=W。
3、正交投影的性质
定理4.16（P . 104）设W是C n的子空间，x0C n， x 0 W，如果是空间C n向空间W的正交投影， 则
( x0 ) x0 y x0
y W
含义：点（x0）是空间 W 中与点x 0距离最近的点。
讨论：对任何满足式( ¤) 的左逆B，X=Bb都是方程组的
解，如何解释方程组的解是惟一的？
§ 4. 2 广义逆矩阵
思想：用公理来定义广义逆。 一、减号广义逆 定义4 . 2 (P . 95) A C m n ，如果，G C n m使得，
AGA=A，则矩阵G为的A减号广义逆。或{1}逆。A的 减号逆集合A{1}={A1–1，A2–1， ， Ak–1} 例题1 A C nn可逆，则A–1 A{1}； A单侧可逆，则A –1LA{1}；A–1RA{1}。 减号逆的求法：定理4.5（P . 95） 减号逆的性质：定理4.6 (P . 96)
• 设A满秩分解A=BC， 则A + =CH （CCH ）–1（BH B）–1BH 。 • （定理4.9）设A奇异值分解 ：
H A U V ，则 0 0

1 0 H A V U 0 0
例题1 求下列特殊矩阵的广义逆；
零矩阵0； 1阶矩阵( 数) a； a1 对角矩阵
4、A + A与AA +的性质 定理4.15（P . 104）
A + A的性质：
• （A + A）2 = A + A，（A + A）H = A + A • C n =R（A + ） N（A） • R （A + ）= N（A）
A A +的性质：
• （A A + ）2 = A A + ，（A A + ）H = A A + • C m=R（A ） N（A + ） 含义： • R （A + ）= N（A） A + A 是正交投影，将向量 x 投影到空间R（A + ）中。 A A + 是正交投影，将向量 x 投影到空间R（ A ）中。
R
讨论：可逆矩阵An n的左、右逆和逆的关系 可逆矩阵A的左、右逆就是矩阵A的逆A A–1=（AHA）–1AH =AH（AAH）–1
二、单侧逆和求解线性方程组AX=b
讨论
AX=b 有解与左、右逆存在的关系。 借助于左、右逆求AX=b的形如X=Bb的解。
1、右可逆矩阵 定理4 4 (P . 95)
第 4章
矩阵的广义逆
The Pseudoinverse
矩阵的广义逆
概述： 矩阵的逆：A n n ，B n n ，B A= A B =I, 则B=A –1 广义逆的目标：逆的推广
对一般的矩阵 A m n可建立部分逆的性质。 当矩阵A n n可逆时，广义逆与逆相一致。 可以用广义逆作求解方程组AX=b的理论分析。
0 + m×n =0
n×m
例题2
a 2 设向量 an
的M-P广义逆。.
1 1 2 例题3 设 A 0 2 2 ， 1 0 1
求A+。
4、M-P广义逆的性质 定理4.12 (P . 100) ：则A满足下列性质：
（ A + ）+=A （A + ） H =（A H ）+ （A）= +A+ A列满秩，则A+=（ A H A ） –1A H ，A行满秩，则 A+=AH （AAH） –1。 5. A有满秩分解：A=BC，则A+=C+B+。 1. 2. 3. 4.
