2021年江苏省高考数学总复习：数列

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2021年江苏省高考数学二轮解答题专项复习：数列

1．在数列{a n }中a 1＝1，且3a n +1＝a n +13n （n ∈N +）． （1）求证：数列{3n •a n }为等差数列；

（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．

【解答】解：（1）证明：由a 1＝1，3a n +1＝a n +

13n ，可得3n +1a n +1＝3n a n +1， 即3n +1a n +1﹣3n a n ＝1，

可得数列{3n •a n }是以3为首项，1为公差的等差数列；

（2）由（1）可得3n •a n ＝3+n ﹣1＝n +2，

则a n ＝（n +2）•（13）n ， 可得前n 项和S n ＝3•13+4•（13）2+5•（13）3+…+（n +2）•（13

）n ， 13S n ＝3•（13）2+4•（13）3+5•（13）4+…+（n +2）•（13

）n +1， 两式相减可得23S n ＝1+（13）2+（13）3+…+（13）n ﹣（n +2）•

（13）n +1 ＝1+19(1−13n−1)1−13

−（n +2）•（13）n +1， 化简可得S n =74−2n+74•（13

）n ． 2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n ＝（n +1）a n （n ∈N ）且a 1＝2．

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设b n ＝（a n ﹣1）2a n ．求数列{b n }的前n 项和T n ．

【解答】解：（1）由题意，2S n ＝（n +1）a n ，n ∈N *．

则2S n +1＝（n +2）a n +1，n ∈N *．

两式相减，得2a n +1＝（n +2）a n +1﹣（n +1）a n ，

整理，得 na n +1＝（n +1）a n ．

即a n+1n+1=

a n n ，n ∈N *． ∴数列{a n n

}为常数列． ∴a n n =a 11=2， ∴数列{a n }的通项公式为：a n ＝2n ．