A +与A–1 性质的差异比较：
（AB）–1=B –1 A –1 ，一般不成立（AB）+=B+A+。（只有满秩分解成立） （A–1）k =（Ak） –1 ，但不成立（A+）k=（Ak）+
§ 4. 3 投影变换（为讨论A + 的应用做准备）
问题：逆在什么情形下是有用的？ 一、投影变换和投影矩阵
定义4.4（P . 101）设Cn=L M ，向量x Cn, x=y+z， y L， z M， 如果线性变换 ： C nCn ， （x）=y， 则称为从 Cn 沿子空间M到子空间L的投 影变换。 R（ ）=L； N（ ）=M， Cn=R（ ） N（ ）
4.4 最佳最小二乘解
一、最佳最小二乘解 A m×n X n ×1 =b m×1
1、AX=b的最佳最小二乘解 定义4. 6（P . 105） 有解bR（A） 无解b R（A）
u 是最小二乘解
Au b Ax b
x0 2 u
2
x C
n
x0是最佳最小二乘解
2、 AX=b的最佳最小二乘解的计算 定理4. 17 设方程组AX=b，则A +b 是AX=b 的最佳最小二乘解。
A –1R =AH（AAH）–1=A + ； 若 A + ，则A + 是 A{1} 。
A–1 = A + ； A–1L = （AHA）–1AH=A +；
2、M-P 广义逆的惟一性 定理4.9 (P . 98)如果A有M-P广义逆，则A的
M-P广义逆是惟一的。
3、M-P广义逆的存在性及其求法
定理4.8（P . 99）任何矩阵都有M-P广义逆。 求法：
§ 4. 1 矩阵的左逆与右逆
一、满秩矩阵和单侧逆 1、左逆和右逆的定义
定义4. 1 (P . 93)
• A C m n， B C n m，BA=In，则称矩 1 阵B 为矩阵A 的左逆，记为 B = AL 。
•A C m n ， C C n m ，AC=Im，则称矩阵C 为 1 A 矩阵A 的右逆，记为 C= R 。
二、正交投影和正交投影矩阵 1. 正交投影的定义：
定义4.5 （P . 103） 设 ：C nCn 是投影变换， C n =R（） N（），如果 R （） =N（），则称为正交投影。
2 正交投影矩阵 A 2 =A
定理4.14（P . 103）是正交投影 投影矩阵A满足：AH=A
例题1 矩阵A的左逆A=
1 0 0 1 2 1
。
2、左逆和右逆存在的条件 1 A1 存在矩阵A列满秩 AL 的存在性 L
直观分析

A
1 = L
（AHA）–1AH
1. 2. 3. 4.
定理4. 1(P . 93) 设A C mn ，下列条件等价 A左可逆 A的零空间N（A）={0}。 mn，秩（A）=n，即矩阵A是列满秩的。 矩阵AH A可逆。
3），（3，5），（4，7）的分布呈直线趋势，求最佳 拟合直线。
方法：将误差向量表示为 e =A –b，求方程组
A–b=0的最小二乘解，由给出拟合参数。
例题1 （P . 106，eg8）
1 1 2 0 2 2 A 例题2、设， 1 0 1
，=
1 1 2
1. 证明 R（A） 2. 在列空间R（A）上找一点X0 ，X0距离 最近。
二、最佳拟合曲线
问题：在实际问题中，已知变量X和变量Y之间 存在函数关系Y=F（X），但不知道F（X）的具 体形式，由观察和实验数据寻求经验公式: Y=f（X），使得误差最小。 例题1（P . 107，eg9） 一组实验数据（1，2），（2，
二、Moore-Penrose（M-P）广义逆
由Moore 1920年提出，1955年由Penrose发 展。 1、 定义4.3 (P . 98)设矩阵A C m n ，如果
GC n m ，使得
1. AGA=A 2. GAG=G 3. （AG）H = AG 4. （GA）H =GA
则称G为A的M-P广义逆，记为G=A+。 例题2 讨论原有的逆的概念和M-P广义逆的关系。
1 0 0 1 例题2 求矩阵A = 的左逆。 2 1
矩阵右逆的存在性 定理4 . 2 (P . 94)A C m n ，则下列条件等价：
1. 2. 3. 4. 矩阵A右可逆。 A的列空间R（A）=Cm n m ，秩（A）=m，A是行满秩的。 矩阵A AH 可逆 1 A =AH（AAH）–1
1. A C m n右可逆，则bCm，AX=b有解。 1 2. X= AR b 是方程组AX=b的解。
二、单侧逆和求解线性方程组AX=b
2、左可逆矩阵
求解分析： 定理4 3 (P . 94)设矩阵A C m n左可逆，B是矩阵A 的任何一个左逆，则 1. AX=b有形如X=Bb的解的充要条件是 ( Im–AB )b=0 (¤ ) 2. 当(¤ )式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是 X=（AHA）–1AH b 证明：
I r 0 投影的矩阵和变换性质：
投影变换的矩阵
{ 1 , 2 ,, n }
L和M是的不变子空间；L=I； M =0
0 0
1. 定理4 .13（P . 101） 是投影 是幂等变换 2. 推论： 为投影变换的充要条件是变换矩阵是 幂等矩阵